本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
2.1.2
一、选择题
1．已知点(3,2)在椭圆＋＝1上，则( )
A．点(－3，－2)不在椭圆上
B．点(3，－2)不在椭圆上
C．点(－3,2)在椭圆上
D．无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上
[答案] C
[解析] ∵点(3,2)在椭圆＋＝1上，∴由椭圆的对称性知，点(－3,2)、(3，－2)、(－3，－2)都在椭圆上，故选C.
2．椭圆＋＝1和＋＝k(k>0)具有( )
A．相同的长轴 B．相同的焦点
C．相同的顶点 D．相同的离心率
[答案] D
[解析] 椭圆＋＝1和＋＝k(k>0)中，不妨设a>b，椭圆＋＝1的离心率e1＝，椭圆＋＝1(k>0)的离心率e2＝＝.
4．椭圆＋＝1与＋＝1(0
A．有相等的长、短轴
B．有相等的焦距
C．有相同的焦点
D．x，y有相同的取值范围
[答案] B
[解析] ∵0∴25－k－9＋k＝16，
故两椭圆有相等的焦距．
6．中心在原点、焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
[答案] A
[解析] ∵2a＝18，∴a＝9，由题意得2c＝×2a＝×18＝6，
∴c＝3，∴a2＝81，b2＝a2－c2＝81－9＝72，故椭圆方程为＋＝1.
7．焦点在x轴上，长、短半轴之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
[答案] A
[解析] 由题意得c＝2，a＋b＝10，
∴b2＝(10－a)2＝a2－c2＝a2－20，
解得a2＝36，b2＝16，故椭圆方程为＋＝1.
10．若椭圆两焦点为F1(－4,0)、F2(4,0)，P在椭圆上，且△PF1F2的最大面积是12，则椭圆方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
[答案] C
[解析] 由题意得c＝4，∵P在椭圆上，且△PF1F2的最大面积为12，
∴×2c×b＝12，即bc＝12，
∴b＝3，a＝5，故椭圆方程为＋＝1.
二、填空题
13．经过椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为________．
[答案]
[解析] ∵垂直于椭圆长轴的弦所在直线为x＝±c，
由，得y2＝，∴|y|＝，故弦长为.
三、解答题
15．已知F1、F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆的离心率e＝，求椭圆的方程．
[解析] 由题意，得，∴a＝4，c＝2.
∴b2＝a2－c2＝4，所求椭圆方程为＋＝1.
16．已知椭圆mx2＋5y2＝5m的离心率为e＝，求m的值．
[解析] 由已知可得椭圆方程为
＋＝1(m>0且m≠5)．
当焦点在x轴上，即0依题意得＝，解得m＝3.
当焦点在y轴上，即m>5时，有a＝，b＝.
则c＝，依题意有＝.
解得m＝.即m的值为3或.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
2.1.1
一、选择题
2．椭圆2x2＋3y2＝12的两焦点之间的距离是( )
A．2 B.
C. D．2
[答案] D
[解析] 椭圆方程2x2＋3y2＝12可化为：＋＝1，
a2＝6，b2＝4，c2＝6－4＝2，∴2c＝2.
3．椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k的值为( )
A．－1 B．1
C. D．－
[答案] B
[解析] 椭圆方程5x2＋ky2＝5可化为：x2＋＝1，
又∵焦点是(0,2)，∴a2＝，b2＝1，c2＝－1＝4，
∴k＝1.
4．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是( )
A．－9C．168
[答案] B
[解析] 由题意得，解得88．已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是( )
A.＋x2＝1
B.＋y2＝1或x2＋＝1
C.＋y2＝1
D．以上都不对
[答案] A
[解析] 设椭圆方程为：Ax2＋By2＝1(A>0，B>0)
由题意得，解得.
9．已知椭圆的两个焦点分别是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．射线 D．直线
[答案] A
[解析] ∵|PQ|＝|PF2|且|PF1|＋|PF2|＝2a，
又∵F1、P、Q三点共线，
∴|F1P|＋|PQ|＝|F1Q|＝2a.
即Q在以F1为圆心以2a为半径的圆上．
二、填空题
11．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________．
[答案] ＋＝1
[解析] 由题意可得，∴，
故b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＋＝1.
12．过点(－3,2)且与＋＝1有相同焦点的椭圆方程是________．
[答案] ＋＝1
[解析] 因为焦点坐标为(±，0)，设方程为＋＝1，将(－3,2)代入方程可得＋＝1，解得a2＝15，故方程为＋＝1.
三、解答题
15．已知F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上任一点，若∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．
[解析] 设|PF1|＝m，|PF2|＝n.
