新教材人教A版选择性必修第一册 2.4.1 圆的标准方程 教案

第二章直线和圆的方程
2.4.1 圆的标准方程
教学设计
一、教学目标
1理解用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征.
2能根据所给条件求圆的标准方程，并能应用圆的标准方程解决简单的数学问题.
3会判断点与圆的位置关系.
二、教学重难点
1、教学重点
圆的标准方程.
2、教学难点
圆的标准方程及其应用.
三、教学过程
1、新课导入
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运用它研究多边形这些“直线形”图形，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.这节课我们就来一起学习一下圆的标准方程.
2、探索新知
一、圆的几何要素
圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合.在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了.
二、圆的标准方程
如图，在平面直角坐标系中，的圆心A的坐标为，半径为r，为圆上任意一点，就是以下点的集合.
根据两点间的距离公式，点M的坐标满足的条件可以表示为，两边平方，得.（1）
由上述过程可知，若点在上，点M的坐标就满足方程（1）；反过来，若点M的坐标满足方程（1），就说明点M与圆心A间的距离为r，点M就在上.这时，我们把方程（1）称为圆心为，半径为r的圆的标准方程.
三、点与圆的位置关系
点在圆内，则；
在圆外，则.
例1求圆心为，半径为5的圆的标准方程，并判断点，是否在这个圆上.
解：圆心为，半径为5的圆的标准方程是.
把点的坐标代入方程的左边，
得，左右两边相等，
点的坐标满足圆的方程，所以点在这个圆上.
把点的坐标代入方程的左边，
得，左右两边不相等，
点的坐标不满足圆的方程，所以点不在这个圆上.
例2的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程.
解：设所求的方程是.
因为，，三点都在圆上，
所以它们的坐标都满足方程.
于是，即.
三式两两相减，得，解得，
代入，得.
所以，的外接圆的标准方程是.
例3已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上，求此圆的标准方程.
解法1：设圆心C的坐标为.
因为圆心C在直线上，所以.①
因为A，B是圆上两点，所以.
根据两点间距离公式，有，
即.②
由①②可得，.所以圆心C的坐标是.
圆的半径.
所以，所求圆的标准方程是.
解法2：如图，设线段AB的中点为D.
由A，B两点的坐标为，，可得点D的坐标为，
直线AB的斜率为.
因此，线段AB的垂直平分线的方程是，即.
由垂径定理可知，圆心C也在线段AB的垂直平分线上，
所以它的坐标是方程组的解.
解这个方程组，得.
所以圆心C的坐标是.
圆的半径.
所以，所求圆的标准方程是.
3、课堂练习
1.圆的圆心坐标和半径分别是( )
A.，1 B.，3
C.， D.，
答案：D
解析：由圆的标准方程可得圆心坐标为，半径为.
2.圆的周长等于( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：圆的方程可化为，所以圆的半径为，因此圆的周长为.
3.圆心在y轴上，半径为1，且过点的圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：设圆心坐标为，由半径为1，可得圆的标准方程为.又圆过点，所以，解得，故圆的标准方程为，故选B.
10.若点在圆的内部，则实数a的取值范围是___________.
答案：
解析：，因为点M在圆的内部，所以，又，
所以.故实数a的取值范围是.
4、小结作业
小结：本节课学习了圆的标准方程及其简单应用.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
2.4.1 圆的标准方程
1.圆的标准方程：若点在上，我们把方程称为圆心为，半径为r的圆的标准方程.
2.点与圆的位置关系：点在圆内，则；在圆外，则.
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