本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
2.2.2
一、选择题
1．下列命题错误的是( )
A．三角形中至少有一个内角不小于60°
B．四面体的三组对棱都是异面直线
C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点
D．设a，b∈Z，若a＋b是奇数，则a，b中至少有一个为奇数
[答案] D
2．已知x1>0，x1≠1，且xn＋1＝(n＝1,2，…)．试证：数列{xn}或者对任意正整数n都满足xn
xn＋1.当解决此题用反证法否定结论时，应为( )
A．对任意的正整数n，有xn＝xn＋1
B．存在正整数n，使xn＝xn＋1
C．存在正整数n，使xn≥xn－1且xn≥xn＋1
D．存在正整数n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0
[答案] D
[解析] 结论是说数列{xn}或严格单调递增或严格单调递减，总之是严格单调数列，其否定应是：或为常数列或为摆动数列，因而其中存在一个项xn，或不比两边的项大，或不比两边的项小，即xn≤xn－1且xn≤xn＋1，或xn≥xn－1且xn≥xn＋1，所以(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0.
3．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用( )
①结论相反判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论
A．①② B．①②④
C．①②③ D．②③
[答案] C
4．分析法证明问题是从所证命题的结论出发，寻求使这个结论成立的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既非充分条件又非必要条件
[答案] A
5．命题“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1
B．或－1C．若x>1或x<－1，则x2>1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
7．若a>b>0，则下列不等式中总成立的是( )
A．a＋>b＋
B.>
C．a＋>b＋
D.>
[答案] A
[解析] 可通过例举反例说明B、C、D均是错误的，或直接论证A选项正确．
8．若x，y>0且x＋y>2，则和的值满足( )
A.和中至少有一个小于2
B.和都小于2
C.和都大于2
D．不确定
[答案] A
[解析] 假设≥2和≥2同时成立．
因为x>0，y>0，
∴1＋x≥2y且1＋y≥2x，
两式相加得1＋x＋1＋y≥2(x＋y)，
即x＋y≤2，这与x＋y>2相矛盾，
因此和中至少有一个小于2.
10．下面的四个不等式：
①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；
②a(1－a)≤；
③＋≥2；
④(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
其中恒成立的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] C
[解析] ∵a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，
a(1－a)－＝－a2＋a－＝－(a－2)≤0，
(a2＋b2)·(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2
≥a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd)2
只有当＞0时才有＋≥2成立
∴应选C.
二、填空题
12．设实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个不小于________．
[答案]
[解析] 假设a，b，c都小于，则a＋b＋c<1，与已知条件矛盾．a，b，c中至少有一个不小于.
13．“x＝0且y＝0”的否定形式为________．
[答案] x≠0或y≠0
[解析] “p且q”的否定形式为“綈p或綈q”．
14．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是________．
[答案] 丙
[解析] 若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
2.1.2
一、选择题
3．“因对数函数y＝logax是增函数(大前提)，而y＝logx是对数函数(小前提)，所以y＝logx是增函数(结论)．”上面推理的错误是( )
A．大前提错导致结论错
B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提都错导致结论错
[答案] A
[解析] 大前提错误，因为对数函数y＝logax(o＜a＜1)是减函数
4．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②这艘船是准时到达目的港的；③所以这艘船是准时起航的．”中的“小前提”是( )
A．①
B．②
C．①②
D．③
[答案] B
5．演绎推理是( )
A．部分到整体，个别到一般地推理
B．特殊到特殊的推理
C．一般到特殊的推理
D．一般到一般地推理
[答案] C
6．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质
C．某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人
D．在数列{an}中a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
[答案] A
7．“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P)，某奇数(S)是9的倍数(M)，故某奇数(S)是3的倍数(P)．”上述推理是( )
A．小前提错
B．结论错
C．正确的
D．大前提错
[答案] C
9．“三角函数是周期函数，y＝tanx在x∈上是三角函数，所以y＝tanx在x∈上是周期函数．”在以上演绎推理中，下列正确的是( )
A．推理完全正确
B．大前提不正确
C．小前提不正确
D．推理形式不正确
[答案] C
[解析] y＝tanx，x∈只是三角函数中的一个特例，不是代表一般的三角函数，故小前提错误．
10．“凡自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数．”以上三段论推理( )
A．完全正确
B．推理形式不正确
C．不正确，两个“自然数”概念不一致
D．不正确，两个“整数”概念不一致
[答案] A
[解析] 大前提“凡是自然数都是整数”正确．
小前提“4是自然数”也正确，所以结论正确．
二、填空题
12．△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的度数为________．
[答案] 60°
[解析] 由p∥q知(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理知，cosC＝＝，则C＝60°.
