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选修2-2 2.2.2
一、选择题
1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )
A．有一个解
B．有两个解
C．至少有三个解
D．至少有两个解
[答案] C
[解析] 在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.
2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为( )
A．a、b、c都是奇数
B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数
C．a、b、c都是偶数
D．a、b、c中至少有两个偶数
[答案] B
[解析] a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”．故应选B.
3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )
A．假设三内角都不大于60°
B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至多有一个大于60°
D．假设三内角至多有两个大于60°
[答案] B
[解析] “至少有一个不大于”的否定是“都大于60°”．故应选B.
4．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( )
A．假设a，b，c都是偶数
B．假设a、b，c都不是偶数
C．假设a，b，c至多有一个偶数
D．假设a，b，c至多有两个偶数
[答案] B
[解析] “至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数．
5．命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是( )
A．aB．a≤b
C．a＝b
D．a≥b
[答案] B
[解析] “a>b”的否定应为“a＝b或a6．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( )
A．一定是异面直线
B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线
D．不可能是相交直线
[答案] C
[解析] 假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.
7．设a，b，c∈(－∞，0)，则三数a＋，c＋，b＋中( )
A．都不大于－2
B．都不小于－2
C．至少有一个不大于－2
D．至少有一个不小于－2
[答案] C
[解析] ＋＋
＝＋＋
∵a，b，c∈(－∞，0)，
∴a＋＝－≤－2
b＋＝－≤－2
c＋＝－≤－2
∴＋＋≤－6
∴三数a＋、c＋、b＋中至少有一个不大于－2，故应选C.
8．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则( )
A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行
B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直
C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交
D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面
[答案] B
[解析] 对于A，若存在直线n，使n∥l且n∥m
则有l∥m，与l、m异面矛盾；对于C，过点P与l、m都相交的直线不一定存在，反例如图(l∥α)；对于D，过点P与l、m都异面的直线不唯一．
9．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是( )
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
[答案] C
[解析] 因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，从而知甲、丙对，所以丙为获奖歌手．故应选C.
10．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝(n＝1,2…)，试证“数列{xn}或者对任意正整数n都满足xnxn＋1”，当此题用反证法否定结论时，应为( )
A．对任意的正整数n，都有xn＝xn＋1
B．存在正整数n，使xn＝xn＋1
C．存在正整数n，使xn≥xn＋1且xn≤xn－1
D．存在正整数n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0
[答案] D
[解析] 命题的结论是“对任意正整数n，数列{xn}是递增数列或是递减数列”，其反设是“存在正整数n，使数列既不是递增数列，也不是递减数列”．故应选D.
二、填空题
11．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．
[答案] 没有一个是三角形或四边形或五边形
[解析] “至少有一个”的否定是“没有一个”．
12．用反证法证明命题“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么反设的内容是________________．
[答案] a，b都不能被5整除
[解析] “至少有一个”的否定是“都不能”．
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选修2-2 2.1.2
一、选择题
1．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是( )
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
[答案] B
[解析] 由大前提、小前提、结论三者的关系，知大前提是：矩形是对角线相等的四边形．故应选B.
2．“①一个错误的推理或者前提不成立，或者推理形式不正确，②这个错误的推理不是前提不成立，③所以这个错误的推理是推理形式不正确．”上述三段论是( )
A．大前提错
B．小前提错
C．结论错
D．正确的
[答案] D
[解析] 前提正确，推理形式及结论都正确．故应选D.
3．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( )
A．类比推理
B．归纳推理
C．演绎推理
D．一次三段论
[答案] C
[解析] 这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．
4．“因对数函数y＝logax(x>0)是增函数(大前提)，而y＝logx是对数函数(小前提)，所以y＝logx是增函数(结论)”．上面推理的错误是( )
A．大前提错导致结论错
B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提都错导致结论错
[答案] A
[解析] 对数函数y＝logax不是增函数，只有当a>1时，才是增函数，所以大前提是错误的．
5．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是( )
A．①
B．②
C．③
D．①②
[答案] B
[解析] 由①②③的关系知，小前提应为“三角形不是平行四边形”．故应选B.
