6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 配套习题（含解析） 2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册
文档属性
| 名称 | 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 配套习题（含解析） 2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 557.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-02-22 14:24:38 | ||
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文档简介
6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一、单选题（本大题共8小题）
1. 将个不同的小球放入个盒子中，不同放法种数为( )
A. B. C. D.
2. 从甲、乙、丙、丁、戊五人中选人分别参加数学、物理和生物竞赛，若每个学科有且仅有人参赛，且甲不参加物理竞赛，则不同的选法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3. 有位教师在同一年级的个班中分别担任数学老师，在数学测验时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4. 从，，，这四个数字中任取两个不同的数字，则可组成不同的两位数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5. 书架上有本内容互不相同的书，其中本数学书，本语文书，本英语书，从书架上任取两本书，则取出的两本书不同学科的方案数为( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6. 某人从上一层到二层需跨级台阶他一步可能跨级台阶，称为一阶步，也可能跨级台阶，称为二阶步，最多能跨级台阶，称为三阶步从一层上到二层他总共跨了步，而且任何相邻两步均不同阶则他从一层到二层可能的不同过程共有种．( )
A. B. C. D.
7. 动漫作品火影忍者描述配合忍术结印的手势有种：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．例如从忍者学校毕业考核的分身术的一个要求是需要按正确的顺序在秒内完成未巳寅结印手势．漫画描述的忍术都需要配合至少个结印手势且相邻的手势不相同，不同的手势对应不同的忍术．设某忍术需要个手势，则( )
A. 当时，共有种不同的忍术
B. 当时，共有种忍术
C. 当时，共有种不同忍术
D. 当时的忍术种类是的忍术种类的倍
8. 如图是我国古代数学家赵爽在为周髀算经作注解时给出的“弦图”现提供种颜色给“弦图”的个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
二、多选题（本大题共4小题）
9. 以下结论正确的是( )
A. 个班分别从个景点中选择一处游览，不同选法的种数是
B. 从本不同书中选出本送给位同学，每人一本，有种不同的送法
C. 有个不同的正因数
D. 从，，，这四个数中任取两个相减，可以得到个不相等的差
10. 某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客的乘坐站数实施分段优惠政策，不超过站的地铁票价如表：
乘坐站数
票价元
现有甲、乙两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过站，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同，则下列结论中正确的是
A. 若甲和乙两人共花费元，则甲和乙下地铁的方案共有种
B. 若甲和乙两人共花费元，则甲和乙下地铁的方案共有种
C. 若甲和乙两人共花费元，则甲和乙下地铁的方案共有种
D. 若甲和乙两人共花费元，则甲和乙下地铁的方案共有种
11. 下列说法正确的是( )
A. 名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有种报名方法
B. 名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项限报一人，且每人至多报一项，共有种报名方法
C. 名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有种可能的结果
D. 从，中选一个数字，从，，中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为个
