18.1.1平行四边形的对角线的特征 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
18.1.1 平行四边形的对角线的性质
人教版八年级下册
知识回顾
定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
平行四边形
性质1 平行四边形的对边相等.
性质2 平行四边形的对角相等.
A
B
C
D
教学目标
1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质；
2.经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透转化思想， 体会图形性质探究的一般思路.
新知导入
探究 如图，在 ABCD中，连接AC、BD，并设它们相交于点 O，OA与OC，OB与OD有什么关系？
A
B
C
D
O
猜想：在 ABCD中， OA=OC，OB=OD
你能试着证明一下吗？
平行四边形除了边、角两种元素外，还有对角线这一重要元素。
新知探究
如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.
求证：OA=OC，OB=OD .
A
B
C
D
O
证明： ∵四边形ABCD 是平行四边形
∴ AD//CB， AD=CB
∵ AD//CB ∴∠DAO=∠BCO， ∠ADO=∠CBO
∴ △ADO ≌△CBO (ASA)，
∴OA=OC，OB=OD.
知识点 1
平行四边形对角线的性质
新知小结
性质3 平行四边形的对角线互相平分.
数学语言 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴.
A
B
C
D
O
新知典例
例1 如图，在 ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC.
求BC、CD、AC、OA的长，以及 ABCD的面积.
解： ∵四边形ABCD 是平行四边形
∴ BC=AD=8，CD=AB=10
∵ AC⊥BC ∴△ABC是直角三角形
根据勾股定理得：AC=
又OA=OC ∴OA=AC=3
∴平行四边形ABCD的面积=BC·AC=8×6=48.
新知练习
1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，平行四边形ABCD的周长是100cm，△AOB与△BOC的周长的和是122cm，且AC:DB= 2:1，求AC和BD的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，OB=OD，
∴AB+BC=50.
∵△AOB与△BOC的周长的和是122cm，
∴OA+OB+AB+OB+OC+BC=122，
即AC+BD=122-50=72.
又∵AC:DB=2:1，
∴AC=48cm，BD=24cm．
新知探究
例2 如图,平行四边形ABCD中，AC、BD交于O点，点E、F分别是AO、CO的中点，试判断线段BE、DF的关系并证明你的结论．
解：BE＝DF，BE∥DF.
理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD,
∵点E、F分别是AO、CO的中点
∴OE＝OF.
∵∠DOF＝∠BOE，
∴△OFD≌△OEB（SAS），
∴∠OEB＝∠OFD，BE＝DF，
∴BE∥DF.
新知练习
解：
教师点拨：
本题考查了平行四边形的性质,解题关键是利用平行四边形的性质结合等角对等边、勾股定理来解决有关的计算和证明.
∵∠EAF=45°,
2.如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,∠EAF=45°,且AE+AF=2,求平行四边形ABCD的周长.
∴∠B=∠D=180°-∠C=45°,
则AE=BE,AF=DF,
设AE=x,则AF=2-x,
∴∠C=360°-∠AEC-∠AFC-∠EAF=135°,
在Rt△ABE中,根据勾股定理得:AB=
则平行四边形ABCD的周长是:
新知练习
证明：连接BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO.
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA＝∠DFC．
又∵∠BOE＝∠DOF，
∴△BOE≌△DOF(AAS)．
∴EO＝FO，
∴AE＝CF.
O
新知探究
例3 如图， ABCD的对角线AC,BD交于点O.过点O作直线EF,分别交AB,CD于点E，F.求证：OE=OF.
A
B
C
D
F
E
O
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ODF=∠OBE,
∠DFO=∠BEO,
∴△DOF≌△BOE（AAS）,
∴AB∥CD, OD=OB,
∴OE=OF.
思考 改变直线EF的位置，OE=OF还成立吗
新知探究
A
B
C
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
思考：请判断下列图中，OE=OF还成立么？
同例3易证明OE=OF还成立.
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等.
新知探究
解：
利用平行四边形的性质直接得出证明线段、角相等,有时利用平行四边形的性质,转化为三角形的全等问题,进而得出线段、角的相等,这个过程中也渗透着由四边形到三角形的转化思想.
在
又OA=OC(平行四边形的对角线互相平分),∠3=∠4,
∴△AOE≌△COF(ASA).
∵
ABCD中,AB=CD,
ABCD中,AB∥CD,
∴AB-AE=CD-CF,即BE=FD.
∴∠1=∠2,
∴OE=OF,AE=CF,
4.已知:如图, ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF过O点与AB、CD分别相交于点E、F.求证：BE=FD
教师点拨：
新知探究
思考 已知：如图， ABCD的对角线AC,BD交于点O.
求证：由对角线AC、BD分 ABCD所得的四个三角形面积相等
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵△ADO与△ODC等底同高，
∴S△ADO=S△ODC.
同理可得S△ADO=S△ODC=S△BCO=S△AOB.
总结：两条对角线分平行四边形为面积相等的四个三角形
新知探究
拓展 如图，AC,BD交于点O，EF过点O,平行四边形ABCD被EF所分的三角形面积有什么数量关系？
A
B
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
C
由题可知，△AOD≌△COB，易证△DOF≌△BOE，同理△COF≌△AOE，即过对角线交点的直线和对角线分出的三角形两两对应全等，所以它们的面积也相等。
问题 左图中，S四边形ADFO S四边形CBEO
=
新知练习
5.把一个平行四边形分成3个三角形，已知两个阴影三角形的面积分别是9cm2和12cm2，求平行四边形的面积．
解：（9+12）×2
=21×2
=42（cm2）
答：平行四边形的面积是42cm2．
课堂总结
平行四边形的性质
概念
性质
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
①对边相等②对角相等
③对角线互相平分
④对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形。
⑤过对角线交点的直线，被交点平分。
课堂练习
1. 在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列式子中不一定成立的是（ ）.
A . AB//CD B. OA=OC
C. ∠ABC+∠BCD=180 D. AB=BC
A
B
C
D
O
D
对边平行
对角线互相平分
邻角互补
课堂练习
2.在 ABCD中，∠A=38 ，求其余各内角的度数.
∴∠C=∠A=38
∵ AD//CB
∴∠B=∠D=180 -38 =142
∴∠B、 ∠C 、∠D的度数分别为142 、 38 、 142 .
解： ∵在 ABCD中，∠A=38
课堂练习
3.如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC＝14，BD＝8，AB＝10，则△OAB的周长为　 　.
21
课堂练习
4．如图，平行四边形ABCD中，AD＝5cm，AB⊥BD，点O是两条对角线的交点，OD＝2cm，则AB＝　 　cm.
5．如图，在 ABCD中，P在AD上，且S△BPC＝5，则S ABCD＝　 　.
第4题
第5题
3
10
课堂练习
6.在 ABCD中，E、F是AC上的两点，AE=CF，求证：BE=DF.
A
B
C
D
E
F
∴∠BAE=∠DCF
∵在△ABE 和△CDF中，AB=CD，
∠BAE=∠DCF， AE=CF
∴△ABE≌△CDF(SAS)， BE=DF
证明： ∵在 ABCD中，AB//CD
课堂练习
解： ∵四边形ABCD是平行四边形， AD 6
∴BC AD6，
∵ AC⊥BC， AB=10
∴
∴
∴ BD 2OB
7. 在 ABCD中，AB=10， AD=6，AC⊥BC，则 BD 的长为多少？
谢谢
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