本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
选修2-3 2.1.2.1
一、选择题
1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P(ξ＝0)＝( )
A．0 B.
C. D.
[答案] C
[解析] 设ξ的分布列为
ξ 0 1
P p 2p
即“ξ＝0”表示试验失败，“ξ＝1”表示试验成功，设失败率为p，则成功率为2p，∴由p＋2p＝1得p＝.
2．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝ai，i＝1、2、3，则a的值为( )
A．1 B.
C. D.
[答案] D
[解析] 设P(ξ＝i)＝pi，则p1＋p2＋p3＝a＋a＋a＝1，∴a＝.
3．已知随机变量ξ的概率分布如下：
ξ 1 2 3 4 5
P
ξ 6 7 8 9 10
P m
则P(ξ＝10)＝( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] P(ξ＝10)＝m＝1－
＝1－＝.
4．一批产品共50件，其中5件次品，45件正品，从这批产品中任抽两件，则出现次品的概率为( )
A. B.
C. D．以上都不对
[答案] C
[解析] P＝1－＝1－＝，故选C.
5．某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用ξ表示这6人中“三好生”的人数，则下列概率中等于的是( )
A．P(ξ＝2) B．P(ξ＝3)
C．P(ξ≤2) D．P(ξ≤3)
[答案] B
6．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝K)＝，K＝1、2、3、4、5，则P＝( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] P＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝＋＝.
7．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] P(x＝6)＝.
8．下列表中列出的是某随机变量的分布列：
①
ξ 1 3 5
P 0.5 0.3 0.2
②
ξ 1 2 3 4 5
P 0.7 0.1 0.1 0.2 －0.1
③
ξ 0 1 2 … n …
P 1 2 … n …
④
ξ 1 2 3 … n …
P 2 3 … n …
其中正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] B
[解析] ①④是．由0.5＋0.3＋0.2＝1知①成立；由＋＋＋…＋＋…＝＝1，知④成立；②中出现负数不成立；③中＋×＋…＋×n＋…＝·＝≠1.不成立．
二、填空题
9．设随机变量ξ的概率分布为P(ξ＝k)＝，k＝0、1、2、3，则c＝________.
[答案]
[解析] c＋＋＋＝1，∴c＝.
10．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为
ξ 0 1 2
P
[答案] 0.1 0.6 0.3
[解析] P(ξ＝0)＝＝0.1，
P(ξ＝1)＝＝0.6，P(ξ＝2)＝＝0.3.
11．设随机变量ξ的可能取值为5、6、7、…、16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P(ξ>8)＝________，P(6<ξ≤14)＝________.
[答案]
[解析] P(ξ>8)＝×8＝， P(6<ξ≤14)＝×8＝.
三、解答题
13．一个口袋有5个同样大小的球，编号为1、2、3、4、5，从中同时取出3个，以ξ表示取出球最小的号码，求ξ的分布列．
[解析] 因为同时取出3个球，ξ表示取出球的最小号码，所以ξ的取值为1,2,3.
当ξ＝1时，其他两球可在余下的4个球中任意选取，因此其概率为＝；当ξ＝2时，其他两球的编号在3、4、5中选取，因此其概率为＝；当ξ＝3时，其只可能为3,4,5一种情况，其概率为.所以ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P
15.生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有一箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？
[解析] 50箱的一批产品，从中随机抽取5箱，用X表示“5箱中的不合格品的箱数”，则X服从超几何分布H(5,2,50)．这批产品被接收的条件是5箱中没有不合格的或只有1箱不合格，所以被接收的概率为P(X≤1)，即
P(X≤1)＝＋＝.
故该批产品的接收概率是(约为0.99184)．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
选修2-3 2.4
一、选择题
1．下列函数中，可以作为正态分布密度函数的是( )
A．f(x)＝e－
B．f(x)＝e
C．f(x)＝e－
D．f(x)＝e－
[答案] A
2．已知ξ～N(0,62)，且P(－2≤ξ≤0)＝0.4，则P(ξ>2)等于( )
A．0.1 B．0.2
C．0.6 D．0.8
[答案] A
[解析] 由正态分布曲线的性质知P(0≤ξ≤2)＝0.4，∴P(－2≤ξ≤2)＝0.8，∴P(ξ>2)＝(1－0.8)＝0.1，故选A.
3．若随机变量ξ～N(2,100)，若ξ落在区间(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，则k等于( )
A．2 B．10
C. D．可以是任意实数
[答案] A
[解析] 由于ξ的取值落在(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，所以正态曲线在直线x＝k的左侧和右侧与x轴围成的面积应该相等，于是正态曲线关于直线x＝k对称，即μ＝k，而μ＝2.∴k＝2.
