第五章一元一次方程
§5. 1你今年几岁了(1)
重庆第二外国语学校
一、教学目标
·知识与能力
通过对多种实际问题的分析.感受方程作为刻面现实世界有效模型的意义;通过观察,归纳一元一次方程的概念
·教学思考
能对具体情境中的数学信息做出合理的解释,能用方程刻画出事物间的等量关系
·解决问题
体会在解决问题的过程中同学间互相合作和交流的重要性
·情感态度与价值观
体验数学与日常生活密切相关,认识到许多实际问题可以用数学方法解决
二、重点和难点
·重点通过丰富的实例,建立一元一次方程展现方程是刻画现实生活的有效数学模型
三、课前准备
教师准备相应的DAI课件
四、教学过程
1、创设情景
教师用诚恳的态度寻求学生的帮助:“有道题把我难出一道有趣的、可以用方程解决的实际问题和同学们共同探讨.(例如:日历的游戏)
2、温故知新
上面的问题,教师和学生探讨后,联想到可以用以前学过的方程解答,这时,教师请同学们回忆、总结方程的描述性定义,并引导学生在过程分析的基础上,抓住其中的等量关系
3、巩固新知
通过大量有趣的实际问题,让学生加深对建立方程这个数学模型意义的理解和体会.
问题(1)模仿教科书第149页中的内容,让两名同学表演“小明”和“小彬”的游戏.师生共同分析讨论其中的等量关系,并建立方程
问题(2):通过CAI课件动画展示教科书第149页中“小颖”种的树苗的生长过程,并同时给出书中问题.教师引导学生分析其中的等量关系,并鼓励学生多角度地思考.只要学生的方法有道理,都应予以肯定和鼓励.
问题(3):通过投影仪展示第五次人口普查统计数据和第150页中的相关问题.
问题(4):通过CAI课件展示一些世界著名足球场地的简介图片,教师同时做适当讲解,使学生认识到足球场地的整体设计、座位的安排和容量等方面都和数学有着密切联系,然后给出第150页中关于足球场的问题
4、总结归纳
让学生将上面列出的方程放在一起分析:它们有什么共同特点.要求学生探讨后用自己的语言进行描述、表达,并进行交流教师在学生发言的基础上.给出一元一次方程的概念.并进行适当的讲解。
5、巩固练习
第151页 随堂练习
6、设下伏笔
上面我们只是根据等量关系列出了方程,但是,“小彬”到底几岁了等一系列问题如何求出结果同学们知道吗?我们下节课再来共同研究。
§5·1你今年几岁了(2)
重庆第二外国语学校
一、教学目标
·知识与能力
理解等式的基本性质,并能用它们来解方程.
·教学思考
对天平实验中反应的数学信息能用数学式子进行表达.
·解决问题
通过天平实脸,在观察、思考的基础上归纳出等式的基本性质.
·情感态度与价值观
通过观察、操作、归纳等数学活动,感受数学思考过程的条理性和数学结论的严密性.
二、重点和难点
归纳等式的基本性质,并能用它来解方程
三、课前准备
天平、砝码
四、教学过程
1、复习
师:同学们,通过上节课的学习,我们已经知道了可以运用设未知数列方程的方法解决实际问题.现在请同学们根据自己的年龄编一道题,然后设未知数,列出方程.
学生A:我今年14岁,“嘟嘟”是一只可爱的小狗,它比我小10岁,请问“嘟嘟”今年几岁了?
学生B:设“嘟嘟”今年x岁,方程为14-10=x或10+x=14,14-x=10.
学生C:爷爷今年68岁,他的年龄比我年龄的5倍还多三岁,那么我今年几岁了?
学生D:设你今年x岁,方程为5x+3=68或68-3=5x,68-5x=3.
2、导入
师:那么请同学们算出“嘟嘟”和“我.今年几岁了吧.(同学们积极思考,互相讨论.根据以往经验,运用逆运算解出“嘟嘟”和“我”的年龄.)
师:除了运用逆运算的方法解方程外,我们看看是否还有其他的解法呢?
3、实验
师:我们先看看这个实验——这是一个天平,当左右两边托盘中的物体质量相等时,天平平衡.现在天平两边是空的,它是平衡的,我往两个托盘中各加10g的砝码,天平怎样了?·
学生:平衡!
教师:我再分别在左右托盘中各加50g的砝码,天平怎么样了?为什么?
学生:平衡!因为左边托盘中砝码质量为:
10g+50g=60g,右边托盘中砝码质量为10g+50g=60 g,左边=右边,因此天平平衡.
教师:我现在从两边托盘中分别拿下10 g砝码?天平怎样了?
学生:平衡,因为60g-10g=60g-10g..
教师:如果我只在左边托盘中加上10g砝码,而右边不加.天平就会倾斜不平衡了.
学生:因为左右托盘中砝码质量不等
4、归纳等式性质(1):
教师:根据上面的实验,你们有什么体会?I
学生:在天平平衡的基础上,两边同时加或(或减去)相同质量的砝码,天平保持平衡;但两边增加的砝码质量不同天平就不平衡了.
师:那么你们能用数学式子将上面的过程表示出来吗?、(
学生:我认为天平可以看成等式,托盘中没有砝码时Og=Og;加人10g后为0+
10g= 0+ 10g;再加50g后为:l0g+50g=l0g+5Og.(教师书写在黑板上).当两边同时减去l0g后为:60g- l0g= 60g- l0g,只在左边托盘中加上l0g砝码后为
50g+l0g>50g+Og.
教师:好!那么你们能根据天平的性质归纳出等式的性质吗?
学生:等式两边同时加上(或减去)同一数后,其结果仍相等.j
师:对,同学们总结得很好,这就是等式的基本性质(1).那么如果扩大范围,将等式两边同时加上(或减去)同一个代数式呢?还是等式么?请大家试一试.
