【解析版】湖南省张家界市普通高中2013-2014学年高二上学期期末联考数学（理）试题

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数z满足z＝ ,则z对应的点位于复平面的(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3.曲线y=cosx ()与两坐标轴所围成的图形的面积为(　　)
A．4 B．2 C． D．3

考点：三角函数图象、定积分.
4.下列有关命题的说法正确的是 (　　)
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的必要不充分条件．
C．命题“使得”的否定是：“ 均有”．
D．命题“若，则”的逆否命题为真命题．
5.从装有只红球和只?虻目诖?谌稳「銮颍?敲椿コ舛?欢粤⒌牧礁鍪录??(　　)
A．至少有一个?蛴攵际屈球 B．至少有一个?蛴攵际呛烨?
C．至少有一个?蛴胫辽儆兄缓烨? D．恰有只?蛴肭∮兄稽球
【答案】D
【解析】
试题分析：至少有一个?蛴攵际屈球为既不互斥也不对立事件，至少有一个?蛴攵际呛烨蛭?粤⑹录??辽儆幸桓鳇球与至少有只红球为既不互斥也不对立事件，恰有只?蛴肭∮兄稽球是互斥而不对立的两个事件.
考点：对立事件、互斥事件.
6.用边长为48厘米的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒. 当所做的铁盒的容积最大时，在四角截去的正方形的边长为(　　)
A．12 B．10 C．8 D．6
8.已知是双曲线上不同的三点，且连线经过坐标原点，若直线
的斜率乘积，则该双曲线的离心率为(　　)
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.直接把答案填在答题卷中对应题号后的横线上。
9.为选拔运动员参加比赛，测得7名选手的身高(单位：cm)分布茎叶图为记录的平均身高为177 cm，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数字记为x，那么x的值 .
【答案】8.
【解析】
试题分析：由，解得x的值为8.
考点：茎叶图、平均数.
10.将十进制数102转化为三进制数结果为：
11.直线l的方向向量为=(-1,1,1),平面π的法向量为=(2, x2+x, -x),若直线l∥平面π,则x的值为___________.
【答案】.
【解析】
试题分析：若直线l∥平面π，则，而，解得.
考点：空间向量的运算.
12.假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)，有如下的统计资料：
x
2
3
4
5
6
y
1.4
2.3
3.1
3.7
4.5
若由资料可知y对x呈线性相关关系，且线性回归方程为＝a＋bx，其中已知b＝1.23，请估计使用年限为20年时，维修费用约为________．
14.已知函数满足，且的导函数，则关于的不等式的解集为 .
【答案】.
15.设为正整数,由数列分别求相邻两项的和,得到一个有项的新数列;1+2，2+3，3+4，即3，5，7，. 对这个新数列继续上述操作，这样得到一系列数列，最后一个数列只有一项. ⑴记原数列为第一个数列，则第三个数列的第2项是______⑵最后一个数列的项是___________.
（说明：第一问：2分，第二问3分）
【答案】12 , .
【解析】
试题分析：由题意可知最后一个数列的项=即，即数列是首项为，公差为的等差数列，则= .
考点：等差数列、构造法.
三、解答题 ：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本题满分12分）给定两个命题, P：对任意实数x都有x2+x+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x2-x+=0有实数根.如果P∨Q为真命题，P∧Q为假命题，求实数的取值范围．
【答案】的范围为：＜0或＜＜4.
【解析】
试题分析：先求出命题P、命题Q为真时的取值，又P∨Q为真命题，P∧Q为假命题，则分P真Q假、P假Q真两种情况讨论即可.
试题解析：P真时0 ≤＜4 ……… ……………… ………… …………（2分）
Q真时≤ ………… ………… ……… …………… …………………（4分）
P真Q假时＜＜4 …………… … ………………… ………………（8分）
P假Q真时＜0 ………… ………… … ………………… ……………（11分）
的范围为：＜0或＜＜4………………………………………………（12分）
考点：命题的真假、逻辑联结词、分类讨论思想.
17.(本题满分12分)直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点.
（1）求证：直线AB1⊥平面A1BD.
（2）求二面角A-A1D-B正弦值的大小.
(2)设平面A1AD的一个法向量为
n=(x,y,z).
∵
∴令z=1得n=(-,0,1)为平面A1AD的一个法向量.
由(1)知为平面A1BD的法向量.
∴
∴二面角A-A1D-B正弦值的大小为.…………12分
考点：空间向量、直线与平面的位置关系.
18.（本题满分12分）某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.
（Ⅰ）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再在答题卷上完成下列频率分布直方图；
（Ⅱ）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？
组号
分组
频数
频率
第1组
5
0.050
第2组
①
0.350
第3组
30
②
第4组
20
0.200
第5组
10
0.100
合计
100
1.00
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人.
考点：推理与证明、数学归纳法.
20.(满分13分) 如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点，点A、B分别是椭圆C 长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求点P的坐标；
（3）设M是直角三角PAF的外接圆圆心，求椭圆C上的点到点M的距离的最小值．
（2）由已知可得点，
设点P的坐标是,则，由已知得，则，解得或.
由于，只能，于是，∴点的坐标是…………………………(9分 )
21.(本题满分13分)已知函数 （1）求函数在点(0, f(0))处的切线方程； （2）求函数单调递增区间； （3）若∈[-1，1]，
使得（e是自然对数的底数），求实数的取值范围.
⑶ 因为存在，使得成立，
而当时，，
所以只要即可……………………………………………………………9分