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一、选择题
1．圆的参数方程为：(θ为参数)．则圆的圆心坐标为( )
A．(0,2) B．(0，－2)
C．(－2,0) D．(2,0)
解析：将化为(x－2)2＋y2＝4，其圆心坐标为(2,0)．
答案：D
2．直线：x＋y＝1与曲线(θ为参数)的公共点有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：将化为x2＋y2＝4，它表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆，由于＝<2＝r，故直线与圆相交，有两个公共点．
答案：C
3．直线：3x－4y－9＝0与圆：，(θ为参数)的位置关系是( )
A．相切 B．相离
C．直线过圆心 D．相交但直线不过圆心
解析：圆心坐标为(0,0)，半径为2，显然直线不过圆心，又圆心到直线距离d＝<2，故选D.
答案：D
4．P(x，y)是曲线(α为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为( )
A．36 B．6
C．26 D．25
解析：设P(2＋cos α，sin α)，代入得：
(2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2
＝25＋sin2α＋cos2α－6cos α＋8sin α
＝26＋10sin(α－φ)．∴最大值为36.
答案：A
二、填空题
6．参数方程表示的图形是________．
解析：x2＋y2＝(3cos φ＋4sin φ)2＋(4cos φ－3sin φ)2＝25.∴表示圆．
答案：圆
7．设Q(x1，y1)是单位圆x2＋y2＝1上一个动点，则动点P(x－y，x1y1)的轨迹方程是________．
解析：设x1＝cos θ，y1＝sin θ，P(x，y)．
则即为所求．
答案：
三、解答题
8．P是以原点为圆心，r＝2的圆上的任意一点，Q(6,0)，M是PQ中点
①画图并写出⊙O的参数方程；
②当点P在圆上运动时，求点M的轨迹的参数方程．
解：①如图所示，
⊙O的参数方程
②设M(x，y)，P(2cos θ，2sin θ)，
因Q(6,0)，
∴M的参数方程为
即
10．已知直线C1：(t为参数)，圆C2：(θ为参数)．
(1)当α＝时，求C1与C2的交点坐标；
(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
解：(1)当α＝时，C1的普通方程为y＝(x－1)，
C2的普通方程为x2＋y2＝1.
联立方程组
解得C1与C2的交点为(1,0)，(，－)．
(2)C1的普通方程为xsin α－ycos α－sin α＝0.
A点坐标为(sin2α，－cos αsin α)，
故当α变化时，P点轨迹的参数方程为
(α为参数)．
P点轨迹的普通方程为(x－)2＋y2＝.
故P点轨迹是圆心为(，0)，半径为的圆．
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一、选择题
1．下列方程可以作为x轴的参数方程是( )
A. B.
C. D.
解析：x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.
答案：D
2．已知曲线的方程为t为参数，t∈R，则下列点中在曲线上的是( )
A．(1,1) B．(2,2)
C．(2,3) D．(1,2)
解析：当t＝0时，x＝1，y＝1，即点(1,1)在曲线上．
答案：A
3．在方程(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为( )
A．(2，－7) B．(，)
C．(，) D．(1,0)
解析：将点的坐标代入参数方程，若能求出θ，则点在曲线上，经检验，知C满足条件．
答案：C
4．由方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0(t为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
解析：设(x，y)为所求轨迹上任一点．
由x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0得：
(x－2t)2＋(y－t)2＝4＋2t2.
∴.
答案：A
二、填空题
5．已知曲线(θ为参数，0≤θ＜2π)．
下列各点A(1,3)，B(2,2)，C(－3,5)，其中在曲线上的点是________．
解析：将A点坐标代入方程得：θ＝0或π，将B、C点坐标代入方程，方程无解，故A点在曲线上．
答案：A(1,3)
6．下列各参数方程与方程xy＝1表示相同曲线的序号是________．
①；②；③；④.
解析：普通方程中，x，y均为不等于0的实数，而①②③中x的取值依次为：[0，＋∞)，[－1,1]，[－1,1]，故①②③均不正确，而④中，x∈R，y∈R，且xy＝1，故④正确．
答案：④
7．动点M作匀速直线运动，它在x轴和y轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，点M位于A(1,1)，则点M的参数方程为________________________．
解析：设M(x，y)，
则在x轴上的位移为：x＝1＋9t，
在y轴上的位移为y＝1＋12t.
