2021-2022学年新教材人教A版选择性必修第一册 1.3.2空间向量运算的坐标表示 教案

第一章空间向量与立体几何
1.3.2空间向量运算的坐标表示
教学设计
一、教学目标
1.掌握空间向量坐标运算公式，并能解决简单几何问题.
2.能熟练应用两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式.
3.掌握平行向量、垂直向量的坐标表示，并能解决相关的向量的平行、向量的垂直问题.
二、教学重难点
1、教学重点
空间向量的坐标运算，夹角公式，距离公式，空间向量平行和垂直的条件.
2、教学难点
空间向量的平行、垂直、夹角、距离问题.
三、教学过程
1、新课导入
上节课我们学习了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？
2、探索新知
一、空间向量运算的坐标表示：
设，，则
，
，
，，
.
二、空间向量数量积运算的坐标表示的证明：
设为空间的一个单位正交基底，则，，所以，利用向量数量积的分配律以及，，得.
三、空间向量的平行、垂直、长度和夹角余弦的坐标表示：
当时，，，；
；
；
.
四、空间两点间的距离公式：
如图建立空间直角坐标系Oxyz，设，是空间中任意两点，则.
于是，
所以.这就是空间两点间的距离公式.
例1如图，在正方体中，E，F分别是，的中点，求证.
分析：要证明，只要证明，即证.我们只要用坐标表示，，并进行数量积运算即可.
证明：不妨设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则，，所以.
又，，所以.
所以，
所以，即.
例2 如图，在棱长为1的正方体中，M为的中点，分别在棱，上，，.
（1）求AM的长
（2）求与所成角的余弦值.
分析：（1）利用条件建立适当的空间直角坐标系，写出点A，M的坐标，利用空间两点间的距离公式求出AM的长.（2）与所成的角就是，所成的角或它的补角，因此，可以通过，的坐标运算得到结果.
解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则点A的坐标为，点M的坐标为，于是.
（2）由已知，得，，，，
所以，，
，，
所以，
所以.
所以，与所成角的余弦值是.
3、课堂练习
1.向量，，若，且，则的值为( )
A.-1 B.1 C.-4 D.4
2.设向量，，且，则的值为________.
3.如图，在直三棱柱中，，，，M，N分别是，的中点.
（1）求的模；
（2）求的值；
（3）求证：.
4、小结作业
小结：本节课学习了空间向量的坐标运算，平行、垂直、长度和夹角余弦的坐标表示及空间两点间的距离公式.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
1.3.2空间向量运算的坐标表示
1.空间向量运算的坐标表示：设，，则
，
，
，，
.
2.空间向量的平行、垂直、长度和夹角余弦的坐标表示：
当时，，，；
；
；
.
3.空间两点间的距离公式：设，是空间中任意两点，则.
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