生:还是等式.如等式1+4=5,两边各加上3x,等式左边=1+4+3x=5十3x,等式右边=5+3x,左边.右边,因此还是等式.
师:因此,等式基本性质(1)为:等式两边同时加上(或减去)同一个代数式,所得结果仍是等式.(教师板书)
5、应用
师:我们知道方程就是等式,现在可以根据等式性质求解一元一次方程,这样上节课的问题就可以解答了.第152页例1(教师把题抄在黑板上,学生独立思考后可适当讲解).
6、总结等式性质2
师:请同学们继续观察、思考等式还有其他性质吗?如果天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数或同时缩小原来的n分之一,那么天平还保持平衡吗?
学生:平衡,如天平两边各有50g砝码,现在同时扩大2倍,左边=50g×2=100g,右边=50g×2=100g,左=右,因此平衡,缩小也是同样道理.
师:请同学们模仿等式性质(1)总结一下.
学生:等式两边同时扩大或缩小相同的倍数,其结果仍是等式.
教师:请同学们讨论一下,看看你们还有什么不同看法.(学生自动分组讨论,积极、热烈)
学生:我们小组认为等式两边可以同时扩大0倍,但是不能同时缩小为原来的分0之一,0是不能做除数的.
师:对!0可以做加数、减数、乘数,但不能做除数.因此等式的性质(2)为等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数),所得结果仍是等式(教师板书),我们运用它求解例2.教师把题抄在黑板上,然后鼓励学生试着自己解方程,并让学生从中体会运用等式基本性质解一元一次方租就是要将方程中未知数的系数化为1,并鼓励学生养成检验的习惯.)
7、练习
(1)教科书第153页随堂练习.
(2)帮助“小彬”解开上节课的那个迷.
8、小结
师:(1)这节课我们学习了解一元一次方程的依据等式的基本性质,让同学们口述,并用代数式表示.
(2)通过天平实验,我们可以形象、直观地展示出等式基本性质,在日常的生活中,还有什么也可以展示出来呢?
(学生回答:扁担、跷跷板······)
9、作业
教科书第154页习题5.2(1)-(5)
§5.2解方程(1)
重庆第二外国语学校
一、教学目标
·知识与能力
熟悉利用等式性质解一元一次方程的基本过程,通过具体的例子.归纳移项法则,会用移项法则解方程
·教学思考
通过学生观察,独立思考等过程,培养学生归纳、概括的能力.
·解决问题
进一步让学生感受到并尝试寻找不同的解决问题方法.
·情感态度与价值观
激发学生浓厚的学习兴趣,使学生有独立思考勇于创新的精神,及养成按客观规律办事的良好习惯
二、重点和难点
·重点 移项法则及应用
·难点 移项的同时要变号
三、课前准备
多媒体课件,课程标准解读
四、教学过程
师:同学们,你们是不是经常玩游戏?
生:是.
师:今天我们玩一个数学游戏,我手中有6、x、30,三张卡片,请同学们用它们编一元一次方程,看谁编的又快又对.
生:(纷纷举手)
生1:6+x=30
生2:6x=30
师:好,上述同学们说的都对.可是现在老师遇到一道难题,请同学们帮助解决一下.请看大屏幕:解方程5 x一2=8
解:5x=8+2
x=2.
这位同学的解法对吗?学完本节课内容,就知道其中的奥秘.(用电脑投影教材154页课及引言)
师:哪位同学发现了规律?
生:原方程中的一2改变符号后,从方程的左边移到方程的右边.
师:这位同学说的对吗?
生:(讨论、交流纷纷回答)对.
师:谁曲给这种变形起个名称?并完整地表述它的内容.
生:(小组合作,交流)说出移项及其内容.
师:对,这种变形叫移项.(老师板书)移项法则.把方程中的某一项改变符号从方程的一边移到另一边,这种变形叫移项,因此方程5x-2=8,也可以这解(用电脑投影显示移项法则解题过程)
师:现在同学们做两道解方程的题(板书)
例1解下列方程:
(1)2 x +6=1; .3x+3=2x+7.
生:(尝试解方程)I
师:(巡视,注意发现学生可能出现的错误并把错误用投影显示出来).同学们这些解方程的过程是否有错误?如果有请改正过来.
生:(讨论、交流.举手发言)r
生1:移项没有变号.
生2:方程两边同除以未知数x的系数2,而不是5.
师:哪两位同学能到黑板板演解题过程.
生:(到黑板板演)
①解:移项得,2x=1-6
合并同类项得.2x=-5
方程两边都除以2得,x= -2.5
②解:移项得,3x-2x=7-3
合并同类项得,x=4
师:非常好!你是如何知道自己做对了还是做错了?
生:把求出的x值代人原方程的左边和右边.如果方程两边的值相等就对了,否则是错的.
师:很好,我们再做一道解方程的题.(板书)解方程的题(板书)解方程:
= -+3
生:(独立完成解题,交流结果)
师:巡视并解答学生所提出的问题.鼓励学生只要解法合理就对.(投影显示学生的各种解法)此题的这些解法,哪种解法比较简便一些?
生:(讨论、交流、举手)用移项法则解较复杂方程比其他方法优越一些。
师:找同学板演
师:这位同学的板书干净利落,希望同学们向她学习。下面我们轻松一下,用快速抢答的方式找错误,看谁找的又快又准又多(投影显示)
生:①方程右边的3“应该是一3”.
②方程左边的9应该是一9,方程左边的6x应该是一6x.
第三步改为x= 一3/7
师:下面我们再做几道解方程题.看谁做的又快又对(出示随堂练习题)
生:(完成练习.交流结果)
师:表扬做得好的同学.
师:同学们,通过今天的学习你有哪些收获.
生:(畅所欲言)
生1:发现了移项法则
生2:移项一定要记住变号.