∴参数方程为：.
答案：
三、解答题
8．已知动圆x2＋y2－2axcos θ－2bysin θ＝0(a，b是正常数，且a≠b，θ为参数)，求圆心的轨迹方程．
解：设P(x，y)为所求轨迹上任一点．
由x2＋y2－2axcos θ－2bysin θ＝0得：
(x－acos θ)2＋(y－bsin θ)2＝a2cos2θ＋b2sin2θ
∴
这就是所求的轨迹方程．
9．如图所示，OA是圆C的直径，且OA＝2a，射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线交于B点，作PQ⊥OA，PB∥OA，试求点P的轨迹方程．
解：设P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ，
由PQ⊥OA，PB∥OA，得
x＝OD＝OQcos θ＝OAcos2θ＝2acos2θ，
y＝AB＝OAtan θ＝2atan θ.
所以P点轨迹的参数方程为
θ∈(－，)．
10．试确定过M(0,1)作椭圆x2＋＝1的弦的中点的轨迹方程．
解：设过M(0,1)的弦所在的直线方程为y＝kx＋1，其与椭圆的交点为(x1，y1)和(x2，y2)．
设中点P(x，y)，则有：
x＝，y＝.
由得：(k2＋4)y2－8y＋4－4k2＝0.
∴x1＋x2＝，y1＋y2＝.
∴
这就是以动弦斜率k为参数的动弦中点的轨迹方程．
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一、选择题
1．椭圆(θ为参数)，若θ∈[0,2π]，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ＝( )
A．π B.
C．2π D.π
解析：∵点(－a,0)中x＝－a，∴－a＝acos θ，∴cos θ＝－1，∴θ＝π.
答案：A
2．椭圆(θ为参数)的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：椭圆方程为＋＝1，可知a＝5，b＝4，
∴c＝＝3，∴e＝＝.
答案：B
3．已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为( )
A. B．－
C．2 D．－2
解析：点M的坐标为(1,2)，
∴kOM＝2.
答案：C
4．两条曲线的参数方程分别是(θ为参数)和(t为参数)，则其交点个数为( )
A．0 B．1
C．0或1 D．2
解析：由
得x＋y－1＝0(－1≤x≤0，
1≤y≤2)，
由得＋＝1.如图所示，可知两曲线交点有1个．
答案：B
二、填空题
5．椭圆(θ为参数)的焦距为________．
解析：椭圆的普通方程为＋＝1.
∴c2＝21，∴2c＝2
答案：2
6．实数x，y满足3x2＋4y2＝12，则2x＋y的最大值是________．
解析：因为实数x，y满足3x2＋4y2＝12，
所以设x＝2cos α，y＝sin α，则
2x＋y＝4cos α＋3sin α＝5sin(α＋φ)，
其中sin φ＝，cos φ＝.
当sin(α＋φ)＝1时，2x＋y有最大值为5.
答案：5
7．(2012·湖南高考)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a＞0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.
解析：曲线C1的普通方程为2x＋y＝3，曲线C2的普通方程为＋＝1，直线2x＋y＝3与x轴的交点坐标为(，0)，故曲线＋＝1也经过这个点，代入解得a＝(舍去－)．
答案：
三、解答题
10．(2011·福建高考)在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为(α为参数)．
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为(4，)，判断点P与直线l的位置关系；
(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
解：(1)把极坐标系下的点P(4，)化为直角坐标，
得P(0,4)．
因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．
(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cos α，sin α)，从而点Q到直线l的距离为
d＝
＝＝cos(α＋)＋2.
由此得，当cos(α＋)＝－1时，d取得最小值，且最小值为.
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一、选择题
3．方程(t为参数)的图形是( )
A．双曲线左支 B．双曲线右支
C．双曲线上支 D．双曲线下支
解析：∵x2－y2＝e2t＋2＋e－2t－(e2t－2＋e－2t)＝4.且x＝et＋e－t≥2＝2.
∴表示双曲线的右支．
答案：B
4．P为双曲线(θ为参数)上任意一点，F1，F2为其两个焦点，则△F1PF2重心的轨迹方程是( )
A．9x2－16y2＝16(y≠0)
B．9x2＋16y2＝16(y≠0)
C．9x2－16y2＝1(y≠0)
D．9x2＋16y2＝1(y≠0)
解析：由题意知a＝4，b＝3，可得c＝5，
故F1(－5,0)，F2(5,0)，
设P(4sec θ，3tan θ)，重心M(x，y)，则
x＝＝sec θ，y＝＝tan θ.