12. 如图，在某城市中，、两地有整齐的正方形道路网，则( )
A. 从地到地共有种最近的不同的走法
B. 从经过到地共有种最近的不同的走法
C. 图中矩形有个
D. 图中正方形有个
三、填空题（本大题共4小题）
13. 一个三层书架上放置了语文书本，数学书本，课外读物本，现要从中取出语文、数学、课外读物各一本，则不同的取法有 种
14. 如图，圆形花坛分为部分，现在这部分种植花卉，要求每部分种植种，且相邻部分不能种植同一种花卉，现有种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有 种用数字作答
15. 正整数有个不同的正约数 ．
16. 假设今天是月日，某市未来六天的空气质量预报情况如图所示该市有甲、乙、丙三人计划在未来六天月日月日内选择一天出游，甲只选择空气质量为优的一天出游，乙不选择周一出游，丙不选择明天出游，且甲与乙不选择同一天出游，则这三人出游的不同方法数为 ．
未来空气质量预报
明天 后天 周日 周一 周二 周三
月日 月日 月日 月日 月日 月日
优 优 优 优 良 良
四、解答题（本大题共3小题）
17. 用，，，，，十个数字可以组成多少个不同的
三位数
无重复数字的三位数
小于且没有重复数字的自然数．
18. 男运动员名，女运动员名，其中男女队长各名选派人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法
男运动员名，女运动员名
至少有名女运动员
队长中至少有人参加
既要有队长，又要有女运动员．
19. 某学校高二年级有名语文教师、名数学教师、名英语教师，市教育局拟召开一个新课程研讨会．
若选派名教师参会，有多少种派法
若三个学科各派名教师参会，有多少种派法
若选派名不同学科的教师参会，有多少种派法
答案和解析
1.【答案】
解：本题是一个分步计数问题
对于第一个小球有种不同的放法，
第二个小球也有种不同的放法，
第三个小球也有种不同的放法，
即每个小球都有种可能的放法，
根据分步计数原理知共有种不同放法
故选B．
2.【答案】
解：根据题意，甲不参加物理竞赛，从乙、丙、丁、戊中，选出人参加物理竞赛，有种选法，
在剩下的人中任选人，参加数学、生物竞赛，有种选法，
则有种选法．
故选A．
3.【答案】
解：设四位监考教师分别为，，，，所教班级分别为，，，假设监考，则余下三人监考剩下的三个班，共有种不同的方法同理监考，时，也分别有种不同的方法由分类加法计数原理得，监考方法共有种．
4.【答案】
解：用树形图表示为：
由此可知共有个．
故选B．
5.【答案】
解：分三类：
第一类：所取的两本书为数学、语文，共有种不同取法；
第二类：所取的两本书为数学、英语，共有种不同取法；
第三类：所取的两本书为语文、英语，共有种不同取法；
由加法计数原理，共有种取法．
6.【答案】
解：按题意要求，不难验证这步中不可能没有三阶步，也不可能有多于个的三阶步．
因此，只能是个三阶步，个二阶步，个一阶步．
为方便起见，以白、黑、红三种颜色的球来记录从一层到二层跨越级台阶的过程：
白球表示一阶步，黑球表示二阶步，红球表示三阶步每一过程可表为个白球、个黑球、个红球的一种同色球不相邻的排列．
下面分三种情形讨论．
第、第球均为白球，则两黑球必分别位于中间白球的两侧此时，共有个黑白球之间的空位放置红球所以，此种情况共有种可能的不同排列．
第球不是白球．
第球为红球，则余下球只有一种可能的排列；
若第球为黑球，则余下球因红、黑球的位置不同有两种不同的排列，
此种情形共有种不同排列．
第球不是白球，同，共有种不同排列．
总之，按题意要求从一层到二层共有种可能的不同过程．
故选C．
7.【答案】
解：根据题意，忍术都需要配合至少个结印手势且相邻的手势不相同，不同的手势对应不同的忍术，
若某忍术需要个手势，则有种不同情况，即有种不同忍术；
据此依次分析选项：
对于，当时，共有种不同的忍术，故A错误；
对于，当时，共有种不同的忍术，故B错误；
对于，当时，共有种不同的忍术，故C正确；
对于，当时，有种不同的忍术，
当时，有种不同的忍术，
则当时的忍术种类是的忍术种类的倍，故D错误；
故选：．
8.【答案】
解：根据题意，如图，假设个区域依次为、、、、，
，对于区域，有种涂法，
，对于区域，与相邻，有种涂法，
，对于区域，与、相邻，有种涂法，
，对于区域，若其与区域同色，则有种涂法，
若区域与区域不同色，则有种涂法，
则、区域有种涂色方法，
则不同的涂色方案共有种；
故选：．
9.【答案】
解：根据分步乘法计数原理可知每个班都有种选择，故有种不同选法，选项A正确
从本不同书中选出本送给位同学，每人一本，有种不同的送法，选项B错误；
有个不同的正因数，分别为，，，，，，，，，，，，选项正确；
从，，，这四个数中任取两个相减，共有种不同的取法，
但，，
故只可以得到个不相等的差，选项D错误．