生3:对一些较复杂的方程,用移项解题比其他方法要有优越性.
师:现在哪位同学能够解答引言中的奥秘(投影显示).
生;解法对,奥秘是移项法则.
师:非常好.让我们将今天的收获在课后填写在你们的成长记录卡上,并完成书后作业,教材156页习题5-3.
§5·2解方程(2)
重庆第二外国语学校
一、教学目标
·知识与能力
通过分析具体问题中的数量关系,了解到解方程作为运用方程解决实际问题的需要.正确理解和使用乘法分配律和去括号法则解方程.
·教学思考
领悟到解方程作为运用方程解决实际问题的组成部分
·解决问题
进一步体会同一方程有多种解决方法及渗透整体化一的数学思想
·情感态度与价值观
培养学生热爱数学,独立思考,与合作交流的能力,领悟数学来源于实践,服务于实践
二、重点和难点
·重点 正确去括号解方程
·难点 去括号法则和分配率
三、课前准备
多媒体课件,课程标准解读
四、教学过程
1、 教师引人
(徽机显示教材P156页引例),教师引导学生根据画面内容探讨解决问题的方法.针对学生情况,如有困难教师直接微机演示.
如果设1听果奶x元,那么可列出方程4(x+0. 5)+x=20-3
教师组织学生讨论教材“想一想”中的内容①首先鼓励学生通过独立思考,抓住其中的等量关系:买果奶的钱+买可乐的钱=20-3,然后鼓励学生运用自己的方法列方程并解释其中的道理。
2、 出示例题3并引导学生探讨问题的解决方法.
引导学生对自己所列方程的解的实际意义进行解释
出示随堂练习题,鼓励学生大胆互评
出示例题4,教师首先鼓励学生独立探索解法,并互相交流,然后引导学生总结,此方程既可以先去括号求解,也可以视作关于(x-1)的一元一次方程进行求解(后一种解法不要求所有学生都必须掌握)
出示自编练习题:下面方程的解法对不对?如果不对应怎样改正?
①解方程 ②解方程
2(x+3)-5(1-x)=3(x-1) 6(x+8)-6=0
3、教师引导学生做出本节课小节。
4、作业:完成书后作业,教材158页习题5-11.
§5·2解方程(3)
重庆第二外国语学校
一、教学目标
·知识与能力
经历解方程基本思路是把“复杂”转化为“简单”,把“新”转化为“旧”的过程,进一步理解并掌握如何去分母的解题方法
·教学思考
通过解方程时去分母过程,体会转化思想
·解决问题
进一步体会解方程方法的灵活多样,培养解决不同问题的能力
·情感态度与价值观
培养学生自觉反思求解和自觉检验方程的解是否正确的良好习惯,团结合作的精神
二、重点和难点
·重点 解方程时如何去分母
·难点 解方程时如何去分母
三、课前准备
多媒体课件,课程标准解读
四、教学过程
1、教师用微机显示一组解方程的练习题
解方程
(1) 8=7-2y
(2)5x-2=7x+8
(3)4x-3(20-x)=3
(4) -2(x-2)=12
(根据学生做题情况,教师给予评价).
2、针对学生的实际,教师有目的引导学生如何去掉分母.去分母时要引导学生规范步骤.准确运算.
3、组织学生做教材P159页“想一想”,鼓励并引导学生总结解一元一次方程有哪些步骤.
4、出示例题6,并鼓励学生灵活运用解一元一次方程的步骤解方程.
教师给予评价.
出示快速抢答题:有几处错误,请把它们一一找出来并改正.
(1)方程为:
去分母,得
2(2x+1)-5x-1=1
(2)方程为:
去分母,得
4(2x-1)=3x+2-1
(3)方程为:
去分母,得
2x+14=7(4-2x)
5、教师给予评价.
教师引导学生总结本节的学习内容及方法。
6、作业:完成书后作业,教材160页习题5-5.
§5.3 日历中的方程
重庆第二外国语学校
教学目标
知识与能力
初步认识运用方程解决实际问题的关键是建立等量关系,能够运用方程解决有关数字排列的一些实际问题.
教学思考
经历运用方程解决实际问题的过程,发展抽象、概括的能力.
解决问题
通过自主探索、合作交流发现日历中的数的排列规律,并运用规律解决关于日历的实际问题.能够运用所学方法解决其他数字排列问题.发展实践能力、创新精神和分析问题、解决问题的能力.
情感态度与价值观
鼓励学生积极参与数学学习活动,培养勇于探索和创新的精神,初步认识数学与生活的密切联系.
重点和难点
*重点体会用方程解决实际问题的过程,由实际意义检验方程解的合理性,掌握探究数字排列规律的一般方法.
*难点探索日历中数的规律,建立方程解决实际问题.
课前准备
教师及每位学生各准备一份日历.
教师准备练习及课后思考题目单.
教学过程
一、引人新课
师:我们一起来做一个智力游戏,请同学们拿出准备好的日历,圈出日历中任意一个坚列上相邻的三个日期,并算出它的和,把他们的和告诉我,我能知道这三天分别是几号,谁来和我欢这个游戏?
生:一学生说出的和为63.
师:(很快地)这二天分别是14号,周号和28号.
生:非常惊讶,踊跃提问,一生说出的和为30
师:这三天分别是3号,10号,17号.大家知道我是用什么方法求出日期的吗?
生:学生会说出用方程(或用其他办法).
师:回答的很好,在游戏中,我是用列方程的方法求出三个日期的,到底如何列方程呢?今天我们就来学习“第三节日历中的方程”.
二、讲授新课
1.日历中的规律
师:请同学们观察手中的日历,研究下列问题(展示题目):1.日历中的数是一些什么数?最大是多少?2.日历中横行相邻两个数有什么关系?3.日历中竖列上相邻两个数有什么关系?请大家自主探索后展开讨论.
