新教材人教A版选择性必修第一册 3.1.1 椭圆及其标准方程 教案

第三章圆锥曲线的方程
3.1.1 椭圆及其标准方程
教学设计
一、教学目标
1.掌握椭圆的定义及标准方程.
2.理解椭圆标准方程的推导过程，体会数形结合的思想.
3.会用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.
二、教学重难点
1、教学重点
椭圆的标准方程.
2、教学难点
椭圆标准方程的推导过程及应用.
三、教学过程
1、新课导入
椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用. 那么，椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？.
2、探索新知
一、椭圆的定义
椭圆的定义：我们把平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
二、椭圆的标准方程
1.焦点在x轴上的椭圆的标准方程
椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点，的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示.
设是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为，那么焦点，的坐标分别为，，根据椭圆的定义，设点M与焦点，的距离的和等于2a.
由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集.
因为，，
所以.①
为了化简方程①，我们将其左边的一个根式移到右边，
得.②
对方程②两边平方，得.
整理得.③
对方程③两边平方，得.
整理得.④
将方程④两边同除以，得.⑤
由椭圆的定义可知，，即，所以.
由图可知，，，.
令，那么方程⑤就是.⑥
由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都是同解变形.这样，椭圆上任意一点的坐标都满足方程⑥；反之，以方程⑥的解为坐标的点与椭圆的两个焦点，的距离之和为2a，即以方程⑥的解为坐标的点都在椭圆上.我们称方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做椭圆的标准方程.它表示焦点在x轴上，两个焦点分别是，的椭圆，这里.
2.焦点在y轴上的椭圆的标准方程
如图，如果焦点，在y轴上，且，的坐标分别为，，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是，此时焦点在y轴上.
例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程.
解：由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为.
由椭圆的定义知，，
所以，所以.
所以所求椭圆的标准方程为.
例2如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？
解：设点M的坐标为，点P的坐标为，则点D的坐标为.
由点M是线段PD的中点，得，.
因为点在圆上，所以.①
把，代入方程①，得，即.
所以点M的轨迹是椭圆.
3.解析几何中求点的轨迹方程常用的方法：
寻求点M的坐标中x，y与，之间的关系，然后消去，，得到点M的轨迹方程.
例3如图，设A，B两点的坐标分别为，.直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程.
解：设点M的坐标为，因为点A的坐标是，
所以直线AM的斜率.
同理，直线BM的斜率.
由已知有，
化简得点M的轨迹方程为.
点M的轨迹是除去，两点的椭圆.
3、课堂练习
1.已知椭圆的左焦点为，则( )
A.9 B.4 C.3 D.2
答案：B
解析：依题意，椭圆焦点在x轴上，且，因此，又，所以.
2.设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且点P到两个焦点的距离之差为2，则是( )
A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.斜三角形 D.直角三角形
答案：D
解析：由椭圆的定义，知，由题可得，则，，或，，又，所以为直角三角形.
3.已知椭圆的焦距是6，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是( )
A. B.
C. D.或
答案：D
解析：由焦距是6，得，，由椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，得，，则，题目中没有指明焦点的位置，故焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，所以椭圆的标准方程是或.故选D.
3.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，若，则___________.
答案：120°
解析：由椭圆的定义知，，，，即，，，，
，
又，.
4、小结作业
小结：本节课学习了椭圆的标准方程及其简单应用.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
3.1.1 椭圆及其标准方程
1.椭圆的定义：把平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
2.椭圆的标准方程：
①焦点在x轴上的椭圆的标准方程是.两个焦点分别是，的椭圆，且.
②焦点在y轴上的椭圆的标准方程是.两个焦点分别是，的椭圆，且.
3.解析几何中求点的轨迹方程常用的方法：寻求点M的坐标中x，y与，之间的关系，然后消去，，得到点M的轨迹方程.
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