人教A版选择性必修第二册4.2.2 等差数列的前n项和公式优选作业（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教A版选择性必修第二册4.2.2 等差数列的前n项和公式优选作业（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 171.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-02-22 13:06:54 | ||
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文档简介
【名师】4.2.2等差数列的前n项和公式优选练习
一．单项选择
1．已知为等差数列，若，则的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
试卷第2页，总7页
2．已知为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
3．中国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之(等差数列)，上三人先人，得金四斤，持出；下四人后人得金三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给.则第一等人(得金最多者)得金斤数是（ ）
A． B． C． D．
4．欧拉公式（为虚数单位，，为自然底数)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：①；②其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②均正确 B．①②均错误
C．①对②错 D．①错②对
5．已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知等差数列中，，为数列的前项和，则（ ）
A．30 B．35 C．40 D．45
7．已知数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知等差数列的前项和为，，，若，则（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
9．中角，，所对的边分别为，，，，若的周长为15，且三边的长成等差数列，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人五钱，令上两人所得与下三人等.问各得几何？”其意思是：“已知甲？乙？丙？丁？戊五人分五钱，甲？乙两人所得之和与丙？丁？戊三人所得之和相等，且甲？乙？丙？丁？戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，丁所得为（ ）
A．钱 B．钱 C．钱 D．钱
11．与的等差中项是（ ）
A． B．
C． D．
12．在等差数列{an}中，a1+a2+a3＝21，a2a3＝70，若an＝61，则n＝（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
13．在等差数列中，已知，则公差（ ）
A．1 B．2 C．-2 D．-1
14．设等差数列的前项和为，若，，则当取得最大值时，的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．8或9
15．设的内角，，所对的边为，，，则下列命题不正确的是（ ）
A．，则 B．若，则
C．若，，成等差数列，则 D．若，则
参考答案与试题解析
1．【答案】B
【解析】分析：将已知条件转化成的方程，解得，再利用计算即可.
详解：由，得，解得，
所以.
故选：B.
2．【答案】C
【解析】分析：利用等差数列前项和公式与通项公式建立方程组求出首项和公差，再求解即可.
详解：由题意知：
，
故
即
解得
故选：C.
3．【答案】A
【解析】分析：由题意转化为等差数列，由等差数列的通项公式列出方程求解即可.
详解：由题设知在等差数列中，，.
所以，，解得，
故选：A
4．【答案】A
【解析】分析：对①，通过欧拉公式，，算出即可；
对②，先将欧拉公式逆用，将原式化简为，再通过指数运算性质化简，最后再用欧拉公式展开，最后算出即可.
详解：对①，由题意，，正确；
对②，原式==
=，正确.
故选：A.
5．【答案】B
【解析】分析：由已知可得，设，若存在正整数，当时，有，此时数列为有穷数列；若恒不为0，由，有，此时为无穷数列，由此根据充分条件．必要条件的定义进行分析即可得结论．
详解：解：令，，
由，可得，所以，即，
所以数列为等差数列，首项为，公差为1，
所以，
设，则数列是单调递增的等差数列，
若存在正整数，当时，则有，此时数列为有穷数列；
若恒不为0，由，有，数列就可以按照此递推关系一直计算下去，所以此时为无穷数列.
（1）若恒不为0，则为无穷数列，由递推关系式有，
取，时，，则，，，，此时数列不是单调数列；
（2）当数列为有穷数列时，存在正整数，当时，有，
此时数列为，，，，，，
由，若数列单调，则，，，，全为正或全为负，
由，则，，，，全为正，而，
这与单调递增矛盾，所以当数列为有穷数列时，数列不可能单调，
所以当数列单调时，数列一定有无穷多项．
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题的解题关键是，将论证数列单调时，数列一定有无穷多项等价转化为论证数列为有穷数列时，数列不可能单调.
6．【答案】B
【解析】分析：由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可直接求解.
详解：解：等差数列中，，
∴，
即，
所以，
则，
故选：B.
7．【答案】C
【解析】分析：利用公式求出，再由第k项满足可得答案．
详解：时，，
，，
由得，解得，
因为，所以，
故选：C.
