新教材人教A版选择性必修第一册 3.2.1 双曲线及其标准方程 教案

第三章圆锥曲线的方程
3.2.1双曲线及其标准方程
教学设计
一、教学目标
1.掌握双曲线的定义及标准方程.
2.理解双曲线标准方程的推导过程，体会数形结合的思想.
3.能用双曲线的标准方程分析解决有关问题.
二、教学重难点
1、教学重点
双曲线及其标准方程.
2、教学难点
双曲线的标准方程及其应用.
三、教学过程
1、新课导入
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定位等都要用到双曲线的性质，本节课我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题.
2、探索新知
一、双曲线的定义
一般地，我们把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
二、双曲线的标准方程
1.焦点在x轴上的双曲线的标准方程
双曲线也具有对称性，直线是它的一条对称轴，取经过两焦点和的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系Oxy.设是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为，那么，焦点，的坐标分别是，，又设（a为大于0的常数）.
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
，.
因为，，
所以.①
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得，
两边同除以，得.
由双曲线的定义知，，即，所以.
类比椭圆标准方程的建立过程，令，其中，代入上式，得.②
从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都是方程②的解；以方程②的解为坐标的点与双曲线的两个焦点，的距离之差的绝对值都为2a，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上.我们称方程②是双曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程.它表示焦点在x轴上，焦点分别是，的双曲线，这里.
2.焦点在y轴上的双曲线的标准方程
如图，双曲线的焦距为2c，焦点分别是，，a，b的意义同上，这时双曲线的方程是，这个方程也是双曲线的标准方程.
三、双曲线的标准方程的求法
例1已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与，的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.
解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为.
由，，得，
又，因此.
所以双曲线的标准方程为.
例2已知A，B两地相距800 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解：如图，建立平面直角坐标系Oxy，使A，B两点在x轴上，并且原点O与线段AB的中点重合.
设炮弹爆炸点P的坐标为，
则，即，.
又，所以，，.
因为，
所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此.
所以炮弹爆炸点的轨迹方程为.
3、课堂练习
1.双曲线上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( )
A.22或2 B.7 C.22 D.2
答案：A
解析：，，设双曲线上的点为P，双曲线的左、右焦点分别为，，由双曲线定义可得，由题意设，则，解得或2.
2.已知有相同焦点，的椭圆和双曲线，P是它们的一个交点，则的形状是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.以上均有可能
答案：B
解析：，，又，，是直角三角形.
3.设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于A，B两点，则的最小值为_______________.
答案：10
解析：由双曲线的标准方程得，.由双曲线的定义可得，，所以，因为，当直线l过点，且垂直于x轴时，最小，所以.
4.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，且满足，则的面积为___________________.
答案：1
解析：不妨设点P在双曲线右支上，由双曲线的定义可得，
又，两式联立得，
又，所以，即为直角三角形，所以.
4、小结作业
小结：本节课学习了双曲线的标准方程及其简单应用.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
3.2.1 双曲线及其标准方程
1.双曲线的定义：一般地，把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
2.双曲线的标准方程：
①焦点在x轴上的双曲线的标准方程是，焦点分别是，，且.
②焦点在y轴上的双曲线的标准方程是，焦点分别是，，且.
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