5．(2010·山东理，5)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( )
A．0.477 B．0.628
C．0.954 D．0.977
[答案] C
[解析] ∵P(ξ>2)＝0.023，∴P(ξ<－2)＝0.023，
故P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ>2)－P(ξ<－2)＝0.954.
6．以φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布(μ，σ2)，则概率P(|ξ－μ|<σ)等于( )
A．φ(μ＋σ)－φ(μ－σ)
B．φ(1)－φ(－1)
C．φ
D．2φ(μ＋σ)
[答案] B
[解析] 设η＝，则P(|ξ－μ|<σ)＝P(|η|<1)
＝φ(1)－φ(－1)．
[点评] 一般正态分布N(μ，σ2)向标准正态分布N(0,1)转化．
7．给出下列函数：①f(x)＝e－；②f(x)＝e－；③f(x)＝e－；④f(x)＝e－(x－μ)2，其中μ∈(－∞，＋∞)，σ＞0，则可以作为正态分布密度函数的个数有( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[解析] 对于①，f(x)＝e－.由于μ∈(－∞，＋∞)，所以－μ∈(－∞，＋∞)，故它可以作为正态分布密度函数；对于②，若σ＝1，则应为f(x)＝e.若σ＝，则应为f(x)＝e－，均与所给函数不相符，故它不能作为正态分布密度函数；对于③，它就是当σ＝，μ＝0时的正态分布密度函数；对于④，它是当σ＝时的正态分布密度函数．所以一共有3个函数可以作为正态分布密度函数．
8．(2008·安徽)设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )
A．μ1<μ2，σ1<σ2
B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2
D．μ1>μ2，σ1>σ2
[答案] A
[解析] 根据正态分布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示总体分布的分散与集中．由图可得，故选A.
二、填空题
10．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．
[答案] 1
[解析] 正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等．另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．
∵区间(－3，－1)和区间(3,5)关于直线x＝1对称，所以正态分布的数学期望就是1.
11．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为____________．
[答案] 0.8
[解析] ∵μ＝1，∴正态曲线关于直线x＝1对称．
∴在(0,1)与(1,2)内取值的概率相等．
12．(2010·福安)某厂生产的零件尺寸服从正态分布N(25,0.032)，为使该厂生产的产品有95%以上的合格率，则该厂生产的零件尺寸允许值范围为________．
[答案] (24.94,25.06)
[解析] 正态总体N(25,0.032)在区间(25－2×0.03，25＋2×0.03)取值的概率在95%以上，故该厂生产的零件尺寸允许值范围为(24.94,25.06)．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
选修2-3 2.1.1
一、选择题
3．抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ>4”表示的试验结果是( )
A．第一枚6点，第二枚2点
B．第一枚5点，第二枚1点
C．第一枚2点，第二枚6点
D．第一枚6点，第二枚1点
[答案] D
[解析] 只有D中的点数差为6－1＝5>4，其余均不是，应选D.
4．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则ξ的值可以是( )
A．2 B．2或1
C．1或0 D．2或1或0
[答案] C
[解析] 这里“成功率是失败率的2倍”是干扰条件，对1次试验的成功次数没有影响，故ξ可能取值有两种0,1，故选C.
6.给出下列四个命题：
①15秒内，通过某十字路口的汽车的辆数是随机变量；
②在一段时间内，候车室内候车的旅客人数是随机变量；
③一条河流每年的最大流量是随机变量；
④一个剧场共有三个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] D
[解析] 由随机变量的概念知四个命题都正确，故选D.
8．①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X；
②某人射击2次，击中目标的环数之和记为X；
③测量一批电阻，阻值在950Ω～1200Ω之间；
④一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X.
其中是离散型随机变量的是( )
A．①② B．①③
C．①④ D．①②④
[答案] A
[解析] ①②中变量X所有可能取值是可以一一列举出来的，是离散型随机变量，而③④中的结果不能一一列出，故不是离散型随机变量．
9．抛掷一枚均匀骰子一次，随机变量为( )
A．掷骰子的次数
B．骰子出现的点数
C．出现1点或2点的次数
D．以上都不正确
[答案] B
10．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是( )
A．第5次击中目标
B．第5次末击中目标
C．前4次未击中目标
D．第4次击中目标
[答案] C
[解析] 击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ＝5，则说明前4次均未击中目标，故选C.
二、填空题
11．一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1、2、3、4、5、6、7、8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有______种．
[答案] 21
[解析] 从8个球中选出3个球，其中一个的号码为8，另两个球是从1、2、3、4、5、6、7中任取两个球．∴共有C＝21种．
12．同时抛掷5枚硬币，得到硬币反面向上的个数为ξ，则ξ的所有可能取值的集合为________．
[答案] {0,1,2,3,4,5}
14．一用户在打电话时忘记了号码的最后三个数字，只记得最后三个数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后三个数字(两两不同)，设他拨到所要号码的次数为ξ，则随机变量ξ的可能取值共有________种．
[答案] 24
[解析] 后三个数字两两不同且都大于5的电话号码共有A＝24(种)．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
选修2-3 2.1.2.第二课时
一、选择题
3．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝，k＝1、2、…，则P(2＜X≤4)＝( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)
＝＋＝.