13．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：
大前提_______________________________________________________________．
小前提_______________________________________________________________．
结论___________________________________________________________．
[答案] 一次函数的图像是条直线 函数y＝2x＋5是一次函数 函数y＝2x＋5的图像是条直线
14．“一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数．”把此演绎推理写成三段论的形式为：
大前提_______________________________________________________________．
小前提__________________________________________________________________．
结论_________________________________________________________．
[答案] 不能被2整除的整数是奇数 75不能被2整除 75是奇数
三、解答题
15．如下图，在空间四边形ABCD中，M、N分别为AB，AD的中点．
求证：MN∥平面BCD(写出大前提，小前提，结论)
[证明] ①三角形中位线平行于底边(大前提)
∵M、N分别为AB与AD的中点(小前提)
∴MN∥BD(结论)
②平面外一条直线与平面内一条直线平行，则这条直线与这个面平行(大前提)
∵MN 面BCD，BD 面BCD.
MN∥BD(小前提)
∴MN∥平面BCD(结论)
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
2.2.1
一、选择题
1．设α，β，γ为平面，a，b为直线，给出下列条件：
①a α，b β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.
其中能使α∥β一定成立的条件是( )
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
[答案] C
[解析] ①若α∩β＝l，a∥l，b∥l亦满足，③α可与β相交，④ α∥β.故选C.
2．已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，则＋的最小值是( )
A．2 B．2 C．4 D．2
[答案] C
[解析] 依题意得lg(2x·8y)＝lg2，即2x＋3y＝2，所以x＋3y＝1.所以＋＝·(x＋3y)＝2＋＋≥2＋2＝2＋2＝4，当且仅当＝，即x＝3y＝时，等号成立．故选C.
3．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有( )
A．1≤ab≤ B．ab<1<
C．ab<<1 D.<1[答案] B
[解析] ab<2<(a≠b)．
6．a>b>c，n∈N＋，＋≥恒成立，则n的最大值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
[答案] C
[解析] ＋＝＝≥＝.∴nmax＝4.
7．已知函数f(x)＝x，a、b∈R＋，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系为( )
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
[答案] A
[解析] ≥≥，又函数f(x)＝()x在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f()≤f()≤f()．
8．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了( )
A．分析法
B．综合法
C．综合法与分析法结合使用
D．间接证法
[答案] B
[解析] 利用已有的公式顺推得到要证明的等式，故是综合法．
9．要证明＋<4可选择的方法有以下几种，其中最合理的为( )
A．综合法 B．分析法
C．反证法 D．归纳法
[答案] B
二、填空题
11．已知α、β为实数，给出下列三个论断：
①αβ＞0；②|α＋β|＞5；③|α|＞2，|β|＞2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是______．
[答案] ①③ ②
[解析] ∵αβ＞0，|α|＞2，|β|＞2
∴|α＋β|2＝α2＋β2＋2αβ＞8＋8＋2×8＝32＞25
∴|α＋β|＞5
12．已知a>0，b>0，m＝lg，n＝lg，则m与n的大小关系为________．
[答案] m>n
[解析] 因为(＋)2＝a＋b＋2>a＋b>0，所以>，所以m>n.
14．设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为________．
[答案] a>c>b
[解析] b＝，c＝，显然b而a2＝2，c2＝8－2＝8－<8－＝2＝a2，
所以a>c.
也可用a－c＝2－＝－>0显然成立，即a>c.
三、解答题
15．(2010·陕西文，18)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．
(1)证明：EF∥平面PAD；
(2)求三棱锥E－ABC的体积V.
[解析] 本题考查线面平行的判定，三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力，推理论证能力．
解：(1)在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，
∴EF∥BC.
又BC∥AD，∴EF∥AD，
又∵AD 平面PAD，EF 平面PAD，
∴EF∥平面PAD.
(2)连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G，
则EG⊥平面ABCD，且EG＝PA.
