2022-2023学年九年级华东师大版数学下册 第26章 二次函数 单元测试（含答案）

华师版数学九年级第26章二次函数单元测试卷（附解析）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
满分120分 考试时间12分钟
一、单选题（每小题4分，共48分）
1．抛物线 的顶点坐标是（ ）．
A． B． C． D．
2．已知关于x的函数y=（m﹣1）xm+（3m+2）x+1是二次函数，则此解析式的一次项系数是（　 　）
A．﹣1 B．8 C．﹣2 D．1
3．如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式为h＝30t﹣5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是（　 　）
A．6s B．4s C．3s D．2s
4．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　 ）
A．a＞0 B．b＞0 C．a﹣b+c＞0 D．a+b+c＜0
5．把二次函数的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图像对应的二次函数的关系式为（ ）
A． B． C． D．
6．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度米与小球运动的时间秒之间的关系式为若小球在第7秒与第14秒时的高度相同，则在下列时间中小球所在高度最高的是　 　
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
7．抛物线可以由抛物线平移得到，下列平移方法中正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
8．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中：①ac＞0；②a+b+c＜0；③4a﹣2b+c＜0；④2a+b＜0；⑤4ac﹣b2＜4a；⑥a+b＞0中，其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，二次函数的图象经过（－2，－1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是（ ）
A．y的最大值小于0 B．当x=0时，y的值大于1
C．当x=－1时，y的值大于1 D．当x=－3时，y的值小于0
10．二次函数的图像与轴有两个交点，，且，点是图像上一点，则下列判断正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
11．二次函数的图象如图，且则（ ）
A． B． C． D．以上都不是
12．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则在下列说法中，与此函数的系数相关的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况，说法正确的是（　 　）
A．方程有两个相等的实数根 B．方程的实数根的积为负数
C．方程有两个正的实数根 D．方程没有实数根
二、填空题（每小题4分，共48分）
13．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为A 2，4，B1，1，则关于x的方程的解为_______．
14．二次函数y＝x2﹣6x﹣7与x轴的交点坐标是_____，与y轴的交点坐标是_____
15．某旅行社有张床位，每床每日收费元，客床可全部租出，若每床每日收费提高元，则租出床位减少张．若每床每日收费再提高元，则租出床位再减少张．以每提高元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每日应提高________元．
16．如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需_____秒．
三、解答题
17．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过一次函数y＝－x＋3的图象与x轴、y轴的交点，并且也经过(1，1)点，求这个二次函数的关系式，并求x为何值时，函数有最大(最小)值？这个值是多少？
18．九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：
售价（元/件） 100 110 120 130 …
月销量（件） 200 180 160 140 …
已知该运动服的进价为每件60元，设售价为元．
（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是 元；②月销量是 件；（直接写出结果）
（2）设销售该运动服的月利润为元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？
19．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
20．某公司试销一种成本单价为50元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件）可近似看作一次函数y＝kx+b的关系（如图所示）
（I）根据图象，求一次函数y＝kx+b的解析式，并写出自变量x的取值范围；
（Ⅱ）该公司要想每天获得最大的利润，应把销售单价定为多少？最大利润值为多少？
21．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x=﹣2．
（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的另一点．已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9．求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；
（3）点P是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动．设点P运动的时间为t秒．
①当t为　 　秒时，△PAD的周长最小？当t为　 　秒时，△PAD是以AD为腰的等腰三角形？（结果保留根号）
②点P在运动过程中，是否存在一点P，使△PAD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图，直线与轴、轴分别交于A、B两点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为，连接．
（1）求抛物线的解析式及点的坐标；
（2）点 在抛物线上，连接 ，当 时，求点的坐标；
（3）点从点出发，沿线段由向运动，同时点从点出发，沿线段由向运动， 、的运动速度都是每秒个单位长度，当点到达点时，、同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点，使、运动过程中的某一时刻，以、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案：
1．C
【详解】解：∵抛物线的解析式为，
∴该抛物线的顶点坐标为（2，2），
故选：C．
2．B
【详解】∵是二次函数，∴，即，∴此解析式的一次项系数是，故本题正确答案为B选项.
3．A
【详解】解：由小球高度h与运动时间t的关系式h＝30t﹣5t2．
令h＝0，有﹣5t2+30t＝0，
解得：t1＝0（舍去），t2＝6
∴小球从抛出至回落到地面所需要的时间是6秒．
故选：A．
4．B
【详解】∵抛物线开口向下，∴a0，A错误；
∵对称轴x0，即0,∴b0，B正确；
当x=-1时，y0，即a﹣b+c0，C错误；
当x=1时，y0，即a﹣b+c0，D错误，
故选B.