4．随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3,4，其中c是常数，则P则值为( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] ＋＋＋
＝c
＝c＝1.∴c＝.
∴P＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)
＝＝.
5．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：
①X表示取出的最大号码；②Y表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，ξ表示取出的4个球的总得分；④η表示取出的黑球个数．
这四种变量中服从超几何分布的是( )
A．①② B．③④
C．①②④ D．①②③④
[答案] B
[解析] 依据超几何分布的数学模型及计算公式，或用排除法．
6．(2010·东营)已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝(i＝1,2,3)，则P(ξ＝2)＝( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 由离散型随机变量分布列的性质知＋＋＝1，∴＝1，即a＝3，
∴P(ξ＝2)＝＝.
8．用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位数，这些数能被2整除的概率是( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] P＝＝.
二、填空题
9．从装有3个红球、3个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为：
ξ 0 1 2
P
[答案]
10．随机变量ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3 4 5
P
则ξ为奇数的概率为________．
[答案]
11．(2010·常州)从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试，则在选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率是______．
[答案]
12．一批产品分为四级，其中一级产品是二级产品的两倍，三级产品是二级产品的一半，四级产品与三级产品相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量ξ，则P(ξ＞1)＝________.
[答案]
[解析] 依题意，P(ξ＝1)＝2P(ξ＝2)，P(ξ＝3)＝P(ξ＝2)，P(ξ＝3)＝P(ξ＝4)，由分布列性质得
1＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)
4P(ξ＝2)＝1，∴P(ξ＝2)＝.P(ξ＝3)＝.
∴P(ξ＞1)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝.
三、解答题
15．(2009·福建)盒子中装着标有数字1,2,3,4,5的卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3张卡片上的最大数字，求：
(1)取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量ξ的概率分布．
[解析] (1)记“一次取出的3张卡片上的数字互不相同的事件”为A，则P(A)＝＝.
(2)由题意ξ可能的取值为2,3,4,5，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝5)＝＝.
所以随机变量ξ的概率分布为：
ξ 2 3 4 5
P
16.(2010·福建理，16)设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.
(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；
(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列．
[解析] 本小题主要考查概率与统计、不等式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．
解题思路是先解一元二次不等式，再在此条件下求出所有的整数解．解的组数即为基本事件个数，按照古典概型求概率分布列，注意随机变量的转换．
(1)由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，
即S＝{x|－2≤x≤3}．
由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为：
(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．
(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，
所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9.
且有P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝9)＝.
故ξ的分布列为：
ξ 0 1 4 9
P
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
选修2-3 2.2.1
一、选择题
1．下列式子成立的是( )
A．P(A|B)＝P(B|A)
B．0
C．P(AB)＝P(A)·P(B|A)
D．P(A∩B|A)＝P(B)
[答案] C
[解析] 由P(B|A)＝得P(AB)＝P(B|A)·P(A)．
2．在10个形状大小均相同的球中有6个红球和4个白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 设第一次摸到的是红球(第二次无限制)为事件A，则P(A)＝＝，第一次摸得红球，第二次也摸得红球为事件B，则P(B)＝＝，故在第一次摸得红球的条件下第二次也摸得红球的概率为P＝＝，选D.
3．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)等于( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 本题主要考查由条件概率公式变形得到的乘法公式，P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝，故答案选C.
4．抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之积大于20的概率是( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 抛掷红、黄两颗骰子共有6×6＝36个基本事件，其中红色骰子的点数为4或6的有12个基本事件，两颗骰子点数之积包含4×6,6×4,6×5,6×6共4个基本事件．
所以其概率为＝.
6．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为.则在吹东风的条件下下雨的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 设事件A表示“该地区四月份下雨”，B表示“四月份吹东风”，则P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，从而吹东风的条件下下雨的概率为P(A|B)＝＝＝.
7．一个口袋中装有2个白球和3个黑球，则先摸出一个白球后放回，再摸出一个白球的概率是( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 设Ai表示第i次(i＝1,2)取到白球的事件，因为P(A1)＝，P(A1A2)＝×＝，
在放回取球的情况P(A2|A1)＝＝.
8．把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为( )
A．1 B.
C. D.
[答案] B
[解析] 设Ai表示第i次(i＝1,2)抛出偶数点，则P(A1)＝，P(A1A2)＝×，故在第一次抛出偶数点的概率为P(A2|A1)＝＝＝，故选B.
