人教A版选择性必修第二册4.3.1 等比数列的概念 作业（含解析）

【特供】4.3.1等比数列的概念作业练习
一．单项选择
1．已知等比数列的前n项和为，且满足公比0＜q＜1，＜0，则下列说法不正确的是（ ）
A．一定单调递减 B．一定单调递增
C．式子-≥0恒成立 D．可能满足=，且k≠1
2．康托（）是十九世纪末二十世纪初德国伟大的数学家，他创立的集合论奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使“康托三分集”的各区间长度之和小于，则需要操作的次数的最小值为（ ）
（参考数据：，）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．若1，，，，4成等比数列，则（ ）
A．16 B．8 C． D．
4．正项等比数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
5．己知，，既成等差数列又成等比数列，二次函数的图像与直线交于不同两点，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C．3 D．
7．若是与的等比中项，则的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
8．定义域为集合{1，2，3，…，12}上的函数满足：
（1）；（2）（）；（3）．．成等比数列；
这样的不同函数的个数为（ ）
A．155 B．156 C．157 D．158
9．设数列的每一项都不为零，且对任意满足，若，则（ ）
A． B． C．3 D．
10．已知数列为等比数列，给出下列结论：
①；
②若，，则；
③当时，；
④当时，.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②③ B．②④ C．①④ D．①③
11．设等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．66 B．65 C．64 D．63
12．已知数列为等比数列，，，则（ ）
A． B． C． D．
13．已知等比数列中，，则公比（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
14．已知，，，成等差数列，，，，，成等比数列，则（ ）．
A． B． C． D．或
15．在等比数列中，，是方程的根，则（ ）
A．2 B． C．或 D．或
参考答案与试题解析
1．【答案】D
【解析】分析：根据等比数列的通项公式，前n项和的意义，可逐项分析求解.
详解：因为等比数列的前n项和为，且满足公比0＜q＜1，＜0，
所以当时，由可得，故数列为增函数，故A正确；
由0＜q＜1，＜0知，
所以，故一定单调递减，故B正确；
因为当时，，，所以，即-，当时，
，综上，故C正确；
若=，且k≠1，则，即，因为，故，
故矛盾，所以D不正确.
故选：D
2．【答案】C
【解析】分析：先由题设得到前几次操作去掉的区间的长度，然后总结出第次操作去掉的区间的长度和为，把次操作和去掉的区间的长度之和转化为等比数列的前项和，求出前项和，再求解不等式即可．
详解：解：第一次操作去掉的区间长度为；
第二次操作去掉两个长度为的区间，长度和为；
第三次操作去掉四个长度为的区间，长度和为；
，
第次操作去掉个长度为的区间，长度和为，
于是进行了次操作后，所有去掉的区间长度之和为，
由题意知：，解得：，
又为整数，
可得的最小值为6，
故选：．
3．【答案】B
【解析】分析：根据1，，，，4成等比数列，利用等比中项求解.
详解：因为1，，，，4成等比数列，
，
，(负不合题意，奇数项符号相同)，
则，
故选：B.
4．【答案】A
【解析】分析：利用等比数列的性质求出的值，再将所求和式利用对数运算法则变形，借助等比数列性质即可作答.
详解：设正项等比数列公比为，则，
因，则，
所以.
故选：A
5．【答案】C
【解析】分析：由，，既成等差数列又成等比数列，可求得，所以二次函数为（），则对称轴为，再由，两点关于对称轴对称可求得答案
详解：解：因为，，既成等差数列又成等比数列，
所以，且，
所以，化简得，得，
所以，
所以二次函数为（），
所以抛物线的对称轴为，
因为二次函数的图像与直线交于不同两点，，
所以，
故选：C
6．【答案】A
【解析】分析：由已知条件结合等比数列的前项和公式即可求出，进而可以求出结果.
详解：因为，显然，则，即，
所以，
故选：A
7．【答案】C
【解析】分析：由已知结合等比数列的性质，可求，然后利用基本不等式即可求解.
详解：解：因为是与的等比中项，
所以，即，
所以时等号成立 ，
所以的最小值为.
故选：C.
8．【答案】A
【解析】分析：根据题意，分析出的所有可能取值，得到使．．成等比数列时对应的项，再运用计数原理求出这样不同函数的个数即可.
详解：根据题意，的取值最大值为，最小值为，并且成为以2为公差的等差数列，故的可能取值为，的可能取值为，所有能使．．成等比数列时，．．的可能取值只有2种情况：①．．；②．．，由于（），所有或，即得到后项时，把前项加1或者把前项减1，（1）当．．时，即要构造满足条件的等比数列分为2步，第一步：从变化到，第二步：从变化到，从变化到，有5次变化，函数值从1变化到2，故应从5次中选择3次加1，2次减1，则对应的方法有种，从变化到，有6次变化，函数值从2变化到4，故应从6次中选择4次加1，2次减1，则对应的方法有种，故根据分布乘法原理，共有种，
（1）当．．时，即要构造满足条件的等比数列分为2步，第一步：从变化到，第二步：从变化到，从变化到，有5次变化，函数值从1变化到，故应从5次中选择1次加1，4次减1，则对应的方法有种，从变化到，有6次变化，函数值从变化到4，故应从6次中选择6次加1，则对应的方法有种，故根据分布乘法原理，共有种，
综上：满足条件的共有155个.
故选：A.
【点睛】
解决本题的难点在于找到的取值规律，并发现使．．成等比数列所对应的三项，然后用计数原理计算出结果，主要考查学生的综合分析能力.
9．【答案】B
【解析】分析：根据条件判断出是等比数列，然后根据等比中项的性质求解出的值.
详解：在中，令，则．
由可知，即是首项为1．公比为的等比数列．
于是．
故选：B．
10．【答案】D
【解析】分析：根据等比数列的性质可判断①； 由可判断②；由，结合均值不等式可判断③；当时，④不成立.
详解：设等比数列的公比为
对于①. 则，
所以，故①正确.
对于②. 由题意，所以不正确，所以②不正确.
对于③.
当且仅当时，取得等号. 故③正确
对于④. 当时，，则，故④不正确
故选：D
11．【答案】B
【解析】分析：根据等比数列前项和的片段和性质求解即可.
详解：解：由题知：，，
，
所以，，成等比数列，即5，15，成等比数列，
所以，解得.
故选：B.
12．【答案】A
【解析】分析：设等比数列的公比为，由已知条件可得出关于．的方程组，即可解得的值.
详解：设等比数列的公比为，由已知可得，解得.
故选：A.
13．【答案】A
【解析】分析：利用求解即可.
详解：等比数列中，
，
设等比数列的公比为，
又因为
所以，
故选：A.
14．【答案】B
【解析】分析：由，，，成等差数列可求出公差，从而可求出，由，，，，成等比数列，可知是和的等比中项，从而可求出，进而可求得答案
详解：解：因为，，，成等差数列，所以公差,
所以，
因为，，，，成等比数列，所以是和的等比中项，
所以，解得或，
因为等比数列中奇数项同号，所以，
所以，
故选：B
15．【答案】D
【解析】分析：由题意有，再运用性质有，最后化简即可.
详解：等比数列的公比设为，，是方程的根，可得，即有，即有，则.
故选：D.
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