6．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③所以这艘船是准时起航的”中的小前提是( )
A．①
B．②
C．①②
D．③
[答案] B
[解析] 易知应为②.故应选B.
7．“10是5的倍数，15是5的倍数，所以15是10的倍数”上述推理( )
A．大前提错
B．小前提错
C．推论过程错
D．正确
[答案] C
[解析] 大小前提正确，结论错误，那么推论过程错．故应选C.
8．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数，以上三段论推理( )
A．正确
B．推理形式正确
C．两个自然数概念不一致
D．两个整数概念不一致
[答案] A
[解析] 三段论的推理是正确的．故应选A.
9．在三段论中，M，P，S的包含关系可表示为( )
[答案] A
[解析] 如果概念P包含了概念M，则P必包含了M中的任一概念S，这时三者的包含可表示为；如果概念P排斥了概念M，则必排斥M中的任一概念S，这时三者的关系应为．故应选A.
10．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )
A．使用了归纳推理
B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但大前提使用错误
D．使用了“三段论”，但小前提使用错误
[答案] D
[解析] 应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．
二、填空题
11．求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是有意义时，a≥0，小前提是有意义，结论是________．
[答案] log2x－2≥0
[解析] 由三段论方法知应为log2x－2≥0.
12．以下推理过程省略的大前提为：________.
∵a2＋b2≥2ab，
∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab.
[答案] 若a≥b，则a＋c≥b＋c
[解析] 由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋b2，故大前提为：若a≥b，则a＋c≥b＋c.
13．(2010·重庆理，15)已知函数f(x)满足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2010)＝________.
[答案]
[解析] 令y＝1得4f(x)·f(1)＝f(x＋1)＋f(x－1)
即f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1) ①
令x取x＋1则f(x＋1)＝f(x＋2)＋f(x) ②
由①②得f(x)＝f(x＋2)＋f(x)＋f(x－1)，
即f(x－1)＝－f(x＋2)
∴f(x)＝－f(x＋3)，∴f(x＋3)＝－f(x＋6)
∴f(x)＝f(x＋6)
即f(x)周期为6，
∴f(2010)＝f(6×335＋0)＝f(0)
对4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)，令x＝1，y＝0，得
4f(1)f(0)＝2f(1)，
∴f(0)＝即f(2010)＝.
14．四棱锥P－ABCD中，O为CD上的动点，四边形ABCD满足条件________时，VP－AOB恒为定值(写出一个你认为正确的一个条件即可)．
[答案] 四边形ABCD为平行四边形或矩形或正方形等
[解析] 设h为P到面ABCD的距离，VP－AOB＝S△AOB·h，
又S△AOB＝|AB|d(d为O到直线AB的距离)．
因为h、|AB|均为定值，所以VP－AOB恒为定值时，只有d也为定值，这是一个开放型问题，答案为四边形ABCD为平行四边形或矩形或正方形等．
三、解答题
15．用三段论形式证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，则∠B＝∠C.
[证明] 如下图延长AB，DC交于点M.
①平行线分线段成比例大前提
②△AMD中AD∥BC小前提
③＝结论
①等量代换大前提
②AB＝CD小前提
③MB＝MC结论
在三角形中等边对等角大前提
MB＝MC小前提
∠1＝∠MBC＝∠MCB＝∠2结论
等量代换大前提
∠B＝π－∠1 ∠C＝π－∠2小前提
∠B＝∠C结论
16．用三段论形式证明：f(x)＝x3＋x(x∈R)为奇函数．
[证明] 若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数 大前提
∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－(x3＋x)＝－f(x)小前提
∴f(x)＝x3＋x是奇函数结论
17．用三段论写出求解下题的主要解答过程．
若不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1,2)，求实数a的值．
[解析] 推理的第一个关键环节：
大前提：如果不等式f(x)＜0的解集为(m，n)，且f(m)、f(n)有意义，则m、n是方程f(x)＝0的实数根，
小前提：不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1,2)，且x＝－1与x＝2都使表达式|ax＋2|－6有意义，
结论：－1和2是方程|ax＋2|－6＝0的根．
∴|－a＋2|－6＝0与|2a＋2|－6＝0同时成立．
推理的第二个关键环节：
大前提：如果|x|＝a，a＞0，那么x＝±a，
小前提：|－a＋2|＝6且|2a＋2|＝6，
结论：－a＋2＝±6且2a＋2＝±6.
