2023年探究中考数学最值之瓜豆原理（无答案）

2023年探究中考数学最值之瓜豆原理
瓜豆原理
必备知识
一、旋转及性质
1.旋转的定义：一个图形绕一点沿一定方向旋转一定的角度；
2.旋转三要素：①旋转中心（绕哪个点转）；②旋转方向（顺时针或逆时针）；③旋转角度；
3.旋转的性质：①旋转不改变图形的大小与形状，只改变图形的位置，即旋转前后图形全等；②对应点与旋转中心所连线段间的夹角等于旋转角。
二、位似及性质
1.位似的定义：若两个图形F和F'的点之间可以建立一一对应关系，并且满足：①每组对应点的连线所在的直线都经过同一点O;②每组对应点都在点O的同侧或异侧；③对每一组对应点A和A',有
(k为常数），则称图形F和F'位似，k叫位似比；
2.位似三要素：①位似中心（关于哪个点位似）；②位似方向（同侧或异侧）；③位似比（等于相似比）；
3.位似的性质：成位似的两个图形必相似；
把一个几何图形变换成与之位似的图形，叫做位似变换；
利用位似变换可把一个图形放大或缩小，若位似比大于1,则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于1,则通过位似变换把原图形缩小．
提炼方法
一、旋转作图
问题1:如图1,在平面内有两点A、B,请将点B绕点A按顺时针方向旋转40°.
简析:如图2所示，这里AB=AC,即“共顶点，等线段”．
图1 图2
二、位似作图
问题2:如图3,已知线段AB,请以点A为位似中心，为位似比，在同侧将线段AB进行位似变换。
图3 图4
简析如图4所示，这里，即“共顶点，定比值线段”。
三、模型建立
（一）旋转变换
问题3:(1)如图5,已知等腰Rt△APQ,其中A为定点，根据旋转作图的经验，请你说说：点Q可以看作点P经过怎样的变换得到？
（2)如图6,若改为等边ΔAPQ呢？
（3)如图7,若改为任意等腰ΔAPQ(其顶角为α)呢？
图5 图6 图7
简析:（1)点Q可以看作点P绕定点A按逆时针方向旋转90°而来；
（2)点Q可以看作点P绕定点A按逆时针方向旋转60°而来；
（3)点Q可以看作点P绕定点A按逆时针方向旋转角α而来；
问题4:在问题3中，若点P在一条定直线l上运动，其他条件不变，如图14-2-8至图14-2-10所示，请问：点Q的运动路径是什么？它可以看作点P的路径如何而来？
图 8 图9 图10
简析:每一个点Q都可以看作相应的点P绕定点A经过相应的旋转而来，因此点Q的路径当然也是点P的路径（即直线l)绕定点A经过相应的旋转而来，如图11至图13所示．
图11 图12 图13
这里出现“共顶点，等线段”结构，反过来，可以用旋转的眼光来看问题，即点Q的路径由点P的路径经过相应的旋转而来，“直线生直线”，且两直线夹角为旋转角；需特别强调的是：这里的旋转中心A必须是一个定点，下同，不再赘述。
问题5:在问题4中，若将“定直线l”改为“定⊙”，其他条件不变，结果如何？
简析: 同理，点Q的路径可以由点P所在的O绕定点A经过相应的旋转而来，如图14至图16所示．
图14 图15 图16
这里是“圆生圆”；
注意：点Q所在的轨迹圆圆心O'也是原来的圆心O绕定点A经过相应旋转而来；
总结：这里仅牵扯到“旋转变换”，不妨称P为主动点，Q为从动点，根据旋转不变性，从动点Q的路径与主动点P的路径是全等图形，因而其路径长相等；
理解：“集体行动，步调一致”，即每一个点都是经过相同的变换得到，整个路径自然也是经过相同的变换而来，若是圆，其圆心亦然。
（二）位似变换
问题6:(1)如图17,已知线段AB,其中A为定点，C为线段AB的中点，根据位似作图的经验，请你说说：点C可以看作点B经过怎样的变换得到？
（2)如图18,若改为AB=3AC呢？
（3)如图19,若改为C为直线AB上任意一点，且(k为常数）呢？
图17 图18 图19
简析:（1)点C可以看作点B以定点A为位似中心，以为位似比同侧缩小而来；
（2)点C可以看作点B以定点A为位似中心，以为位似比同侧缩小而来；
（3)点C可以看作点B以定点A为位似中心，以k为位似比放缩而来。
问题7:在问题6中，若点B在一条定直线l上运动，其他条件不变，如图20至图22所示，请问：点C的运动路径是什么？它可以看作点B的路径如何而来？
图20 图21 图22
简析:每一个点C都可以看作相应的点B以定点A为位似中心，以相应的位似比放缩而来，因此点C的路径当然也是点B的路径（即直线l)以定点A为位似中心，以相应的位似比放缩而来，如图23至图25所示．
图 23 图24 图25
这里出现“共顶点，定比值线段”结构，反过来，可以用位似的眼光来看问题，即点C的路径由点B的路径经过相应的位似变换而来，“直线依然生直线”；