根据椭圆定义有m＋n＝20，
又c＝＝6，∴在△F1PF2中，
由余弦定理得m2＋n2－2mncos＝122，
∴m2＋n2－mn＝144，∴(m＋n)2－3mn＝144，
∴mn＝，
∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2
＝××＝.
17．求以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)的椭圆的标准方程．
[解析] 由9x2＋5y2＝45，得＋＝1.
其焦点F1(0,2)、F2(0，－2)．
设所求椭圆方程为＋＝1.
又∵点M(2，)在椭圆上，∴＋＝1①
又a2－b2＝4②
解①②得a2＝12，b2＝8.
故所求椭圆方程为＋＝1.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
2章章末
一、选择题
1．过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，则·的值是( )
A．12 B．－12
C．3 D．－3
[解析] 解法一：设AB方程为：x＝my＋1，
A、B坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
由得：y2－4my－4＝0，∴y1y2＝－4，
又·＝x1x2＋y1y2＝·＋y1y2
＝＋(－4)＝－3，故应选D.
解法二：取AB过点F且垂直于x轴，这一情况来研究．
∵F(1,0)，∴A(1,2)，B(1，－2)，＝(1,2)，＝(1，－2)，
∴·＝1－4＝－3，故应选D.
[点评] 特值法是解选择题常用的重要方法，从特殊入手，解决一般性问题，不但快而且准，在今后的学习中，一定要重视特殊与一般的关系．
2．F1、F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点，P是椭圆上任一点，从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[分析] 此题用基本坐标法求解，运算相当繁琐，而且一时难以理出思路．本题易借助几何图形的几何性质加以解决．
[解析] 延长垂线F1Q交F2P的延长线于点A，如图所示．则△APF1是等腰三角形，∴|PF1|＝|AP|，从而|AF2|＝|AP|＋|PF2|＝|PF1|＋|PF2|＝2a.
∵O是F1F2的中点，Q是AF1的中点，
∴|OQ|＝|AF2|＝a.
∴Q点的轨迹是以原点O为圆心，半径为a的圆．故选A.
[点评] 看似凌乱繁多的条件，应用圆锥曲线的定义求解，可避免很多繁琐的计算，提高解题效率．
二、填空题
3．(2010·重庆文，13)已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝______.
[答案] 2
[解析] 本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系．
设A点(x1，y1)，B点(x2，y2)
抛物线y2＝4x，焦点为(1,0)，准线为x＝－1.
|AF|＝x1－(－1)＝2，所以x1＝1.
则AF与x轴垂直，|BF|＝|AF|＝2.
4．已知A、B、D三点不在一条直线上，且A(－2,0)，B(2,0)，||＝2，＝＋，＝，则点E的轨迹方程是__________．
[答案] x2＋y2＝1(y≠0)
[解析] 如图
设点E的坐标为(x，y)，
∵＝＝(＋)，
∴由向量加法的平行四边形法则可知，点E为BD的中点，连结OE，
又O为AB的中点，∴OE＝AD＝1.
即动点E到定点O的距离为定值1，
由圆的定义知，点E的轨迹方程为x2＋y2＝1(y≠0)．
[点评] 平面向量在解析几何中的应用，是高考考查的重要内容，本题借助于图形，将数与形有机地结合起来，找到了突破口，即点E到定点O的距离等于定值1这一关键，从而求出了动点E的轨迹方程，充分体现了数形结合这一重要思想．
三、解答题
5．椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A、B，C是AB的中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．
[解析] 由得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
则|AB|＝
＝·.
∵|AB|＝2，∴＝1.①
设C(x，y)，则x＝＝，y＝1－x＝，
∵OC的斜率为，∴＝.
代入①，得a＝，b＝.
∴椭圆方程为＋y2＝1.
6．如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的顶点O作两条互相垂直的弦交抛物线于A、B两点．
(1)证明：直线AB过定点；
(2)求△AOB面积的最小值．
[解析] (1)证明：设直线AB的方程为x＝my＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2).
消去x得y2－2pmy－2pb＝0，
则y1y2＝－2pb.又OA⊥OB.
所以y1y2＝－x1x2.
由方程组消去y，得x2－(2b＋2pm2)x＋b2＝0，则x1·x2＝b2.因此，b2＝2pb.所以b＝2p.
所以直线AB恒过定点(2p,0)．
(2)解：由(1)知：AB恒过定点M(2p,0)．
所以S△AOB＝S△AOM＋S△BOM＝|OM|(|y1|＋|y2|)≥p·2.
又y＝2px1，y＝2px2，所以(y1y2)2＝4p2x1x2.
又因为y1y2＝－x1x2，于是|y1y2|＝4p2.
