7.5正态分布 配套习题 2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册（含解析）
文档属性
| 名称 | 7.5正态分布 配套习题 2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-02-22 14:25:05 | ||
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文档简介
7.5正态分布
一、单选题（本大题共8小题）
1. 已知随机变量服从正态分布，且，则( )
A. B. C. D.
2. 已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，则图中阴影部分的面积为( )附：若随机变量，则，
A. B. C. D.
3. 对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差为使误差在的概率不小于，至少要测量的次数为参考数据：若，则( )
A. B. C. D.
4. 某校在一次月考中有人参加考试，数学考试的成绩服从正态分布，试卷满分分，统计结果显示数学考试成绩在分到分之间的人数为总人数的，则此次月考中数学考试成绩不低于分的学生人数为( )
A. B. C. D.
5. 设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是( )
；；
；．
A. B. C. D.
6. 年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数单位：辆均服从正态分布若，假设三个收费口均能正常工作，则这三个收费口每天通过的小汽车数至少有一个超过辆的概率为( )
A. B. C. D.
7. 某工厂的一台流水线生产质量稳定可靠，已知在正常工作状态下生产线上生产的零件内径尺寸单位：服从正态分布甲乙两名同学正进行尺寸测量练习甲乙对各自抽取的个零件测量零件内径尺寸单位：如下，甲同学测量数据：，，，，；乙同学测量数据：，，，，则可以判断( )
A. 甲乙两个同学测量都正确 B. 甲乙两个同学测量都错误
C. 甲同学测量正确，乙同学测量错误 D. 甲同学测量错误，乙同学测量正确
8. 已知两种不同型号的电子元件分别记为，的使用寿命均服从正态分布，，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列结论错误的是( )
参考数据：若，则，
A.
B.
C.
D. 对于任意的正数，有
二、多选题（本大题共3小题）
9. 下列判断正确的是( )
A. 若随机变量服从分布，且，则
B. 若随机变量，则
C. 若随机变量，则
D. 若随机变量，，则
10. 根据我省普通高中高考综合改革方案，现将某校高二年级名参加生物选择考同学的考试分数转换为等级分，知等级分的分数转换区间为，若使等级分，则下列说法正确的有参考数据：；；( )
A. 这次考试等级分超过分的约有人
B. 这次考试等级分在内的人数约为
C. 甲、乙、丙人中至多有人的等级分超过分的概率为
D.
11. 已知在一次数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布，其中分为及格线，分为优秀线，则对于该校学生成绩，下列说法正确的有 参考数据：；；( )
A. 标准差为
B. 及格率超过
C. 得分在内的人数约为
D. 得分低于的人数和优秀的人数大致相等
三、填空题（本大题共4小题）
12. 某市有人参加高三数学大联考，成绩服从正态分布，平均分为，标准差为，则分数在内的人数约是
参考数据：
，
13. 已知随机变量，且，则 ．
14. 抽样表明，某地区新生儿体重近似服从正态分布假设随机抽取个新生儿体检，记表示抽取的个新生儿体重在以外的个数若的数学期望，则的最大值是 ．
注：若随机变量∽，则
15. 一批产品的尺寸服从正态分布，已知，其中从该批产品中任意抽取件，恰有件产品的尺寸在内的概率为 用表示
四、解答题（本大题共2小题）
16. 从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下图频率分布直方图：
（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差s2（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；
（II）由直方图可以认为,这种产品的质量指标Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.
（i）利用该正态分布,求P(187.8< Z<212.2)；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用（i）的结果,求E（X）.
附：
若Z~N(μ,σ2)则P(μ-σ< Z<μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ< Z<μ+2σ)=0.9544.
