2021-2022学年新教材人教A版选择性必修第一册 1.2空间向量基本定理 教案

第一章 空间向量与立体几何
1.2 空间向量基本定理
教学设计
一、教学目标
1. 了解空间向量基本定理及其推论；
2. 理解空间向量的基底、基向量的概念.
二、教学重难点
1. 教学重点
运用空间向量基本定理表示空间任一向量，并能根据表达式判断向量与基底的关系.
2. 教学难点
用不同的基底表示空间任一向量，对空间向量基本定理的理解与应用.
三、教学过程
（一）新课导入
复面向量基本定理.
如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使.
类比平面向量基本定理，来探究空间向量基本定理.
（二）探索新知
如图所示，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O.对于任意一个空间向量，设为在i，j所确定的平面上的投影向量，则.又向量，k共线，因此存在唯一的实数z，使得，从而.
而在i，j所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使得.从而.
因此，如果i，j，k是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得.我们称xi，yj，zk分别为向量p在i，j，k上的分向量.
思考：在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c代替两两垂直的向量i，j，k，你能得出类似的结论吗？（能）
空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z）.使得.
由此可知，如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示.由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
例1 如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且，用向量表示.
解：
例2 如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为的中点.
（1）求证：；
（2）求CE与AG所成角的余弦值.
解：（1）设，则构成空间的一个单位正交基底.所以，.
所以.
所以.
（2）因为，，
所以.
所以CE与AG所成角的余弦值为.
（三）课堂练习
1.设是空间的一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是( )
A. B. C. D.或
答案：C
解析：因为是空间的一个基底，所以向量不共面，而向量与或共面.故排除选项A，B D.故选C.
2.是空间的一个基底，向量，.若，则分别为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：
，
由空间向量基本定理，得解得
3.如图，在四面体中，为的重心，是上一点，，以为基底，则_________________.
答案：
解析：连接并延长交于点，连接，
则
.
4.已知为空间的一组基底，且，，，.
（1）能否以作为空间的一组基底？若能，试用这一基底表示；若不能，请说明理由.
（2）判断P，A，B，C四点是否共面.
答案：（1）假设，，共面，则存在实数m，n，使，
即，
所以，方程组无解，所以，，不共面，
因此可以作为空间的一组基底.
令，，，由，得，
所以
.
（2）假设P，A，B，C四点共面，
则存在实数x，y，z，使，且.
由（1）知，但，故P，A，B，C四点不共面.
5.如图，直三棱柱中，分别为的中点.
(1)求证：；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
答案：(1)设，则构成空间的一个基底.
根据题意，，且.
，
，
.
(2)，
，
，
，
即异面直线与所成角的余弦值为.
（四）小结作业
小结：空间向量基本定理及其应用.
作业：
四、板书设计
1.2 空间向量基本定理
1. 空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z）.使得.
2. 基底、基向量：如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
3. 单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示.
4. 正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
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