故SAOB的最小值为4p2.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
2.2.1
一、选择题
1．平面内到两定点E、F的距离之差的绝对值等于|EF|的点的轨迹是( )
A．双曲线 B．一条直线
C．一条线段 D．两条射线
[答案] D
4．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( )
A.－y2＝1 B．y2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[答案] B
[解析] 由题意知双曲线的焦点在y轴上，且a＝1，c＝2，
∴b2＝3，双曲线方程为y2－＝1.
5．“ab<0”是“曲线ax2＋by2＝1为双曲线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] ab<0 曲线ax2＋by2＝1是双曲线，
曲线ax2＋by2＝1是双曲线 ab<0.
6．已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)、F2(，0)，P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则该双曲线的方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
[答案] C
[解析] ∵c＝，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2，
∴4a2＝4c2－4＝16，∴a2＝4，b2＝1.
7．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则m的值是( )
A．±1 B．1
C．－1 D．不存在
[答案] A
[解析] 验证法：当m＝±1时，m2＝1，
对椭圆来说，a2＝4，b2＝1，c2＝3.
对双曲线来说，a2＝1，b2＝2，c2＝3，
故当m＝±1时，它们有相同的焦点．
直接法：显然双曲线焦点在x轴上，故4－m2＝m2＋2.
∴m2＝1，即m＝±1.
二、填空题
11．双曲线的焦点在x轴上，且经过点M(3,2)、N(－2，－1)，则双曲线标准方程是________．
[答案] －＝1
[解析] 设双曲线方程为：－＝1(a>0，b>0)
又点M(3,2)、N(－2，－1)在双曲线上，
∴，∴.
12．过双曲线－＝1的焦点且与x轴垂直的弦的长度为________．
[答案]
[解析] ∵a2＝3，b2＝4，∴c2＝7，∴c＝，
该弦所在直线方程为x＝，
由得y2＝，
∴|y|＝，弦长为.
13．如果椭圆＋＝1与双曲线－＝1的焦点相同，那么a＝________.
[答案] 1
[解析] 由题意得a>0，且4－a2＝a＋2，∴a＝1.
三、解答题
15．讨论＋＝1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．
[解析] (1)当k<9时，25－k>0,9－k>0，
所给方程表示椭圆，
此时a2＝25－k，b2＝9－k，c2＝a2－b2＝16，
这些椭圆有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．
(2)当90,9－k<0，
所给方程表示双曲线，
此时，a2＝25－k，b2＝k－9，c2＝a2＋b2＝16，这些双曲线也有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．
(3)当k>25时，所给方程没有轨迹．
16．设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点A的纵坐标为4，求此双曲线的方程．
[解析] 椭圆＋＝1的焦点为(0，±3)，
由题意，设双曲线方程为：－＝1(a>0，b>0)，
又点A(x0,4)在椭圆＋＝1上，∴x＝15，
又点A在双曲线－＝1上，∴－＝1，
又a2＋b2＝c2＝9，∴a2＝4，b2＝5，
所求的双曲线方程为：－＝1.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
2.2.2
一、选择题
1．已知双曲线与椭圆＋＝1共焦点，它们的离心率之和为，双曲线的方程应是
( )
A.－＝1 B.－＝1
C．－＋＝1 D．－＋＝1
[答案] C
[解析] ∵椭圆＋＝1的焦点为(0，±4)，离心率e＝，
∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为－＝＝2，
∴双曲线方程为：－＝1.
2．焦点为(0，±6)且与双曲线－y2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[答案] B
[解析] 与双曲线－y2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为－y2＝λ(λ≠0)，
又因为双曲线的焦点在y轴上，
∴方程可写为－＝1.
又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，
∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12.
∴双曲线方程为－＝1.
3．若0A．相同的实轴 B．相同的虚轴
C．相同的焦点 D．相同的渐近线
[答案] C
[解析] ∵00.
∴c2＝(a2－k2)＋(b2＋k2)＝a2＋b2.
4．中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
[答案] D
[解析] ∵＝，∴＝＝，∴＝，
∴＝，∴＝.
又∵双曲线的焦点在y轴上，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，
∴所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.
6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的3倍，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±3x
[答案] B
[解析] 如图，
分别过双曲线的右顶点A，右焦点F作它的渐近线的垂线，B、C分别为垂足，则△OBA∽△OCF，
∴＝＝，
∴＝，∴＝2，
故渐近线方程为：y＝±2x.
8．双曲线－＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( )
A. B．3
C．4 D．2
[答案] C
[解析] ∵焦点坐标为(±5,0)，渐近线方程为y＝±x，∴一个焦点(5,0)到渐近线y＝x的距离为4.
二、填空题
12．椭圆＋＝1与双曲线－y2＝1焦点相同，则a＝________.