值得一提的是，因为“两点确定一条直线”，故只要作两个（特殊）点的位似变换即可。
问题8:在问题7中，若将“定直线l”改为“定⊙O”，其他条件不变，结果如何？
简析：同理，点C的路径可以由点B所在的⊙0以定点A为位似中心，以相应的位似比放缩而来，如图26至图28所示．
图26 图27 图28
这里依然是“圆生圆”，且这两个圆的相似比（即半径比）等于位似比；
注意：“集体行动，步调一致”，点C所在的轨迹圆圆心O'也是原来的圆心O以定点A为位似中心，以相应的位似比放缩而来；
总结：这里仅牵扯到“位似变换”，根据位似的性质，从动点C的路径与主动点B的路径是相似图形，且其相似比等于位似比。
（三）旋转位似变换
问题9:(1)如图29,已知等腰RtΔABC,其中∠B=90°,A为定点，根据旋转作图以及位似作图的经验，请你说说：点C可以看作点B经过怎样的变换得到？
（2)如图30,若改为等腰ΔABC,其中∠B=120°呢？
（3)如图31,若改为ΔABC,其中∠A=α为常数，且＝k为常数呢？
图29 图30 图31
简析:（1)由题知∠A=45°且,故点C可看作点B经过两次变换得到，先绕着定点A逆时针旋转45°,以定点A为位似中心，以为位似比放大而来；
（2)同理，由∠A=30°且,可知点C可以看作点B先绕着定点A逆时针旋转30°,再以定点A为位似中心，以为位似比放大而来；
（3)更一般地，点C可以看作点B先绕着定点A逆时针旋转角α,再以定点A为位似中心，以k为位似比放缩而来。
问题10:在问题9中，若点B在一条定直线l上运动，其他条件不变，如图32至图34所示，请问：点C的运动路径是什么？它可以看作点B的路径如何而来？
图32 图33 图34
简析：每一个点C都可以看作相应的点B先旋转后位似而来，因此点C的路径当然也是点B的路径（即直线l)先旋转后位似而来，如图35至图37所示．
图35 图36 图37
这里出现“共顶点，定夹角，定比值线段”结构，反过来，可以用旋转加位似的眼光看问题，即点C的路径由点B的路径经过相应的旋转位似变换而来，“直线还是生直线”。
问题11:在问题10中，将“定直线l”改为“定⊙O”，其他条件不变，结果如何？
简析：同理，点C的路径可以由点B所在的O先旋转后位似而来，如图38至图40所示．
图38 图39 图40
这里还是“圆生圆”，且这两个圆的相似比（即半径比）等于位似比；
注意：“集体行动，步调一致”，点C所在的轨迹圆圆心O也是原来的圆心O先旋转后位似而来；
总结：这里既牵扯“旋转变换”，又涉及“位似变换”，故称“旋转位似变换”；
根据旋转不变性以及位似的性质，从动点C的路径与主动点B的路径依然是相似图形，且其相似比等于位似比。
四、具体案例
（1)如图41,已知AB=2,点D是等腰RtΔABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作等边ΔBDE,当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；
（2)如图42,已知AB=2,点D是等腰RtΔABC斜边AC上一动点，以BD为斜边向右下方作等腰RtΔBDE,当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；
图41 图42 图43 图44
（3)如图43,已知AB=2,点D是等腰RtΔABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以点D为直角顶点的等腰RtΔBDE,当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；
（4)如图44,已知AB=2,点D是等腰RtΔABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作等腰ΔBDE,其顶角∠BDE=120°,当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长．
简析（1)点B为定点，从动点E可以看作主动点D绕点B顺时针旋转60°而来，故点E运动的路径长等于点D运动的路径长，即为2;
（2)点B为定点，从动点E可以看作主动点D先绕点B顺时针旋转45°,再以点B为位似中心，以为位似比缩小而来，故点E运动的路径长等于点D运动路径长的,即为2;
（3)点B为定点，从动点E可以看作主动点D先绕点B顺时针旋转45°,再以点B为位似中心，以为位似比放大而来，故点E运动的路径长等于点D运动路径长的倍，即为4;
（4)同理，点E运动的路径长等于点D运动路径长的倍，即为2.