17. 网上订外卖已经成为人们日常生活中不可或缺的一部分．外卖平台以下简称外卖为了解其在全国各城市的业务发展情况，随机抽取了个城市，调查了外卖在今年月份的订单情况，并制成如下频率分布表．
订单单位：万件
频率
由频率分布表可以认为，今年月份外卖在全国各城市的订单数单位：万件近似地服从正态分布，其中为样本平均数同一组数据用该区间的中点值作代表，为样本标准差，它的值已求出，约为，现把频率视为概率，解决下列问题：
从全国各城市中随机抽取个城市，记今年月份外卖订单数在区间内的城市数为，求的数学期望取整数；
外卖决定在该月订单数低于万件的城市开展“订外卖，抢红包”的营销活动来提升业绩，据统计，开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月万件的水平，现从全国月订单数不超过万件的城市中采用分层随机抽样的方法选出个城市开展营销活动，若每接一件外卖订单平均可获纯利润元，但每件外卖订单平均需送出红包元，则外卖在这个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少万元？
现从全国开展外卖业务的所有城市中随机抽取个城市，若抽到个城市的外卖订单数在区间内的可能性最大，试求整数的值．
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．
答案和解析
1.【答案】
解：因为随机变量服从正态分布，所以正态分布曲线关于直线对称，
又，所以，
所以．
故选D．
2.【答案】
解：根据题意，随机变量满足正态分布，得，，则正态曲线的对称轴为，且，根据正态分布密度曲线的性质，可得阴影部分的面积
3.【答案】
解：根据正态曲线的对称性知：要使误差在的概率不小于，
则，又，
．
故选D．
4.【答案】
解：因为数学考试的成绩服从正态分布，
又因为
所以 ，
人数为．
故选C．
5.【答案】
解：，
所以不正确；
正确，不正确；
，
，
正确．
故选．
6.【答案】
解：
．
这个收费口每天至少有一个超过辆的概率为．
故选C．
7.【答案】
解：，，即；
甲同学测量的数据均落在之间，测量数据正确；
乙同学测量的数据中有两个数据落在之外，即小概率事件发生，知其测量错误．
故本题选C．
8.【答案】
解：选项A，因为 ，，
所以
，所以A正确；
选项B，因为和的正态分布密度曲线的对称轴分别为和，由图象知，所以所以B正确；
选项C，因为正态分布密度曲线越“瘦高”，越小，由图象知，所以，所以C错误；
选项D，由图象知对于任意的正数，由图像知所表示的面积大于所表示的面积，所以 ，所以D正确．
故选C．
9.【答案】ABD
解：若随机变量服从分布，且，则，
若随机变量，则，
若随机变量，则，
若随机变量，，则，
故选ABD．
10.【答案】
解：由题设，，
A.，故人，错误；
B.在内的概率为，
则人，正确；
C.甲、乙、丙人中至多有人的等级分超过分的概率，正确；
D.，正确；
故选BCD．
11.【答案】
解：由题意知，，
标准差：，故A错误．
：，，
，故B错误．
：，
人，故C正确．
，
因为成绩服从标准正态分布，，故D正确．
故选CD．
12.【答案】
解：由题意，知在正态分布中，，，
因为，，
所以
，
故所求人数为人．
故答案为．
13.【答案】
解：由正态分布的性质可知：，曲线关于对称，故，
结合正态分布的性质可知：，即为，
又解得：．
故．
故答案为：．
14.【答案】
解:依题意P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝99.7%，
所以在( -3 , +3 )之外的概率P=1-0.997=0.003,
则ξ~B(r,0.003),
则E( )=0.003r,
因为E(ξ)<0.05,
所以0.003r<0.05,
解得r< 16.7,
因为r ,
所以r的最大值为16.
故答案为16.
15.【答案】
解：根据题意，
产品的尺寸在内的概率为，
所以从该批产品中任意抽取件，恰有件产品的尺寸在内的概率为．
故答案为．
16.【答案】解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：
=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，
s2=（-30）2×0.02+（-20）2×0.09+（-10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150）,由
从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200-12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；
（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，
依题意知X～B（100，0.6826），所以E（X）=100×0.6826=68.26．
17.【答案】解：样本平均数为，
所以，，
故
所以，所以的数学期望为．
由分层抽样可知，这个城市中，月订单数在区间万件内的有个，在区间内的有个．
若不开展营销活动，则一个月的利润为万元，这个城市开展营销活动后一个月的利润为万元，
则外卖在这个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利万元．
记订单数在区间内的城市个数为，
由于，
即随机抽取一个城市的外卖订单数在区间内的概率为，
则从全国开展外卖业务的所有城市中随机抽取个城市，抽到个城市的外卖订单数在区间内的概率为．
设最大．
则
即
解得．
因为，所以使取最大值时的整数的值为．
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一、单选题（本大题共8小题）
1. 已知随机变量服从正态分布，且，则( )
