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选修2-2 3.2.2
一、选择题
1．(2010·安徽理，1)i是虚数单位，＝( )
A.－i
B.＋i
C.＋i
D.－i
[答案] B
[解析] ＝
＝＝＋i，故选B.
3．已知z是纯虚数，是实数，那么z等于( )
A．2i
B．i
C．－i
D．－2i
[答案] D
[解析] 本小题主要考查复数的运算．
设z＝bi(b∈R)，则＝＝＋i，
∴＝0，∴b＝－2，
∴z＝－2i，故选D.
4．i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则乘积ab的值是( )
A．－15
B．－3
C．3
D．15
[答案] B
[解析] 本题考查复数的概念及其简单运算．
＝＝＝－1＋3i＝a＋bi，
∴a＝－1，b＝3，∴ab＝－3.
5．设z是复数，a(z)表示满足zn＝1的最小正整数n，则对虚数单位i，a(i)＝( )
A．8
B．6
C．4
D．2
[答案] C
[解析] 考查阅读理解能力和复数的概念与运算．
∵a(z)表示使zn＝1的最小正整数n.
又使in＝1成立的最小正整数n＝4，∴a(i)＝4.
6．已知复数z的实部为－1，虚部为2，则＝( )
A．2－i
B．2＋i
C．－2－i
D．－2＋i
[答案] A
[解析] 考查复数的运算．
z＝－1＋2i，则＝
＝＝2－i.
8．设z的共轭复数是，若z＋＝4，z·＝8，则等于( )
A．i
B．－i
C．±1
D．±i
[答案] D
[解析] 本题主要考查复数的运算．
设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
由z＋＝4，z ＝8得∴
∴z＝2＋2i，＝2－2i或z＝2－2i，＝2＋2i，＝＝－i或＝＝i.∴＝±i，故选D.
9．(2010·新课标全国理，2)已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝( )
A.
B.
C．1
D．2
[答案] A
[解析] ∵z＝＝＝
＝＝
＝＝＝，∴＝，
∴z·＝|z|2＝，故选A.
10．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为( )
A．3－i
B．1＋3i
C．3＋i
D．1－3i
[答案] A
[解析] 由定义得＝zi＋z＝z(1＋i)＝4＋2i
∴z＝＝3－i.
故应选A.
二、填空题
11.表示为a＋bi(a，b∈R)，则a＋b＝________.
[答案] 1
[解析] 本小题考查复数的除法运算．
∵＝＝i，∴a＝0，b＝1.
因此a＋b＝1.
13．关于x的不等式mx2－nx＋p>0(m、n、p∈R)的解集为(－1,2)，则复数m＋pi所对应的点位于原复平面内的第________象限．
[答案] 二
[解析] ∵mx2－nx＋p>0(m、n、p∈R)的解集为(－1，2)，∴，即m<0，p>0.
故复数m＋pi所对应的点位于复平面内的第二象限．
14．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．
[答案]
[解析] 设＝bi(b∈R且b≠0)，∴z1＝bi(z2)，即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi.∴ a＝.
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选修2-2 3章末归纳总结
一、选择题
1．复数i3(1＋i)2＝( )
A．2 B．－2
C．2i D．－2i
[答案] A
[解析] 考查复数代数形式的运算．
i3(1＋i)2＝－i·(2i)＝2.
2．对于下列四个命题：
①任何复数的绝对值都是非负数．
②如果复数z1＝i，z2＝－i，z3＝－i，z4＝2－i，那么这些复数的对应点共圆．
③|cosθ＋isinθ|的最大值是，最小值为0.
④x轴是复平面的实轴，y轴是虚轴．
其中正确的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案] D
[解析] ①正确．因为若z∈R，则|z|≥0，若z＝a＋bi(b≠0，a，b∈R)，则|z|＝>0.②正确．因为|z1|＝，|z2|＝＝，|z3|＝，|z4|＝，这些复数的对应点均在以原点为圆心，为半径的圆上．③错误．因为|cosθ＋isinθ|＝＝1为定值，最大、最小值相等都阿是1.④正确．故应选D.