五、总结反思
1.图形变换（平移、翻折、旋转及位似等）的本质是点变换；反过来，点变换也可以看作该点所在图形的变换，这是整体与局部之间辩证统一的关系；
2.分析问题时，要做到眼中有“点”：先找定点，再确定从动点如何随着主动点的运动而运动，即主动点关于定点经过怎样的变换可以得到从动点；
3.“直线（段）生直线（段）”、“圆（弧）生圆（弧）”、“折线（段）生折线（段）”、“抛物线生抛物线”、“双曲线生双曲线”等，真可谓“种瓜得瓜，种豆得豆”，不妨称为“瓜豆原理”；
4.“瓜豆原理”的本质是作图原理的逆过程；
5.特别强调：使用“瓜豆原理”的前提是必须存在定点来充当旋转（位似）中心，使主动点经过相应的变换可以得到从动点，即“无定点，不瓜豆”。
实战分折
（一）求路径长
例1（2016年湖北武汉）如图45,在等腰RtΔABC中，AC=BC=2,点P在以
斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点。当点P沿半圆从点A运动至点B时，则点M运动的路径长是（ ）
图45
A.π B.π C.2 D.2
简析：C为定点，点M随着点P的运动而运动，由M为PC的中点，可得
用位似变换的眼光来看，点M可以看作点P以定点C为位似中心，以为位似比缩小而来，故点M运动的路径也是点P运动的路径相应而来，即点M的路径长等于点P路径长的，因此点M运动的路径长是π,选B.
这里只涉及“位似变换”，其常规解法是利用定义法说明“圆弧型”路径。
例2（2013年浙江湖州）如图46,已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，AN⊥x轴于点M,交直线y=-x于点N.若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°,BA⊥PA,点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动。求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长。
图46
简析：A为定点，点B随着点P的运动而运动，由题知∠PAB=90°,且；
用旋转位似变换的眼光来看，点B可以看作点P先绕定点A逆时针旋转90°,再以定点A为位似中心，以为位似比缩小而来，故点B运动的路径也是由点P运动的路径相应而来，即点B的路径长等于点P路径长的，因此点B运动的路径长是2.
这里属“旋转位似变换”，其常规解法是利用夹角定位法说明“直线型”路径。
例3 如图47,已知扇形AOB中，OA=3,∠AOB=120°.C是AB上的动点，以BC为边向右上方作正方形BCDE.当点C从点A移动至点B时，求点D经过的路径长。
图47 图 48
简析：如图48,连接BD,ΔBCD为等腰直角三角形，则∠CBD=45°,且
B为定点，点D随着点C的运动而运动；
用旋转位似变换的眼光来看，点D可以看作点C先绕定点B顺时针旋转45°,再以定点B为位似中心，以为位似比放大而来，故点D运动的路径也是由点C运动的路径相应而来，即点D的路径长等于点C路径长的倍，因此点D经过的路径长是2π.
这里属“旋转位似变换”；若求点E经过的路径长，可以锁定等腰RtΔCBE,得知点E的路径长等于点C的路径长，这时只涉及“旋转变换”。
总结：使用“瓜豆原理”的关键是主动寻找“瓜豆三点”：定点、主动点、从动点；一般情况下，主、从动点比较简单，但定点的选择尤为重要，用常见图形变换的眼光（如旋转、位似变换等）看这三个点之间的关联，即主动点关于定点如何变换可以得到从动点，那么其相应的路径也可以如此变换而来；
需要特别谨记的是“无定点，不瓜豆”，即若找不到一个定点充当主动点与从动点之间的桥梁（旋转中心或位似中心等），一般情况下，“瓜豆”就成了“无源之水、无本之木”，不可能再“生根发芽”了；
请记住，没有绝对的通法，所谓通法也仅仅是很大范围内适用的解法罢了；因为旋转不改变图形的大小与形状，故不影响路径长；而位似变换影响路径长，且从动点的路径长是主动点的路径长乘以相应的位似比；
（二）求最值
例4（2017年江苏徐州）如图49,已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,⊙C的半径为,P为⊙C上一动点，连接PB,若E为PB的中点，连接OE,则OE的最大值为_______.