[答案]
[解析] 由题意得4－a2＝a2＋1，∴2a2＝3，a＝.
13．双曲线以椭圆＋＝1的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程为________．
[答案] －＝1
[解析] 椭圆＋＝1中，a＝5，b＝3，c2＝16，
焦点为(0，±4)，离心率e＝＝，
∴双曲线的离心率e1＝2e＝，
∴＝＝，∴a1＝，
∴b＝c－a＝16－＝，
∴双曲线的方程为－＝1.
三、解答题
16．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)过点A(，)，且点A到双曲线的两条渐近线的距离的积为.求此双曲线方程．
[解析] 双曲线－＝1的两渐近线的方程为bx±ay＝0.
点A到两渐近线的距离分别为
d1＝，d2＝
已知d1d2＝，故＝(ⅰ)
又A在双曲线上，则
14b2－5a2＝a2b2(ⅱ)
(ⅱ)代入(ⅰ)，得3a2b2＝4a2＋4b2(ⅲ)
联立(ⅱ)、(ⅲ)解得b2＝2，a2＝4.
故所求双曲线方程为－＝1.
17．如下图，已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，求双曲线的离心率．
[解析] 设MF1的中点为P，在Rt△PMF2中，|PF2|＝|MF2|·sin60°＝2c·＝c.又由双曲线的定义得|PF2|－|PF1|＝2a，所以a＝c，e＝＝＝＋1.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
1．设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P(x，y)满足条件|PF1|＋|PF2|＝a(a>0)，则动点P的轨迹是( )
A．椭圆
B．线段
C．椭圆、线段或不存在
D．不存在
[答案] C
[解析] 当a>|F1F2|＝6时，动点P的轨迹为椭圆；
当a＝|F1F2|＝6时，动点P的轨迹为线段；
当a<|F1F2|＝6时，动点P的轨迹不存在．
5．椭圆mx2＋ny2＋mn＝0(mA．(0，±)
B．(±，0)
C．(0，±)
D．(±，0)
[答案] C
[解析] 椭圆方程mx2＋ny2＋mn＝0可化为＋＝1，
∵m－n，椭圆的焦点在y轴上，排除B、D，
又n>m，∴无意义，排除A，故选C.
6．若△ABC的两个焦点坐标为A(－4,0)、B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0)
D.＋＝1(y≠0)
[答案] D
[解析] |AB|＝8，|AC|＋|BC|＝10>|AB|，故点C轨迹为椭圆且两焦点为A、B，又因为C点的纵坐标不能为零，所以选D.
7．点P为椭圆＋＝1上一点，以点P以及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积为1，则P点的坐标为( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] S△PF1F2＝×|F1F2|·|yP|
＝×2×|yP|＝1，
∴|yP|＝1，yP＝±1，代入椭圆方程得，xP＝±.
10．AB为过椭圆＋＝1中心的弦，F(c,0)为椭圆的左焦点，则△AFB的面积最大值是( )
A．b2 B．bc
C．ab D．ac
[答案] B
[解析] S△ABF＝S△AOF＋S△BOF＝|OF|·|yA－yB|，
当A、B为短轴两个端点时，|yA－yB|最大，最大值为2b.
∴△ABF面积的最大值为bc.
13．(2009·上海文，12)已知F1、F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
[答案] 3
[解析] 本题考查椭圆的定义及整体代换的数学思想．
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2，
又∵⊥，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
∴2|PF1|·|PF2|＝4a2－4c2＝4b2，
∴|PF1|·|PF2|＝2b2，S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝b2＝9，∴b＝3.
14．椭圆＋＝1的两个焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则|PF1|是|PF2|的____________倍．
[答案] 7
[解析] 如图，
PF1的中点M在y轴上，O为F1F2的中点，
∴OM∥PF2，∴PF2⊥x轴，|PF2|＝＝，
|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
∴|PF1|＝4－＝＝7|PF2|.
16．已知点P(x0，y0)是椭圆＋＝1上一点，A点的坐标为(6,0)，求线段PA中点M的轨迹方程．
[解析] 设M(x，y)，则∴
∵点P在椭圆＋＝1上，∴＋＝1.把代入＋＝1，得＋＝1，
即＋y2＝1为所求．
18．若长度为8的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，点M在AB上且＝2，求点M的轨迹方程．
[解析] 设A(x0,0)、B(0，y0)、M(x，y)，
∵＝2，∴
∴
∵|AB|＝8，∴＝8.
∴x＋y＝64.
把x0＝3x，y0＝y代入x＋y＝64，
得(3x)2＋2＝64，
即x2＋y2＝1为点M的轨迹方程．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
3．椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆离心率为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 由题意得b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2c2，e＝＝.