A. B. C. D.
2. 已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，则图中阴影部分的面积为( )附：若随机变量，则，
A. B. C. D.
3. 对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差为使误差在的概率不小于，至少要测量的次数为参考数据：若，则( )
A. B. C. D.
4. 某校在一次月考中有人参加考试，数学考试的成绩服从正态分布，试卷满分分，统计结果显示数学考试成绩在分到分之间的人数为总人数的，则此次月考中数学考试成绩不低于分的学生人数为( )
A. B. C. D.
5. 设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是( )
；；
；．
A. B. C. D.
6. 年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数单位：辆均服从正态分布若，假设三个收费口均能正常工作，则这三个收费口每天通过的小汽车数至少有一个超过辆的概率为( )
A. B. C. D.
7. 某工厂的一台流水线生产质量稳定可靠，已知在正常工作状态下生产线上生产的零件内径尺寸单位：服从正态分布甲乙两名同学正进行尺寸测量练习甲乙对各自抽取的个零件测量零件内径尺寸单位：如下，甲同学测量数据：，，，，；乙同学测量数据：，，，，则可以判断( )
A. 甲乙两个同学测量都正确 B. 甲乙两个同学测量都错误
C. 甲同学测量正确，乙同学测量错误 D. 甲同学测量错误，乙同学测量正确
8. 已知两种不同型号的电子元件分别记为，的使用寿命均服从正态分布，，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列结论错误的是( )
参考数据：若，则，
A.
B.
C.
D. 对于任意的正数，有
二、多选题（本大题共3小题）
9. 下列判断正确的是( )
A. 若随机变量服从分布，且，则
B. 若随机变量，则
C. 若随机变量，则
D. 若随机变量，，则
10. 根据我省普通高中高考综合改革方案，现将某校高二年级名参加生物选择考同学的考试分数转换为等级分，知等级分的分数转换区间为，若使等级分，则下列说法正确的有参考数据：；；( )
A. 这次考试等级分超过分的约有人
B. 这次考试等级分在内的人数约为
C. 甲、乙、丙人中至多有人的等级分超过分的概率为
D.
11. 已知在一次数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布，其中分为及格线，分为优秀线，则对于该校学生成绩，下列说法正确的有 参考数据：；；( )
A. 标准差为
B. 及格率超过
C. 得分在内的人数约为
D. 得分低于的人数和优秀的人数大致相等
三、填空题（本大题共4小题）
12. 某市有人参加高三数学大联考，成绩服从正态分布，平均分为，标准差为，则分数在内的人数约是
参考数据：
，
13. 已知随机变量，且，则 ．
14. 抽样表明，某地区新生儿体重近似服从正态分布假设随机抽取个新生儿体检，记表示抽取的个新生儿体重在以外的个数若的数学期望，则的最大值是 ．
注：若随机变量∽，则
15. 一批产品的尺寸服从正态分布，已知，其中从该批产品中任意抽取件，恰有件产品的尺寸在内的概率为 用表示
四、解答题（本大题共2小题）
16. 从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下图频率分布直方图：
（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差s2（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；
（II）由直方图可以认为,这种产品的质量指标Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.
（i）利用该正态分布,求P(187.8< Z<212.2)；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用（i）的结果,求E（X）.
附：
若Z~N(μ,σ2)则P(μ-σ< Z<μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ< Z<μ+2σ)=0.9544.