生:对三个问题的讨论如下:1.日历中的数是正整数,最大引;2.日历中横行上相邻两个数相差1,右边的比左边的大1;3.日历中坚列上相邻两个数相差7;下边的比上边的大7;
师:(板书结论)同学们分析得完全正确.实际上,也可以说横行中相邻两个数左边的比右边的小1,竖列中相邻两个数卜边的比下边的小7.你能用这些规律完成下面的一些问题吗?(展示题目)1.日历中有一个数是16,你能写出其周围的8个数吗?2.日历小用上方形圈出的2*2个数中的某一个为11,写出其余的3个数;3.若设~横行中相邻三个数中间的为x,则其余两数如何表示?这三个数的和是多少?与中间的数有什么关系?4.若设一坚列上相邻三个数中间的为x,则其余两个数如何表示?这三个数的和是多少 与中间的数有什么关系 请大家讨论.
生:对四个问题讨论如下:1.其周围8个数分别是: 8, 9,10, 15, 17, 22, 23, 24; 2.其余三个数为 :3,4,10或 4,5,12或10,17,18或 12,18,19. 3.其余两数为x-l,x+l;和为3x,是中间数的3倍;4其余两数为x-7,x+7,和为3x,是中间数的3倍.
2.运用规律解决实际问题
师:大家分析得完全正确,当我们对日历有了这么多的认识后,就可以用列方程来解决游戏中的问题了,板书例1:在游戏中,如果小颖说出的和为60,你知道这三天分别是几号吗?如何设未知数,列方程呢
生:设中间的数为x,则其余两个数为x-7,x+7,根据题意,得:x-7+x+x+7=60,3x=60,x=20,因此,这三天分别是13号,20号,27号.
师:(板书例1的解法)你说得很好.还有没有别的未知数的设法?方程怎样列,解是什么.
生1:还可以设最小的数为x,则其余两个数分别为。X+7,。X+14,根据题意,得x+x+7+x+14=60, 3x=39,x=13,因此这三天分别是13号,20号,27号.
生2:设最大的数为x,则其余两个数分别为x-14,。x-7,据题意得:
x-14+x-7+x=60, 3x=81,x=27,因此这三天分别是:13号,20号,27号.
师:哪种未知数的设法最好 为什么?
生:第一种最好,列出方程后,正负相抵,运算简便.
师:对.如果告诉你日历中坚列上相邻5个数的和为85,你会怎样设未知数?
生:设最中间的数为。,则其余的数分别为:x-14,x-7,x+7,x+14,其和为5x,很容易求出这5个数.
师:若告诉你竖列上相邻4个数的和为54,你会怎样设未知数,
生1:设第2个数为x,则其余的分别为:x-7,x+7,x+14,和为4x+14, 很容易求解.
生2:还可以设第3个数为x,则其余的分别为x-14,x-7,x+7,其和为4x-14,也很容易求解.
师:大家说得太好了,通过刚才的研究,我们知道,列方程求一列数时,设最中间的数或靠近中间的数为x,会使求解简便.
3.检验解的合理性
师:展示练习1:在例1中,如果小颖说出的和分别为75,21,50,你能求出这三天分别是几号吗?请大家列方程求解,并把你的结果与同学交流,讨论解是否合理.
生:讨论结果如下:若和为75,则求出的三天分别是18号,25号,32号,这个解不合理,因为日历中没有32号;若和为21,求出的三天分别为0号,7号,14号,这个解也不合理.因为日历中也没有0号.而第三个和根本不可能,因为前面已经研究过,相邻三个数的和必为3的整数倍.50不是3的整数倍,故不可能.
师:回答得非常好,大家现在知道,在列方程解决实际问题时,求解方程后必须检验解的合理性,不能贸然作答.
4.技能训练
师:请同学们把书翻到162页,我们来做一个游戏,谁来给大家读一下这个游戏的规则?
生:朗读游戏规则.
师:大家知道用什么办法去求这些数吗?
生:知道,用列方程的办法.
师:很好,请大家注意设未知数的技巧.现在两人一组开始做游戏.(一段时间后)哪两位同学给大家展示一下你们的游戏过程?
生:第一个游戏,我说的和为58
生:我设第二个数为x,求出四个数的和列方程为4x+14=58,x=11,这四天分别是 4,11,18,25,第二个游戏,我说出的和为100.
生:我设最小的数为x,则其余各数为x+l,x+7,x+8.方程为x+x+l+x+7+x+8=100,4x=84,x=21,这四天为21号,22号,28号,29号.
师:很好,这两位同学的游戏很成功.在游戏中,还可以怎样设未知数?
生:最大的数为x,则其余各数为x-1, x-8,x-7;或设右上角的为x,其余的为x-l,x+6,x+7;左下角的为x,其余的为x+ l,x -7,x-6.
师:很好,大家对日历中的规律已经能很熟练地应用.实际上,日历中其他位置的数也存在相似的规律.我们可以在课后继续探索.日历中的数实际上是按某种规律排列的数.只要掌握研究它们的方法,我们就可以解决与之相类似的问题.
5思维拓展
师:展示练习2:有这样的一列数: 5, 10, 20, 25…··按此规律排列,如果其中三个相邻的数的和为135,你能求出这三个数吗?请大家思考,并相互交流.
生:通过观察,分析,发现相邻两数相差5,可设中间的数为J,则其余的为。-5和x+5,和为3x,则3x=135.X=45,因此这三个数分别为40,45,50.
师:完全正确.实际上具有这样规律的数我们遇到过很多,如连续偶数、连续奇数等,课后大家可以去研究.
6授课总结
师:哪位同学谈谈本节的学习内容.
生:本节我们研究了日历中的规律并运用规律解决了一些问题,知道解实际问题必须检验解的合理性,而且我们也学习了研究问题的方法,能用这些方法去解决其他按一定规律排列的数字问题.