从而有9x2－16y2＝16(y≠0)．
答案：A
二、填空题
5．已知动圆方程x2＋y2－xsin 2θ＋2·ysin(θ＋)＝0(θ为参数)．则圆心的轨迹方程是________．
解析：圆心轨迹的参数方程为
即消去参数得：
y2＝1＋2x(－≤x≤)．
答案：y2＝1＋2x(－≤x≤)
6．双曲线(θ为参数)的两条渐近线的倾斜角为________．
解析：将参数方程化为y2－＝1，
此时a＝1，b＝，
设渐近线倾斜角为α，则tan α＝±＝.
∴α＝30°或150°.
答案：30°或150°
7．(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(t为参数)和(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．
解析：由得y＝，又由
得x2＋y2＝2.
由得
即曲线C1与C2的交点坐标为(1,1)．
答案：(1,1)
三、解答题
8．已知圆O1：x2＋(y－2)2＝1上一点P与双曲线x2－y2＝1上一点Q，求P、Q两点距离的最小值．
解：设Q(sec θ，tan θ)，
在△O1QP中，|O1P|＝1，|O1P|＋|PQ|≥|O1Q|.
又|O1Q|2＝sec2 θ＋(tan θ－2)2
＝(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan θ＋4)
＝2tan2θ－4tan θ＋5
＝2(tan θ－1)2＋3.
当tan θ＝1，即θ＝时，|O1Q|2取最小值3，
此时有|O1Q|min＝.
∴|PQ|min＝－1.
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一、选择题
1．将参数方程(θ为参数)化为普通方程为( )
A．y＝x－2 B．y＝x＋2
C．y＝x－2(2≤x≤3) D．y＝x＋2(0≤y≤1)
解析：代入法，将方程化为y＝x－2，但x∈[2,3]，y∈[0,1]，故选C.
答案：C
2．参数方程(θ为参数)表示的曲线是( )
A．直线 B．圆
C．线段 D．射线
解析：x＝cos2θ∈[0,1]，y＝sin2θ∈[0,1]，
∴x＋y＝1，(x∈[0,1])为线段．
答案：C
3．能化为普通方程x2＋y－1＝0的参数方程为( )
A. B.
C. D.
解析：对A，可化为x2＋y＝1(y∈[0,1])；对B，可化为x2＋y－1＝0；对C，可化为x2＋y－1＝0(x≥0)；对D，可化为y2＝4x2－4x4.(x∈[－1,1])．
答案：B
4．直线y＝2x＋1的参数方程是( )
A. B.
C. D.
解析：由y＝2x＋1知x，y可取全体实数，故排除A、D，在B、C中消去参数t，知C正确．
答案：C
二、填空题
5．参数方程(θ为参数)所表示的曲线的普通方程为________．
解析：由于cos 2θ＝1－2sin2θ，故y＝1－2x2，
即y＝－2x2＋1(－1≤x≤1)．
答案：y＝－2x2＋1(－1≤x≤1)
6．将参数方程(t为参数)化为普通方程为________．
解析：y＝t2＋＝(t＋)2－2＝x2－2.
又y＝t2＋≥2，故所求普通方程为x2－y＝2(y≥2)．
答案：x2－y＝2(y≥2)
7．已知直线(t为参数)和圆x2＋y2＝16交于A、B两点，则A、B的中点坐标为________．
解析：直线的普通方程为y＝x－4，
代入圆的方程得x2－6x＋8＝0，
设A、B两点的坐标为(x1，y1)、(x2，y2)，
则x1＋x2＝6，
∴＝3，
∴＝3－4＝－.
∴A、B的中点坐标为(3，－)．
答案：(3，－)
三、解答题
9．如图所示，经过圆x2＋y2＝4上任一点P作x轴的垂线，垂足为Q，求线段PQ中点轨迹的普通方程．
解：圆x2＋y2＝4的参数方程为(θ为参数)
在此圆上任取一点P(2cos θ，2sin θ)，
PQ的中点为M(2cos θ，sin θ)，
PQ中点轨迹的参数方程为(θ为参数)化成普通方程＋y2＝1.
