6.1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理-2022-2023学年高二数学同步精讲课件（共28张PPT）（人教A版2019选择性必修第三册）

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6.1 .1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
问题导入
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思考1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
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计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法.但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高.能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢？下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法.
因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出
26+10=36种不同的号码.
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问题1：你能说一说这个问题的特征吗？
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首先，这里要完成的事情是“给一个座位编号”；其次是“或”字的出现：一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示.因为英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同.这两类号码数相加就得到了号码的总数.
上述计数过程的基本环节是：
(1)确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；
(2)分别计算各类号码的个数;
(3)各类号码的个数相加，得出所有号码的个数.
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一般地，有如下分类加法计数原理：
完成一件事情有两类不同方案，在第1类方案中有????种不同的方法，在第2类方案中有????种不同的方法，那么完成这件事共有????=????+????种不同的方法.
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例析
例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，????，????两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表.如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？
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解：这名同学可以选择????，????两所大学中的一所.在????大学中有5种专业选择方法，在????大学中有4种专业选择方法.因为没有一个强势专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数为：????=5+4=9.
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{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}????大学
????大学
生物学
数学
化学
会计学
医学
信息技术学
物理学
法学
工程学
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问题2：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有????1种不同的方法，在第2类方案中有????2种不同的方法，在第3类方案中有????3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？
如果完成一件事有????类不同方案，在每一类方案中都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢？
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思考2：用前6个大写英文字母和1~9这9个阿拉伯数字，以????1，????2，…，????9，????1，
????2,…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
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这里要完成的事情仍然是“给一个座位编号”，但与前一问题的要求不同.在前一问题中，用26个英文字母中的任意一个或10个阿拉伯数字中的任意一个,都可以给出一个座位号码.但在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤.用如图所示的方法可以列出所有可能的号码.
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也可能这样思考：由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有6×9=54种不同的号码.
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问题3：你能说一说这个问题的特征吗？
上述问题要完成的一件事情仍然是“给一个座位编号”，其中最重要的特征是“和”字的出现：一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成.因此得到一个座位号要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这两个步骤，每一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相同的.
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一般地，有如下分步乘法计数原理：
完成一件事需要两个步骤，做第1步有????种不同的方法，在第2步有????种不同的方法，那么完成这件事共有????=????×????种不同的方法.
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例析
例2.某班有男生30名、女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？
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解：第1步，从30名男生中选出1人，有30种不同选法；第2步，从24名男生中选出1人，有24种不同选法.根据分步乘法计数原理，共有不同选法的种数为????=30×24=720.
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问题4：如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有????1种不同的方法，做第2步有????2种不同的方法，做第3步有????3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？
如果完成一件事有????类不同方案，做每一步都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢？
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例析
例3.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.
(1)从书架上任取1本书，有多少种不同取法？
(2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？
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解：(1)从书架上任取1本书，有三类方案：第1类方案是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类方案是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类方案是从第3层取1本体育书，有2种方法.根据分类加法计数原理，不同取法的种数为
????=4+3+2=9.
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例析
例3.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.
(1)从书架上任取1本书，有多少种不同取法？
(2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？
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解：(2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分三个步骤完成：第1步，从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步，从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3步，从第3层取1本体育书，有2种方法.根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为????=4×3×2=24.
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答案：√，×，×，√.
辨析1.判断正误.
(1)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事.( )
(2)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.( )
(3)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.( )
(4)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( )
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辨析2.从3名女同学和2名男同学中选出一人主持本班一次班会，则不同的选法种数为( ).
A.6 B.5 C.3 D.2
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答案：B.
辨析3.某商城共有4个门，购物者若从任意一个门进，从任意一个门出，则不同走法的种数是________.
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答案：16.
练习
题型一：分类加法计数原理
例1.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为_______.
解：(解法一)根据题意，将十位上的数字按1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.根据分类加法计数原理，符合条件的两位数的个数为8+7+6+5+4+3+2+1=36.
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练习
例1.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为_______.
解：(解法二)分析个位数字，可分以下几类：
个位是9，则十位可以是1，2，3，?，8中的一个，故共有8个；
个位是8，则十位可以是1，2，3，?，7中的一个，故共有7个；
同理，个位是7的有6个；?个位是2的有1个.
根据分类加法计数原理，符合条件的两位数的个数为8+7+6+5+4+3+2+1=36.
