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1．下列不等式中，正确的个数是( )
①若a、b∈R，则≥
②若x∈R，则x2＋2＋≥2
③若x∈R，则x2＋1＋≥2
④若a、b为正实数，则≥
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：显然①不正确；③正确；对②虽然x2＋2＝无解，但x2＋2＋>2成立，故②正确；
④不正确，如a＝1，b＝4.
答案：C
2．已知a>0，b>0，a，b的等差中项是，且α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值是
( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：∵a＋b＝2×＝1，a>0，b>0
∴α＋β＝a＋＋b＋
＝1＋≥1＋＝5，
当且仅当a＝b＝时取“＝”号．
答案：C
3．(2012·湖北高考)设a，b，c∈R＋，则“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的
( )
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要的条件
解析：当a＝b＝c＝2时，有＋＋≤a＋b＋c，但abc≠1，所以必要性不成立；当abc＝1时，＋＋＝＝＋＋，a＋b＋c＝≥＋＋，所以充分性成立，故“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的充分不必要条件．
答案：A
4．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A．5千米处 B．4千米处
C．3千米处 D．2千米处
解析：由已知：y1＝，
y2＝0.8x(x为仓库到车站的距离)．
费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋
≥2 ＝8.
当且仅当0.8x＝，
即x＝5时等号成立．
答案：A
5．若x≠0，则f(x)＝2－3x2－的最大值是________，取得最值时x的值是________．
解析：f(x)＝2－3(x2＋)≤2－3×4＝－10，
当且仅当x2＝即x＝±时取等号．
答案：－10 ±
6．logx＋logy＝4，则x＋y的最小值是________．
解析：由题意知x>0，y>0，logxy＝4得xy＝4，
∴x＋y≥2＝4(当且仅当x＝y时取等号)．
答案：4
7．y＝(x>0)的最小值是________．
解析：∵x>0，∴y＝＝＋x＋1－1≥2－1.
当且仅当x＋1＝时取等号．
答案：2－1
8．已知a，b是正数，求证：
(1) ≥； (2)≥.
证明：(1)左边＝ ≥ ＝＝＝右边，原不等式成立．
(2)右边＝≤＝＝左边．
原不等式成立．
9．设x>0，y>0且x＋y＝4，要使不等式＋≥m恒成立，求实数m 的取值范围．
解：由x>0，y>0且x＋y＝4.
得＝1，
∴＋＝·(＋)
＝(1＋＋＋4)
＝(5＋＋)
≥(5＋2)＝.
当且仅当＝ 时等号成立．
即y＝2x(∵x>0，y>0，∴y＝－2x舍去)．
此时，结合x＋y＝4，
解得x＝，y＝.
∴＋的最小值为.
∴m≤.
∴m的取值范围为(－∞，]．
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1．不等式||<1的解集为( )
A．{x|0
1} B．{x|0C．{x|－1解析：可用排除法，当x＝－1时不等式成立，可排除选项A、B、C.
答案：D
2．不等式|x＋1|>3的解集是( )
A．{x|x<－4或x>2} B．{x|－4C．{x|x<－4或x≥2} D．{x|－4≤x<2}
解析：|x＋1|>3，则x＋1>3或x＋1<－3，因此x<－4或x>2.
答案：A
3．不等式|x＋1|＋|x＋2|<5的所有实数解的集合是( )
A．(－3,2) B．(－1,3)
C．(－4,1) D．(－，)
解析：|x＋1|＋|x＋2|表示数轴上一点到－2，－1两点的距离和，根据－2，－1之间的距离为1，可得到－2，－1距离和为5的点是－4,1.因此|x＋1|＋|x＋2|<5解集是(－4,1)．
答案：C
4．不等式1≤|2x－1|<2的解集为( )
A．(－，0)∪[1，]
B．(－，0]∪[1，]
C．{x|－D．{x|－解析：1≤|2x－1|<2则1≤2x－1<2或－2<2x－1≤－1，因此－答案：D
5．不等式|x＋2|≥|x|的解集是________．
解析：因不等式两边是非负实数，所以不等式两边可以平方，两边平方得(x＋2)2≥x2，∴x2＋4x＋4≥x2.
即x≥－1.∴原不等式的解集为{x|x≥－1}．
答案：{x|x≥－1}
6．不等式|2x－1|－x<1的解集是__________．
解析：原不等式等价于|2x－1|－x－1<2x－1答案：{x|07．若关于x的不等式|x＋2|＋|x－1|＜a的解集为 ，则a的范围为________．
解析：法一：由|x＋2|＋|x－1|＝|x＋2|＋|1－x|≥|x＋2＋1－x|＝3，知a≤3时，原不等式无解．
法二：数轴上任一点到－2与1的距离之和最小值为3.
所以当a≤3时，原不等式的解集为 .
答案：(－∞，3]
8．解不等式
|x2－2x＋3|<|3x－1|.