师:很好,谁来谈谈学习体会.
生:通过本节学习,我体会到人程叮以用来解决实际问题,而且我也学会了如何去研究数的规律,合理地设未知数.本节课不仅使我感到学习数学的乐趣,还使我体会到,我们身边就有数学,数学无处不在.
三、作业:162页2、3、4题.
四、课后思考题:
1.在R历中用正方形圈出3×3个数,如果对角线上的二个数的和为60,这三天分别是几号?
2.你能编一个与l类似的问题吗,
3.三个连续自然数的和为66,求这三个数;三个连续偶数的和为36,求这三个数;三个连续奇数的和为45,求这三个数;三个连续整数的和为5,求这三个数.
§5.4 我变胖了
重庆第二外国语学校
教学目标
知识与能力:通过分析实际问题中的数反关系.建立方程解决问题.
教学思考:用实例对一些数学猜想做出检验。从而增加猜想的可信样度或推翻猜想.
情感态度与价值观:培养学{敢于面对和龙服数学活动小困难的能力,使他们拥有运用知识解决问题的成功体验.建立学好数学的自信心.
解决问题:体会数学与现实生活的密切联系.增强应用意识,提高运用数学知识与方法解决实际问题的能力.
.重点和难点
重点:使学生进一步体会运*为人’解决问题的关键是抓住等量关系,认识方程模型的重要性.
难点:关键是让学生抓住锻压变化中的不变量—一物体的体积.
课前准备
教师准备CAI课件、圆村形橡皮泥或两个体积相等担底仰积不等的烧杯以及适量的彩色水.学生准备圆柱形橡皮泥.
教学过程
引言:
师:问学们,今大这堂课我们来共同学习《找变胖了人》
生:(哈哈大笑)我变胖了,多有意思啊!说的真是我变胖了吗?(学生情绪高涨,兴趣盎然)
师:我和你们一样,刚看见这个题目时也觉得很有意思.以为真是说“我”胖了呢,后来仔细一看,原来不是这么回事儿.同学们,你们想知道是怎么回事儿吗?
生:想!当然想厂!(学生们异口同声,学习积极性被充分调动起来)
演示:
师:好!请同学们看我的演示.这是一块圆柱形橡皮泥,我用力向下一压,你们看它怎么了?
生1:它矮!
生2:它矮了,也就胖了!哦,原来是说圆柱胖了啊!(同学们互相笑着说,气氛轻松自然)
思考:
师:刚才的演小有点儿像轧钢工厂里的锻压过程(有条件可以适当介绍锻压工艺,以进一步提升学生的兴趣).那么在这个过程中圆柱体的哪些星发生了变化呢?
生3:它的底面半径增大、高度减小.
师:请向学们再仔细想想,它的哪些量没有发生变化呢?
生4:它的体积没变、重量没变.
师:对!同学们观察得很仔细,即:锻压前体积=锻压后体积、锻压前重量=锻压后重量(教师在黑板上书写).根据这种等量关系,我们就可以解决实际问题了.现在,请同学们思考问题1:如果将一个底面直径是10厘米、高度为36厘米的圆柱体锻压成底面直径为20厘米的圆柱体,那么它的高度应该是多少呢?(此题在课件中以投影仪显示)想好后,请填写下面的表格.
设锻压后圆柱的高度为x厘米:
(让学生们独立
思考,继而互相
谈论,教师巡视
了解学生们的思
维状况和存在的
疑惑问题)
解题:
师:大家想好厂吗?请把你们填好的表格和大家说一下吧.然后根据等量关系列方程解出这道题.
(同学们积极拳手回答问题,大多数同学经过思考后都能够正确地填写上表.但也有少部分同学仍存在一些错误,如:半径与直径混淆、算式中直接用3.14替代、圆柱体积计算公式遗忘等.教师应及时指出并加以纠正.)
练习:
(1)教科书第165贾随堂练习.
(2)第一块试验田的面积比第二块试验田的面积的三倍还多 100平方米,这两块试验田的面积共2900平方米,分别求每块试验田的面积?
(3)根据实际情况,学生自编一道应用题.
例题:
教科书第1创页例1(用投影仪显示).
师:问学们可以独立思考或分组讨论,在仔细阅题的基础上,观察分析有哪些量发生了变化’!哪些量没有变化?其中的等量关系是什么?如何列方程式解答问题?
(学生在教师的鼓励下积极思考、争论并得出“长方形的长和宽在围合过程中虽然在变化,但其周长不变”的规律,由此便可建立等量关系:长+宽=周长÷2,并列出方程式求解)
教师展示利用“几何画板”绘制的课件:依照例题中三个小问题,分别给制相应的长乔形.当点击隐藏的按钮时,则显示出各题的正确解题过程和答案,以便学生对照修改、加深理解.
扩展:
师:在前向的例题中,根据计算,请冈学们思考:当长方形周K不变时,随着它的长和定数值的逐渐接近,它的面积有什么样的变化趋势呢!
生:变大!
师:那么这三种情况下,哪种面积最大呢?
生:当长等于宽时,即正方形时面积最大.
师:那么,当周长为10厘米不变时,正方形1的面积值是不是所能围成的所有长方1形中面积最大的呢?(学生大胆猜想、不断假设,并在计算器的帮助下取了很多中间值加以比较论证,从而得出答案:当围成正方形时其面积是所有可能围合的长方形中最大的)
(教师展示课件:用几何画板绘制的一个长方形,它的周长为10厘米,同时给出其边长及面积的测算值.当移动其一边时,相应的边长和面积测算值也随之变化.让学生着重观察面积值的变化,当边长相等时,其面积最大)
提升:
问题回:一个牧人,有 100米长的篱笆,如何围成一个面积最大的羊圈以便圈养更多的羊!
问题2:请同学们想一想,在我们的日常生活中,还有哪些类似的实际问题呢?