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练习
方法技巧：
利用分类加法计数原理时的解题流程
(1)分类：将完成这件事的方法分成若干类.
(2)计数：求出每一类的方法数.
(3)结论：将每一类的方法数相加得出结果.
[提醒]确定分类标准时要确保每一类都能独立的完成这件事.
练习
变1.某校高三共有三个班，其各班人数如下表：
(1)从三个班中选一名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？
解(1)：从三个班中任选一名学生，可分三类.
第一类，从1班任选一名学生，有50种不同选法；
第二类，从2班任选一名学生，有60种不同选法；
第三类，从3班任选一名学生，有55种不同选法.
根据分类加法计数原理，不同的选法的种数为????=50+60+55=165.
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{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}班级
男生人数
女生人数
总人数
高三1班
30
20
50
高三2班
30
30
60
高三3班
35
20
55
练习
变1.某校高三共有三个班，其各班人数如下表：
(2)从1班、2班、3班男生中或从3班女生中选一名学生担任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
解(2)：由题设知共有三类方案.
第一类，从1班男生中任选一名学生，有30种不同选法；
第二类，从2班男生中任选一名学生，有30种不同选法；
第三类，从3班女生中任选一名学生，有20种不同选法.
根据分类加法计数原理，不同的选法的种数为????=30+30+20=80.
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{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}班级
男生人数
女生人数
总人数
高三1班
30
20
50
高三2班
30
30
60
高三3班
35
20
55
练习
题型二：分步乘法计数原理
例2.从?2，?1，0，1，2，3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数????=????????2+????????+????的系数????，????，????，则可以组成抛物线的条数为多少？
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解：由题意知????不能为0，故????的值有5种选法；????的值有5种选法；????的值有4种选法.根据分步乘法计数原理，可以组成抛物线的条数为5×5×4=100.
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练习
方法技巧：
利用分步乘法计数原理时的解题流程
(1)分步：将完成这件事的方法分成若干步.
(2)计数：求出每一步的方法数.
(3)结论：将每一步的方法数相乘得最终结果.
[提醒]分步时要注意不能遗漏步骤，否则就不能完成这件事.
练习
变2.从?2，?1，0，1，2，3这六个数字中任选2个作为椭圆????2????+????2????=1的参数????，????，则可以组成椭圆的个数是多少？
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解：据条件知????>0，????>0，且????≠????，故需分两步完成，第一步确定????，有3种方法，第二步确定????，有2种方法，根据分步乘法计数原理可以组成椭圆的个数为3×2=6.
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题型三：两个计数原理的简单综合应用
例3.王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读.
(1)若他从这些参考书中带1本去图书馆，有多少种不同的带法？
(2)若带外语、数学、物理参考书各1本，有多少种不同的带法？
解(1)：要完成的事情是带1本参考书，无论是带外语书，还是带数学书、物理书，事情都可完成，从而根据分类加法计数原理，不同带法的种数为5+4+3=12.
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解(2)：要完成的事情是带3本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理书中各选1本后，才能完成这件事，因此根据分步乘法计数原理，不同带法的种数为5×4×3=60.
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练习
方法技巧：
利用两个计数原理解题时的三个注意点
(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法.
(2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律.
(3)综合问题一般是先分类再分步.
练习
变3.某电视台的主持人在某综艺节目中拿出两个信箱，其中放着竞猜中成绩优秀的观众来信，甲箱中有30封，乙箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先从中确定一名幸运之星，再从两箱中各确定一名幸运观众，则有多少种不同结果？
解：①若幸运之星在甲箱中抽取，
不同结果的种数为30×29×20=17400；
②若幸运之星在乙箱中抽取，
不同结果的种数为20×19×30=11400.
故不同结果的种数为17400+11400=28800.
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课堂小结
1.分类加法计数原理：
(1)任务：完成一件事；
(2)分类：有两类不同方案，在第1类方案中有????种不同的方法，在第2类方案中有????种不同的方法；
(3)计数：完成这件事共有????=????+????种不同的方法.
[注]????=????1+????2+????3+?+????????.
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课堂小结
2.分类乘法计数原理：
(1)任务：完成一件事；
(2)分类：需要两个步骤，做第1步有????种不同的方法，做第2步有????种不同的方法；
(3)计数：完成这件事共有????=????×????种不同的方法.
[注]????=????1×????2×????3×?×????????.
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作业
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P5-—P6的练习1——4题；
(3)课本P11习题6.1的第1——6题.