新教材人教A版选择性必修第一册 2.1.1倾斜角与斜率 教案
文档属性
| 名称 | 新教材人教A版选择性必修第一册 2.1.1倾斜角与斜率 教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 10.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-02-22 13:41:57 | ||
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文档简介
第二章 直线和圆的方程
2.1 直线的倾斜角与斜率
2.1.1 倾斜角与斜率
教学设计
一、教学目标
1. 正确理解直线的倾斜角和斜率的概念；
2. 理解直线的倾斜角的唯一性；
3. 理解直线的斜率的存在性；
4. 斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.
二、教学重难点
1. 教学重点
直线的倾斜角、斜率的概念和公式.
2. 教学难点
直线的斜率与它的倾斜角之间的关系.
三、教学过程
（一）新课导入
思考：确定一条直线的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的一条直线l，如何利用坐标系确定它的位置？
（二）探索新知
两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线.
如图，在平面直角坐标系中，经过一点P可以作无数条直线l1，l2，l3，…，它们组成一个直线束，这些直线的区别是什么？
在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向.因此，这些直线的区别是它们的方向不同.
这些直线相对于x轴的倾斜程度不同，也就是它们与x轴所成的角不同.因此，我们可以利用这样的角来表示这些直线的方向.
当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.图中直线的倾斜角为锐角，直线的倾斜角为钝角，当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角的取值范围为.
在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等.因此，可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向.
问题 在平面直角坐标系中，设直线的倾斜角为.
（1）已知直线经过与的坐标有什么关系？
（2）类似地，如果直线经过与的坐标又有什么关系？
（3）一般地，如果直线经过两点，那么与的坐标有怎样的关系？
对于问题（1），如图（1），向量，且直线OP的倾斜角为.由正切函数的定义，有.
对于问题（2），如图（2），.平移向量到，则点的坐标为，且直线OP的倾斜角也是.由正切函数的定义，有.
一般地，如图，当向量的方向向上时，.平移向量到，则点的坐标为，且直线OP的倾斜角也是，由正切函数的定义，有.
同样，当向量的方向向上时，如图，，也有.
问题 当直线与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？
当直线与x轴平行或重合时，，，，上述式子仍成立.
综上可知，直线l的倾斜角与直线l上的两点的坐标有如下关系：.①
我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即.②
注：倾斜角是90°的直线没有斜率.
由正切函数的单调性，倾斜角不同的直线，其斜率也不同.因此，我们可以用斜率表示倾斜角不等于90°的直线相对于x轴的倾斜程度，进而表示直线的方向.
如果直线经过两点，那么由①②可得斜率公式：.
在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度.
直线上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量.直线的方向向量的坐标为.当直线与x轴不垂直时，.此时向量也是直线的方向向量，且它的坐标为，即.其中k是直线的斜率.因此，若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为（x，y），则.
例1 如图，已知，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
解：直线AB的斜率；
直线BC的斜率；
直线CA的斜率.
甴及可知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；由可知，直线BC的倾斜角为钝角.
（三）课堂练习
1.已知，，则直线AB的倾斜角为( )
A.0° B.90° C.180° D.不存在
答案：B
解析：，，
直线AB的斜率不存在，
直线AB的倾斜角为90°.故选B.
2.若两直线，的倾斜角和斜率分别为，和，，则下列四个命题中正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
答案：D
解析：令，，则，，，故A错误；易知C错误；令，则、不存在，故B错误；由知，，故D正确.故选D.
3.若过点，的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A.1 B.4 C.1或3 D.1或4
答案：A
解析：由M、N的坐标得直线的斜率，化简，得，解得，故选A.
4.若直线l的倾斜角的变化范围为，则直线斜率的取值范围是_____________.
答案：
解析：设直线l的倾斜角为，斜率为k，则，又，，即，故斜率的取值范围是.
5.已知，，三点.
（1）求直线AB和AC的斜率；
（2）若点D在线段BC（包括端点）上移动，求直线AD的斜率的变化范围.
答案：（1）由斜率公式可得直线AB的斜率，直线AC的斜率.
（2）如图所示，当点D由点B运动到点C时，直线AD的斜率由增大到，所以直线AD的斜率的变化范围是.
（四）小结作业
小结：
1.直线的倾斜角、斜率的概念和公式.
2.直线的斜率与它的倾斜角之间的关系.
作业：
四、板书设计
2.1.1 倾斜角与斜率
1. 当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.
2. 直线的倾斜角的取值范围为.
3. 一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即.