3．(2010·陕西理，2)复数z＝在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] A
[解析] z＝＝＋i，对应点在第一象限．
4．设复数z＝(a＋i)2在复平面上的对应点在虚轴负半轴上，则实数a的值是( )
A．－1 B．1
C. D．－
[答案] A
[解析] z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，据条件有
，∴a＝－1.
5．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值为( )
A．1 B．±1
C．－1 D．－2
[答案] A
[解析] 解法1：由x2－1＝0得，x＝±1，当x＝－1时，x2＋3x＋2＝0，不合题意，当x＝1时，满足，故选A.
解法2：检验法：x＝1时，原复数为6i满足，排除C、D；
x＝－1时，原复数为0不满足，排除B，故选A.
二、填空题
6．若z1＝1－i，z2＝3－5i，在复平面上与z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，则Z1，Z2的距离为________．
[答案] 2
[解析] 由z1＝1－i，z2＝3－5i知
Z1(1，－1)，Z2(3，－5)，由两点间的距离公式得：d＝＝2.
7．已知复数z满足z＋(1＋2i)＝10－3i，则z＝______________.
[答案] 9－5i
[解析] ∵z＋(1＋2i)＝10－3i
∴z＝10－3i－(1＋2i)＝(10－1)＋(－3－2)i
＝9－5i.
8．已知复数z1＝cosθ－i，z2＝sinθ＋i，则z1·z2的实部最大值为________，虚部最大值为________．
[答案]
[解析] z1·z2＝(cosθ－i)·(sinθ＋i)
＝(cosθsinθ＋1)＋i(cosθ－sinθ)
实部cosθsinθ＋1＝1＋sin2θ≤，最大值为，
虚部cosθ－sinθ＝cos≤，最大值为.
三、解答题
9．设存在复数z同时满足下列条件：
(1)复数z在复平面内对应点位于第二象限；
(2)z·＋2iz＝8＋ai (a∈R)，试求a的取值范围．
[解析] 设z＝x＋yi (x、y∈R)，
由(1)得x<0，y>0.
由(2)得x2＋y2＋2i(x＋yi)＝8＋ai.
即x2＋y2－2y＋2xi＝8＋ai.
由复数相等得，
解得－6≤a＜0.
10．设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2.
(1)求z的实部的取值范围；
(2)设u＝，求证：u是纯虚数．
(3)求ω－u2的最小值．
[分析] 本题涉及复数的概念、复数与不等式的综合应用，考查学生解综合题的能力．
[解析] (1)设z＝a＋bi(a，b∈R，且b≠0)，
则ω＝z＋＝a＋bi＋
＝＋i.
∵ω∈R，∴b－＝0.
∵b≠0，∴a2＋b2＝1.
此时ω＝2a，又－1<ω<2，
∴－1<2a<2 －
∴z的实部的取值范围是.
(2)证明：u＝＝＝
＝－i.
∵a∈，b≠0，a，b∈R，
∴u为纯虚数．
(3)ω－u2＝2a＋＝2a＋
＝2a－＝2a－1＋
＝2－3.
∵－0.
∴2－3
≥2·2－3＝1.
当且仅当a＋1＝，即a＝0时取“＝”号，
故ω－u2的最小值为1.
[点评] 本题表面上是考查复数的有关概念，但实质上是借复数的知识考查学生的化归能力，考查均值不等式的应用，综合考查学生运用所学知识解决问题的能力是高考改革的方向．
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选修2-2 3.1.2
一、选择题
1．如果复数a＋bi(a，b∈R)在复平面内的对应点在第二象限，则( )
A．a>0，b<0
B．a>0，b>0
C．a<0，b<0
D．a<0，b>0
[答案] D
[解析] 复数z＝a＋bi在复平面内的对应点坐标为(a，b)，该点在第二象限，需a<0且b>0，故应选D.
2．(2010·北京文，2)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )
A．4＋8i
B．8＋2i
C．2＋4i
D．4＋i
[答案] C
[解析] 由题意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中点C(x，y)，则x＝＝2，y＝＝4，
∴点C对应的复数为2＋4i，故选C.