在△PAB中，AP＝AB，∠PAB＝90°，BP＝2，
∴AP＝AB＝，EG＝，
∴S△ABC＝AB·BC＝××2＝，
∴VE—ABC＝S△ABC·EG＝××＝.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第二章综合素质检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．有如下一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，这个推理的结论显然是错误的，是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
[答案] C
[解析] 推理形式不完全符合三段论推理的要求，故推出的结论是错误的．
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an＝( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 考查归纳推理．
a2＝S2－S1＝22a2－1∴a2＝
a3＝S3－S2＝32·a3－22·a2＝9a3－4×
∴a3＝
a4＝S4－S3＝42·a4－32a3＝16a4－9×
∴a4＝
由此猜想an＝
3．观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特点，问第100项为( )
A．10 B．14
C．13 D．100
[答案] B
[解析] 设n∈N*，则数字n共有n个
所以≤100即n(n＋1)≤200，
又因为n∈N*，所以n＝13，到第13个13时共有＝91项，从第92项开始为14，故第100项为14.
4．如果x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与x轴相切于原点，那么( )
A．F＝0，D≠0，E≠0 B．E＝0，F＝0，D≠0
C．D＝0，F＝0，E≠0 D．D＝0，E＝0，F≠0
[答案] C
[解析] ∵圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与x轴相切于原点，
∴圆过原点，F＝0，又圆心在y轴上，∴D＝0，E≠0.
5．已知aA．a2C．a<4－b D.<
[答案] C
[解析] ∵a0,4－b>4，∴a<4－b.
6．已知f1(x)＝cosx，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f3′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，则f2011(x)等于( )
A．sinx B．－sinx
C．cosx D．－cosx
[答案] D
[解析] 由已知，有f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，…，可以归纳出：
f4n(x)＝sinx，f4n＋1(x)＝cosx，f4n＋2(x)＝－sinx，f4n＋3(x)＝－cosx(n∈N*)．所以f2011(x)＝f3(x)＝－cosx.
7．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，则a20等于( )
A．0 B．－
C. D.
[答案] B
[解析] a2＝＝－，a3＝＝，a4＝0，所以此数列具有周期性，0，－，依次重复出现．
因为20＝3×6＋2，所以a20＝－.
8．已知1＋2×3＋3×32＋4×32＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，那么a，b，c的值为( )
A．a＝，b＝c＝
B．a＝b＝c＝
C．a＝0，b＝c＝
D．不存在这样的a，b，c
[答案] A
[解析] 令n＝1,2,3，得
所以a＝，b＝c＝.
9．已知f(x)＝x3＋x，a，b，c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值( )
A．一定大于零 B．一定等于零
C．一定小于零 D．正负都有可能
[答案] A
[解析] f(x)＝x3＋x是奇函数，且在R上是增函数，
由a＋b>0得a>－b，
所以f(a)>f(－b)，即f(a)＋f(b)>0，
同理f(a)＋f(c)>0，f(b)＋f(c)>0，所以f(a)＋f(b)＋f(c)>0.
10．用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”，下列各假设中正确的是( )
A．假设a，b，c都是偶数
B．假设a，b，c都不是偶数
C．假设a，b，c中至多有一个是偶数
D．假设a，b，c中至多有两个偶数
[答案] B
[解析] 对命题的结论“a，b，c中至少有一个是偶数”进行否定假设应是“假设a，b，c都不是偶数”．因为“至少有一个”即有一个、两个或三个，因此它的否定应是“都不是”．
11．已知数列{an}的通项公式an＝(n∈N*)，记f(n)＝(1－a1)(1－a2)(1－a3)…(1－an)，通过计算f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的值，由此猜想f(n)＝( )
A. B.
C. D.
[答案] A
12．若＝＝，则△ABC是( )
A．等边三角形
B．有一个内角是30°的直角三角形
C．等腰直角三角形
D．有一个内角是30°的等腰三角形
[答案] C
[解析] ∵＝＝，由正弦定理得，
＝＝，∴＝＝＝，
∴sinB＝cosB，sinC＝cosC，∴∠B＝∠C＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．对于“求证函数f(x)＝－x3在R上是减函数”，用“三段论”可表示为：大前提是“对于定义域为D的函数f(x)，若对任意x1，x2∈D且x2－x1>0，有f(x2)－f(x1)<0，则函数f(x)在D上是减函数”，小前提是“
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________”，结论是“f(x)＝－x3在 R上是减函数”．
[答案] 对于任意x1，x2∈R且x2－x1>0，有f(x2)－f(x1)＝－x＋x＝－(x2－x1)(x＋x1x2＋x)＝－(x2－x1)·<0
14．在△ABC中，D为边BC的中点，则＝(＋)．将上述命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：
________________________________________________________________________.
[答案] 在四面体A－BCD中，G为△BCD的重心，则＝(＋＋)
15．已知数列{an}，a1＝，an＋1＝，则a2、a3、a4、a5分别为________，猜想an＝________.