故选AC．
10.【答案】
解：甲、乙两人乘坐地铁，共花费元，则其中一人的乘坐站数不超过，另一人的乘坐站数超过不超过，
设首站之后的前站分别为，，，，，
若甲乘坐地铁不超过站，则两人下地铁的所有方案为，，，，，，，，共种，同理，若乙乘坐地铁不超过站，也有种方案，
因此甲和乙两人共花费元时共有种下地铁的方案．
设首站之后的前站分别为，，，，，，，，，
若甲、乙两人共付费元，则共有三类方案，甲付元，乙付元；甲付元，乙付元；甲付元，乙付元；
由题意可知每类情况中有种方案，所以甲、乙两人共付费元时共有种下地铁的方案．
故选BD．
11.【答案】
解：对于，依次对名同学的选报进行考察：
第一位同学在三项运动中选择一项，有种选法，
同理，第二、三、四位同学也都有种选法，
根据分步乘法计数原理，共有种报名方法，故A正确；
对于，依次对三个项目进行考察：
第一项目由这名同学中的一位获得，因此有种可能，
第二项目由剩下名同学中的一位获得，因此有种可能，
第三项目由剩下名同学中的一位获得，因此有种可能，
根据分步乘法计数原理，共有种报名方法，故B正确；
对于，依次确定三项运动的冠军，跑步的冠军由这名同学中的一位获得，因此有种可能，
同理跳高、跳远这两个项目的冠军也都有种可能，
根据分步乘法计数原理，共有种可能的结果，故C正确
对于，从，中选一个数字，从，，中选两个数字，组成无重复数字的三位数，
若该三位数为奇数，则分两种情况讨论：
从、中选一个数字，则只能排在十位，
从、、中选两个数字排在个位与百位，共有种
从、中选一个数字，
若排在十位，从、、中选两个数字排在个位与百位，共有种
若排在百位，从、、中选两个数字排在个位与十位，共有种
故共有种，故D错误．
故选ABC．
12.【答案】
解：对于、，从到的最近走法会经过四步向上，四步向右，共需步，
所以共有种不同走法，故A正确；
同理可得：从经过到共有种不同走法，故B正确；
对于，图中有五条横线，五条竖线，任选两条横线和两条竖线即可围成矩形，
共有个矩形，故C正确；
对于，最小的正方形有个，
由个小正方形组成的正方形有个，
由个小正方形组成的正方形有个，
还有个最大的正方形，
正方形一共有个，故D错误．
故选ABC．
13.【答案】
解：由题意可知，不同的取法有种．
故答案为．
14.【答案】
如图，根据题意：
解：当，相同时，，相同或不同两类，有：种，
当，不相同时，，相同或不同两类，有：种，
所以不同的种植方案共有种，
故答案为．
15.【答案】
解：
设为的正约数，则，
例如：，时，是的约数，
，时，是的约数，
，时，是的约数，
因此，的正约数个数，即的不同取值个数，
第一步确定的值，有种可能，第二步确定的值，有种可能，
因此的取值共有种
故答案为：．
16.【答案】
解：若甲选择周一出游，则三人出游的不同方法数；
若甲不选择周一出游，则三人出游的不同方法数．
故这三人出游的不同方法数．
故答案为
17.【答案】解：由于不能在首位，所以首位数字有种选法，十位与个位上的数字均有种选法，
所以不同的三位数共有个．
百位数字有种选法，十位数字有除百位数字以外的种选法，个位数字应从剩余个数字中选取，
所以共有 个无重复数字的三位数．
一位自然数有个，二位自然数有个，三位自然数有个，
所以共有个小于且无重复数字的自然数．
18.【答案】解：首先选名男运动员，有种选法．再选名女运动员，有种选法．
共有种选法．
法一直接法：“至少名女运动员”包括以下几种情况：
女男，女男，女男，女男．
由分类加法计数原理可得有种选法．
法二间接法：“至少名女运动员”的反面为“全是男运动员”．
从人中任选人，有种选法，其中全是男运动员的选法有种选法．
所以“至少有名女运动员”的选法有种选法．
法一直接法：“只有男队长”的选法为种选法；“只有女队长”的选法为种选法；“男、女队长都入选”的选法为种选法；共有种选法．
法二间接法：“至少要有一名队长”的反面是“一个队长都没有”．
从人中任选人，有种选法，其中一个队长都没有有种选法．
“至少名队长”的选法有种选法．
当有女队长时，其他人选法任意，共有种选法．
不选女队长时，必选男队长，共有种选法．其中不含女运动员的选法有种选法，
不选女队长时共有种选法．
既有队长又有女运动员的选法共有种选法．
19.【答案】解：分三类：第一类选语文老师，有种不同选法；
第二类选数学老师，有种不同选法；
第三类选英语老师，有种不同选法，
共有种不同的选法．
分三步：第一步选语文老师，有种不同选法；
第二步选数学老师，有种不同选法；
第三步选英语老师，有种不同选法，
共有种不同的选法．
分三类：第一类选一位语文老师和一位数学老师共有种不同的选法；
第二类选一位语文老师和一位英语老师共有种不同的选法；
第三类选一位英语老师和一位数学老师共有种不同的选法，
共有种不同的选法
第1页，共1页
一、单选题（本大题共8小题）
1. 将个不同的小球放入个盒子中，不同放法种数为( )