5．以椭圆两焦点F1、F2所连线段为直径的圆，恰好过短轴两端点，则此椭圆的离心率e等于( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 由题意得b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2c2，
∴e＝＝.
8．若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1，则满足△ABF1为等边三角形的椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 由题意得a＝2b，a2＝4b2＝4(a2－c2)，∴＝.
9．(2009·浙江文，6)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 本小题主要考查椭圆及椭圆的几何性质．
由已知B点横坐标为－c，取B(－c，)．
∵＝2.∴＝
∵AB所在直线方程为y＝－(x－a)，∴P点纵坐标为a－c.
由△BFA∽△POA得，＝，∴2c2－3ac＋a2＝0.
即2e2－3e＋1＝0解得e＝(e＝1舍去)．故选D.
11．如图，在椭圆中，若AB⊥BF，其中F为焦点，A、B分别为长轴与短轴的一个端点，则椭圆的离心率e＝________.
[答案]
[解析] 设椭圆方程为＋＝1，则有A(a,0)，B(0，b)，F(c,0)，由AB⊥BF，得kAB·kBF＝－1，而kAB＝，kBF＝－代入上式得＝－1，利用b2＝a2－c2消去b2，得－＝1，即－e＝1，解得e＝，
∵e>0，∴e＝.
12．椭圆＋＝1上一点到两焦点的距离分别为d1、d2，焦距为2c，若d1、2c、d2成等差数列，则椭圆的离心率为________．
[答案]
[解析] 由题意得4c＝d1＋d2＝2a，∴e＝＝.
14．椭圆＋＝1的焦点在x轴上，则它的离心率e的取值范围________．
[答案]
[解析] 由题意知5a>4a2＋1，∴∴e＝＝≤＝(当且仅当a＝时，取“＝”)．
17．动点M到一个定点F(c,0)的距离和它到一条定直线l：x＝的距离比是常数e＝(0[解析] 设M(x，y)，由题意得＝，
(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，
令a2－c2＝b2，方程化为＋＝1(a>b>0)，
∴所求动点的轨迹方程为＋＝1(a>b>0)．
18．已知椭圆＋＝1上有一点P，到其左、右两焦点距离之比为1?3，求点P到两焦点的距离及点P的坐标．
[解析] 设P(x，y)，左、右焦点分别是F1、F2，
∵a＝10，b＝6，c＝8，e＝＝，
∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝20.
又|PF2|＝3|PF1|，
∴|PF1|＝5，|PF2|＝15.
由两点间的距离公式可得
，解得x＝－.
代入椭圆方程得y＝±.
故点P的坐标为或.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
7．双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )
A．2 B.
C. D.
[答案] C
[解析] 双曲线的两条渐近线互相垂直，则渐近线方程为：y＝±x，
∴＝1，∴＝＝1，
∴c2＝2a2，e＝＝.
9．过双曲线－＝1(a>0，b>0)上任意一点P引与实轴平行的直线，交两渐近线于M、N两点，则·的值为( )
A．a2 B．b2
C．2ab D．a2＋b2
[答案] A
[解析] 特值法：当点P在双曲线的一个顶点时，·＝a2.
10．(2010·浙江理，8)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近方程为( )
A．3x±4y＝0 B．3x±5y＝0
C．4x±3y＝0 D．5x±4y＝0
[答案] C
[解析] 如图：由条件|F2A|＝2a，|F1F2|＝2c
又知|PF2|＝|F1F2|，知A为PF1中点，由a2＋b2＝c2，有|PF1|＝4b由双曲线定义：
|PF1|－|PF2|＝2a，则4b－2c＝2a
∴2b＝c＋a，又有c2＝a2＋b2，(2b－a)2＝a2＋b2，
∴4b2－4ab＋a2＝a2＋b2
3b2＝4ab，∴＝，
∴渐近线方程：y＝±x.故选C.
11．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则b的取值范围是________．
[答案] －12[解析] ∵b<0，∴离心率e＝∈(1,2)，
∴－1214．(2009·全国Ⅱ文，8改编)双曲线－＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r＝________.
[答案]
[解析] 本题考查双曲线的几何性质、直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式．
双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x＝±x，
∴x±2y＝0，由题意，得r＝＝.
15．已知动圆与⊙C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且与⊙C2：(x－3)2＋y2＝1内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
[解析] 设动圆圆心M的坐标为(x，y)，半径为r，
则|MC1|＝r＋3，|MC2|＝r－1，
∴|MC1|－|MC2|＝r＋3－r＋1＝4<|C1C2|＝6，
由双曲线的定义知，点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支，且2a＝4，a＝2，
双曲线的方程为：－＝1(x≥2)．
18．是否存在同时满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程；若不存在，说明理由．
(1)渐近线方程为x＋2y＝0及x－2y＝0；
(2)点A(5,0)到双曲线上动点P的距离的最小值为.