8．【答案】B
【解析】分析：利用等差数列求和公式及等差数列性质求得
详解：∴∴，
故选：B.
9．【答案】D
【解析】分析：利用正弦定理和余弦定理化简可得，可得，故为最大边，由数列性质设，，，再由余弦定理即可得解.
详解：由余弦定理可得，
整理得，
所以，，
故为最大边，
不失一般性，设，，()，
代入得，
所以，，的面积为，
故选：D.
10．【答案】D
【解析】分析：将问题转化为“已知等差数列，为前项和，已知，求”，利用等差数列的相关知识点完成求解即可.
详解：设甲．乙．丙．丁．戊所得钱数为，为前项和，公差为，
所以，所以，所以，
所以，所以丁所得为钱，
故选：D.
11．【答案】B
【解析】分析：设2与8的等差中项是，则，进一步解得的值即可．
详解：解：设2与8的等差中项是，则，解得．
故选：B．
12．【答案】C
【解析】分析：利用等差数列的下标和性质求得，进而得到a3＝10,求得公差，再求得首项，得到通项公式，然后解得.
详解：由a1+a2+a321,得,
a2a3＝70，∴a3＝10,
∴公差
∴，
,
解得
故选：C.
13．【答案】B
【解析】分析：设等差数列的公差为，根据等差数列通项公式计算可得；
详解：解：设等差数列的公差为，因为，所以，解得
故选：B
14．【答案】D
【解析】分析：根据求得，结合，判断数列单减，从而判断取得最大值时，的值.
详解：由题知，，则，
等差数列的公差d满足，数列单减，
且，，则当取得最大值时，的值为8或9
故选：D
15．【答案】B
【解析】分析：对于A，利用正弦定理和三角形的性质判断；对于B，由，可得或；对于C，由等差中项的性质和三角形内角和，可求得结果；对于D，利用勾股定理的逆定理可求得结果
详解：解：对于A，在，因为，所以由正弦定理可得，又因在三角形中大边对大角，所以，所以A正确；
对于B，在中，若，则或，即或，所以B错误；
对于C，因为，，成等差数列，所以，因为，所以，所以C正确；
对于D，由，设，因为，所以，所以D正确，
故选：B．
一．单项选择
1．已知为等差数列，若，则的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
试卷第2页，总7页
2．已知为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
3．中国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之(等差数列)，上三人先人，得金四斤，持出；下四人后人得金三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给.则第一等人(得金最多者)得金斤数是（ ）
A． B． C． D．
4．欧拉公式（为虚数单位，，为自然底数)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：①；②其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②均正确 B．①②均错误
C．①对②错 D．①错②对
5．已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知等差数列中，，为数列的前项和，则（ ）
A．30 B．35 C．40 D．45
7．已知数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知等差数列的前项和为，，，若，则（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
9．中角，，所对的边分别为，，，，若的周长为15，且三边的长成等差数列，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人五钱，令上两人所得与下三人等.问各得几何？”其意思是：“已知甲？乙？丙？丁？戊五人分五钱，甲？乙两人所得之和与丙？丁？戊三人所得之和相等，且甲？乙？丙？丁？戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，丁所得为（ ）
A．钱 B．钱 C．钱 D．钱
11．与的等差中项是（ ）
A． B．
C． D．
12．在等差数列{an}中，a1+a2+a3＝21，a2a3＝70，若an＝61，则n＝（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
13．在等差数列中，已知，则公差（ ）
A．1 B．2 C．-2 D．-1
14．设等差数列的前项和为，若，，则当取得最大值时，的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．8或9
15．设的内角，，所对的边为，，，则下列命题不正确的是（ ）
A．，则 B．若，则
C．若，，成等差数列，则 D．若，则
参考答案与试题解析
1．【答案】B
【解析】分析：将已知条件转化成的方程，解得，再利用计算即可.
详解：由，得，解得，
所以.
故选：B.
2．【答案】C
【解析】分析：利用等差数列前项和公式与通项公式建立方程组求出首项和公差，再求解即可.
详解：由题意知：
，
故
即
解得
故选：C.