A. B. C. D.
2. 从甲、乙、丙、丁、戊五人中选人分别参加数学、物理和生物竞赛，若每个学科有且仅有人参赛，且甲不参加物理竞赛，则不同的选法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3. 有位教师在同一年级的个班中分别担任数学老师，在数学测验时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4. 从，，，这四个数字中任取两个不同的数字，则可组成不同的两位数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5. 书架上有本内容互不相同的书，其中本数学书，本语文书，本英语书，从书架上任取两本书，则取出的两本书不同学科的方案数为( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6. 某人从上一层到二层需跨级台阶他一步可能跨级台阶，称为一阶步，也可能跨级台阶，称为二阶步，最多能跨级台阶，称为三阶步从一层上到二层他总共跨了步，而且任何相邻两步均不同阶则他从一层到二层可能的不同过程共有种．( )
A. B. C. D.
7. 动漫作品火影忍者描述配合忍术结印的手势有种：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．例如从忍者学校毕业考核的分身术的一个要求是需要按正确的顺序在秒内完成未巳寅结印手势．漫画描述的忍术都需要配合至少个结印手势且相邻的手势不相同，不同的手势对应不同的忍术．设某忍术需要个手势，则( )
A. 当时，共有种不同的忍术
B. 当时，共有种忍术
C. 当时，共有种不同忍术
D. 当时的忍术种类是的忍术种类的倍
8. 如图是我国古代数学家赵爽在为周髀算经作注解时给出的“弦图”现提供种颜色给“弦图”的个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
二、多选题（本大题共4小题）
9. 以下结论正确的是( )
A. 个班分别从个景点中选择一处游览，不同选法的种数是
B. 从本不同书中选出本送给位同学，每人一本，有种不同的送法
C. 有个不同的正因数
D. 从，，，这四个数中任取两个相减，可以得到个不相等的差
10. 某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客的乘坐站数实施分段优惠政策，不超过站的地铁票价如表：
乘坐站数
票价元
现有甲、乙两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过站，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同，则下列结论中正确的是
A. 若甲和乙两人共花费元，则甲和乙下地铁的方案共有种
B. 若甲和乙两人共花费元，则甲和乙下地铁的方案共有种
C. 若甲和乙两人共花费元，则甲和乙下地铁的方案共有种
D. 若甲和乙两人共花费元，则甲和乙下地铁的方案共有种
11. 下列说法正确的是( )
A. 名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有种报名方法
B. 名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项限报一人，且每人至多报一项，共有种报名方法
C. 名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有种可能的结果
D. 从，中选一个数字，从，，中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为个
12. 如图，在某城市中，、两地有整齐的正方形道路网，则( )
A. 从地到地共有种最近的不同的走法
B. 从经过到地共有种最近的不同的走法
C. 图中矩形有个
D. 图中正方形有个
三、填空题（本大题共4小题）
13. 一个三层书架上放置了语文书本，数学书本，课外读物本，现要从中取出语文、数学、课外读物各一本，则不同的取法有 种
14. 如图，圆形花坛分为部分，现在这部分种植花卉，要求每部分种植种，且相邻部分不能种植同一种花卉，现有种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有 种用数字作答
15. 正整数有个不同的正约数 ．