以下可得出结论a＝－4.
18．设A(x1，y1)、B(x2，y2)两点在抛物线y＝2x2上，l是AB的垂直平分线．
(1)当且仅当x1＋x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
(2)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围．
[解析] (1)F∈l |FA|＝|FB| A、B两点到抛物线的准线的距离相等．
∵抛物线的准线是x轴的平行线，y1≥0，y2≥0，依题意，y1，y2不同时为0.
∴上述条件等价于
y1＝y2 x＝x (x1＋x2)(x1－x2)＝0.
∵x1≠x2，∴上述条件等价于x1＋x2＝0，即当且仅当x1＋x2＝0时，l经过抛物线的焦点F.
(2)设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y＝2x＋b；过点A、B的直线方程为y＝－x＋m，所以x1，x2满足方程2x2＋x－m＝0，得x1＋x2＝－.
A、B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式Δ＝＋8m>0，即m>－.设AB的中点N的坐标为(x0，y0)，则
x0＝(x1＋x2)＝－，
y0＝－x0＋m＝＋m.
由N∈l，得＋m＝－＋b，于是
b＝＋m>－＝.
即得l在y轴上截距的取值范围是.
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选修2-2 2.2 第1课时
一、选择题
3．p＝＋，q＝·(m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大小为( )
A．p≥q B．p≤q
C．p>q D．不确定
[答案] B
[解析] q＝
≥＝＋＝p.
4．已知函数f(x)＝x，a、b∈R＋，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系为( )
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
[答案] A
[解析] ≥≥，又函数f(x)＝x在(－∞，＋∞)上是单调减函数，
∴f≤f()≤f.
5．对任意的锐角α、β，下列不等式关系中正确的是( )
A．sin(α＋β)＞sinα＋sinβ
B．sin(α＋β)＞cosα＋cosβ
C．cos(α＋β)＞sinα＋sinβ
D．cos(α＋β)[答案] D
[解析] ∵α、β为锐角，∴0＜α＜α＋β＜π，
∴cosα＞cos(α＋β)
又cosβ＞0，∴cosα＋cosβ＞cos(α＋β)．
7．已知y>x>0，且x＋y＝1，那么( )
A．x<C．x<<2xy[答案] D
[解析] ∵y>x>0，且x＋y＝1，∴设y＝，x＝，则＝，2xy＝.所以有x<2xy<8．下面的四个不等式：
①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；②a(1－a)≤；
③＋≥2；④(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
其中恒成立的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] C
[解析] ∵(a2＋b2＋c2)－(ab＋bc＋ac)＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0
a(1－a)－＝－a2＋a－＝－2≤0，
(a2＋b2)·(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2
≥a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd)2.∴应选C.
9．若x，y∈R＋，且＋≤a恒成立，则a的最小值是( )
A．2 B.
C．2 D．1
[答案] B
[解析] 原不等式可化为
a≥＝＝
要使不等式恒成立，只需a不小于的最大值即可．
∵≤，当x＝y时取等号，∴a≥，
∴a的最小值为.故应选B.
二、填空题
12．设a>0，b>0，则下面两式的大小关系为lg(1＋)________[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．
[答案] ≤
[解析] ∵(1＋)2－(1＋a)(1＋b)
＝1＋2＋ab－1－a－b－ab
＝2－(a＋b)＝－(－)2≤0
∴(1＋)2≤(1＋a)(1＋b)，
∴lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．
13．如果不等式|x－a|<1成立的充分非必要条件是[答案] ≤a≤
[解析] |x－a|＜1 a－1＜x＜a＋1
由题意知?(a－1，a＋1)则有，
(且等号不同时成立)解得≤a≤.
三、解答题
15．设a>0，b>0，a＋b＝1.
求证：(1)＋＋≥8；
(2)2＋2≥.
[证明] (1)∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴1＝a＋b≥2，≤，∴≥4.
∴＋＋＝(a＋b)＋
≥2·2＋4＝8，∴＋＋≥8.
(2)∵≤，则≥2
∴2＋2≥22
＝≥≥.