二、填空题
11．一个家庭中有两个小孩．假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，则这时另一个小孩是男孩的概率是________．
[答案]
[解析] 一个家庭的两个小孩只有3种可能：{两个都是男孩}，{一个是女孩，另一个是男孩}，{两个都是女孩}，由题目假定可知这3个基本事件的发生是等可能的．
12．从1～100这100个整数中，任取一数，已知取出的一数是不大于50的数，则它是2或3的倍数的概率为________．
[答案]
[解析] 根据题意可知取出的一个数是不大于50的数，则这样的数共有50个，其中是2或3的倍数共有33个，故所求概率为.
三、解答题
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
选修2-3 2.3.1
一、选择题
1．若X是一个随机变量，则E(X－E(X))的值为( )
A．无法求 B．0
C．E(X) D．2E(X)
[答案] B
[解析] 只要认识到E(X)是一个常数，则可直接运用均值的性质求解．
∵E(aX＋b)＝aE(X)＋b，而E(X)为常数，
∴E(X－E(X))＝E(X)－E(X)＝0.
2．设E(ξ)＝10，E(η)＝3，则E(3ξ＋5η)＝( )
A．45 B．40
C．30 D．15
[答案] A
3．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)＝( )
A．0.765 B．1.75
C．1.765 D．0.22
[答案] B
[解析] 设A、B分别为每台雷达发现飞行目标的事件，X的可能取值为0、1、2，
P(X＝0)＝P(·)＝P()·P()＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015.
P(X＝1)＝P(A·＋·B)＝P(A)·P()＋P()·P(B)＝0.9×0.15＋0.1×0.85＝0.22.
P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.9×0.85
＝0.765.
∴E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.
4．设随机变量X的分布列如下表所示且E(X)＝1.6，则a－b＝( )
X 0 1 2 3
P 0.1 a b 0.1
A.0.2 B．0.1
C．－0.2 D．－0.4
[答案] C
[解析] 由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8，①
又由E(X)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，
得a＋2b＝1.3，②
由①②解得a＝0.3，b＝0.5，∴a－b＝－0.2，故应选C.
6．(2008·浙江)有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取到次品的个数，则E(X)等于( )
A. B.
C. D．1
[答案] A
[解析] X＝1时，P＝；X＝2时，P＝.
∴E(X)＝1×＋2×＝＝，
故选A.
7．(2010·福建福州)已知某一随机变量X的概率分布列如下表，E(X)＝6.3，则a值为( )
X 4 a 9
P 0.5 0.1 b
A.5 B．6
C．7 D．8
[答案] C
[解析] 由分布列性质知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4，∴E(X)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3，∴a＝7，故选C.
8．(2010·新课标全国理，6)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的均值为( )
A．100 B．200
C．300 D．400
[答案] B
[解析] 本题以实际问题为背景，考查的事件的均值问题．
记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1 000,0.1)，所以E(ξ)＝1 000×0.1＝100，而X＝2ξ，故EX＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200，故选B.
二、填空题
9．(2010·上海理，6)随机变量ξ的概率分布列由下图给出：
x 7 8 9 10
P(ξ＝x) 0.3 0.35 0.2 0.15
则随机变量ξ的均值是________．
[答案] 8.2
[解析] 本小题考查随机变量的均值公式．
E(ξ)＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2.
12．设p为非负实数，随机变量X的概率分布为：
X 0 1 2
P －p p
则E(X)的最大值为________．
[答案]
[解析] 由表可得从而得P∈[0，]，期望值E(X)＝0×(－p)＋1×p＋2×＝p＋1，当且仅当p＝时，E(X)最大值＝.
三、解答题
14．(2010·江西理，18)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间．
(1)求ξ的分布列；(2)求ξ的数学期望(均值)．
[解析] 本题考查学生的全面分析能力，考查学生对事件概率的求解能力以及对文字描述的理解能力．解本题的两个关键点是：一是ξ的所有取值，二是概率．
解：(1)ξ的所有可能取值为：1,3,4,6
P(ξ＝1)＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，P(ξ＝6)＝，所以ξ的分布列为：
ξ 1 3 4 6
P
(2)E(ξ)＝1×＋3×＋4×＋6×＝(小时)
16．(2009·全国Ⅰ·理19)甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．
(1)求甲获得这次比赛胜利的概率；
(2)设X表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求X的分布列及均值．
[解析] 设Ai表示事件：第i局甲获胜，i＝3,4,5，
Bj表示事件：第j局乙获胜，j＝3,4.
(1)记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利
因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B＝A3·A4＋B3·A4·A5＋A3·B4·A5.
由于各局比赛结果相互独立，故
P(B)＝P(A3·A4)＋P(B3·A4·A5)＋P(A3·B4·A5)
＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.
(2)X的可能取值为2,3.
由于各局比赛结果相互独立，所以
P(X＝2)＝P(A3·A4＋B3·B4)＝P(A3·A4)＋P(B3·B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52，
P(X＝3)＝1－P(X＝2)＝1－0.52＝0.48.