[解析] 假设存在同时满足题中的两条件的双曲线．
(1)若双曲线的焦点在x轴上，因为渐近线方程为
y＝±x，所以由条件(1)，设双曲线方程为－＝1，
设动点P的坐标为(x，y)，则|AP|＝＝，由条件(2)，若2b≤4，即b≤2，则当x＝4时，|AP|最小＝＝，b2＝－1，这不可能，无解；若2b>4，则当x＝2b时，|AP|最小＝|2b－5|＝，解得b＝，此时存在双曲线方程为－＝1.
(2)若双曲线的焦点在y轴上，则可设双曲线方程为－＝1(x∈R)，
所以|AP|＝，
因为x∈R，
所以当x＝4时，|AP|最小＝＝.
所以a2＝1，此时存在双曲线方程为y2－＝1.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
2．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是( )
A．－10
C．k≥0 D．k>1或k<－1
[答案] A
[解析] 由题意得(1＋k)(1－k)>0，∴(k－1)(k＋1)<0，∴－13．动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( )
A．双曲线的一支
B．圆
C．抛物线
D．双曲线
[答案] A
[解析] 设动圆半径为r，圆心为O，x2＋y2＝1的圆心为O1，圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为O2，
由题意得|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2，
∴|OO2|－|OO1|＝r＋2－r－1＝1<|O1O2|＝4，
由双曲线的定义知，动圆圆心O的轨迹是双曲线的一支．
8．已知点F1(－4,0)和F2(4,0)，曲线上的动点P到F1、F2距离之差为6，则曲线方程为( )
A.－＝1
B.－＝1(y>0)
C.－＝1或－＝1
D.－＝1(x>0)
[答案] D
[解析] 由双曲线的定义知，点P的轨迹是以F1、F2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：－＝1(x>0)
9．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是( )
A．16 B．18
C．21 D．26
[答案] D
[解析] |AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，
∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，
∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，
∴△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.
10．若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(a>0，b>0)有相同的焦点，P是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值为( )
A．m－a B．m－b
C．m2－a2 D.－
[答案] A
[解析] 设点P为双曲线右支上的点，
由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2，
由双曲线定义得|PF1|－|PF2|＝2.
∴|PF1|＝＋，|PF2|＝－，
∴|PF1|·|PF2|＝m－a.
14．一动圆过定点A(－4,0)，且与定圆B：(x－4)2＋y2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程为________．
[答案] －＝1(x≤－2)
[解析] 设动圆圆心为P(x，y)，由题意得
|PB|－|PA|＝4<|AB|＝8，
由双曲线定义知，点P的轨迹是以A、B为焦点，且2a＝4，a＝2的双曲线的左支．
其方程为：－＝1(x≤－2)．
17．已知双曲线x2－＝1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且·＝0，求点M到x轴的距离．
[解析] 解法一：设M(xM，yM)，F1(－，0)，F2(，0)，＝(－－xM，－yM)，＝(－xM，－yM)
∵·＝0，
∴(－－xM)·(－xM)＋y＝0，
又M(xM，yM)在双曲线x2－＝1上，∴x－＝1，
解得yM＝±，
∴M到x轴的距离是|yM|＝.
解法二：连结OM，设M(xM，yM)，∵·＝0，
∴∠F1MF2＝90°，∴|OM|＝|F1F2|＝，
∴＝①
又x－＝1②
由①②解得yM＝±，
∴M到x轴的距离是|yM|＝.
18．在面积为1的△PMN中，tan∠PMN＝，tan∠MNP＝－2，建立适当坐标系．求以M、N为焦点且过点P的双曲线方程．
[解析] 解法一：以MN所在直线为x轴，MN的中垂线为y轴建立直角坐标系．设P(x0，y0)，M(－c,0)，N(c,0)(y0>0，c>0)．(如图)
则解得
设双曲线方程为－＝1，
将点P＝代入，可得a2＝.
∴所求双曲线方程为－＝1.
解法二：以MN所在直线为x轴，MN的中垂线为y轴建立直角坐标系，作PA⊥x轴于A点．
设P(x0，y0)，M(－c,0)，N(c,0)，(y0>0，c>0)(如图所示)
因为tan∠MNP＝－2，所以tan∠xNP＝2，
故＝2，＝，
即AN＝，AM＝2y0，
所以2c＝y0，即y0＝c，
又因为S△PMN＝1，所以MN·PA＝1，
即×2c×c＝1，∴c＝，
而2a＝PM－PN
＝－
＝y0－y0＝，
∴a＝，
故所求双曲线方程为－＝1.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
2.3.2
一、选择题
1．设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点(k，－2)与F点的距离为4，则k的值是( )
A．4 B．4或－4
C．－2 D．2或－2
[答案] B
[解析] 由题意，设抛物线的标准方程为：x2＝－2py，
由题意得，＋2＝4，∴p＝4，x2＝－8y.