[答案] ，，，，.
16．已知函数f(x)＝x2－cosx，对于上的任意x1，x2，有如下条件：
①x1>x2；②x>x；③|x1|>x2.
其中能使f(x1)>f(x2)恒成立的条件序号是______．
[答案] ②
[解析] 易知函数f(x)是偶函数，且在上是增函数，故能使f(x1)>f(x2)恒成立的条件只有②x>x.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)已知：a、b、c∈R，且a＋b＋c＝1.
求证：a2＋b2＋c2≥.
[解析] 证明：由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.
三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
∴3(a2＋b2＋c2)≥(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b＋c)2.
由a＋b＋c＝1，得3(a2＋b2＋c2)≥1，
即a2＋b2＋c2≥.
18．(本题满分12分)设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，若cn＝an＋bn，请证明数列{cn}不是等比数列．
[证明] 假设数列{cn}是等比数列，则
(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1)．①
因为{an}，{bn}是等比数列，设公比分别为p，q，则有
a＝an－1·an＋1，b＝bn－1·bn＋1.②
整理①式，并将②代入得
2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1.
所以2anbn＝anp·＋·bnq，即2＝＋.
因为p≠q，所以＋≠2，得出矛盾，所以假设不成立．
故数列{cn}不是等比数列．
19．(本题满分12分)若x>0，y>0，用分析法证明：(x2＋y2)>(x3＋y3).
[证明] 要证(x2＋y2)>(x3＋y3)，
只需证(x2＋y2)3>(x3＋y3)2，
即证x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6>x6＋2x3y3＋y6，
即证3x4y2＋3y4x2>2x3y3.
又因为x>0，y>0，所以x2y2>0，
故只需证3x2＋3y2>2xy.
而3x2＋3y2>x2＋y2≥2xy成立，
所以(x2＋y2)>(x3＋y3)成立．
20．(本题满分12分)证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论．
2cos＝，
2cos＝，
2cos＝，
……
[证明] 2cos＝2·＝
2cos＝2
＝2·＝
2cos＝2
＝2
＝
…
2cos＝
21．(本题满分12分)已知数列{an}满足a1＝3，an·an－1＝2·an－1－1.
(1)求a2，a3，a4；
(2)求证：数列是等差数列，并求出数列{an}的通项公式．
[解析] (1)由an·an－1＝2·an－1－1得
an＝2－，
代入a1＝3，n依次取值2,3,4，得
a2＝2－＝，a3＝2－＝，a4＝2－＝.
(2)证明：由an·an－1＝2·an－1－1变形，得
(an－1)·(an－1－1)＝－(an－1)＋(an－1－1)，
即－＝1，
所以{}是等差数列．
由＝，所以＝＋n－1，变形得an－1＝，
所以an＝为数列{an}的通项公式．
22．(本题满分14分)已知函数f(x)对任意实数a、b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1.
(1)求证：f(x)是R上的增函数．
(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.
[解析] (1)证明：设任意x1，x2∈R，且x2>x1，
则有x2－x1>0，利用已知条件“当x>0时，f(x)>1”得f(x2－x1)>1，
而f(x2)－f(x1)
＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)
＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)
＝f(x2－x1)－1>0，
即f(x2)>f(x1)，
所以f(x)是R上的增函数．
(2)由于f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，所以f(2)＝3.
由f(3m2－m－2)<3得f(3m2－m－2)由f(x)是R上的增函数，得3m2－m－2<2，
解得－121世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
2章章末
一、选择题
1．设S是至少含有两个元素的集合．在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a，b∈S，对于有序无素对(a，b)，在S中有惟一确定的元素a*b与之对应)．若对任意的a，b∈，有a* (b*a)＝b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是( )
A．(a*b) *a＝a
B．[a* (b*a)] * (a*b)＝a
C．b* (b*b)＝b
D．(a*b) * [b* (a*b)]＝b
[答案] A
[解析] 抓住本题的本质a* (b*a)＝b此式恒成立．
a，b只要为S中元素即可，a*b∈S，
B中由已知即为b* (a*b)＝a符合已知条件形式．
C中取a＝b即可．
D中a*b相当于已知中的a，也正确．
只有A不一定正确．
2．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想：第n(n∈N＋)个等式应为( )
A．9(n＋1)＋n＝10n＋9
B．9(n－1)＋n＝10n－9
C．9n＋(n－1)＝10n－1
D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10
[答案] B
3．已知数列，，2，，…，则2是这个数列的( )
A．第6项 B．第7项
C．第19项 D．第11项
[答案] B
[解析] ，，，，…，而2＝，可见各根号内构成首项为2，公差为3的等差数列
由20＝2＋(n－1)×3得n＝7.