故X的分布列为
X 2 3
P 0.52 0.48
E(X)＝2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝2×0.52＋3×0.48＝2.48.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
选修2-3 2.3.3
一、选择题
2．已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
且η＝2X＋3，且E(η)等于( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] ∵E(X)＝0×＋1×＋2×＝，
∴E(η)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝.
3．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯次数的均值为( )
A．0.4 B．1.2
C．0.43 D．0.6
[答案] B
[解析] ∵途中遇红灯的次数X服从二项分布，即X～B(3,0.4)，∴E(X)＝3×0.4＝1.2＝.
4．已知X的分布列为
X 1 2 3 4
P
则D(X)的值为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] ∵E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，E(X2)＝12×＋22×＋32×＋42×＝，∴D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝.
5．已知X的分布列为
X －1 0 1
P
若η＝2X＋2，则D(η)的值为( )
A．－ B.
C. D.
[答案] D
[解析] E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，D(X)＝2×＋2×＋2×＝，
∴D(η)＝D(2X＋2)＝4D(X)＝＝.
6．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设X为途中遇到红灯的次数，则随机变量X的方差为( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 由X～B，∴D(X)＝3××＝.
7．已知X服从二项分布B(n，p)，且E(3X＋2)＝9.2，D(3X＋2)＝12.96，则二项分布的参数n、p的值为( )
A．n＝4，p＝0.6
B．n＝6，p＝0.4
C．n＝8，p＝0.3
D．n＝24，p＝0.1
[答案] B
[解析] 由E(3X＋2)＝3E(X)＋2，D(3X＋2)＝9D(X)，及X～ B(n，p)时E(X)＝np.D(X)＝np(1－p)可知
∴
二、填空题
10．(2010·福州)设有m升水，其中含有n个大肠杆菌，今任取1升水检验，设其中含大肠杆菌的个数为X，则E(X)＝________.
[答案]
[解析] 设A＝“在所取的1升水中含有一个大肠杆菌”，则P(A)＝，
∴P(X＝k)＝Pn(k)＝C()k(1－)n－k(k＝0,1,2,3，…，n)，∴X～B(n，)．
则E(X)＝n×＝.
11．某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或选错得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为________．
[答案] 48
[解析] 设小王选对个数为X，得分为η＝5X，
则X～B(12,0.8)，E(X)＝np＝12×0.8＝9.6，
E(η)＝E(5X)＝5E(X)＝5×9.6＝48.
16．(2010·湖南理，17)下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．
(1)求直方图中x的值；
(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望(均值)．
[分析] (1)由频率和为1，列式求出x的值；(2)从图中知用水为3至4吨的概率为0.1，又本抽样为有放回抽样，故符合X～B(3,0,1)，其中X＝0,1,2,3.列出分布列并求出数学期望(均值)．
[解析] (1)依题意及频率分布直方图知，0.02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.
(2)由题意知，X～B(3,0.1)．
因此P(X＝0)＝C03×0.93＝0.729，
P(X＝1)＝C13×0.1×0.92＝0.243，
P(X＝2)＝C23×0.12×0.9＝0.027，
P(X＝3)＝C33×0.13＝0.001.
故随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.729 0.243 0.027 0.001
X的数学期望为E(X)＝3×0.1＝0.3.
[点评] 本题通过频率分布直方图，将统计知识与概率结合起来．考查了二项分布，离散型随机变量的分布列与数学期望(均值)．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
选修2-3 2.2.2
一、选择题
3．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为，身体关节构造合格的概率为，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是( )
(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 设“儿童体型合格”为事件A，“身体关节构造合格”为事件B，则P(A)＝，P(B)＝.又A，B相互独立，则，也相互独立，则P( )＝P()P()＝×＝，故至少有一项合格的概率为P＝1－P( )＝，故选D.
4．(2010·湖北理，4)投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 由题意P(A)＝，P(B)＝，事件A、B中至少有一个发生的概率P＝1－×＝.
5．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )
A．p1p2
B．p1(1－p2)＋p2(1－p1)
C．1－p1p2
D．1－(1－p1)(1－p2)
[答案] B
[解析] 设甲解决问题为事件A，乙解决问题为事件B，则恰有一人解决为事件B＋A ，由题设P(A)＝p1，P(B)＝p2，∴P(B＋A )＝P(B)＋P(A )＝P()·P(B)＋P(A)·P()
＝(1－p1)p2＋p1(1－p2)．
6．从甲袋内摸出1个白球的概率为，从乙袋内摸出1个白球的概率是，从两个袋内各摸1个球，那么概率为的事件是( )
A．2个球都是白球
B．2个球都不是白球
C．2个球不都是白球
D．2个球中恰好有1个白球
[答案] C
[解析] 从甲袋内摸出白球与从乙袋内摸出白球两事件相互独立，故两个球都是白球的概率为P1＝×＝，∴两个球不都是白球的概率为P＝1－P1＝.