又点(k，－2)在抛物线上，
∴k2＝16，k＝±4.
2．抛物线y＝x2(m<0)的焦点坐标是( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] ∵x2＝my(m<0)，∴2p＝－m，p＝－，
焦点坐标为，即.
3．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点(－5,2)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为( )
A．y2＝－2x B．y2＝－4x
C．y2＝2x D．y2＝－4x或y2＝－36x
[答案] B
[解析] 由题意，设抛物线的标准方程为：y2＝－2px(p>0)，由题意，得＋5＝6，∴p＝2，
∴抛物线方程为y2＝－4x.
5．(2010·陕西文，9)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
A. B．1
C．2 D．4
[答案] C
[解析] 本题考查抛物线的准线方程，直线与圆的位置关系．
抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程是x＝－，由题意知，3＋＝4，p＝2.
6．等腰Rt△AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是( )
A．8p2 B．4p2
C．2p2 D．p2
[答案] B
[解析] ∵抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，
∴由抛物线的对称性，知直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.
由方程组，得，或.
∴A、B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p，－2p)．
∴|AB|＝4p.∴S△AOB＝×4p×2p＝4p2.
8．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影是A1、B1，则∠A1FB1等于( )
A．45° B．60°
C．90° D．120°
[答案] C
[解析] 由抛物线的定义得，|AF|＝|AA1|，
|BF|＝|BB1|，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
又∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A1AF＋∠B1BF＝360°，
且∠A1AF＋∠B1BF＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2(∠2＋∠4)＝180°，即∠2＋∠4＝90，
故∠A1FB＝90°.
9．(2009·全国Ⅰ，5)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )
A. B．2
C. D.
[答案] C
[解析] 本题主要考查圆锥曲线的有关知识．
双曲线的渐近线方程为y＝±x.
∵渐近线与y＝x2＋1相切，
∴x2±x＋1＝0有两相等根，
∴Δ＝－4＝0，∴b2＝4a2，
∴e＝＝＝＝.
10．(2010·辽宁理，7)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝( )
A．4 B．8
C．8 D．16
[答案] B
[解析] 如图，KAF＝－，
∴∠AFO＝60°，
∵|BF|＝4，∴|AB|＝4，
即P点的纵坐标为4，
∴(4)2＝8x，∴x＝6，∴|PA|＝8＝|PF|，故选B.
二、填空题
11．抛物线y2＝16x上到顶点和焦点距离相等的点的坐标是________．
[答案] (2，±4)
[解析] 设抛物线y2＝16x上的点P(x，y)
由题意，得(x＋4)2＝x2＋y2＝x2＋16x，
∴x＝2，∴y＝±4.
12．抛物线y2＝4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4，则焦点到AB的距离为________．
[答案] 2
[解析] 由题意，设A点坐标为(x,2)，则x＝3，
又焦点F(1,0)，∴焦点到AB的距离为2.
14．(2009·宁夏、海南)已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．
[答案] y2＝4x
[解析] 设抛物线为y2＝kx，与y＝x联立方程组，消去y，得：x2－kx＝0，x1＋x2＝k＝2×2，故y2＝4x.
三、解答题
17．若抛物线y2＝2x上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线y＝x＋b对称，且y1y2＝－1，求实数b的值．
[解析] 因为A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，
所以y＝2x1 ① y＝2x2 ②
①－②并整理可得＝＝kAB，
又因为kAB＝－1，所以y1＋y2＝－2，
所以＝－1，而＝
＝＝＝，
因为在直线y＝x＋b上，
所以－1＝＋b，即b＝－，
所以b的值为－.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
2.3.1
一、选择题
1．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x＋2y＝3距离相等的点的轨迹是( )
A．直线 B．抛物线
C．圆 D．双曲线
[答案] A
[解析] ∵定点(1,1)在直线x＋2y＝3上，∴轨迹为直线．
2．抛物线y2＝x上一点P到焦点的距离是2，则P点坐标为( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋＝x0＋＝2，
∴x0＝，∴y0＝±.
3．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为( )
A. B．－
C．8 D．－8
[答案] B
[解析] ∵y＝ax2，∴x2＝y，其准线为y＝2，
∴a<0,2＝，∴a＝－.