3．【答案】A
【解析】分析：由题意转化为等差数列，由等差数列的通项公式列出方程求解即可.
详解：由题设知在等差数列中，，.
所以，，解得，
故选：A
4．【答案】A
【解析】分析：对①，通过欧拉公式，，算出即可；
对②，先将欧拉公式逆用，将原式化简为，再通过指数运算性质化简，最后再用欧拉公式展开，最后算出即可.
详解：对①，由题意，，正确；
对②，原式==
=，正确.
故选：A.
5．【答案】B
【解析】分析：由已知可得，设，若存在正整数，当时，有，此时数列为有穷数列；若恒不为0，由，有，此时为无穷数列，由此根据充分条件．必要条件的定义进行分析即可得结论．
详解：解：令，，
由，可得，所以，即，
所以数列为等差数列，首项为，公差为1，
所以，
设，则数列是单调递增的等差数列，
若存在正整数，当时，则有，此时数列为有穷数列；
若恒不为0，由，有，数列就可以按照此递推关系一直计算下去，所以此时为无穷数列.
（1）若恒不为0，则为无穷数列，由递推关系式有，
取，时，，则，，，，此时数列不是单调数列；
（2）当数列为有穷数列时，存在正整数，当时，有，
此时数列为，，，，，，
由，若数列单调，则，，，，全为正或全为负，
由，则，，，，全为正，而，
这与单调递增矛盾，所以当数列为有穷数列时，数列不可能单调，
所以当数列单调时，数列一定有无穷多项．
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题的解题关键是，将论证数列单调时，数列一定有无穷多项等价转化为论证数列为有穷数列时，数列不可能单调.
6．【答案】B
【解析】分析：由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可直接求解.
详解：解：等差数列中，，
∴，
即，
所以，
则，
故选：B.
7．【答案】C
【解析】分析：利用公式求出，再由第k项满足可得答案．
详解：时，，
，，
由得，解得，
因为，所以，
故选：C.
8．【答案】B
【解析】分析：利用等差数列求和公式及等差数列性质求得
详解：∴∴，
故选：B.
9．【答案】D
【解析】分析：利用正弦定理和余弦定理化简可得，可得，故为最大边，由数列性质设，，，再由余弦定理即可得解.
详解：由余弦定理可得，
整理得，
所以，，
故为最大边，
不失一般性，设，，()，
代入得，
所以，，的面积为，
故选：D.
10．【答案】D
【解析】分析：将问题转化为“已知等差数列，为前项和，已知，求”，利用等差数列的相关知识点完成求解即可.
详解：设甲．乙．丙．丁．戊所得钱数为，为前项和，公差为，
所以，所以，所以，
所以，所以丁所得为钱，
故选：D.
11．【答案】B
【解析】分析：设2与8的等差中项是，则，进一步解得的值即可．
详解：解：设2与8的等差中项是，则，解得．
故选：B．
12．【答案】C
【解析】分析：利用等差数列的下标和性质求得，进而得到a3＝10,求得公差，再求得首项，得到通项公式，然后解得.
详解：由a1+a2+a321,得,
a2a3＝70，∴a3＝10,
∴公差
∴，
,
解得
故选：C.
13．【答案】B
【解析】分析：设等差数列的公差为，根据等差数列通项公式计算可得；
详解：解：设等差数列的公差为，因为，所以，解得
故选：B
14．【答案】D
【解析】分析：根据求得，结合，判断数列单减，从而判断取得最大值时，的值.
详解：由题知，，则，
等差数列的公差d满足，数列单减，
且，，则当取得最大值时，的值为8或9
故选：D
15．【答案】B
【解析】分析：对于A，利用正弦定理和三角形的性质判断；对于B，由，可得或；对于C，由等差中项的性质和三角形内角和，可求得结果；对于D，利用勾股定理的逆定理可求得结果
详解：解：对于A，在，因为，所以由正弦定理可得，又因在三角形中大边对大角，所以，所以A正确；
对于B，在中，若，则或，即或，所以B错误；
对于C，因为，，成等差数列，所以，因为，所以，所以C正确；
对于D，由，设，因为，所以，所以D正确，
故选：B．