4．复数z＝－2(sin100°－icos100°)在复平面内所对应的点Z位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[答案] C
[解析] z＝－2sin100°＋2icos100°.
∵－2sin100°<0,2cos100°<0，
∴Z点在第三象限．故应选C.
6．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中正确的是( )
A．z对应的点在第一象限
B．z一定不是纯虚数
C．z对应的点在实轴上方
D．z一定是实数
[答案] C
[解析] ∵2t2＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)的值可正、可负、可为0，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1≥1，∴排除A、B、D，选C.
7．下列命题中假命题是( )
A．复数的模是非负实数
B．复数等于零的充要条件是它的模等于零
C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件
D．复数z1>z2的充要条件是|z1|＞|z2|
[答案] D
[解析] ①任意复数z＝a＋bi(a、b∈R)的模|z|＝≥0总成立．∴A正确；
②由复数相等的条件z＝0 . |z|＝0，故B正确；
③若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2∈R)
若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，∴|z1|＝|z2|
反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，
如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时|z1|＝|z2|，故C正确；
④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错．
8．已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于，则实数x的取值范围是( )
A．－B．x<2
C．x>－
D．x＝－或x＝2
[答案] A
[解析] 由题意知(x－1)2＋(2x－1)2<10，
解之得－9．已知复数z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝－1＋ai，若|z1|<|z2|，则实数b适合的条件是( )
A．b<－1或b>1
B．－1C．b>1
D．b>0
[答案] B
[解析] 由|z1|<|z2|得<，
∴b2<1，则－110．复平面内向量表示的复数为1＋i，将向右平移一个单位后得到向量，则向量与点A′对应的复数分别为( )
A．1＋i,1＋i
B．2＋i,2＋i
C．1＋i,2＋i
D．2＋i,1＋i
[答案] C
[解析] 由题意＝，对应复数为1＋i，点A′对应复数为1＋(1＋i)＝2＋i.
二、填空题
13．已知z＝(1＋i)m2－(8＋i)m＋15－6i(m∈R)，若复数z对应点位于复平面上的第二象限，则m的取值范围是________．
[答案] 3[解析] 将复数z变形为z＝(m2－8m＋15)＋(m2－m－6)i
∵复数z对应点位于复平面上的第二象限
∴解得314．若t∈R，t≠－1，t≠0，复数z＝＋i的模的取值范围是________．
[答案] [，＋∞)
[解析] |z|2＝2＋2≥2·＝2.
∴|z|≥.
三、解答题
18．已知复数z1＝－i及z2＝－＋i.
(1)求||及||的值并比较大小；
(2)设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的轨迹是什么图形？
[解析] (1)||＝|＋i|＝＝2
||＝＝1.∴||＞||.
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2.
因为|z|≥1表示圆|z|＝1外部所有点组成的集合．
|z|≤2表示圆|z|＝2内部所有点组成的集合，
∴1≤|z|≤2表示如图所示的圆环．
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选修2-2 3.2.1
一、选择题
2．[(a－b)－(a＋b)i]－[(a＋b)－(a－b)i]等于( )
A．－2b－2bi
B．－2b＋2bi
C．－2a－2bi
D．－2a－2ai
[答案] A
[解析] 原式＝[(a－b)－(a＋b)]＋[－(a＋b)＋(a－b)]i＝－2b－2bi.
3．如果一个复数与它的模的和为5＋i，那么这个复数是( )
A.
B.i
C.＋i
D.＋2i
[答案] C
[解析] 设这个复数为a＋bi(a，b∈R)，
则|a＋bi|＝.
由题意知a＋bi＋＝5＋i
即a＋＋bi＝5＋i
∴，解得a＝，b＝.
∴所求复数为＋i.故应选C.
5． ABCD中，点A，B，C分别对应复数4＋i,3＋4i,3－5i，则点D对应的复数是( )
A．2－3i
B．4＋8i
C．4－8i
D．1＋4i
[答案] C
[解析] 对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i＝－1＋3i，
设点D对应的复数为z，则对应的复数为(3－5i)－z.
由平行四边形法则知＝，
∴－1＋3i＝(3－5i)－z，
∴z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i＝4－8i.故应选C.