∴2＋2≥.
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选修2-2 2. 3
一、选择题
1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步应验证不等式( )
A．1＋<2
B．1＋＋＜2
C．1＋＋＜3
D．1＋＋＋＜3
[答案] B
[解析] ∵n∈N*，n＞1，∴n取第一个自然数为2，左端分母最大的项为＝，故选B.
2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为( )
A．1
B．1＋a＋a2
C．1＋a
D．1＋a＋a2＋a3
[答案] B
[解析] 因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故应选B.
3．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于( )
A. B.
C.＋ D.－
[答案] D
[解析] f(n＋1)－f(n)
＝
－＝＋－
＝－.
4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得( )
A．当n＝6时该命题不成立
B．当n＝6时该命题成立
C．当n＝4时该命题不成立
D．当n＝4时该命题成立
[答案] C
[解析] 原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.
5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是( )
A．假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题也成立
B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题也成立
C．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题也成立
D．假设n＝2k＋1(k∈N)，证明n＝k＋1时命题也成立
[答案] C
[解析] ∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.
6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为( )
A．f(n)＋n＋1
B．f(n)＋n
C．f(n)＋n－1
D．f(n)＋n－2
[答案] C
[解析] 增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.
7．用数学归纳法证明“对一切n∈N*，都有2n>n2－2”这一命题，证明过程中应验证( )
A．n＝1时命题成立
B．n＝1，n＝2时命题成立
C．n＝3时命题成立
D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立
[答案] D
[解析] 假设n＝k时不等式成立，即2k>k2－2，
当n＝k＋1时2k＋1＝2·2k>2(k2－2)
由2(k2－2)≥(k－1)2－4 k2－2k－3≥0
(k＋1)(k－3)≥0 k≥3，因此需要验证n＝1,2,3时命题成立．故应选D.
8．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )
A．30
B．26
C．36
D．6
[答案] C
[解析] 因为f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，推测最大的m值为36.
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an＝( )
A.
B.
C.
D.
[答案] B
[解析] 由Sn＝n2an知Sn＋1＝(n＋1)2an＋1
∴Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an
∴an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an
∴an＋1＝an (n≥2)．
当n＝2时，S2＝4a2，又S2＝a1＋a2，∴a2＝＝
a3＝a2＝，a4＝a3＝.
由a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝
猜想an＝，故选B.
10．对于不等式≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：
(1)当n＝1时，≤1＋1，不等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法( )
A．过程全都正确
B．n＝1验证不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
[答案] D
[解析] n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.
二、填空题
11．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步的验证为________．
[答案] 当n＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立
[解析] 当n＝1时，左≥右，不等式成立，
∵n∈N*，∴第一步的验证为n＝1的情形．
12．已知数列，，，…，，通过计算得S1＝，S2＝，S3＝，由此可猜测Sn＝________.
[答案]
[解析] 解法1：通过计算易得答案．
解法2：Sn＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝1－＝.
13．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.
[答案] 5
[解析] 当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5，当a＝3时且n＝3时，310＋35不能被14整除，故a＝5.
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选修2-2 2章末
一、选择题
1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”的过程应用了( )
A．分析法
B．综合法
C．综合法、分析法综合使用
D．以上都不是
[答案] B
[解析] 所用方法符合综合法的定义，故应选B.
2．已知a1＝1，an＋1>an，且(an＋1－an)2－2(an＋1＋an)＋1＝0计算a2、a3，猜想an＝( )
A．n
B．n2
C．n3
D.－
[答案] B
[解析] 当n＝1时，有(a2－a1)2－2(a2＋a1)＋1＝0
又a1＝1，解之得a2＝4＝22，
当n＝2时，有(a3－a2)2－2(a3＋a2)＋1＝0
即a－8a3＋9－2a3－8＋1＝0
解之得a3＝9＝32，
可猜想an＝n2，故应选B.
3．异面直线在同一平面内的射影不可能是( )
A．两条平行直线
B．两条相交直线
C．一点与一直线
D．同一条直线
[答案] D
[解析] 若两条直线在同一平面的射影是同一直线，则这两条直线的位置关系为平行或相交或重合，这均与异面矛盾，故异面直线在同一平面内的射影不可能为一条直线．故应选D.