(以此培养学生观察生活和运用数学知识分析和解决实际问题的能力)
作业:
l.第167见习题 5.7(l)、(2)、(3)
2.用数学语言推导证明“当周长一定时,正方形面积最大”.
(此作业只要求自学能力强、有毅力并对数学有浓厚兴趣的学生尝试完成.)
§5.5 打折销售
重庆第二外国语学校
教学目标
知识与能力
进一步经历运用方程解决实际问题的一般过程.
教学思考
能运用生活经验和社会实践对有关数学信息进付归纳和类比.
解决问题
能在教师指导下与问伴合作完成社会调查.同时.结合具体情境发现和解决数学问题.
情感态度与价值观
体验数学与日常生活的密切联系.认识到许多实际问题可以借助数学方法来解决.并时以借助数学治言来表达和交流.
重点和难点
理解成本、标价、实际传价、利润的含义及它们之间的等听关系.
课前准备
教师组织学生进行课前社会调查,并要求学今做调产总结.
教师准备相关的教学课件.
教学过程
课前调查:
教师和学生利用课余时间到大街小巷进行社会调查.分两组进行:第一组运用摄像、拍照等手段对各大小商场的广告牌、橱窗、标语等进行调查.第二组运用问卷、口头提问等方式对市民、消费者进行随访和调查,了解广大市民对打折销售是否能得到实惠的看法.
[通过这次活动不仅丰富了学生的课余生活,为学习本节课积累了大量的感性经验,而且培养了学生走向社会、适应社会的能力.]
调查总结:
教师课上请两组同学分别汇报调查结果及看法:第一组同学播放和展示了大量的图像和音像,非常直观地、清楚地反映出了商家的促销手段—一让人难以抗拒的语言诱惑,如:清仓甩卖、跳楼价、买一赠一等.同学们都产生了质疑:真如商家所说的那样吗?第二组同学拿出了他们统计的数据:随机采访的96名顾客中有55.2%的人认为打折销售只是一种商家的促销手段,买与不买还要看具体情况;23%的人认为确实得到了优惠;21.8%的人则不为所动.
同学们质疑:到底谁说得对呢?我们如何分辨呢?能不能应用数学知识去解答呢?
[通过总结这次社会调查,学生不仅学会了对数学信息全。何进行归纳、总结,而且敢于提出问题,并盼望运用数学思想和方法去解决问题.并且对原价、现价、几折优惠、利润等基本概念有了初步的认识.」
导入新课:
教师:今天我们学习《打折销售》这节课(教师板书题目),通过课前调查,同学们对本节课已经产生了浓厚的兴趣,非常想弄清楚打折销售是否真正让消费者得到了实惠.要想弄清楚这个问题,要先弄清其中的相关概念,以及它们之间的内在联系.
课上表演:
教师拿出一盒铅笔,放在桌子上,旁边立一小牌:只批发,不零售,一捆1.5元,每捆10支
学生A上前:“我买两捆铅笔,这是三元钱.”
[他拿回去后,将包装拆开数放到一个盆中,然后抱着它在教室里来回走动,进行零售.]
学生B询问:“请问,铅笔多少钱一支?” 同学A回答:“0.25元一支”.于是学生B购买了两支.过了一会儿,学生C询问铅笔的价钱,学生A回答:“平时我卖他们都是0.25元一支,现在挥泪大甩卖,八折优惠,0.20元一支.”。果时间允许的话可以再来几组表演,以便加深学生的印象.]分组讨论:
教师:请各小组分别讨论:在以上演示中成本、标价、实际售价、利润分别是多少则它们之间有什么样的等量关系呢?
〔学生通过分组讨论,加上课前社会何查积累的经验很快明确:0.15元是成本、0.25元是标价(相当于原价)、0.20元为打折后的实际售价(相当于现价即 0.25元×80%=0.20元).卖给学生B时一支铅笔所获利润为0.25元-0.15元=0.1元;卖给学生C时一支铅笔所获利润为0.20元-0.15元=0.05元.」
研讨分析:
教师:让我们共同分析一下它们之间的关系:标价是如何得到的?打折后的售价呢?利润呢?
[教师参与学生讨论,并经其指导、点拨、纠错,由学生总结出:成本十提高的价钱一标价;标价X打折的数一打折后的售价;利润一实际售价一成本.]
教师:同学们的
分析可以表示为:
实际应用:
教科书第168页应用题(教师可用投影仪显示这道应用题和“想一想”部分)
[让学生在充分阅题、理解题意的基础上,独立思考,找出等量关系,列方程解出此题.教师巡视、指导、纠错.大部分同学可以)饭利完成此题.因学生存在个体差异,教师对部分学生可单独进行指导.]
巩固练习:168随堂练习.
课堂小结:
(1)教师请同学们总结应用一元一次方程解实际问题的步骤.
[教师可以引导学生根据以往经验进行总结,回顾以前的解题过程,以加深理解每一步的含义.其中要强调解决问题的关键步骤是寻找等量关系,同时注意检验方程的解是否符合实际意义.」
(2)教师请学生体会:通过本节课的学习,如何看待“打折销售”?
〔学生积极思考,踊跃发言,从不同角度,不同侧面回答.有的同学说:无论怎样打折,商家都是赚钱的;有的同学说:这要看成本和实际售价的具体比值(当然,这是商业秘密,商家是不会透露的);还有的同学说:总的来看,)T折销售老百姓还是能够得到实惠的,当然,这不包括以“打折”为幌
子的商业欺诈行为……」
课后作业:
1.教科书第169页习题5.8(I)、(2)
2.以《浅论促销》为题目写一篇小论文.要
求用数学的角度去分析各种促销手段,
论点明确、论据清楚,字数在500字以内.
§5.6“希望工程”义演.