6．已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中m为实数，若z1－z2＝0，则m的值为( )
A．4
B．－1
C．6
D．0
[答案] B
[解析] z1－z2＝(m2－3m＋m2i)－[4＋(5m＋6)i]
＝(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i＝0
∴解得m＝－1，故应选B.
7．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝( )
A．－3i
B．3i
C．±3i
D．4i
[答案] B
[解析] 令z＝a＋bi(a，b∈R)，则a2＋b2＝9 ①
又z＋3i＝a＋(3＋b)i是纯虚数
∴ ②
由①②得a＝0，b＝3，
∴z＝3i，故应选B.
8．已知z1，z2∈C且|z1|＝1，若z1＋z2＝2i，则|z1－z2|的最大值是( )
A．6
B．5
C．4
D．3
[答案] C
[解析] 设z1＝a＋bi(a，b∈R，a2＋b2＝1)
z2＝c＋di(c，d∈R)
∵z1＋z2＝2i
∴(a＋c)＋(b＋d)i＝2i
∴∴，
∴|z1－z2|＝|(a－c)＋(b－d)i|＝|2a＋(2b－2)i|
＝＝2
＝2＝2.
∵a2＋b2＝1，∴－1≤b≤1
∴0≤2－2b≤4，∴|z1－z2|≤4.
9．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为( )
A．2
B．4
C．4
D．8
[答案] C
[解析] ∵|z－4i|＝|z＋2|，且z＝x＋yi
∴|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|
∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2
∴x＝－2y＋3，
∴2x＋4y＝2－2y＋3＋4y＝8·＋4y≥4.
二、填空题
11．若z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i(x1，x2，y1，y2∈R)，则|z2－z1|＝______________.
[答案]
[解析] ∵z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i，
∴z2－z1＝(x2－x1)＋(y2－y1)i，
∴|z2－z1|＝.
12．已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝4，则a＋b＝________.
[答案] 3
[解析] z1－z2＝a＋(a＋1)i－[－3b＋(b＋2)i]＝＋[(a＋1)－(b＋2)i]
＝＋(a－b－1)i＝4，
∴，解之得，
∴a＋b＝3.
14．复平面内三点A、B、C，A点对应的复数为2＋i，对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，则点C对应的复数为________．
[答案] 4－2i
[解析] ∵对应的复数是1＋2i，
对应的复数为3－i，
∴对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又＝＋，
∴C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
三、解答题
18．(1)若f(z)＝z＋1－i，z1＝3＋4i，z2＝－2＋i，求f(z1－z2)；
(2)z1＝2cosθ－i，z2＝－＋2isinθ(0≤θ≤2π)，且z1＋z2对应的点位于复平面的第二象限，求θ的范围．
[解析] (1)z1－z2＝3＋4i－(－2＋i)＝5＋3i，
f(z1－z2)＝(z1－z2)＋(1－i)＝5＋3i＋1－i＝6＋2i.
(2)z1＋z2＝(2cosθ－i)＋(－＋2isinθ)＝(2cosθ－)＋(2sinθ－1)i，
由题意得：，即
又θ∈[0,2π]，故θ∈.
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选修2-2 3.1 第1课时
一、选择题
1．下列命题中：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若a，b∈R且a>b，则a＋i3>b＋i2；
③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；
④两个虚数不能比较大小．
其中，正确命题的序号是( )
A．①
B．②
C．③
D．④
[答案] D
[分析] 由复数的有关概念逐个判定．
[解析] 对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0，且b≠0时为纯虚数．在①中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误；在③中，若x＝－1，也不是纯虚数，故③错误；a＋i3＝a－i，b＋i2＝b－1，复数a－i与实数b－1不能比较大小，故②错误；④正确．故应选D.
2．(2010·四川理，1)i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝( )
A．－1
B．1
C．－i
D．i
[答案] A
[解析] i＋i2＋i3＝i－1－i＝－1.
3．下列命题中假命题是( )
A.不是分数
B.i不是无理数
C．－i2是实数
D．若a∈R，则ai是虚数
[答案] D
[解析] 当a＝0时，ai是实数，所以D是假命题，故应选D.