4．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)时，从n＝k到n＝k＋1，左端需要增加的代数式为( )
A．2k＋1
B．2(2k＋1)
C.
D.
[答案] B
[解析] 当n＝k时上式为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3…·(2k－1)，
当n＝k＋1时原式左边为[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]…[(k＋1)＋(k＋1)]
＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)
＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)
所以由k增加到k＋1时，可两边同乘以2(2k＋1)．故应选B.
5．设a、b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，则必有( )
A．a⊥b
B．a∥b
C．|a|＝|b|
D．|a|≠|b|
[答案] A
[解析] ∵f(x)＝－abx2＋(a2－b2)x＋ab且f(x)的图象为一条直线，
∴a·b＝0即a⊥b，故选A.
二、填空题
6．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“____________________________”，这个类比命题是________命题(填“真”或“假”)．
[答案] 夹在两个平行平面间的平行线段相等；真
[解析] 类比推理要找两类事物的类似特征，平面几何中的线，可类比立体几何中的面．故可类比得出真命题“夹在两个平行平面间的平行线段相等”．
7．推理某一三段论，其前提之一为肯定判断，结论为否定判断，由此可以推断：该三段论的另一前提必为________判断．
[答案] 否定
[解析] 当另一前提为肯定判断时，结论必为肯定判断，这不合题意，故应为否定判断．
8．如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有__________条，这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)＝________________；f(n)＝______________.(答案用数字或n的解析式表示)
[答案] 12
[解析] 所有顶点所确定的直线共有棱数＋底边数＋对角线数＝n＋n＋＝C＝.
从图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f(4)＝4×2＋×2＝12，也可以归纳出一侧棱对应底面三条线成异面，其中四条侧棱应有4×3对异面直线．所以f(n)＝n(n－2)＋×(n－2)＝或一条棱对应C－(n－1)＝对异面直线．
故共有n·对异面直线．
三、解答题
9．(1)椭圆C：＋＝1(a>b>0)与x轴交于A、B两点，点P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证：·为定值b2－a2.
(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线－＝1(a>0，b>0)与x轴交于A、B两点，点P是双曲线C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证·为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)．
[解析] (1)证明如下：设点P(x0，y0)，(x0≠±a)
依题意，得A(－a,0)，B(a,0)
所以直线PA的方程为y＝(x＋a)
令x＝0，得yM＝
同理得yN＝－
所以yMyN＝
又点P(x0，y0)在椭圆上，所以＋＝1，
因此y＝(a2－x)
所以yMyN＝＝b2
因为＝(a，yN)，＝(－a，yM)
所以·＝－a2＋yMyN＝b2－a2.
(2)－(a2＋b2)．
10．用数学归纳法证明：
12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1·(n∈N*)．
[解析] (1)当n＝1时，左边＝12＝1，
右边＝(－1)0×＝1，
左边＝右边，等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N*)时，等式成立，即
12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2
＝(－1)k－1·.
则当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k(k＋1)·
＝(－1)k·.
∴当n＝k＋1时，等式也成立，
根据(1)、(2)可知，对于任何n∈N*等式成立．
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选修2-2 2.1.1 第1课时
一、选择题
1．关于归纳推理，下列说法正确的是( )
A．归纳推理是一般到一般的推理
B．归纳推理是一般到个别的推理
C．归纳推理的结论一定是正确的
D．归纳推理的结论是或然性的
[答案] D
[解析] 归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论的正确性不一定．故应选D.
2．下列推理是归纳推理的是( )
A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆
B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆＋＝1的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
[答案] B
[解析] 由归纳推理的定义知B是归纳推理，故应选B.
3．数列{an}：2,5,11,20，x,47，…中的x等于( )
A．28
B．32
C．33
D．27
[答案] B
[解析] 因为5－2＝3×1,11－5＝6＝3×2,20－11＝9＝3×3，猜测x－20＝3×4,47－x＝3×5，推知x＝32.故应选B.