重庆第二外国语学校
教学目标
知识与能力
借助表格分析复杂问题中的数量关系从而建立入程解决实际问题.
教学思考
领悟数学来源于实践,服务于实践,解决问题用最简单的办法.
解决问题
进一步体会方程模型的作用,提高价析问题,解决问题的能力.
情感态度与价值观
培养学生热爱数学.积极探索,勇于创新的精神.
重点和难点
*重点找出等重关系,解决实际问题,
*难点探究多种解题方法.
教学过程
师:同学们,让我们先来看一组有关“希望工程”的图片,(电脑投影“希望工程”的几个图片).然后请同学们谈谈你的所见所感.
生:这些是“希望工程”的一组图片.图中破败的校舍和在这艰苦环境下渴望学习的学生们,他们太困难户!
师:同学们都知道什么是“希望工程”吗?请知道的同学给大家讲一讲.
生:各抒己见.
师:拿出事先查找的有关“希望工程”的资料给大家读一读.
师:同学们,“希望工程”是我们都应关心关注的问题.许多团体和个人都为“希望工程”捐款捐物,奉献自己的一份爱心,下面是某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演.
师:(用电脑投影教材170页课题及例题.)
请同学们想一想,解决上面问题你如何思考?
生:(进行组内合作,交流各自想法,组间探讨、交流.)列出一元一次方程解应用题,关键在于根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系.这道题中售出的票包括成人票和学生票,所得票款包括成人票款和学生票款,因此这个问题中包含着下面两个等量关系:
成人票数十学生票数 = 1000张(1)
成人票款十学生票款= 6950元.(2)
师:非常好,当我们遇到复杂的实际问题时,可找出若干个较直接的等量关系,
借此列出方程.
师:哪位同学能说一说你是如何设未知数的呢?
生:(组内合作、交流、讨论)设售出的学生票为X张.
师:很好,从复杂问题中分析数量关系,我们可以借助表格来帮助分析量与量之间的关系.
师:(给出表格)
请问学们完成上表.
生:(完成表格)
师:哪位同学能列出方程,并说出你是根据哪一个等量关系列出的?
生:(组内合作、交流)根据等量关系(2)可列出方程:
5x +8(100-x)= 6950.
师:下面请同学们解出方程,得出结论.
生:(完成解题过程,写出答案).
师:上面的例题还有没有其他设法?
生:(讨论)设所得的学生票款为y元.
师:很好,下面请同学们仿照上面表格,自己填写一个表格,并说出根据哪一个等量关系列出的方程.
生:(讨论)(完成表格),根据等量关系(1);可列出方程:
完成解题过程,写出答案.J
师:非常好!同学们,通过刚才的小组合作、交流、讨论,你们有什么发现?
生:我们发现,设未知数的方法不同,方程的复杂程度一般也不同,因此在设未知数时要有所选择.
师:非常好,对上述例题我们是否还有其他的解决方法.
生:讨论.
师:好,请将你们的讨论结果课后用小论文的方式交上来.
师:下面请同学们再想一想,如果票价不变,那么售出1000张票所得票款可能是6930元吗?为什么?
生:(讨论)不能.原因:设售出的学生票为x张,则8(1000-x)+5x = 6930,解得x =356,这显然不符合题意.
师:通过这个问题的讨论,你明确了什么?
生:必须检验方程的解是否符合实际.
师:好,同学们,你们过年都能收到压岁钱吗?有多少?你用它们来做什么呢?
生:(纷纷发言.)
师:请同学们根据你的实际情况,一组编题,一组解答.
生:(讨论、交流,解决问题.)
师:请同学们谈一谈,你今天的收获.
生:通过今天的学习,我们掌握了列一元一次方程解决实际问题的方法,领悟了数学来源于实践,服务于实践,通过对“希望工程”的了解,让我们首先珍惜自己的学习时光,并力所能及地去帮助那些贫困地区的同学们,让他们也能读上书,与我们共同为建设我们的国家而努力学习.
师:请同学们课后将你们的收获填写在成长记录卡上,并将小论文完成后上交.
§5.7能追上小明吗
重庆第二外国语学校
教学目标
知识与能力
借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系,从而建立方程解决实际问题.
教学思考
使学生进一步领会采用代数万法解应用题的优越性.
解决问题
通过观察、类比、联想、延伸和推广,培养数学创新能力,发展分析问题、 解决问题能力.
情感态度与价值观
培养学生实事求是的态度及与人合作交流的能力,逐步树立克服困难的 信心、意志力,培养学生学习数学的热情和良好的人格品质.
重点和难点
重点找等量关系,列出方程,解决实际问题.
难点找等量关系.
课前准备
多媒体课件.
教学过程
师:同学们,你们平时爱看动画片吗,
生:(纷纷表示爱看.)
师:那么今天老师给大家先播放一段动画片.(一名小学生背着书包去上学,爸爸举着一本书从后面追上来……)
生:(兴趣盎然地观看动画片.)
师:同学们,你们能根据画面的内容自己编题吗?
生:(讨论、交流.)
师:好,以上问学们编的题都涉及了常见的一个数量关系:路程=速度×时间,以及由此导出的其他关系.那么今天,我们就具体的来研究这个问题.(投影给出教材172页课题及例题)请问学们想一想,上面问题包含哪些等量关系.
生:(进行组内合作,交流各自想法,组间探讨、交流.)在上面问题中,当爸爸追上小明时,两人所行距离相等,抓住这个等量关系是解决这个问题的关键,而我们如果能画出爸爸和小明所行距离的线段图,那么这个等量关系就更清楚了.(一名学生上黑板画出线段图.)
师:非常好!列方程解一些实际问题的过程是一个数学化的过程,这个过程中常常需要文字语言、图形语言、符号语言的互相转换,而我们借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系,从而建立方程解决实际问题不失为一个好方法.
师:下面哪位同学能说一说你是如何设未知数的呢?你能完整地解决这个问 题吗?