7．(2010·广州模拟)在一段时间内，甲去某地的概率是，乙去此地的概率是，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内，至少有1人去此地的概率是( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 解法一：考查相互独立事件的概率公式．设“甲去某地”为事件A，“乙去某地”为事件B，则至少1人去此地的概率为P＝P(A)·P()＋P()P(B)＋P(A)·P(B)＝×＋×＋×＝.故选C.
解法二：考查对立事件P＝1－P()·P()＝1－×＝.
二、填空题
11．一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为，乙生解出它的概率为，丙生解出它的概率为. 由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为________．
[答案]
[解析] 甲生解出，而乙、丙不能解出为事件A1，则P(A1)＝××＝，
乙生解出，而甲、丙不能解出为事件A2，则P(A2)＝××＝，
丙生解出，而甲、乙不能解出为事件A3，则P(A3)＝××＝.
甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为P(A1＋A2＋A3)＝＋＋＝.
12．(2010·重庆文，14)加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为、、，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为__________．
[答案]
[解析] 本题考查独立事件，对立事件有关概率的基本知识以及计算方法．
设加工出来的零件为次品为事件A，则为加工出来的零件为正品．
P(A)＝1－P()＝1－(1－)(1－)(1－)＝.
三、解答题
14．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．
(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率；
(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．
[解析] (1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则
P(A)＝＝＝，
P(B)＝＝＝.
(2)方法1：因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为
P(·)＝P()·P()＝×
＝.
所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
P＝1－P(·)＝1－＝.
答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.
方法2：因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
P＝P(A·)＋P(·B)＋P(A·B)＝P(A)·P()＋P()·P(B)＋P(A)·P(B)＝×＋×＋×＝.
答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.
16．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．
方案一：在三门课程中，至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为a、b、c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．
(1)分别求应聘者用方案一和方案二时，考试通过的概率；
(2)试比较应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小(说明理由)．
[解析] 记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A、B、C，则P(A)＝a、P(B)＝b、P(C)＝c.
(1)应聘者用方案一考试通过的概率
P1＝P(A·B·)＋P(·B·C)＋P(A··C)＋P(A·B·C)＝ab(1－c)＋bc(1－a)＋ac(1－b)＋abc＝ab＋bc＋ca－2abc，
应聘者用方案二考试通过的概率为
P2＝P(A·B)＋P(B·C)＋P(A·C)＝(ab＋bc＋ca)；
(2)因为a、b、c∈[0,1]，所以P1－P2＝(ab＋bc＋ca)－2abc＝[ab(1－c)＋bc(1－a)＋ac(1－b)]≥0，故P1≥P2.即采用第一种方案，该应聘者通过的概率大．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
选修2-3 2章章末
一、选择题
1．某次市教学质量检测，甲，乙，丙三科考试成绩的分布可视为正态分布，则由图得下列说法中正确的是( )
A．乙科总体的标准差及平均数都居中
B．甲，乙，丙的总体的平均数不相同
C．丙科总体的平均数最小
D．甲科总体的标准差最小
[答案] D
[解析] 本题主要根据正态曲线的特征来进行判断，由图可知，甲、乙、丙的对称轴相同，即μ相同，当σ越小时曲线越“瘦高”，当σ越大时曲线越“矮胖”，故正确答案为D.
2．(2010·杭州)某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为( )
A．0.02 B．0.08
C．0.18 D．0.72
[答案] D
[解析] 由题意知，这批水稻种子的发芽率为
P1＝0.8，出芽后的幼苗成活率为P2＝0.9，
由相互独立事件的概率乘法公式知，
P＝P1×P2＝0.8×0.9＝0.72.
3．若X～B(n，p)且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为( )
A．3·2－2 B．2－4
C．3·2－10 D．2－8
[答案] C
[解析] 随机变量X服从参数为n和p的二项分布，所以E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
所以，所以
所以P(X＝1)＝C·12＝3·2－10.
4．将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面的概率等于出现k＋1次正面的概率，那么k的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] 记事件A＝“正面向上”，A发生的次数ξ～B，由题设知：C5＝C5，∴k＋k＋1＝5，k＝2.故选C.
二、填空题
5．(2010·湖北理，14)某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ 7 8 9 10
P x 0.1 0.3 y
已知ξ的期望Eξ＝8.9，则y的值为________．
[答案] 0.4
[解析] 由分布列可得x＝0.6－y且7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，解得y＝0.4.