解：原不等式 (x2－2x＋3)2<(3x－1)2
[(x2－2x＋3)＋(3x－1)][(x2－2x＋3)－(3x－1)]<0 (x2＋x＋2)(x2－5x＋4)<0
x2－5x＋4<0(因为x2＋x＋2恒大于0)
1所以原不等式的解集是{x|19．解关于x的不等式|2x－1|<2m－1(m∈R)．
解：若2m－1<0，即m≤，则|2x－1|<2m－1恒不成立，此时，原不等式无解；
若2m－1>0，即m>.
则－(2m－1)<2x－1<2m－1，所以1－m综上所述：
当m≤时，原不等式的解集为 ，
当m>时，原不等式的解集为：{x|1－m10．(2010·福建高考)已知函数f(x)＝|x－a|.
(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；
(2)在①的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)由f(x)≤3得|x－a| ≤3，
解得a－3≤x≤a＋3.
又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，
所以解得a＝2.
(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|.设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，
于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|＝
所以当x<－3时，g(x)>5；
当－3≤x≤2时，g(x)＝5；
当x>2时，g(x)>5.
综上可得，g(x)的最小值为5.
从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．
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1．已知x为正数，下列各题求得的最值正确的是( )
A．y＝x2＋2x＋≥3＝6，∴ymin＝6.
B．y＝2＋x＋≥3＝3，∴ymin＝3.
C．y＝2＋x＋≥4，∴ymin＝4.
D．y＝x(1－x)(1－2x)≤[]3＝，∴ymax＝.
解析：A、B、D在使用不等式a＋b＋c≥3(a，b，c∈R＋)和abc≤()3(a，b，c∈R＋)都不能保证等号成立，最值取不到．C中，∵x>0，∴y＝2＋x＋＝2＋(x＋)≥2＋2＝4，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．
答案：C
2．已知a，b，c为正数，则＋＋有( )
A．最小值3 B．最大值3
C．最小值2 D．最大值2
解析：＋＋≥3＝3，
当且仅当＝＝，即a＝b＝c时，取等号．
答案：A
3．若logxy＝－2，则x＋y的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析：由logxy＝－2得y＝.而x＋y＝x＋
＝＋＋≥3＝3＝，当且仅当＝即x＝时取等号．
答案：A
4．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列总成立的是( )
A．V≥π B．V≤π
C．V≥π D．V≤π
解析：设圆柱半径为r，则圆柱的高h＝，所以圆柱的体积为V＝πr2·h＝πr2·＝πr2(3－2r)≤π()3＝π.
当且仅当r＝3－2r，即r＝1时取等号．
答案：B
5．若a>2，b>3，则a＋b＋的最小值为________．
解析：a>2，b>3，∴a－2>0，b－3>0.
则a＋b＋＝(a－2)＋(b－3)＋＋5
≥3＋5＝8.
当且仅当a－2＝b－3＝即a＝3，b＝4时等号成立．
答案：8
6．设0解析：∵00.
故
≤＝.
∴x(1－x)2≤(当且仅当x＝时取等号)．
答案：
7．已知关于是x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．
解析：2x＋＝(x－a)＋(x－a)＋＋2a
∵x－a>0.
∴2x＋≥3＋2a
＝3＋2a
当且仅当x－a＝即x＝a＋1时，取等号．
∴2x＋的最小值为3＋2a.
由题意可得3＋2a≥7，得a≥2.
答案：2
8．设a、b、c∈R＋，求证：
(a＋b＋c)(＋＋)≥.
证明：∵a，b，c∈R＋，
∴2(a＋b＋c)＝(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥
3>0.
＋＋≥3>0，
∴(a＋b＋c)(＋＋)≥.
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
9．设x、y、z>0，且x＋3y＋4z＝6，求x2y3z的最大值．
解：∵6＝x＋3y＋4z＝＋＋y＋y＋y＋4z≥6，
∴x2x3z≤1(当＝y＝4z时，取“＝”)．
∴x＝2，y＝1，z＝时，x2y3z取得最大值1.
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1．已知数轴上两点A，B对应的实数分别为x，y，若xA．P在Q的左边 B．P在Q的右边
C．P，Q两点重合 D．不能确定
解析：∵x|y|>0.故P在Q的右边．
答案：B
2．下列命题中不正确的是( )
A．若>，则a>b
B．若a>b，c>d，则a－d > b－c
C．若a>b>0，c>d>0，则 >
D．若a>b>0，ac>bd，则c>d
解析：当c>0，d>0时，才有a>b>0，ac>bd c>d.
答案：D
3．已知a>b>c，则下列不等式正确的是( )
A．ac>bc B．ac2>bc2
C．b(a－b)>c(a－b) D．|ac|>|bc|
解析：a>b>c a－b>0 (a－b)b>(a－b)c.
答案：C
4．(2012·湖南高考)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：
①>；②acloga(b－c)．
其中所有的正确结论的序号是( )
A．① B．①②
C．②③ D．①②③
解析：由a>b>1，c<0得，<，>；幂函数y＝xc(c<0)是减函数，所以acb－c，所以logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，①②③均正确．
答案：D
5．给出四个条件：
①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0.
能得出＜成立的有________．
解析：由<，得－<0，<0，故①②④可推得<成立．
答案：①②④
6．设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x>y，则实数a、b应满足的条件为________．
解析：∵x>y，
∴x－y＝a2b2＋5－2ab＋a2＋4a
＝(ab－1)2＋(a＋2)2>0.