17. 网上订外卖已经成为人们日常生活中不可或缺的一部分．外卖平台以下简称外卖为了解其在全国各城市的业务发展情况，随机抽取了个城市，调查了外卖在今年月份的订单情况，并制成如下频率分布表．
订单单位：万件
频率
由频率分布表可以认为，今年月份外卖在全国各城市的订单数单位：万件近似地服从正态分布，其中为样本平均数同一组数据用该区间的中点值作代表，为样本标准差，它的值已求出，约为，现把频率视为概率，解决下列问题：
从全国各城市中随机抽取个城市，记今年月份外卖订单数在区间内的城市数为，求的数学期望取整数；
外卖决定在该月订单数低于万件的城市开展“订外卖，抢红包”的营销活动来提升业绩，据统计，开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月万件的水平，现从全国月订单数不超过万件的城市中采用分层随机抽样的方法选出个城市开展营销活动，若每接一件外卖订单平均可获纯利润元，但每件外卖订单平均需送出红包元，则外卖在这个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少万元？
现从全国开展外卖业务的所有城市中随机抽取个城市，若抽到个城市的外卖订单数在区间内的可能性最大，试求整数的值．
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．
答案和解析
1.【答案】
解：因为随机变量服从正态分布，所以正态分布曲线关于直线对称，
又，所以，
所以．
故选D．
2.【答案】
解：根据题意，随机变量满足正态分布，得，，则正态曲线的对称轴为，且，根据正态分布密度曲线的性质，可得阴影部分的面积
3.【答案】
解：根据正态曲线的对称性知：要使误差在的概率不小于，
则，又，
．
故选D．
4.【答案】
解：因为数学考试的成绩服从正态分布，
又因为
所以 ，
人数为．
故选C．
5.【答案】
解：，
所以不正确；
正确，不正确；
，
，
正确．
故选．
6.【答案】
解：
．
这个收费口每天至少有一个超过辆的概率为．
故选C．
7.【答案】
解：，，即；
甲同学测量的数据均落在之间，测量数据正确；
乙同学测量的数据中有两个数据落在之外，即小概率事件发生，知其测量错误．
故本题选C．
8.【答案】
解：选项A，因为 ，，
所以
，所以A正确；
选项B，因为和的正态分布密度曲线的对称轴分别为和，由图象知，所以所以B正确；
选项C，因为正态分布密度曲线越“瘦高”，越小，由图象知，所以，所以C错误；
选项D，由图象知对于任意的正数，由图像知所表示的面积大于所表示的面积，所以 ，所以D正确．
故选C．
9.【答案】ABD
解：若随机变量服从分布，且，则，
若随机变量，则，
若随机变量，则，
若随机变量，，则，
故选ABD．
10.【答案】
解：由题设，，
A.，故人，错误；
B.在内的概率为，
则人，正确；
C.甲、乙、丙人中至多有人的等级分超过分的概率，正确；
D.，正确；
故选BCD．
11.【答案】
解：由题意知，，
标准差：，故A错误．
：，，
，故B错误．
：，
人，故C正确．
，
因为成绩服从标准正态分布，，故D正确．
故选CD．
12.【答案】
解：由题意，知在正态分布中，，，
因为，，
所以
，
故所求人数为人．
故答案为．
13.【答案】
解：由正态分布的性质可知：，曲线关于对称，故，
结合正态分布的性质可知：，即为，
又解得：．
故．
故答案为：．
14.【答案】
解:依题意P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝99.7%，
所以在( -3 , +3 )之外的概率P=1-0.997=0.003,
则ξ~B(r,0.003),
则E( )=0.003r,
因为E(ξ)<0.05,
所以0.003r<0.05,
解得r< 16.7,
因为r ,
所以r的最大值为16.
故答案为16.
15.【答案】
解：根据题意，
产品的尺寸在内的概率为，
所以从该批产品中任意抽取件，恰有件产品的尺寸在内的概率为．
故答案为．
16.【答案】解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：
=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，
s2=（-30）2×0.02+（-20）2×0.09+（-10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150）,由
从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200-12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；
（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，
依题意知X～B（100，0.6826），所以E（X）=100×0.6826=68.26．
17.【答案】解：样本平均数为，
所以，，
故
所以，所以的数学期望为．
由分层抽样可知，这个城市中，月订单数在区间万件内的有个，在区间内的有个．
若不开展营销活动，则一个月的利润为万元，这个城市开展营销活动后一个月的利润为万元，
则外卖在这个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利万元．
记订单数在区间内的城市个数为，
由于，
即随机抽取一个城市的外卖订单数在区间内的概率为，
则从全国开展外卖业务的所有城市中随机抽取个城市，抽到个城市的外卖订单数在区间内的概率为．
设最大．
则
即
解得．
因为，所以使取最大值时的整数的值为．
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