新教材人教A版选择性必修第一册 2.1.2两条直线平行和垂直的判定 教案

第二章 直线和圆的方程
2.1 直线的倾斜角与斜率
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
教学设计
一、教学目标
1. 掌握两条直线平行与垂直的条件；
2. 能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
二、教学重难点
1. 教学重点
两直线平行与垂直的判定及其应用.
2. 教学难点
探究两条直线斜率与两条直线垂直的关系.
三、教学过程
（一）新课导入
问题1：平面中两条直线有几种位置关系？
两种，相交和平行.
问题2：斜率是刻画直线倾斜程度的量，当两条直线相互平行或相互垂直时，它们之间的斜率有何关系？
（二）探索新知
如图，若，则与的倾斜角与相等，由，可得，即.因此，若，则.反之，当时，，由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知，，因此.
于是，对于斜率分别为，的两条直线，，有.
显然，当时，直线的斜率不存在，此时.
若直线，重合，此时仍然有.用斜率证明三点共线时，常常用到这个结论.
例1 已知，试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论.
解：如图，由已知可得，
直线BA的斜率，
直线PQ的斜率.
因为，所以直线.
例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.
解：如图，由已知可得，
AB边所在直线的斜率，
CD边所在直线的斜率，
BC边所在直线的斜率，
DA边所在直线的斜率.
因为，所以.
因此四边形ABCD是平行四边形.
显然，当两条直线相交时，它们的斜率不相等；反之，当两条直线的斜率不相等时，它们相交.在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形.
思考：当直线，垂直时，它们的斜率有什么数量关系？
设两条直线，的斜率分别为，，则直线，的方向向量分别是，，于是，即.
也就是说，.
当直线或的倾斜角为90°时，若，则另一条直线的倾斜角为0°；反之亦然.
由上得到，如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果两条直线的斜率之积等于-1，那么它们互相垂直.即.
例3 已知，试判断直线AB与PQ的位置关系.
解：直线AB的斜率，
直线PQ的斜率.
因为，所以直线.
例4 已知三点，试判断的形状.
解：边AB所在直线的斜率，边BC所在直线的斜率.
由，得，即.
所以是直角三角形.
（三）课堂练习
1.下列结论错误的是( )
A.若直线的斜率相等，则
B.若直线的斜率，则
C.若直线的斜率都不存在，则
D.若直线的斜率不相等，则与不平行
答案：ABC
解析：若直线的斜率相等，则或与重合，所以A结论错误；若直线的斜率，则，所以B结论错误；若直线的斜率都不存在，则或与重合，所以C结论错误；D结论正确.故选ABC.
2.若直线的倾斜角为135°，直线经过点，，则直线与的位置关系是( )
A.垂直 B.平行 C.重合 D.平行或重合
答案：D
解析：由题意得，直线的斜率为，直线的斜率为，直线与平行或重合.
3.若直线l经过点和，且与斜率为的直线垂直，则实数a的值是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：依题意得，，即，解得，故选A.
4.若不同两点P，Q的坐标分别为，，则线段PQ的垂直平分线的斜率为_________________.
答案：-1
解析：由题意得，所以线段PQ的垂直平分线的斜率为-1.
5.已知平行四边形中，.
（1）求点的坐标；
（2）试判断平行四边形是否为菱形.
答案：（1）设，则，
即，解得，
所以.
（2）因为，
所以，所以，
故平行四边形为菱形.
（四）小结作业
小结：根据斜率判定两条直线平行或垂直.
作业：
四、板书设计
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
对于斜率分别为，的两条直线，，有
（1）；
（2）.
1