天津市和平区双菱中学2022-2023学年高三下学期开学考数学试卷（PDF版含答案）

2022-2023 学年第二学期高三（下）数学开学考试卷 8. 已知函数 ( ) = 2 3 2 3，则下列结论中正确的是( )
A. 函数 ( )的最小正周期为 2
一、单选题
6 B. =

时 ( )取得最大值
1. 已知集合 = { ∈ | ∈ }， = { |
2 7 + 10 ≤ 0}，则 ∩ =( ) 3
C. ( ) ( A. {2,3} B. {2,5} C. { |2 ≤ < 5} D. { |2 ≤ ≤ 5} 的对称中心坐标是 2 + 6 , 0)( ∈ )
2. “ 为整数”是“2 + 1 为整数”的条件( ) D. ( ) [0, 在 3 ]上单调递增
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
| 2 |, > 0,
9. 已知函数 ( ) =3. 函数 ( ) = 的图象大致是( ) 3 , 53 ≤ ≤ 0
若方程 ( ) = 恰有四个不同的实数解，分别
．
2| | 1
记为 1， 2， 3， 4，则 1 + 2 + 3 + 4的取值范围是( )
A. [ 1 , 19 ) B. [ 2 , 196 12 3 12 ) C. [
5
2 ,
17
4 ) D. [2
8 , 17 8 )
A. B. C. D. 3 4 3
二、填空题
10. 已知复数 满足 (1 + 2 ) = |4 3 |. (其中 为虚数单位)，则复数 的虚部为______．
4. 1 1 1设 = 315， = 153， = log15 3，则 ， ， 的大小关系是( ) 11. 1若( 2 ) 展开式中的所有二项式系数和为 512，则 = ；该展开式中
9的系数为 ．
A. < < B. < < C. < < D. < < 12. 已知点 (3,1)在圆 ：( 1)2 + ( + 1)2 = 2( > 0)内，过点 的直线被圆 截得的弦长最小
5. 2 = 24 = 3 3 已知 ，则 的值为( ) 值为 8，则 =______．
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2 13. 某公司新成立 3个产品研发小组，公司选派了 5名专家对研发工作进行指导．若每个小组至少
6. 设双曲线
2 2
： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左焦点为 ，直线 4 3 + 20 = 0 过点 且与双曲线
有一名专家且 5人均要派出，若专家甲、乙需到同一个小组指导工作，则不同的专家派遣方案总数

为______. (用数字作答)
在第二象限的交点为 ，| | = | |，其中 为坐标原点，则双曲线 的方程为( )
+ +2 2
2 2 2 2 2 2 2 已知 lg( + 2 ) = + ，则 的最小值为______ ．A. 14.
16 9 = 1 B. 9 16 = 1 C. 4

21 = 1 D.
2 24 = 1
15. 如图， △ 中， = ， = 4， 为 的中点，以 为圆心，1为半径的半圆与
7. 战国时期的铜镞是一种兵器，其由两部分组成，前段是高为 3 、底面边长为 2 的正三棱锥，
交于点 ， 为半圆上任意一点，则 的最小值为______．
后段是高为 1 的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜链的体积为( )
A. 3 + 3
3 B. 3 3 C.
3 + 3 3 +
3 3 D. 3 3 34 3 + 4
16. (本小题 14.0分) (Ⅱ)已知点 满足 3 = ，点 在椭圆上( 异于椭圆的顶点)，直线 与以 为圆心的圆相切于点 ，
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .已知 = 6， = 2 ， = 1． 且 为线段 的中点．求直线 的方程．4
20. (本小题 16.0分)
(1)求 的值；
已知函数 ( ) = 2，曲线 = ( )在 = 1 处的切线方程为 = + 1．
(2)求 sin 的值；
(1)求 ， 的值；
(3)求 sin(2 )的值．
(2)求函数 ( )在[0,1]上的最大值；
17. (本小题 15.0分)
(3)证明：当 > 0 时， + (1 ) 1 ≥ 0．
如图， ⊥平面 ， ⊥ ， / / ， / / ， = = = 2 = 2 = 2，点
， ， 分别为 ， ， 的中点．
(1)求证： / /平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的大小；
(3)若 为线段 上的点，且直线 与平面 所成的角为6，求 到平面 的距离．
18. (本小题 15.0分)
已知数列{ }的前 项和为 ， = 2( ∈ )，数列{ }为等比数列，且 2 + 1， 4 + 1分别为数
列{ }第二项和第三项．
(1)求数列{ }与数列{ }的通项公式；
1
(2)若数列 = + ，求数列{ }的前 项和 ． +1
19. (本小题 15.0分)
已知椭圆
2 2
2 +