4．(2010·湖南文，5)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．4 B．6
C．8 D．12
[答案] B
[解析] 本题考查抛物线的定义．
由抛物线的定义可知，点P到抛物线焦点的距离是4＋2＝6.
5．设过抛物线的焦点F的弦为AB，则以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是
( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．以上答案都有可能
[答案] B
[解析] 特值法：取AB垂直于抛物线对称轴这一情况研究．
6．过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )
A．y2＝12x B．y2＝－12x
C．x2＝12y D．x2＝－12y
[答案] C
[解析] 由题意，知动圆圆心到点F(0,3)的距离等于到定直线y＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线．
7．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条
C．有无穷多条 D．不存在
[答案] B
[解析] 当斜率不存在时，x1＋x2＝2不符合题意．
因为焦点坐标为(1,0)，
设直线方程为y＝k(x－1)，
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
∴x1＋x2＝＝5，
∴k2＝，即k＝±.
因而这样的直线有且仅有两条．
8．抛物线y2＝8x上一点P到x轴距离为12，则点P到抛物线焦点F的距离为( )
A．20 B．8
C．22 D．24
[答案] A
[解析] 设P(x0,12)，则x0＝18，
∴|PF|＝x0＋＝20.
9．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为( )
A．2 B.
C. D.
[答案] B
[解析] ＝c＝，∴p＝.
10．在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)的曲线大致是( )
[答案] D
[解析] 解法一：将方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0转化为标准方程＋＝1，y2＝－x.因为a>b>0，因此>>0.
所以有椭圆的焦点在y轴，抛物线的开口向左．
解法二：将方程ax＋by2＝0中的y换成－y，其结果不变，
即说明ax＋by2＝0的图象关于x轴对称，排除B、C，又椭圆的焦点在y轴，排除A.
二、填空题
12．到点A(－1,0)和直线x＝3距离相等的点的轨迹方程是________．
[答案] y2＝8－8x
[解析] 设动点坐标为(x，y)，
由题意得＝|x－3|，
化简得y2＝8－8x.
13．以双曲线－＝1的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是__________．
[答案] y2＝－20x
[解析] ∵双曲线的左焦点为(－5,0)，故设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，
又p＝10，∴y2＝－20x.
14．圆心在第一象限，且半径为1的圆与抛物线y2＝2x的准线和双曲线－＝1的渐近线都相切，则圆心的坐标是________．
[解析] 设圆心坐标为(a，b)，则a>0，b>0.
∵y2＝2x的准线为x＝－，
－＝1的渐近线方程为3x±4y＝0.
由题意a＋＝1，则a＝.
|3a±4b|＝5，解得b＝或b＝，
∴圆心坐标为、.
三、解答题
16．已知点A(0，－2)，B(0,4)，动点P(x，y)满足·＝y2－8.
(1)求动点P的轨迹方程．
(2)设(1)中所求轨迹与直线y＝x＋2交于C、D两点．
求证：OC⊥OD(O为原点)
[解析] (1)由题意可得·＝(－x，－2－y)·(－x,4－y)＝y2－8
化简得x2＝2y
(2)将y＝x＋2代入x2＝2y中，得x2＝2(x＋2)
整理得x2－2x－4＝0
可知Δ＝20>0
设C(x1，y1)，D(x2，y2)
x1＋x2＝2，x1·x2＝－4
∵y1＝x1＋2，y2＝x2＋2
∴y1y2＝(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝4
∵·＝x1x2＋y1y2＝0
∴OC⊥OD
18．抛物线的焦点F是圆x2＋y2－4x＝0的圆心．
(1)求该抛物线的标准方程；
(2)直线l的斜率为2，且过抛物线的焦点，若l与抛物线、圆依次交于A，B，C，D，求|AB|＋|CD|.
[解析] (1)由圆的方程知圆心坐标为(2,0)．因为所求的抛物线以(2,0)为焦点，所以抛物线的标准方程为y2＝8x.
(2)如右图，|AB|＋|CD|＝|AD|－|BC|，又|BC|＝4，所以只需求出|AD|即可．
由题意，AD所在直线方程为y＝2(x－2)，与抛物线方程y2＝8x联立得 x2－6x＋4＝0，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，所以x1＋x2＝6，x1x2＝4，|AD|＝|AF|＋|DF|＝(x1＋2)＋(x2＋2)＝x1＋x2＋4＝6＋4＝10，所以|AB|＋|CD|＝|AD|－|BC|＝6.
[点拨] 本题求出x1＋x2＝6，x1x2＝4后可以利用弦长公式来求，但直接利用抛物线定义得|AD|＝|AF|＋|DF|＝x1＋x2＋p，则简单利落．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网