6．两台独立在两地工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，则恰有一台雷达发现飞行目标的概率为________．
[答案] 0.22
[解析] 所求概率为0.9×(1－0.85)＋(1－0.9)×0.85＝0.22.易出现如下错误：0.9＋0.85＝1.75，两个事件A，B中恰有一个发生包含两种情况：一是A发生而B不发生；二是A不发生而B发生．
三、解答题
7．一盒子中装有4只产品，其中3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样．设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，试求条件概率P(B|A)．
[解析] 将产品编号，设1,2,3号产品为一等品，4号产品为二等品，以(i，j)表示第一次，第二次分别取到第i号，第j号产品，则试验的基本事件空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}，事件A有9个基本事件，AB有6个基本事件，所以P(B|A)＝＝＝.
[点拨] 本题属古典概型类条件概率问题，用公式P(B|A)＝来解决．注意当基本事件空间容易列出时，可考虑此法．
8．加工某种零件需经过三道工序，设第一，二，三道工序的合格率分别为，，，且各道工序互不影响．
(1)求该种零件的合格率P；
(2)从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率．
[解析] (1)P＝××＝.
(2)该种零件的合格率为，由独立重复试验的概率公式，得恰好取到一件合格品的概率为C××2＝0.189.至少取到一件合格品的概率为1－3＝0.973.
[点拨] (1)应用相互独立事件同时发生的概率公式P(AB)＝P(A)P(B)可求P.
(2)注意“恰好出现一件合格品”与“至少出现一件合格品”不一样，前者属独立重复实验，而后者不属独立重复实验，可用对立事件去解决．
9．某商场经销某种商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列如下表：
ξ 1 2 3 4 5
P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．
(1)求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；
(2)求η的分布列及期望Eη.
[解析] (1)由A表示事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”，知表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．
P()＝(1－0.4)3＝0.216，故P(A)＝1－P()＝1－0.216＝0.784.
(2)η的可能取值为200元，250元，300元．
P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0.4，P(η＝250)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，
P(η＝300)＝1－P(η＝200)－P(η＝250)＝1－0.4－0.4＝0.2.
η的分布列如下表：
η 200 250 300
P 0.4 0.4 0.2
E(η)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240(元)．
[点拨] 本题考查了对立事件，相互独立事件的概率，考查了离散型随机变量的分布列及期望，培养学生分析解决实际问题的能力．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
选修2-3 2.3.2
一、选择题
2．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝，k＝1、2、3，则D(3X＋5)＝( )
A．6 B．9
C．3 D．4
[答案] A
[解析] E(X)＝(1＋2＋3)×＝2，
D(X)＝[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]×＝，
∴D(3X＋5)＝9D(X)＝6.
3．设X～B(n，p)，且E(X)＝12，D(X)＝4，则n与p的值分别为( )
A．18， B．12，
C．18， D．12，
[答案] C
[解析] 由得
则p＝，n＝18.
4．(2010·山东理，6)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )
A. B.
C. D．2
[答案] D
[解析] ∵＝1，∴a＝－1，
故s2＝[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.
6．随机变量X～B(100,0.2)，那么D(4X＋3)的值为( )
A．64 B．256
C．259 D．320
[答案] B
[解析] 由X～B(100,0.2)知随机变量X服从二项分布，且n＝100，p＝0.2，由公式得D(X)＝np(1－p)＝100×0.2×0.8＝16，因此D(4X＋3)＝42D(X)＝16×16＝256，故选B.
7．已知X的分布列如下表．则在下列式子中：①E(X)＝－；②D(X)＝；③P(X＝0)＝.正确的有( )
X －1 0 1
P
A.0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案] C
[解析] 易求得D(X)＝2×＋2×＋2×＝，故只有①③正确，故选C.
二、填空题
9．某射手击中目标的概率为p，则他射击n次，击中目标次数X的方差为________．
[答案] np(1－p)
[解析] ∵X～B(n，p)，
∴D(X)＝np(1－p)．
10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是________．
[答案] 10.5、10.5
[解析] 由题意得＝10.5，∴a＋b＝21，
＝＝10，
∴s2＝[(10－2)2＋(10－3)2＋(10－3)2＋(10－7)2＋(10－a)2＋(10－b)2＋(10－12)2＋(10－13.7)2＋(10－18.3)2＋(10－20)2]
＝[82＋72＋72＋32＋(10－a)2＋(10－b)2＋4＋3.72＋8.32＋102]
＝[(10－a)2＋(10－21＋a)2＋…]
＝[2(a－10.5)2＋…]
当a＝10.5时，方差s最小，b＝10.5.
11．随机变量X的分布列如下表：
X －1 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差数列，若E(X)＝，则D(X)的值是______．
[答案]
[解析] ∵a＋b＋c＝1,2b＝a＋c，
∴b＝，a＋c＝，
又∵E(X)＝，∴＝－a＋c，
故a＝，c＝，
D(X)＝(－1－)2×＋(0－)2×＋(1－)2×＝.
12．(2009·广东·理12)已知离散型随机变量X的分布列如下表，若E(X)＝0，D(X)＝1，，则a＝________，b＝__________.