16. 假设今天是月日，某市未来六天的空气质量预报情况如图所示该市有甲、乙、丙三人计划在未来六天月日月日内选择一天出游，甲只选择空气质量为优的一天出游，乙不选择周一出游，丙不选择明天出游，且甲与乙不选择同一天出游，则这三人出游的不同方法数为 ．
未来空气质量预报
明天 后天 周日 周一 周二 周三
月日 月日 月日 月日 月日 月日
优 优 优 优 良 良
四、解答题（本大题共3小题）
17. 用，，，，，十个数字可以组成多少个不同的
三位数
无重复数字的三位数
小于且没有重复数字的自然数．
18. 男运动员名，女运动员名，其中男女队长各名选派人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法
男运动员名，女运动员名
至少有名女运动员
队长中至少有人参加
既要有队长，又要有女运动员．
19. 某学校高二年级有名语文教师、名数学教师、名英语教师，市教育局拟召开一个新课程研讨会．
若选派名教师参会，有多少种派法
若三个学科各派名教师参会，有多少种派法
若选派名不同学科的教师参会，有多少种派法
答案和解析
1.【答案】
解：本题是一个分步计数问题
对于第一个小球有种不同的放法，
第二个小球也有种不同的放法，
第三个小球也有种不同的放法，
即每个小球都有种可能的放法，
根据分步计数原理知共有种不同放法
故选B．
2.【答案】
解：根据题意，甲不参加物理竞赛，从乙、丙、丁、戊中，选出人参加物理竞赛，有种选法，
在剩下的人中任选人，参加数学、生物竞赛，有种选法，
则有种选法．
故选A．
3.【答案】
解：设四位监考教师分别为，，，，所教班级分别为，，，假设监考，则余下三人监考剩下的三个班，共有种不同的方法同理监考，时，也分别有种不同的方法由分类加法计数原理得，监考方法共有种．
4.【答案】
解：用树形图表示为：
由此可知共有个．
故选B．
5.【答案】
解：分三类：
第一类：所取的两本书为数学、语文，共有种不同取法；
第二类：所取的两本书为数学、英语，共有种不同取法；
第三类：所取的两本书为语文、英语，共有种不同取法；
由加法计数原理，共有种取法．
6.【答案】
解：按题意要求，不难验证这步中不可能没有三阶步，也不可能有多于个的三阶步．
因此，只能是个三阶步，个二阶步，个一阶步．
为方便起见，以白、黑、红三种颜色的球来记录从一层到二层跨越级台阶的过程：
白球表示一阶步，黑球表示二阶步，红球表示三阶步每一过程可表为个白球、个黑球、个红球的一种同色球不相邻的排列．
下面分三种情形讨论．
第、第球均为白球，则两黑球必分别位于中间白球的两侧此时，共有个黑白球之间的空位放置红球所以，此种情况共有种可能的不同排列．
第球不是白球．
第球为红球，则余下球只有一种可能的排列；
若第球为黑球，则余下球因红、黑球的位置不同有两种不同的排列，
此种情形共有种不同排列．
第球不是白球，同，共有种不同排列．
总之，按题意要求从一层到二层共有种可能的不同过程．
故选C．
7.【答案】
解：根据题意，忍术都需要配合至少个结印手势且相邻的手势不相同，不同的手势对应不同的忍术，
若某忍术需要个手势，则有种不同情况，即有种不同忍术；
据此依次分析选项：
对于，当时，共有种不同的忍术，故A错误；
对于，当时，共有种不同的忍术，故B错误；
对于，当时，共有种不同的忍术，故C正确；
对于，当时，有种不同的忍术，
当时，有种不同的忍术，
则当时的忍术种类是的忍术种类的倍，故D错误；
故选：．
8.【答案】
解：根据题意，如图，假设个区域依次为、、、、，
，对于区域，有种涂法，
，对于区域，与相邻，有种涂法，
，对于区域，与、相邻，有种涂法，
，对于区域，若其与区域同色，则有种涂法，
若区域与区域不同色，则有种涂法，
则、区域有种涂色方法，
则不同的涂色方案共有种；
故选：．
9.【答案】
解：根据分步乘法计数原理可知每个班都有种选择，故有种不同选法，选项A正确
从本不同书中选出本送给位同学，每人一本，有种不同的送法，选项B错误；
有个不同的正因数，分别为，，，，，，，，，，，，选项正确；
从，，，这四个数中任取两个相减，共有种不同的取法，
但，，
故只可以得到个不相等的差，选项D错误．
故选AC．
10.【答案】
解：甲、乙两人乘坐地铁，共花费元，则其中一人的乘坐站数不超过，另一人的乘坐站数超过不超过，
设首站之后的前站分别为，，，，，
若甲乘坐地铁不超过站，则两人下地铁的所有方案为，，，，，，，，共种，同理，若乙乘坐地铁不超过站，也有种方案，
因此甲和乙两人共花费元时共有种下地铁的方案．