2 = 1( > > 0)的一个顶点为 (0, 3)，右焦点为 ，且| | = | |，其中 为原点．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
答案和解析 解：由 2| | 1 ≠ 0得| | ≠ 12，即 ≠±
1 1
2，即函数的定义域为{ | ≠± 2 }，
( ) =

2| | 1 = 2| | 1 = ( )，即函数 ( )是奇函数，图象关于原点对称，排除 ，
1.【答案】
当 →+∞， ( ) →+∞，排除 ，
【解析】解：∵ = {1,2,3,6}， = { |2 ≤ ≤ 5}，
1
当 0 < < 时，2| | 1 < 0， 2 > 0，此时 ( ) < 0，排除 ，∴ ∩ = {2,3}．
故选： ．
故选： ．
可求出集合 ， ，然后进行交集的运算即可．
4.【答案】
本题考查了集合的描述法和列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，
【解析】
属于容易题．
【分析】
利用对数函数、指数函数及幂函数及特值 0比较大小．
2.【答案】
本题考查三个数比较大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数及幂函数的
【解析】
性质的合理运用．
【分析】
【解答】
本题考查了充分、必要、充要条件的判断，属于基础题．
分别判断充分性和必要性是否成立即可． 解：∵ = log
1
15 3 < log151 = 0，
【解答】 1 1 1又∵ 0 < 315 < 33 < 153，
解：当 为整数时，2 + 1 也是整数，充分性成立；
即 0 < < ；
当 2 + 1 1为整数时， 不一定是整数，如 = 2时，所以必要性不成立，即是充分不必要条件． ∴ < < ，
故本题选 A． 故选： ．
3.【答案】 5.【答案】
【解析】 【解析】解：∵ 2 = 24 = 3，
【分析】 ∴ = log23， = log243，
本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数奇偶性和对称性以及极限思想是解决本题的关键，属于 ∴ 3 3 =
1
= 3 32 log324 = log
1
3 3 = 1，
中档题．
故选： ．
先求出函数的定义域，解条件先判断函数的奇偶性和对称性，结合极限思想以及排除法进行排除即可．
利用指数幂以及对数的运算性质即可得出结论．
【解答】
本题考查了指数幂以及对数的运算性质，属于基础题． 本题考查几何体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
6.【答案】 8.【答案】
【解析】解：由左焦点 在直线 4 3 + 20 = 0 上，令 = 0，可得 = 5， 【解析】解： ( ) = 2 3 2 3 = 2 3 2 3 = 2 (2 3 ) 3，
由题意可得 = 5，
2
对于 ，最小正周期 = 2 = ，即 A 错误；
设右焦点为 ′，连接 ， ， ′，由| | = | | =
| ′| = ，故△ ′为直角三角形， 对于 ，令 2
= 3 2 + 2 ， ∈ =
5
，则 12 + ， ∈ ，
4
因为直线 4 3 + 20 = 0 的斜率为3，设直线倾斜角为 故当 =
5
12 + ， ∈ ， ( )取得最大值，即 B 错误；
则 = 43， 对于 ，令 2

3 = ， ∈ ，则 = 6 + 2 ， ∈ ，所以 ( )的对称中心坐标为( 6 + 2 , 3)， ∈ ，
| ′| = 2 ，则| | = 6 ，| 8′| = ， 即 C 错误；5 5
2 ∈ [2 , 2 + ] ∈ ∈ [ , + 5 对于 ，令 ， ，则 ]， ∈ ，
由双曲线定义，则| ′| | | = 2 = 2 ， 3 2 2 12 125
2 故 ( ) 5 的单调递增区间为 ， ∈ ，
所以 = 1，双曲线 的方程为 2
[
= 1， 12
, + 12 ]
24