10．化下列参数方程为普通方程．
(1)(t∈R且t≠－1)；
(2)(θ≠kπ，kπ＋，k∈Z)．
解：(1)变形为
∴x≠－1，y≠2，∴x＋y＝1(x≠－1)．
(2)
②式平方结合①得y2＝x2＋2x，
由x＝tan θ＋知|x|≥2.
所以方程为(x＋1)2－y2＝1(|x|≥2)．
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一、选择题
1．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )
A．π B．2π
C．12π D．14π
解析：根据条件可知，圆的摆线方程为
(φ为参数)，把y＝0代入，
得φ＝2kπ(k∈Z)，此时x＝6kπ(k∈Z)．
答案：C
3．已知一个圆的参数方程为(φ为参数)，那么圆的摆线方程中参数取对应的点A与点B(，2)之间的距离为( )
A.－1 B.
C. D.
解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为(φ为参数)，把φ＝代入参数方程中可得
即A(3(－1)，3)，
∴|AB|＝＝.
答案：C
二、填空题
5．我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线(φ为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为________．
解析：关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出摆线方程关于y＝x对称的曲线方程，只需把其中的x，y互换．
答案：(φ为参数)
6．已知圆的渐开线的参数方程是(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是__________，当参数φ＝时对应的曲线上的点的坐标为________．
解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当φ＝时对应的坐标只需把φ＝代入曲线的参数方程，得x＝＋，y＝－，由此可得对应的坐标为(＋，－)．
答案：2 (＋，－)
7．已知一个圆的摆线过点(1,0)，则摆线的参数方程为______________．
解析：圆的摆线的参数方程为
令r(1－cos φ)＝0，得：φ＝2kπ代入x＝r(φ－sin φ)
得：x＝r(2kπ－sin2kπ)，又过(1,0)，
∴r(2kπ－sin2kπ)＝1，∴r＝
又r＞0，∴k∈N*
答案：(φ为参数，k∈N*)
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一、选择题
3．直线(t为参数)上对应t＝0，t＝1两点间的距离是( )
A．1 B.
C．10 D．2
解析：因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t不具有几何意义，故不能直接由1－0＝1来得距离，应将t＝0，t＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式来求出距离，即＝.
答案：B
4．若直线(t为参数)与圆(φ为参数)相切，那么直线倾斜角α为( )
A. B.
C. D.或
解析：直线化为＝tan α，即y＝tan α·x，
圆方程化为(x－4)2＋y2＝4，
∴由＝2 tan2α＝，
∴tan α＝±，又α∈[0，π)，∴α＝或.
答案：D
二、填空题
5．已知点A(1,2)和点B(－1,5)在直线上，则它们所对应的参数分别为________．
答案：0；－1
6．若直线l的参数方程为
(t为参数)，则直线l的斜率为______．
解析：由参数方程可知，cos θ＝－，sin θ＝.(θ为倾斜角)．
∴tan θ＝－，即为直线斜率．
答案：－
7．已知直线l1：(t为参数)，l2：(s为参数)，若l1∥l2，则k＝____________；若l1⊥l2，则k＝________.
解析：将l1，l2的方程化为普通方程，得
l1：kx＋2y－4－k＝0，l2：2x＋y－1＝0，
l1∥l2 ＝≠ k＝4.
l1⊥l2 (－2)·(－)＝－1 k＝－1.
答案：4 －1
三、解答题
8．已知直线l1的参数方程为l2的参数方程为试判断l1与l2的位置关系．
解：法一：将直线l1化为普通方程，得y＝2x＋1，
将l2化为普通方程，得y＝－x－2.
因为k1·k2＝2×(－)＝－1，所以两直线垂直．
法二：由参数方程知，
l1的方向向量是a1＝(2,4)，
l2的方向向量是a2＝(2，－1)，
又2×2＋4×(－1)＝0，∴l1⊥l2.
即两条直线垂直．
10．(2012·辽宁高考)在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.
(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；
(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．
解：(1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2，
圆C2的极坐标方程ρ＝4cos θ.
解得ρ＝2，θ＝±，
故圆C1与圆C2交点的坐标为(2，)，(2，－)．
注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)法一：由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1，)，(1，－)．
故圆C1与C2的公共弦的参数方程为
－≤t≤.
(或参数方程写成－≤y≤)．
法二：将x＝1代入得ρcos θ＝1，
从而ρ＝ .
于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为
－≤θ≤.
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