二、填空题
4．已知等式cosα·cos2α＝，cosα·cos2α·cos4α＝，…，请你写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含了已知等式(不要求证明)，那么这个等式是：__________________.
[答案] cosα·cos2α·…·cos(2n－1α)＝
[解析] 该题通过观察前几个特殊式子的特点，通过归纳推理是得出一般规律，写出结果即可．
5．(2010·淄博模拟)已知函数f(x)满足：f(p＋q)＝f(p)
f(q)，f(1)＝3，则＋＋＋＝________.
[答案] 24
[解析] 依题意有f(2x)＝f(x＋x)＝f2(x)，
又f(x＋1)＝f(x)·f(1)，∴f(1)＝.
于是原式＝＋＋＋
＝2[f(1)＋f(1)＋f(1)＋f(1)]＝24.
三、解答题
6．已知函数f(x)＝ax＋(a>1)
(1)证明f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；
(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负根．
[证明] 任取x1、x2∈(－1，＋∞)，不妨设x10，
∵a>1，∴ax2－x1>1，且ax1>0，
∴ax2－ax1＝(ax2－x1－1)ax1>0，
又∵x1＋1>0，x2＋1>0.
∴－＝
＝>0.
于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0，
故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)假设存在x0<0(x0≠－1)，满足f(x0)＝0.
①若－1∴f(x0)<－1与f(x0)＝0矛盾
②若x0<－1，则>0，ax0>0，
∴f(x0)>0与f(x0)＝0矛盾．
故方程f(x)＝0没有负数根．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
2.1.1
一、选择题
1．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图)，则第七个三角形数是( )
A．27 B．28
C．29 D．30
[答案] B
[解析] 后面的三角形数依次在前面的基础上顺次加上2,3,4,5，……，故第七个三角形数为21＋7＝28.
2．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于( )
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1111
1234×9＋5＝11111
12345×9＋6＝111111
……
A．1111110 B．1111111
C．1111112 D．1111113
[答案] B
[解析] 可利用归纳推理，由已知可猜测123456×9＋7＝1111111.
3．(2009·湖北文，10)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：
他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )
A．289
B．1024
C．1225
D．1378
[答案] C
[解析] 本题主要考查数形的有关知识．
图1中满足a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，
以上累加得an－a1＝2＋3＋…＋n，an＝1＋2＋3＋…＋nan＝，图2中满足bn＝n2，
一个数若满足三角形数，其必能分解成两个相邻自然数乘积的一半；
一个数若满足正方形数，其必为某个自然数的平方．
∵1225＝352＝，∴选C.
5．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式：S＝，可推知扇形面积公式S扇等于( )
A.
B.
C.
D．不可类比
[答案] C
[解析] 从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适．
7．观察右图图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )
A.
B．△
C．
D．○
[答案] A
[解析] 图形涉及○、△、 三种符号；其中△与○各有3个，且各自有两黑一白，所以缺一个黑色 符号，即应画上 才合适．
8．下列推理正确的是( )
A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sinx＋siny
C．把a(b＋c)与ax＋y类比，则有ax＋y＝ax＋ay
D．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则有a·(b＋c)＝a·b＋a·c
[答案] D
[解析] a·(b＋c)＝ab＋ac，故类比a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
9．我们把1,4,9,16,25，…这些数称作正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形(如下图)，则第n个正方形数是( )
A．n(n－1)
B．n(n＋1)
C．n2
D．(n＋1)2
[答案] C
[解析] 第n个正方形数的数目点子可排成每边有n个点子的正方形，故为n2.
二、填空题
12．(2010·陕西文，11)观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为__________________．
[答案] 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)
[解析] 本题考查归纳推理．
根据已知条件，第四个等式应用13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)．
14．如图，已知命题：若矩形ABCD的对角线BD与边AB和BC所成的角分别为α，β，则cos2α＋cos2β＝1，则在长方体ABCD－A1B1C1D1中，可写出类似的命题：________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
[解析] 长方体ABCD－A1B1C1D1中，若对角线BD1与棱AB，BB1，BC所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1或sin2α＋sin2β＋sin2γ＝2
(或：长方体ABCD－A1B1C1D1中，若对角线BD1与平面ABCD，ABB1A1，BCC1B1所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2或sin2α＋sin2β＋sin2γ＝1)
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网