故选： ． 而[0, 3 ] [
5
12 , 12 ]，所以 ( )在[0,

3 ]上单调递增，即 D 正确．
由题意左焦点 的直线上，可得焦点 的坐标，再由| | = | |可得△ 为直角三角形，可得 的值， 故选： ．
进而求出 的值，求出双曲线的方程． ( ) = 2 (2 化简可得 3 ) 3，再根据正弦函数的图象与性质，逐一判断选项即可．
本题考查双曲线的方程的求法及双曲线的性质的应用，属于中档题．
本题考查三角函数的综合，熟练掌握二倍角公式，辅助角公式，正弦函数的图象与性质是解题的关键，
考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：由已知可得，正三棱锥的底面正三角形边长为 2，设正三角形内切圆半径为 ，
9.【答案】
1
则2 × 2 × 2 × 60° =
1
2 × (2 + 2 + 2) ， 【解析】解： ( ) =
解得 = 3，∴其内切圆半径为 3， | 2 |, > 0,3 3
3 , 5 ≤ ≤ 0 ，3 ．
由三棱锥体积与圆柱体积公式得此铜镞的体积约为：
5
1 1 3 3 当2 3 3 ≤ ≤ 0时， ( ) = = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 + × ( 3 ) × 1 = 3 + 3 ．
3 = 2 ( 故选： ． 6 )，
求出正三棱锥的底面正三角形内切圆半径为 ，再分别利用三棱锥体积与圆柱体积公式求解． 令 3 6 = 2，
解得 = 4， 【解析】解：由 (1 + 2 ) = |4 3 | = 42 + ( 3)2 = 5，3
5 5 5 得 =
5 5(1 2 ) 5(1 2 )
当 = 时， ( ) = 2 ( ) = 1，当 > 0 时， ( ) = |log |， 1+2
= (1+2 )(1 2 ) = 1 4 2 = 1 2 ，
3 3 3 6 2
则复数 的虚部为 2．
( ) = 2 1令 ，解得 = 4 或 = 4，
故答案为： 2．
( ) = 1 1令 ，解得 = 2 或 = 2， 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的基本概念得答案．
函数 = ( )的图象如下所示： 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
因为方程 ( ) = 恰有四个不同的实数解，即 = ( )与 = 恰有四个交点，所以 1 ≤ < 2， 11.【答案】9
不妨令 1 < 2 < 3 < 4， 84
1 4 8
则 1 < 2 < 0 < 3 ≤ 2 < 2 ≤ 4 < 4，且 1与 2关于 = 3对称，所以 1 + 2 = 3，
【解析】解：由已知可得2 = 512，解得 = 9，
又|log2 3| = |log2 4|，
2 1 9
即 log = log ， 则( ) 的展开式的通项为 +1 = ( 1)
18 3
2 3 2 4 9
，
所以log2 3 + log2 4 = 0，即 3 4 = 1， 令 18 3 = 9，解得 = 3，
1
所以 = ， ∴展开式中
9的系数为( 1)3 39 =--84．3 4
8 1 故答案为：9， 84．
所以 1 + 2 + 3 + 4 = 3+ + 4，4
由二项式系数和为2 = 512，即可求解 的值，利用通项公式即可求得展开式中 9的系数．
因为 = 1 + 在[2,4)上单调递增， 本题主要考查二项式展开式的通项公式，二项式系数，及展开式中特定项的求法，考查学生的计算求解
1 5 17
所以 + ∈ [ , )， 能力，属于中档题． 44 2 4
1 19
所以 1 + 2 + 3 + 4 ∈ [ 6 , 12 ). 12.【答案】2 6
故选： ．
【解析】解：由点 (3,1)在圆 ：( 1)2 + ( + 1)2 = 2内，
5
当 3 ≤ ≤ 0时利用辅助角公式化简函数解析式，再画出函数图象，不妨令 1 < 2 < 3 < 4，则 1 < 所以(3 1)2 + (1 + 1)2 < 2，又 > 0，解得 > 2 2，
< 0 < 12 3 ≤ 2 < 2 ≤ 4 < 4，且 1与
4
2关于 = 3对称，再根据对数的运算得到 3 4 = 1，最后转化为
过圆内一点最短的弦，应垂直于该定点与圆心的连线，即圆心到直线的距离为| |，
又 (1, 1)，∴ | | = 2 2，
关于 4的函数，结合对勾函数的性质计算可得．
所以 8 = 2 2 | |2 = 2 2 8，解得 = 2 6，
本题考查了三角恒等变化、二次函数的性质、对数函数的性质、数形结合思想、转化思想，属于中档题．
故答案为：2 6．
根据点与圆的位置关系，可求得 的取值范围，再利用过圆内一点最短的弦，结合弦长公式可得到关于
10.【答案】 2
的方程，求解即可． 令 2 + 2 = ，根据直线的几何意义可知，
本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于中档题． 当直线 2 + 2 = |2 |与半圆相切时， 取得最小值，由点到直线的距离公式可得 5 = 1，
= 2 5，即 的最小值是 2 5．
13.【答案】36
故答案为：2 5．
【解析】解：当甲、乙两人组成一组时，不同的专家派遣方案总数为： 2 33 3 = 18； 建立如图所示的平面直角坐标系，则 ( 2,0)， (0,2)， (1,0)，设 ( , )，
当甲、乙两人与其他三人中选一人组成一组时，不同的专家派遣方案总数为： 13 33 = 18， 故 = ( + 2, )， = (1, 2)，所以 = 2 + 2.令 2 + 2 = ，根据直线的几何意义可
所以专家甲、乙需到同一个小组指导工作，则不同的专家派遣方案总数为：18 + 18 = 36，
知，即可求解．
故答案为：36．
本题考查了向量的坐标运算，考查了向量的数量运算，属于中档题．
根据甲、乙两人组成一组和甲、乙两人与其他三人中选一人组成一组二种情况分类讨论求解即可．
本题考查了排列组合的混合问题，分类讨论是最基本的指导思想，属于基础题．
16. 1【答案】解(1)因为 = 6， = 2 ， = 4，
2+ 2 2 4 2+ 2 6 1
14.【答案】4 + 4 2 由余弦定理可得 =
，
2 = 4 2 = 4
【解析】解：因为 lg( + 2 ) = + = lg( )， 解得： = 1；