4．对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列结论正确的是( )
A．a＝0 a＋bi为纯虚数
B．b＝0 a＋bi为实数
C．a＋(b－1)i＝3＋2i a＝3，b＝－3
D．－1的平方等于i
[答案] B
[解析] a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数，A错误，B正确．a＋(b－1)i＝3＋2i a＝3，b＝3，C错误．(－1)2＝1，D错误．故应选B.
5．若z的实部为lgx2，虚部为lg2x，x是正实数，那么( )
A．使z的实部、虚部都是正数的x的集合是(1，＋∞)
B．使z的虚部为负数的x的集合是(0,1)
C．使z的实部和虚部互为相反数的x的集合是{1}
D．使z的实部和虚部互为倒数的x的集合是
[答案] A
[解析] 由解得x>1，A正确．故应选A.
6．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是( )
A．|a|＝|b|
B．a<0且a＝－b
C．a>0且a≠b
D．a≤0
[答案] D
[解析] 复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，而|a|＝－a，∴a≤0，故应选D.
7．若sin2θ－1＋i(cosθ＋1)是纯虚数，则θ的值为( )
A．2kπ－
B．2kπ＋
C．2kπ±
D.＋(以上k∈Z)
[答案] B
[解析] 由得(k∈Z)
∴θ＝2kπ＋.选B.
8．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则( )
A．a＝－1
B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1
D．a≠2
[答案] C
[解析] 若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i不是纯虚数，则有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1.故应选C.
9．下列命题中哪个是真命题( )
A．－1的平方根只有一个
B．i是1的四次方程
C．i是－1的立方根
D．i是方程x6－1＝0的根
[答案] B
[解析] ∵(±i)2＝－1，∴－1的平方根有两个，故A错；∵i3＝－i≠－1.∴i不是－1的立方根；∴C错；
∵i6＝i2＝－1，∴i6－1≠0故i不是方程x6－1＝0的根，故D错；
∵i4＝1，∴i是1的四次方根，故选B.
10．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于( )
A．3＋i
B．3－i
C．－3－i
D．－3＋i
[答案] B
[解析] 由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0
即，解得.
∴z＝3－i，故应选B.
二、填空题
11．方程(2x2－3x－2)＋(x2－5x＋6)i＝0的实数解x＝________.
[答案] 2
[解析] 方程可化为
解得x＝2.
12．如果z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i为纯虚数，那么实数a的值为________．
[答案] －2
[解析] 如果z为纯虚数，需，解之得a＝－2.
13．已知复数z＝－x＋(x2－4x＋3)i>0，则实数x＝________.
[答案] 1
[解析] 复数z能与0比较大小，则复数一定是实数，由题意知，解得x＝1.
14．已知复数z1＝m＋(4＋m)i(m∈R)，z2＝2cosθ＋(λ＋3cosθ)i(λ∈R)，若z1＝z2，则λ的取值范围是______．
[答案] [3,5]
[解析] ∵z1＝z2，∴
∴λ＝4－cosθ.
又∵－1≤cosθ≤1，∴3≤4－cosθ≤5，∴λ∈[3,5]．
三、解答题
15．若log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，求实数m的值．
[解析] ∵log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，∴
∴m＝4，故当m＝4时，log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)是纯虚数．
16．已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)．实数a取什么值时，z是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
[解析] (1)当z为实数时，则有
所以
所以当a＝6时，z为实数．
(2)当z为虚数时，则有
所以
即a≠±1且a≠6.
所以当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．
(3)当z为纯虚数时，则有
所以
所以不存在实数a使得z为纯虚数．
17．若x∈R，试确定a是什么实数时，等式3x2－x－1＝(10－x－2x2)i成立．
[解析] 由复数相等的充要条件，得
由②得x＝2或x＝－，
代入①，得a＝11或a＝－.
18．已知z1＝＋i，z2＝cosβ＋isinβ，且z1＝z2，求cos(α－β)的值．
[解析] 由复数相等的充要条件，知
即
①2＋②2得2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝1，
即2－2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝.
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