图49
简析:如图49,由E为PB的中点，可得,B为定点，P为主动点，E为从动点；从动点E可以看作主动点P以定点B为位似中心，以为位似比缩小而来，故从动点E的路径也是主动点P的路径（即⊙C)以定点B为位似中心，以
为位似比缩小而来；
特别是，圆心也是如此而来，即连接BC,取其中点M即为从动点E的轨迹圆圆心，且其半径ME为，因此OE的最大值为OM+ME=BC+ME=
“瓜豆原理”可以秒杀相关的路径长问题，但若涉及最值问题，则必须将目标动点的路径作出来，然后转化为“点圆距离”或“点线距离”等问题；
此题若不使用“瓜豆原理”，可以利用中点的常见处理策略解决，参见下一题：
例5如图50,在等边ΔABC中，AB=2,点D是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，连接CD,E为CD的中点，连接BE,则BE的最大值与最小值之和为________.
图50 图51 图52 图53
简析1:如图51,取AC的中点F,连接EF、BF、AD,易得BF=AB=,EF
=AD=,在ΔBEF中，有BF-EF≤BE≤BF+EF,即-≤BE≤+,当且仅当B、E、F三点共线时取等，故BE的最小值为-，最大值为+,其和为2.
简析2:如图52,延长CB至点F,使BF=CB,连接DF,则BE为ΔCDF的中位线，故BE=FD;要求BE的最值，转化求FD的最值，这是一个典型的“点圆距离”问题，其最小值为FA-AD=FA-1,最大值为FA+AD=FA+1;
又∠FAC=90°,FA=2,故FD最小值为2-1,最大值为2+1,下略．
这两种方法属典型的中点处理策略，即构造中位线模型，法1通过取中点，法2通过倍长的方式，尤其是法2的转化异常精彩，没有转化，就没有数学。
简析3:如图53,由E为CD的中点，结合“瓜豆原理”，可知点E的路径是一个圆，且由⊙A以定点C为位似中心，以为位似比缩小而来，其圆心亦然，即为图中的⊙F,其中点F为AC的中点，则BE的最值问题转化为“点圆距离”问题，下略。
法3采取了“瓜豆原理”，其实这三种方法的本质相同，前两种中点处理策略告诉我们“是什么”，“瓜豆法”告诉我们“为什么”，即为什么取AC的中点F.
★★★总结：使用“瓜豆原理”解题的基本步骤为：
1.主动寻找“瓜豆三点”：定点、主动点、从动点（无定点，不瓜豆）；
2.用常见的图形变化（如平移、翻折、旋转及位似等）眼光看待“瓜豆三点”，即从动点可以看成是主动点关于定点如何变幻而来；
3.从动点路径与主动点路径之间的变幻关系，完全等同于点的变幻关系；
4.若问路径长，可口算；若问最值，需作图，转化为“点圆距离”或“点线距离”
【瓜豆原理练习】
1、如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为　．
第1题图 第2题图 第3题图
2、如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（　　）
A． B． C．1 D．2
3、如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连结BE．
（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD=BE；
（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．
4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，D是AB上一动点，以DC为斜边向右侧作等腰Rt△DCE，使得∠CED=90°，连接BE，则线段BE的最小值为_______.
5.（高新6模 将军饮马+瓜豆原理）如图，矩形ABCD中，AB=6,BC=10,点E是AD边上的中点，点F是线段AB上任意一点，连接EF,以EF为边在AD下方作等腰直角ΔEFG,连接DG,则ΔDEG周长最小值为_______.
6.（铁一中4模 瓜豆原理+将军饮马）如图，在平面直角坐标系中，A(-1,0)，B(0,2),C为x轴上一个动点，以BC为一边作等腰RtΔBCD,使得∠BCD=90°,CB=CD,连接AD,则AD+BD的最小值为________.
7.（铁一中5模 瓜豆原理）如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一动点，以DE为边作正方形DEFG,H是CD中点，连接GH,若GH的最小值是1,则正方形ABCD的边长为_______.
8.（交大附中3模 瓜豆原理+手拉手模型+旋转）如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°,AB=4,以AC为边在ΔABC外作等边ΔACD,连接BD,则BD的最大值
为______.
9.（师大附中8模 瓜豆原理）如图，矩形ABCD中，AB=10,AD=5,E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB,则PB的最小值为______.
如图，在平面直角坐标系中，A（-3,0），点B是y轴正半轴上一动点，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值.
11.如图,点A(-1,0),B(0,-1),作点A关于y轴的对称点C,若点P是直线AB 上的动点,连CP,将CP绕点C逆时针旋转90°至CQ,则OQ+AQ的最小值是 .