4．在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2，则猜想an是( )
A．2n－2－
B．2n－2
C．2n－1＋1
D．2n＋1－4
[答案] B
[解析] ∵a1＝0＝21－2，
∴a2＝2a1＋2＝2＝22－2，
a3＝2a2＋2＝4＋2＝6＝23－2，
a4＝2a3＋2＝12＋2＝14＝24－2，
……
猜想an＝2n－2.
故应选B.
6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于( )
A.
B.
C.
D.
[答案] B
[解析] 因为Sn＝n2an，a1＝1，
所以S2＝4a2＝a1＋a2 a2＝＝，
S3＝9a3＝a1＋a2＋a3 a3＝＝＝，
S4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4
a4＝＝＝.
所以猜想an＝，故应选B.
7．n个连续自然数按规律排列下表：
根据规律，从2010到2012箭头的方向依次为( )
A．↓→
B．→↑
C．↑→
D．→↓
[答案] C
[解析] 观察特例的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由234可知从2010到2012为↑→，故应选C.
8．(2010·山东文，10)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )
A．f(x)
B．－f(x)
C．g(x)
D．－g(x)
[答案] D
[解析] 本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，
∴g(－x)＝－g(x)，选D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理的能力的考查．
9．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于( )
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1111
1234×9＋5＝11111
12345×9＋6＝111111
…
A．1111110
B．1111111
C．1111112
D．1111113
[答案] B
[解析] 根据规律应为7个1，故应选B.
10．把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，
试求第七个三角形数是( )
A．27
B．28
C．29
D．30
[答案] B
[解析] 观察归纳可知第n个三角形数共有点数：1＋2＋3＋4＋…＋n＝个，∴第七个三角形数为＝28.
二、填空题
11．观察下列由火柴杆拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：
通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根；第n个图形中，火柴杆有________根．
[答案] 13,3n＋1
[解析] 第一个图形有4根，第2个图形有7根，第3个图形有10根，第4个图形有13根……猜想第n个图形有3n＋1根．
12．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得一般规律是__________________．
[答案] n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
[解析] 第1式有1个数，第2式有3个数相加，第3式有5个数相加，故猜想第n个式子有2n－1个数相加，且第n个式子的第一个加数为n，每数增加1，共有2n－1个数相加，故第n个式子为：
n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋{n＋[(2n－1)－1]}
＝(2n－1)2，
即n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
13．观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S，按此规律推出S与n的关系式为________．
[答案] S＝4(n－1)(n≥2)
[解析] 每条边上有2个圆圈时共有S＝4个；每条边上有3个圆圈时，共有S＝8个；每条边上有4个圆圈时，共有S＝12个．可见每条边上增加一个点，则S增加4，∴S与n的关系为S＝4(n－1)(n≥2)．
14．(2009·浙江理，15)观察下列等式：
C＋C＝23－2，
C＋C＋C＝27＋23，
C＋C＋C＋C＝211－25，
C＋C＋C＋C＋C＝215＋27，
……
由以上等式推测到一个一般的结论：
对于n∈N*，C＋C＋C＋…＋C＝__________________.
[答案] 24n－1＋(－1)n22n－1
[解析] 本小题主要考查归纳推理的能力
等式右端第一项指数3,7,11,15，…构成的数列通项公式为an＝4n－1，第二项指数1,3,5,7，…的通项公式bn＝2n－1，两项中间等号正、负相间出现，∴右端＝24n－1＋(－1)n22n－1.
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选修2-2 2.1.2
一、选择题
2．“①一个错误的推理或者前提不成立，或者推理形式不正确，②这个错误的推理不是前提不成立，③所以这个错误的推理是推理形式不正确．”上述三段论是( )
A．大前提错
B．小前提错
C．结论错
D．正确的
[答案] D
[解析] 前提正确，推理形式及结论都正确．故应选D.
4．“因对数函数y＝logax(x>0)是增函数(大前提)，而y＝logx是对数函数(小前提)，所以y＝logx是增函数(结论)”．上面推理的错误是( )
A．大前提错导致结论错
B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提都错导致结论错
[答案] A
[解析] 对数函数y＝logax不是增函数，只有当a>1时，才是增函数，所以大前提是错误的．
5．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是( )
A．①
B．②
C．③
D．①②
[答案] B
[解析] 由①②③的关系知，小前提应为“三角形不是平行四边形”．故应选B.