设首站之后的前站分别为，，，，，，，，，
若甲、乙两人共付费元，则共有三类方案，甲付元，乙付元；甲付元，乙付元；甲付元，乙付元；
由题意可知每类情况中有种方案，所以甲、乙两人共付费元时共有种下地铁的方案．
故选BD．
11.【答案】
解：对于，依次对名同学的选报进行考察：
第一位同学在三项运动中选择一项，有种选法，
同理，第二、三、四位同学也都有种选法，
根据分步乘法计数原理，共有种报名方法，故A正确；
对于，依次对三个项目进行考察：
第一项目由这名同学中的一位获得，因此有种可能，
第二项目由剩下名同学中的一位获得，因此有种可能，
第三项目由剩下名同学中的一位获得，因此有种可能，
根据分步乘法计数原理，共有种报名方法，故B正确；
对于，依次确定三项运动的冠军，跑步的冠军由这名同学中的一位获得，因此有种可能，
同理跳高、跳远这两个项目的冠军也都有种可能，
根据分步乘法计数原理，共有种可能的结果，故C正确
对于，从，中选一个数字，从，，中选两个数字，组成无重复数字的三位数，
若该三位数为奇数，则分两种情况讨论：
从、中选一个数字，则只能排在十位，
从、、中选两个数字排在个位与百位，共有种
从、中选一个数字，
若排在十位，从、、中选两个数字排在个位与百位，共有种
若排在百位，从、、中选两个数字排在个位与十位，共有种
故共有种，故D错误．
故选ABC．
12.【答案】
解：对于、，从到的最近走法会经过四步向上，四步向右，共需步，
所以共有种不同走法，故A正确；
同理可得：从经过到共有种不同走法，故B正确；
对于，图中有五条横线，五条竖线，任选两条横线和两条竖线即可围成矩形，
共有个矩形，故C正确；
对于，最小的正方形有个，
由个小正方形组成的正方形有个，
由个小正方形组成的正方形有个，
还有个最大的正方形，
正方形一共有个，故D错误．
故选ABC．
13.【答案】
解：由题意可知，不同的取法有种．
故答案为．
14.【答案】
如图，根据题意：
解：当，相同时，，相同或不同两类，有：种，
当，不相同时，，相同或不同两类，有：种，
所以不同的种植方案共有种，
故答案为．
15.【答案】
解：
设为的正约数，则，
例如：，时，是的约数，
，时，是的约数，
，时，是的约数，
因此，的正约数个数，即的不同取值个数，
第一步确定的值，有种可能，第二步确定的值，有种可能，
因此的取值共有种
故答案为：．
16.【答案】
解：若甲选择周一出游，则三人出游的不同方法数；
若甲不选择周一出游，则三人出游的不同方法数．
故这三人出游的不同方法数．
故答案为
17.【答案】解：由于不能在首位，所以首位数字有种选法，十位与个位上的数字均有种选法，
所以不同的三位数共有个．
百位数字有种选法，十位数字有除百位数字以外的种选法，个位数字应从剩余个数字中选取，
所以共有 个无重复数字的三位数．
一位自然数有个，二位自然数有个，三位自然数有个，
所以共有个小于且无重复数字的自然数．
18.【答案】解：首先选名男运动员，有种选法．再选名女运动员，有种选法．
共有种选法．
法一直接法：“至少名女运动员”包括以下几种情况：
女男，女男，女男，女男．
由分类加法计数原理可得有种选法．
法二间接法：“至少名女运动员”的反面为“全是男运动员”．
从人中任选人，有种选法，其中全是男运动员的选法有种选法．
所以“至少有名女运动员”的选法有种选法．
法一直接法：“只有男队长”的选法为种选法；“只有女队长”的选法为种选法；“男、女队长都入选”的选法为种选法；共有种选法．
法二间接法：“至少要有一名队长”的反面是“一个队长都没有”．
从人中任选人，有种选法，其中一个队长都没有有种选法．
“至少名队长”的选法有种选法．
当有女队长时，其他人选法任意，共有种选法．
不选女队长时，必选男队长，共有种选法．其中不含女运动员的选法有种选法，
不选女队长时共有种选法．
既有队长又有女运动员的选法共有种选法．
19.【答案】解：分三类：第一类选语文老师，有种不同选法；
第二类选数学老师，有种不同选法；
第三类选英语老师，有种不同选法，
共有种不同的选法．
分三步：第一步选语文老师，有种不同选法；
第二步选数学老师，有种不同选法；
第三步选英语老师，有种不同选法，
共有种不同的选法．
分三类：第一类选一位语文老师和一位数学老师共有种不同的选法；
第二类选一位语文老师和一位英语老师共有种不同的选法；
第三类选一位英语老师和一位数学老师共有种不同的选法，
共有种不同的选法
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