所以 + 2 = ， > 0， > 0， (2) = 1， ∈ (0, )，所以 = 1 cos2 = 154 ，4
所以 = 2 2， +
1
= 1， 由 = 2 ，可得 = 2 ，
+ +2 2 = + 2 +2
2 6 1
则 = 2 + 2 2 = 2( + )(
2 1 2 2 = =
+ ) = 2 = 2( + ) + 4 ≥ 2 × 2 + 由正弦定理可得 ，即 15 ，4
4 = 4 + 4 2， 可得 = 10，8
2 2 1 + +2 2
当且仅当 = 且， + = 1 时取等号，此时 的最小值 4 + 4 2． 所以 = 2 = 2 × 10 = 10；8 4
故答案为：4 + 4 2．
(3)因为 = 14， =
15，
2 1 4
由已知结合对数的运算性质可得 = 2 ， + = 1，然后结合乘 1法配凑基本不等式应用条件，然 1 7
所以 2 = 2 = 2 × ( 1 ) × 154 4 =
15， 2 = 2 2 1 = 2 × 16 1 = ，8 8
后结合基本不等式可求．
10 6
本题主要考查了基本不等式求解最值，还考查了对数的运算性质，解题的关键是应用条件的配凑． = ，可得4 = ，4
所以 sin(2 ) = 2 2 = 15 × 6 7 10 10，8 4 ( 8 ) × 4 = 8
15.【答案】2 5
所以 sin(2 )的值为 10．
8
【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
【解析】本题考查利用余弦定理和正弦定理解三角形，三角恒等变换的综合应用，以及由一个三角函数
则 ( 2,0)， (0,2)， (1,0)，设 ( , )，
值求其他三角函数值，属于中档题．故 = ( + 2, )， = (1, 2)，所以 = 2 + 2．
(1)由余弦定理及题中条件可得 边的值； (3)设 = (0 ≤ ≤ 1)，即 = = (0, , 2 )，
(2)由正弦定理可得 的值，再由 = 2 及正弦定理可得 的值； 则 (0, + 1,2 2 )．
(3)求出 2 及 的正余弦值，由两角差的正弦公式可得 2 的正弦值． 从而 = (0, + 1,2 2 )．
由(Ⅱ)知平面 的法向量为 = (1,0,1)，
17.【答案】解：(1)证明：连接 ，因为 / / ， / / ， 而直线 与平面 所成的角为6，
所以 / / ，
所以 sin 6 = |cos <
, > | = | | ，
= |
| | |
又因为 ，所以四边形 为平行四边形，
1 = |2 2 |
因为点 和 分别为 和 的中点，所以 / / 且 = 即2 ( +1)2+(2 2 )2 2，
因为 / / ， = 2 ， 为 的中点，所以 / / 且 3 2 10 + 3 = 0 = 1整理得 ，解得 3或 = 3，
= ，
因为 0 ≤ ≤ 1，
可得 // 且 = ，即四边形 为平行四边形，
1
所以 = 3，所以 =
1
3
, = 1 | | = 5，
/ / 3 3所以 ，又 平面 ， 平面 ，
5
所以 / /平面 ． 所以线段 的长为 ．3
(2)因为 ⊥平面 ， ⊥ ，故以 为原点，分别以 ， ， 所在的直线为 轴， 轴， 轴建 【解析】(1)连接 ，证得 / / ，利用线面平行判定定理即可证明 / /平面 ；
立空间直角坐标系， (2)根据条件建立空间直角坐标系，求得平面 和平面 法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．
依题意可得 (0,0,0)， (2,0,0)， (2,1,0)， (0,2,0)， (3)设 = ，则 (0, + 1,2 2 )，从而 = (0, + 1,2 2 )，由(2)知平面 的法向量为 =
(0,0,2)， (0,1,2)， (1,1,1)， (1,0,1)，利用向量的夹角公式，得到关于 的方程，即可求解．
= (1,1, 1), = (0,1,0), = (1, 1,1), = (0,2, 2)， 本题考查了线面平行的证明，向量法求解面面角问题，向量法求解线面角问题，方程思想，属于中档题．
设 = ( , , )为平面 的法向量，
= 0 + = 0
则 ，即 18.【答案】解：(1)因为：数列{ }的前 项和为 ， = 2( ∈ )，
= 0 = 0
，不妨设 = 1，可得 = (1,0,1)，
1, = 1
设 = ( , , )为平面 的法向量， ∴
1, = 1
= 1, ≥ 2
= 2 1, ≥ 2 = 2 1；
则 = 0 2 2 = 0，即 ，不妨设 = 1，可得 = (0,1,1)． ∵数列{ }为等比数列，且 2 + 1， 4 + 1 分别为数列{ }第二项和第三项；
= 0 + = 0
1 ∴ 2 = 4， 3 = 8；
所以 cos < , >= | | | | = 2， ∴ = 2； 1 = 2；
设平面 与平面 夹角为 ，
∴ = 2 ；
所以 = 1 ( 1 )2 = 3，2 2 (2) ∵数列 = +
1
= (2 1) × 2
+ 1(2 1)(2 +1) = (2 1) × 2
+ 1 ( 1 1
+1 2 2 1 2 +1
)；
即平面 与平面 夹角的正弦值为 3．
2 令 = 1 × 21 + 3 × 22 + 5 × 23 + … + (2 1) × 2 ；①
∴ 2 = 1 × 22 + 3 × 23 + 5 × 24 + … + (2 1) × 2 +1，② ∵ ⊥ ，
① ②得： = 21 + 2 × 22 + 2 × 23 + … + 2 × 2 (2 1) × 2 +1 ∴ 32 2 6 +1 = 1，
2
= 2 + 2 × 2 2 ×2 +1； 21 2 (2 1) × 2 整理可得 2 3 + 1 = 0，
= (3 2 ) × 2 +1 6． 1解得 = 2或 = 1，
∴ = (2 3) × 2 +1 + 6．
∴直线 的方程为 = 1 3或 = 3．
= 1
2
令 2 (1
1
3 ) +
1 ( 1 1 1 1 1 1 1 2 3 5 ) + … + 2 ( 2 1 2 +1 ) = 2 (1 2 +1 ) = 2 +1；
【解析】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切问题、中点坐标公式等基础知识与基本技
∴数列{ }的前 项和 = (2 3) × 2 +1 + 6 +