生:设爸爸追上小明用了x分钟.根据题意,可列出方程:
180x = 80x十 80×5
并完成解题过程,写出答案.独立完成问题(2)的解答过程.
师:(出示随堂练习题.)
生:(讨论并完成随堂练习.)
师:同学们,下面我们尝试解决下面的问题.(投影给出教材173页议一议)
师:访问学们根据上向的事实大胆地提出问题.
生:(积极踊跃讨论、交流.)
生1:后队造肝前队时用一f多少时间?
生2:后队追上前队时联络员行了多少路程?
生3:通讯员第一次追上前队时用厂多少时间?
生4:当后队追上前队时,他们已经行进了多少路程,
生5:联系员在前队出发多少时间后,第一次追上前队?
师:能不能利用已学过的方程去解决这些问题呢?请与问伴交流白己的问题和;解决问题的过程.
生:(更加积极踊跃地思考、讨论、交流.)
师:同学们,通过今天我们研究的问题“能追上小明吗”,你们都有哪些收获?
生:(讨论.)
生1:对于今天的问题,借助“线段图”能帮助我们分析复杂问题中的数量关系,从而建立方程解决实际问题.
生2:有些问题用算术解法不方便最好用代数解法.
生3:设未知数时以直接设,也可以间接设.
师:非常好,这证明同学们都用心地学习了,特别是借助“线段图”来帮助我们分析问题,更是形与数相结合后发挥出的优越性,而随着应用题的复杂化,代数方法的优越性将更为突出,希望同学们在今后的学习中细细体会.
师:最后,请同学们课下填写成长记录卡,并完成教材173习题5-10
§5.8教育储蓄
重庆第二外国语学校
教学同标
知识与能力
通过分析教育储蓄中的数量关系,经历运用方程解决实际问题的过程;能运用计算器处理实际问题中的复杂数据.
教学思考
领悟到方程解实际问题的关键是找到“等量关系”.
解决问题
进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型.
情感态度与价值观
培养学生热爱数学的热情,实事求是的态度及与人合作、交流的能力.
重点和难点
重点找等量关系,列出方程,解决实际问题.
难点找等量关系.
课前准备
师多媒体课件.
生课下收集有关利息、教育储蓄等知识的资料.
教学过程
师:同学们,你们到银分舒过款吗?解有关储蓄的常识吗?
生:(纷纷举手).
生1:我和妈妈到银行存过钱,妈妈存入银行的钱叫本金,银行付给妈妈的酬金叫利息.
生2:银行要收利息税的.
生3:教育储蓄不收利息、税.
师:好,同学们说的都对,本金与利息的和叫本息和,存入的时间叫胡数,每个期数内的利息与本金的比叫利率,利息 = 本金x利率×期数.刚才有的同学谈到了教育储蓄,谁知道教育储蓄的有关知识.
生:拿出事先到银行了解的有关利息、教育储蓄的资料介绍给大家.
师:同学们,你们家长有没有为你参加教育储蓄呢?
生:(举手发言)有的有参加,有的没有参加.
师:同学们,现在我们知道教育储蓄是一个不征收刮息税的储蓄品种,但采取什么样的储蓄方式能使开始存入的本金少而实得的利益一样呢?下面我们来看一看小颖的父母在为她准备6年后上大学的学费5000元而参加的教育储蓄.请同学们帮助小颖的父母来选择一种合适的储蓄方式.(用电脑没影教材174页课题及例题,并给出教育储蓄利率.)我们先看第一种储蓄方式.
生:(讨论,小组合作、交流)第一种储蓄方式小颖的父母直接存了一个6年期,应先知道存6年的年利率是2.88%,从而可以知道利息是多少,按照本息和 = 本金 + 利息,找出问题中的等量关系.
师:非常好!从复杂的实际问题中找出直接的等量关系,借此列出方程.那么哪位同学能完整地表达你的解题过程呢,
生:设开始时存入x元,则利息为x×288% / 6元.按照第一种储蓄方式,那么列出方程:
x(1+ 2.88%×6)= 5000
解得x=4263,即按照第一种储蓄方式开始存入本金约为 4263元.
师:很好,下面让我们来看第二种储蓄方式.为了清楚地从复杂问题中分析数量关系,我们对以借助表格来帮助分析量与量之间的关系.
师:(给出表格,鼓励学生自己填表.)
生:(填表,讨论交流.)
按照第二种储蓄方式,假设第一个3年期存入本金为x元,那么根据存3年的年利率是2.7%,可知到期后利息为x×27%×3元,那么本息和为x(1+ 2.7%×3)= 1.081x,,这1.081x就是第二个3年期的本金,再求出第二个3年期到期后的利息1.081x×2.7%×3元,则本息和为1.081x×(1+2.7%×3)元,而第二个3年期后,本息和要达到5000元,从而可以列出方程:
1.081x×(1+2.7%×3)=5000,
解得x = 4279.就是说,开始大约存4280元,3年期满后将本息和再存一个3年期,6年后本息和能达到5000元.
师:非常好,通过你们的实际计算,同学们一定已经得出了结论,小颖的父母应采取哪一种储蓄方式呢?
生:按第一种储蓄方式开始存入的本金少,应采取第一种储蓄方式.
师:同学们,通过今天的学习你有哪些收获呢?
生:(畅所欲言.)
生1:如果我妈妈给我办理教育储蓄,我会告诉她哪一种储蓄方式合算.
生2:我知道什么样的储蓄存款征收利息税,什么样的储蓄存款不征收利息税.
生3:计算器处理复杂数据真快.
师:非常好.下面我们就再次利用计算器解答以下的问题(出示随堂练习题.)
生:(完成练习,交流结果.)
师:最后,让我们将今天的收获在课后填写在你们的成长记录卡上,并完成书后作业,教材175页习题 5--11.