人教A版选择性必修第二册4.3.1 等比数列的概念作业(2) (1)（含答案）

【优选】4.3.1等比数列的概念练习
一．填空题
1．已知数列的前项和为，若，，，则______．
2．在等比数列中，，，则的前项和为___________.
3．已知等比数列的首项为2，公比为，其前项和记为，则___________.
4．已知等比数列中，，，则满足成立的最大正整数的值为______．
5．已知数列的首项，其前项和满足，则______.
6．已知为正项等比数列的前项和，若，，则________．
7．若等比数列的前项和为，则常数的值等于___________.
8．已知正项等比数列的前项和为，，则__________.
9．在数列中，，，则___________.
10．已知等差数列的前项和为，，，成等比数列，且，则___________．
11．等比数列的前项和为，数列为单调递增数列，且数列为单调递减数列，写出满足上述条件的一个数列的通项公式____________.
12．已知公比为q的等比数列的前n项和为，公差为d的等差数列的前n项和为，且，则的值为________．
13．已知等比数列的前n项和为，且，则的最大值为________.
14．数列中，，，，且为等比数列，则数列的前2021项和___________.(只需写出表达式)
15．设为正数列的前项和，，，对任意的，均有，则的取值为__________.
参考答案与试题解析
1．【答案】
【解析】分析：由得，从而可得数列是等比数列，求得通项后，结合和与项的关系可得．
详解：解：数列的前项和为，若，，，
整理得，
故，
由于，
所以，
故，①，
整理得，
故数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
故（首项符合通项），
所以：．
故答案为：．
【点睛】
关键点点睛：本题考查数列的通项与和的关系，解题关键是是得出后，把化为，从而得出数列的递推关系，得其为等比数列，易于求解．在与的相互转化中注意相互性，主要看怎样转化得解题．
2．【答案】
【解析】分析：由，，利用“ ”法求解,
详解：设等比数列的公比为，
因为，，
所以，
解得，
则.
所以的前项和为.
故答案为：
3．【答案】
【解析】分析：首先求出等比数列的其前项和记为，最后再求极限即可.
详解：因为等比数列的首项为2，公比为，
所以前项和记为，
.
故答案为：
4．【答案】3
【解析】分析：设的公比为，由，，解得和，
由数列是等比数列，用公式法求和，解不等式求出n.
详解：已知为等比数列，设其公比为，由得，，，解得，又．∴．
因为，所以数列也是等比数列，其首项为，公比为．
∴，从而有．
∴．故．
故答案为：3.
【点睛】
等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质．
5．【答案】
【解析】分析：利用题干中的递推关系找出an与n的关系，进而计算出结果.
详解：由题知，，则.
两式做差得.
整理得.
所以{ }是以为首项，-1为公比的等比数列.
.
故答案为
【点睛】
方法点睛：在处理数列的通项与前n项和的相关问题时，一定要抓住题干中给出的递推关系，利用递推关系将抽象的数列问题转化为我们熟悉的等差数列．等比数列问题，从而运用我们所学的等差．等比数列的知识取解决问题.
6．【答案】
【解析】分析：由正项等比数列特点可确定，，由等比数列性质．等比数列通项公式可化简已知等式求得和，由可得结果.
详解：为正项等比数列，且公比；
，，
，，.
故答案为：.
7．【答案】1
【解析】分析：由等比数列前n项和的表达式的结构特征比对即可得解.
详解：因，等比数列的公比，则有，
令，从而等比数列的前项和满足，把与之比对得.
故答案为：1
【点睛】
思路点睛：等比数列前n项和公式应用，在等比数列的公比q未知时，要用前其n项和公式，必须按与讨论.
8．【答案】
【解析】分析：根据等比数列的性质，结合等比数列前项和公式进行求解即可.
详解：设正项等比数列的公比为，，
因为，所以，
因此，
而，所以，
故答案为：
9．【答案】
【解析】分析：根据题中条件，得到是等比数列，求出其通项公式，进而可得.
详解：依题意可得数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，所以.
故答案为：.
10．【答案】2或5
【解析】分析：由已知得，再由，，成等比数列得可得答案.
详解：，∴，，，成等比数列，则，
即，解得或，故或5.
故答案为：2或5.
11．【答案】(答案不唯一)
【解析】分析：根据题意可判断出数列的公比，，然后举例代入求解即可判断.
详解：由题意，数列为单调递增的等比数列，数列为单调递减数列，所以可得公比，且，例如，，此时可得为单调递增的等比数列，为单调递减的数列，符合题意.
故答案为：(答案不唯一)
12．【答案】1
【解析】分析：将分别用前项和表示，然后根据等式的特征，可得，再解方程即可.
详解：令等比数列的首项为，等差数列的首项为，
所以
所以，
因此.
故答案为：1.
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键是运用等比数列及等差数列的前项和公式，然后建立方程组.
13．【答案】
【解析】分析：根据递推关系求得数列的通项公式，从而求得的表达式，判断数列单调性，求得最大值.
详解：由题知，，，
则
则，满足为等比数列；
，
由一元二次函数易知，数列在或5时，取最大值，
又，
则在时取最大值
故答案为：1024
【点睛】
关键点点睛：等比数列累乘时涉及等差数列求和，利用得到的一元二次函数形式判断单调性，找到数列取最大值的n值.
14．【答案】或
【解析】分析：令，根据为等比数列，求出通项公式，由利用等比数列的求和公式计算即可得解.
详解：，，， 为等比数列，
令，则，
公比，
.
故答案为：或
15．【答案】2
【解析】分析：由已知递推式，结合与的关系及等比数列的定义，可判断是公比为的正项等比数列，写出．，根据题设不等式恒成立可得恒成立，即可求值.
详解：由题设知：当时，，即，
当时，，
综上知：是公比为的正项等比数列，即，而，
∴由题设知：对任意的，有成立，又，
∴，整理得：恒成立，而时，
∴.
故答案为：2.
【点睛】
关键点点睛：由与的关系及等比数列的定义求．，根据数列不等式恒成立求值即可.
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