2 +1． 能方法，向量与椭圆的综合问题，考查了推理能力和计算能力，属于拔高题．
【解析】(1)利用前 项和与通项之间的关系即可求出数列{ }的通项公式，进而得到数列{ }的通项公式； (Ⅰ)根据题意可得 = = 3，由 2 = 2 + 2，可得 2 = 18，即可求出椭圆方程；
(2)利用错位相减求和以及裂项求和对其整理即可． (Ⅱ)根据题意可得直线 和直线 的斜率均存在，设直线 的方程为 = 3，联立方程组，求出点
本题主要考查由数列的前 项和与通项之间的关系求出数列的通项，数列求和的错位相减法以及裂项求和 的坐标，再根据中点坐标公式可得点 的坐标，根据向量的知识求出点 的坐标，即可求出 的斜率，
法，考查了转化能力和分析能力，是对数列知识的综合考查，属于中档题目． 根据直线垂直即可求出 的值，可得直线 的方程．
19.【答案】解：(Ⅰ)由已知可得 = 3，记半焦距为 ，由| | = | |可得 = = 3， 20.【答案】解：(1)由 ( ) = 2，得 ′( ) = 2 ，
由 2 = 2 + 2，可得 2 = 18， ′(1) = 2 = 由题意，得 ，解得 = 1， = 2；
(1) = = + 1
2 2
∴椭圆的方程为
18 +