注：倾斜角是90°的直线没有斜率.
4. 如果直线经过两点，那么斜率公式为.
5. 若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为（x，y），则.
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2.1 直线的倾斜角与斜率
2.1.1 倾斜角与斜率
教学设计
一、教学目标
1. 正确理解直线的倾斜角和斜率的概念；
2. 理解直线的倾斜角的唯一性；
3. 理解直线的斜率的存在性；
4. 斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.
二、教学重难点
1. 教学重点
直线的倾斜角、斜率的概念和公式.
2. 教学难点
直线的斜率与它的倾斜角之间的关系.
三、教学过程
（一）新课导入
思考：确定一条直线的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的一条直线l，如何利用坐标系确定它的位置？
（二）探索新知
两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线.
如图，在平面直角坐标系中，经过一点P可以作无数条直线l1，l2，l3，…，它们组成一个直线束，这些直线的区别是什么？
在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向.因此，这些直线的区别是它们的方向不同.
这些直线相对于x轴的倾斜程度不同，也就是它们与x轴所成的角不同.因此，我们可以利用这样的角来表示这些直线的方向.
当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.图中直线的倾斜角为锐角，直线的倾斜角为钝角，当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角的取值范围为.
在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等.因此，可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向.
问题 在平面直角坐标系中，设直线的倾斜角为.
（1）已知直线经过与的坐标有什么关系？
（2）类似地，如果直线经过与的坐标又有什么关系？
（3）一般地，如果直线经过两点，那么与的坐标有怎样的关系？
对于问题（1），如图（1），向量，且直线OP的倾斜角为.由正切函数的定义，有.
对于问题（2），如图（2），.平移向量到，则点的坐标为，且直线OP的倾斜角也是.由正切函数的定义，有.
一般地，如图，当向量的方向向上时，.平移向量到，则点的坐标为，且直线OP的倾斜角也是，由正切函数的定义，有.
同样，当向量的方向向上时，如图，，也有.
问题 当直线与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？
当直线与x轴平行或重合时，，，，上述式子仍成立.
综上可知，直线l的倾斜角与直线l上的两点的坐标有如下关系：.①
我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即.②
注：倾斜角是90°的直线没有斜率.
由正切函数的单调性，倾斜角不同的直线，其斜率也不同.因此，我们可以用斜率表示倾斜角不等于90°的直线相对于x轴的倾斜程度，进而表示直线的方向.
如果直线经过两点，那么由①②可得斜率公式：.
在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度.
直线上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量.直线的方向向量的坐标为.当直线与x轴不垂直时，.此时向量也是直线的方向向量，且它的坐标为，即.其中k是直线的斜率.因此，若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为（x，y），则.
例1 如图，已知，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
解：直线AB的斜率；
直线BC的斜率；
直线CA的斜率.
甴及可知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；由可知，直线BC的倾斜角为钝角.
（三）课堂练习
1.已知，，则直线AB的倾斜角为( )
A.0° B.90° C.180° D.不存在
答案：B
解析：，，
直线AB的斜率不存在，
直线AB的倾斜角为90°.故选B.
2.若两直线，的倾斜角和斜率分别为，和，，则下列四个命题中正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
答案：D
解析：令，，则，，，故A错误；易知C错误；令，则、不存在，故B错误；由知，，故D正确.故选D.
3.若过点，的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A.1 B.4 C.1或3 D.1或4
答案：A
解析：由M、N的坐标得直线的斜率，化简，得，解得，故选A.
4.若直线l的倾斜角的变化范围为，则直线斜率的取值范围是_____________.
答案：
解析：设直线l的倾斜角为，斜率为k，则，又，，即，故斜率的取值范围是.
5.已知，，三点.
（1）求直线AB和AC的斜率；
（2）若点D在线段BC（包括端点）上移动，求直线AD的斜率的变化范围.
答案：（1）由斜率公式可得直线AB的斜率，直线AC的斜率.
（2）如图所示，当点D由点B运动到点C时，直线AD的斜率由增大到，所以直线AD的斜率的变化范围是.
（四）小结作业
小结：
1.直线的倾斜角、斜率的概念和公式.
2.直线的斜率与它的倾斜角之间的关系.
作业：
四、板书设计
2.1.1 倾斜角与斜率
1. 当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.
2. 直线的倾斜角的取值范围为.
3. 一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即.
注：倾斜角是90°的直线没有斜率.
4. 如果直线经过两点，那么斜率公式为.
5. 若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为（x，y），则.
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