∴ab－1≠0或a＋2≠0.
即ab≠1或a≠－2.
答案：ab≠1或a≠－2
7．已知－1解析：设z＝2x－3y＝m(x＋y)＋n(x－y)，
即2x－3y＝(m＋n)x＋(m－n)y.
所以解得
∴2x－3y＝－(x＋y)＋(x－y)．
∵－1∴－2<－(x＋y)<，
5<(x－y)<.
由不等式同向可加性得
3<－(x＋y)＋(x－y)<8，
即3答案：(3,8)
8．若a>0，b>0，求证：＋≥a＋b.
证明：∵＋－a－b＝(a－b)(－)＝，
(a－b)2≥0恒成立，且已知a＞0，b＞0，
∴a＋b>0，ab>0.
∴≥0.∴＋≥a＋b.
9．已知－6解：∵－6又2∵2又－6∵2①当0≤a<8时，0≤<4；
②当－6＜a＜0时，－3＜＜0.
综合①②得－3<<4.
∴2a＋b，a－b，的取值范围分别为
(－10,19)，(－9,6)，(－3,4)．
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1．对于|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，下列结论正确的是( )
A．当a，b异号时，左边等号成立
B．当a，b同号时，右边等号成立
C．当a＋b＝0时，两边等号均成立
D．当a＋b>0时，右边等号成立；当a＋b<0时，左边等号成立
解析：当a，b异号且|a|>|b|时左边等号才成立A不正确；显然B正确；当a＋b＝0时，右边等号不成立，C不正确；D显然不正确．
答案：B
2．不等式<1成立的充要条件是( )
A．a、b都不为零 B．ab<0
C．ab为非负数 D．a、b中至少有一个不为零
解析：原不等式即为|a＋b|<|a|＋|b| a2＋b2＋2ab答案：B
3．已知a，b，c∈R，且a>b>c，则有( )
A．|a|>|b|>|c| B．|ab|>|bc|
C．|a＋b|>|b＋c| D．|a－c|>|a－b|
解析：∵a，b，c∈R，且a>b>c，
令a＝2，b＝1，c＝－6.
∴|a|＝2，|b|＝1，|c|＝6，|b|<|a|<|c|，故排除A.
又|ab|＝2，|bc|＝6，|ab|<|bc|，故排除B.
又|a＋b|＝3，|b＋c|＝5，|a＋b|<|b＋c|，排除C.
而|a－c|＝|2－(－6)|＝8，|a－b|＝1，
∴|a－c|>|a－b|.
答案：D
4．设|a|<1，|b|<1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是( )
A．|a＋b|＋|a－b|>2 B．|a＋b|＋|a－b|<2
C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不可能比较大小
解析：当(a＋b)(a－b)≥0时
|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|<2.
当(a＋b)(a－b)<0时，
|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|<2.
答案：B
5．(2012·陕西高考)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．
解析：|x－a|＋|x－1|≥|a－1|，则只需要|a－1|≤3，解得－2≤a≤4.
答案：－2≤a≤4
6．若1解析：－4∵1答案：(－3,8)
7．下列四个不等式：①logx10＋lg x≥2(x>1)；②|a－b|<|a|＋|b|；③|＋|≥2(ab≠0)；④|x－1|＋|x－2|≥1，其中恒成立的是________(把你认为正确的序号都填上)．
解析：logx10＋lg x＝＋lg x≥2，①正确；
ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|，②不正确；
∵ab≠0时，与同号，
∴|＋|＝|＋|≥2，③正确；
由|x－1|＋|x－2|的几何意义知
|x－1|＋|x－2|≥1恒成立，④也正确，
综上①③④正确．
答案：①③④
8．设a、b∈R，ε>0，|a|<，|b|<ε.
求证：|4a＋3b|<3ε.
证明：∵|a|<，|b|<ε，∴|4a＋3b|≤|4a|＋|3b|＝4|a|＋3|b|<4·＋3·＝3ε.
9．设f(x)＝x2－x＋b，|x－a|<1，求证：
|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．
证明：∵f(x)－f(a)＝x2－x－a2＋a
＝(x－a)(x＋a－1)，
|f(x)－f(a)|＝|(x－a)(x＋a－1)|
＝|x－a||x＋a－1|<|x＋a－1|
＝|(x－a)＋2a－1|≤|x－a|＋|2a－1|
≤|x－a|＋2|a|＋1<2|a|＋2
＝2(|a|＋1)．
∴|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．
10．设函数y＝|x－4|＋|x－3|.求
(1)y的最小值；
(2)使y(3)使y≥a恒成立的a的最大值．
解：(1)当x≤3时，y＝－(x－4)－(x－3)＝7－2x是减函数，∴y≥7－2×3＝1.
当3当x≥4时，y＝(x－4)＋(x－3)＝2x－7是增函数，
∴y≥2×4－7＝1.∴ymin＝1.
(2)由(1)知y≥1.要使y1.即a的取值范围为(1，＋∞)．
(3)要使y≥a恒成立，只要y的最小值1≥a，即可．
∴amax＝1.
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