9 = 1， (2)由(1)知 ′( ) = 2 ， ( ) = 2，
(Ⅱ)：∵直线 与 为圆心的圆相切于点 ， 因为 0 ≤ ≤ 1时， ≥ + 1(当且仅当 = 0 时取等号)，
∴ ⊥ ， 所以 ′( ) = 2 ≥ + 1 2 = 1 ≥ 0，
根据题意可得直线 和直线 的斜率均存在，设直线 的方程为 = 3， 所以 ( )在[0,1]上单调递增， ( ) = (1) = 1；
= 3 (3)证明：由 (0) = 1 及(2)可知，
由方程组 2 2 ，消去 可得(2 2 + 1) 2 12 = 0 = 0 =
12
，解得 ，或 ，
18+ 9 = 1
2 2+1 ( )在 = 1 处的切线方程为 = ( 2) + 1，
( 12 6
2 3
依题意可得点 的坐标为
2 2+1 , 2 2+1 )，
令 ( ) = ( ) ( 2) 1， > 0，
则 ′( ) = 2 + 2， ″ ，
∵ 为线段 的中点，点 的坐标为(0, 3) ( ) = 2，
易得 ′( )在(0, 2)上单调递减，在( 2, + ∞)上单调递增，
∴点 的坐标为( 6 , 32 2 ，+1 2 2+1 ) 又 ′(0) = 3 > 0， ′(1) = 0，0 < 2 < 1，所以 ′( 2) < 0，
由 3 = ，可得点 的坐标为(1,0)，
所以存在 0 ∈ (0, 2)，使得 ′( 0) = 0，
3
故直线 2 3的斜率为 2 +1 = ， 当 0 < < 0或 > 1 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；6 2 2 6 +1
2 2
1
+1
当 0 < < 1 时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
因为 (0) = (1) = 0，
所以 ( ) ≥ 0，当且仅当 = 1 时取等号，
+(2 ) 1
所以 ≥ ， > 0，
因为 ≥ + 1，所以 ≥ ln( + 1)，当 = 1 时取等号，
+(2 ) 1
所以 ≥ ≥ ln( + 1)，
所以 + (2 ) 1 ≥ + ，
即当 > 0 时， + (1 ) 1 ≥ 0．
【解析】(1)先对函数求导，然后结合导数的几何意义及已知切线方程建立关于 ， 的方程求解；
(2)结合导数判断函数的单调性，再求出函数 ( )在[0,1]上的最大值；
(3)令 ( ) = ( ) ( 2) 1， > 0，对其求导，利用导数求出函数的最值，再结合函数性质及零点
判定定理证明即可．
本题主要考查了导数几何意义，导数与单调性关系在最值求解中的应用，考查了方程思想和转化思想，
属于中档题．