9．在三段论中，M，P，S的包含关系可表示为( )
[答案] A
[解析] 如果概念P包含了概念M，则P必包含了M中的任一概念S，这时三者的包含可表示为；如果概念P排斥了概念M，则必排斥M中的任一概念S，这时三者的关系应为．故应选A.
10．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )
A．使用了归纳推理
B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但大前提使用错误
D．使用了“三段论”，但小前提使用错误
[答案] D
[解析] 应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．
二、填空题
11．求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是有意义时，a≥0，小前提是有意义，结论是________．
[答案] log2x－2≥0
[解析] 由三段论方法知应为log2x－2≥0.
12．以下推理过程省略的大前提为：________.
∵a2＋b2≥2ab，
∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab.
[答案] 若a≥b，则a＋c≥b＋c
[解析] 由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋b2，故大前提为：若a≥b，则a＋c≥b＋c.
13．(2010·重庆理，15)已知函数f(x)满足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2010)＝________.
[答案]
[解析] 令y＝1得4f(x)·f(1)＝f(x＋1)＋f(x－1)
即f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1) ①
令x取x＋1则f(x＋1)＝f(x＋2)＋f(x) ②
由①②得f(x)＝f(x＋2)＋f(x)＋f(x－1)，
即f(x－1)＝－f(x＋2)
∴f(x)＝－f(x＋3)，∴f(x＋3)＝－f(x＋6)
∴f(x)＝f(x＋6)
即f(x)周期为6，
∴f(2010)＝f(6×335＋0)＝f(0)
对4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)，令x＝1，y＝0，得
4f(1)f(0)＝2f(1)，
∴f(0)＝即f(2010)＝.
14．四棱锥P－ABCD中，O为CD上的动点，四边形ABCD满足条件________时，VP－AOB恒为定值(写出一个你认为正确的一个条件即可)．
[答案] 四边形ABCD为平行四边形或矩形或正方形等
[解析] 设h为P到面ABCD的距离，VP－AOB＝S△AOB·h，
又S△AOB＝|AB|d(d为O到直线AB的距离)．
因为h、|AB|均为定值，所以VP－AOB恒为定值时，只有d也为定值，这是一个开放型问题，答案为四边形ABCD为平行四边形或矩形或正方形等．
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选修2-2 2.1.1 第2课时
一、选择题
3．三角形的面积为S＝(a＋b＋c)·r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可以得到四面体的体积为( )
A．V＝abc
B．V＝Sh
C．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r，(S1、S2、S3、S4分别为四面体四个面的面积，r为四面体内切球的半径)
D．V＝(ab＋bc＋ac)h(h为四面体的高)
[答案] C
[解析] 边长对应表面积，内切圆半径应对应内切球半径．故应选C.
4．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是( )
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等
A．①
B．①②
C．①②③
D．③
[答案] C
[解析] 正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．
5．类比三角形中的性质：
(1)两边之和大于第三边
(2)中位线长等于底边的一半
(3)三内角平分线交于一点
可得四面体的对应性质：
(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积
(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的
(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点
其中类比推理方法正确的有( )
A．(1)
B．(1)(2)
C．(1)(2)(3)
D．都不对
[答案] C
[解析] 以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．
6．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；
③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；
④“t≠0，mt＝xt m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p a＝x”；
⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；
⑥“＝”类比得到“＝”．
以上式子中，类比得到的结论正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
[答案] B
[解析] 由向量的有关运算法则知①②正确，③④⑤⑥都不正确，故应选B.
7．(2010·浙江温州)如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于( )
A.
B.
C.－1
D.＋1
[答案] A
[解析] 如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
则F(－c,0)，B(0，b)，A(a,0)
∴＝(c，b)，＝(－a，b)
又∵⊥，∴·＝b2－ac＝0
∴c2－a2－ac＝0
∴e2－e－1＝0
∴e＝或e＝(舍去)，
故应选A.