X －1 0 1 2
P a b c
[答案] ；
[解析] 考查离散型随机变量的分布列、期望和方差的计算．
由条件及E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn，
D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn得
，∴.
三、解答题
15．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相同．而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：
甲保护区：
X 0 1 2 3
P 0.3 0.3 0.2 0.2
乙保护区：
X 0 1 2
P 0.1 0.5 0.4
试评定这两个保护区的管理水平．
[解析] 甲保护区的违规次数X的均值和方差为E(ξ)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，
D(ξ)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21；
乙保护区的违规次数η的均值和方差为
E(η)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，
D(η)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.
因为E(ξ)＝E(η)，D(ξ)>D(η)，所以两个保护区内每季度发生的违规平均次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散和波动．
16．有一批零件共10个合格品，2个不合格品．安装机器时从这批零件中任选1个，取到合格品才能安装；若取出的是不合格品，则不再放回．
(1)求最多取2次零件就能安装的概率；
(2)求在取得合格品前已经取出的次品数X的分布列，并求出X的均值E(X)和方差D(X)(方差计算结果保留两个有效数字)．
[分析] 注意取到不合格品时不再放回，故可考虑用等可能性事件的概率公式求概率值．
[解析] (1)设安装时所取零件的次数是η，则P(η＝1)＝＝，这是取1次零件就取到了合格品，可以安装；
P(η＝2)＝×＝，这是第1次取到不合格品，第2次取到了合格品．
∴最多取2次零件就能安装的概率为
＋＝.
(2)依题意X的所有可能取值为0、1、2，
P(X＝0)＝P(η＝1)＝，
P(X＝1)＝P(η＝2)＝，
P(X＝2)＝1－－＝.
故X的分布列是
X 0 1 2
P
于是E(X)＝0×＋1×＋2×＝，
D(X)＝×2＋×2＋×2≈0.18.
所以X的期望值和方差值分别是和0.18.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
选修2-3 2.2.3
一、选择题
2．在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中发生的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 事件A在一次试验中发生的概率为p，由题意得1－Cp0(1－p)4＝，所以1－p＝，p＝，故答案选A.
4．已知随机变量X服从二项分布，X～B，则P(X＝2)等于( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 已知X～B，P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，当X＝2，n＝6，p＝时有P(X＝2)＝C×2×6－2＝C×2×4＝.
5．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] P＝C22＝.
6．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝( )
A．C2× B．C2×
C.2× D.2×
[答案] C
7．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．则他恰好击中目标3次的概率为( )
A．0.93×0.1
B．0.93
C．C×0.93×0.1
D．1－0.13
[答案] C
[解析] 由独立重复试验公式可知选C.
8．(2010·保定高二期末)位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是( )
A．()5 B．C()5
C．C()3 D．CC()5
[答案] B
[解析] 由于质点每次移动一个单位，移动的方向向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动二次，向上移动三次，故其概率为C()3()2＝C()5＝C()5.
二、填空题
9．已知随机变量X～B(5，)，则P(X≥4)＝________.
[答案]
11．(2010·湖北文，13)一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)．
[答案] 0.9477
[解析] 本题主要考查二项分布．
C·0.93·0.1＋(0.9)4＝0.9477.
12．如果X～B(20，p)，当p＝且P(X＝k)取得最大值时，k＝________.
[答案] 10
[解析] 当p＝时，P(X＝k)＝Ck·20－k
＝20·C，显然当k＝10时，P(X＝k)取得最大值．
三、解答题
16.(2010·全国Ⅰ理，18)投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审．
(1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
(2)记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列．
[分析] 本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、分布列、数学期望等知识，以及运用概率知识解决实际问题的能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想．(1)“稿件被录用”这一事件转化为事件“稿件能通过两位初审专家的评审”和事件“稿件能通过复审专家的评审”的和事件，利用加法公式求解．(2)X服从二项分布，结合公式求解即可．
[解析] (1)记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；
B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；
C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；
D表示事件：稿件被录用．
则D＝A＋B·C，
而P(A)＝0.5×0.5＝0.25，P(B)＝2×0.5×0.5＝0.5，P(C)＝0.3
故P(D)＝P(A＋B·C)＝P(A)＋P(B)·P(C)＝0.25＋0.5×0.3＝0.4.
(2)随机变量X服从二项分布，即X～B(4,0.4)，
X的可能取值为0,1,2,3,4，且P(X＝0)＝(1－0.4)4＝0.1 296
P(X＝1)＝C×0.4×(1－0.4)3＝0.3 456
P(X＝2)＝C×0.42×(1－0.4)2＝0.3 456
P(X＝3)＝C×0.43×(1－0.4)＝0.1 536
P(X＝4)＝0.44＝0.0 256
故其分布列为
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网