8．六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体．如图甲，在平行四边形ABD中，有AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)，那么在图乙中所示的平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC＋BD＋CA＋DB等于( )
A．2(AB2＋AD2＋AA)
B．3(AB2＋AD2＋AA)
C．4(AB2＋AD2＋AA)
D．4(AB2＋AD2)
[答案] C
[解析] AC＋BD＋CA＋DB
＝(AC＋CA)＋(BD＋DB)
＝2(AA＋AC2)＋2(BB＋BD2)
＝4AA＋2(AC2＋BD2)
＝4AA＋4AB2＋4AD2，故应选C.
9．下列说法正确的是( )
A．类比推理一定是从一般到一般的推理
B．类比推理一定是从个别到个别的推理
C．类比推理是从个别到个别或一般到一般的推理
D．类比推理是从个别到一般的推理
[答案] C
[解析] 由类比推理的定义可知：类比推理是从个别到个别或一般到一般的推理，故应选C.
10．下面类比推理中恰当的是( )
A．若“a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”
B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”
C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“＝＋(c≠0)”
D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”
[答案] C
[解析] 结合实数的运算知C是正确的．
二、填空题
11．设f(x)＝，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为________．
[答案] 3
[解析] 本题是“方法类比”．因等比数列前n项和公式的推导方法是倒序相加，亦即首尾相加，那么经类比不难想到f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝[f(－5)＋f(6)]＋[f(－4)＋f(5)]＋…＋[f(0)＋f(1)]，
而当x1＋x2＝1时，有f(x1)＋f(x2)＝
＝＝，故所求答案为6×＝3.
12．(2010·广州高二检测)若数列{an}是等差数列，对于bn＝(a1＋a2＋…＋an)，则数列{bn}也是等差数列．类比上述性质，若数列{cn}是各项都为正数的等比数列，对于dn>0，则dn＝________时，数列{dn}也是等比数列．
[答案]
13．在以原点为圆心，半径为r的圆上有一点P(x0，y0)，则过此点的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2，而在椭圆＋＝1(a>b>0)中，当离心率e趋近于0时，短半轴b就趋近于长半轴a，此时椭圆就趋近于圆．类比圆的面积公式，在椭圆中，S椭＝________.类比过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程，则过椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(x1，y1)的椭圆的切线方程为________．
[答案] π·a·b；·x＋·y＝1
[解析] 当椭圆的离心率e趋近于0时，椭圆趋近于圆，此时a，b都趋近于圆的半径r，故由圆的面积S＝πr2＝π·r·r，猜想椭圆面积S椭＝π·a·b，其严格证明可用定积分处理．而由切线方程x0·x＋y0·y＝r2变形得·x＋·y＝1，则过椭圆上一点P(x1，y1)的椭圆的切线方程为·x＋·y＝1，其严格证明可用导数求切线处理．
14．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式__________成立．
[答案] b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)
[解析] 解法1：从分析所提供的性质入手：由a10＝0，可得ak＋a20－k＝0，因而当n<19－n时，有a1＋a2＋…＋a19－n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋a19－n，
而an＋1＋an＋2＋…＋a19－n＝＝0，∴等式成立．同理可得n>19－n时的情形．
由此可知：等差数列{an}之所以有等式成立的性质，关键在于在等差数列中有性质：an＋1＋a19－n＝2a10＝0，类似地，在等比数列{bn}中，也有性质：bn＋1·b17－n＝b＝1，因而得到答案：b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)．
解法2：因为在等差数列中有“和”的性质a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n＜19，n∈N*)成立，故在等比数列{bn}中，由b9＝1，可知应有“积”的性质b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)成立. (1)
证明如下：当n＜8时，等式(1)为b1b2…bn＝b1b2…bnbn＋1…b17－n
即：bn＋1·bn＋2…b17－n＝1.(2)
∵b9＝1，∴bk＋1·b17－k＝b＝1.
∴bn＋1bn＋2…b17－n＝b＝1.
∴(2)式成立，即(1)式成立；
当n＝8时，(1)式即：b9＝1显然成立；
当8＜n＜17时，(1)式即：
b1b2…b17－n·b18－n·…bn＝b1b2…b17－n
即：b18－n·b19－n…bn＝1(3)
∵b9＝1，∴b18－k·bk＝b＝1
∴b18－nb19－n·…·bn＝b＝1
∴(3)式成立，即(1)式成立．
综上可知，当等比数列{bn}满足b9＝1时，有：
b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)成立．
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