5．A
【详解】解：抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，
则平移后抛物线的解析式为：．
故选：A．
6．B
【详解】由题意可得：当x10.5时，y取得最大值．
∵二次函数具有对称性，离对称轴越近，对应的y值越大，∴ t=10时，y取得最大值．
故选B．
7．B
【详解】解：根据题意将向左平移2个单位再向下平移1个单位即可得，
故选B
8．C
【详解】①图象开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，能得到：a＜0，c＜0，
∴ac＞0，故①正确；
②当x=1时，y＞0，∴a+b+c＞0，故②错误；
③当x=-2时，y＜0，∴4a-2b+c＜0，故③正确；
④∵对称轴x=-＜1，
∴2a+b＜0，故④正确；
⑤∵抛物线的顶点在x轴的上方，
∴＜1，
∵4a＜0，
∴4ac-b2＞4a，故⑤错误；
⑥∵2a+b＞0，
∴2a+b-a＞-a，
∴a+b＞-a，
∵a＜0，
∴-c＞0，
∴a+b＞0，故⑥正确；
综上所述正确的个数为4个，
故选C．
9．D
【详解】根据图象的对称轴的位置、增减性及开口方向直接作答：由图象知，
A、点（1，1）在图象的对称轴的左边，所以y的最大值大于1，不小于0；故本选项错误；
B、当x=0时，y的值就是函数图象与y轴的交点，而图象与y轴的交点在（1，1）点的左边，
故y＜1，故本选项错误；
C、对称轴在（1，1）的右边，在对称轴的左边y随x的增大而增大，∵－1＜1，∴x=－1时，y
的值小于x=1时，y的值1，即当x=－1时，y的值小于1；故本选项错误；
D、当x=－3时，函数图象上的点在点（－2，－1）的左边，所以y的值小于0；故本选项正确．
故选D．
10．C
【详解】解：∵a=1＞0，∴开口向上，
∵抛物线的对称轴为：x=-，
二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，
无法确定x1与x2的正负情况，
∴当n＜0时，x1＜m＜x2，但m的正负无法确定，故A错误，C正确；
当n＞0时，m＜x1或m＞x2，故B，D错误，
故选：C．
11．A
【详解】∵
∴点A、C的坐标为(-c，0)，(0，c)
∴把点A的坐标代入得
∴
∴
∵
∴
∴
故选A
12．B
【详解】根据图象可以看出抛物线与x轴有两个不同的交点，
故与此函数的系数相关的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
由于两交点位于原点的两侧，
故一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根一负根，故只有B正确；
故选B．
13．
【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为A 2，4，B1，1，由，可得的解为：，
故答案为：．
14． （7，0），（﹣1，0）； （0，﹣7）.
【详解】令y＝0，即x2﹣6x﹣7=0，
解得x1=7,x2=-1,
∴与x轴的交点坐标为（7，0），（﹣1，0），
令x＝0，即y＝-7，
∴与y轴的交点坐标为（0，-7）
15．
【详解】解：设每床每日提高x元，每日利润为W，则
W=(10+x)(100-5x)=，
根据函数解析式可知：当提高5元时，利润最大，但是每次提高都是2元，则每日提高4元或6元时可以获得最大利润，
又∵当x=4时，100-5x=100-20=80，当x=6时，100-5x=100-30=70，80，
∴为了投资少而获利大，每床每日应提高6元，
故答案为： 6．
16．36
【详解】设在10秒时到达A点，在26秒时到达B，
∵10秒时和26秒时拱梁的高度相同，
∴A，B关于对称轴对称．
则从A到B需要16秒，从A到D需要8秒．
∴从O到D需要10+8=18秒．∴从O到C需要2×18=36秒．
17．二次函数的关系式为y＝x2－x＋3，当x＝时，函数有最小值，最小值为－.
【详解】解：对于y＝－x＋3，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝2，把(0，3)，(2，0)，(1，1)分别代入y＝ax2＋bx＋c，得，
所以，
所以二次函数的关系式为y＝x2－x＋3.
因为y＝x2－x＋3＝（x-） -，所以当x＝时，函数有最小值，最小值为－.
18．（1）（x-60）；﹣2x+400；（2）售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元．
【详解】解：
（1）①销售该运动服每件的利润是（x﹣60）元；
故答案为：（x-60）；
②设月销量W与x的关系式为W=kx+b，
由题意得，， 解得，，
∴W=﹣2x+400；
故答案为：（﹣2x+400）；
（2）由题意得，y=（x﹣60）（﹣2x+400）
=﹣2x2+520x﹣24000
=﹣2（x﹣130）2+9800，
∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元．
19．（1）D（﹣2，3）；（2）二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（3）一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．
【详解】解：（1）∵如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，
∴对称轴是x==﹣1．
又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，
∴D（﹣2，3）；
（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）代入得，
，解得，
所以二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；
（3）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．
20．（1）y=﹣x+100（50≤x≤80）；（2）销售单价定为75元/件，最大利润为625元．
【详解】解：（1）由函数的图象得：，解得：，
∴所以y=﹣x+100（50≤x≤80）；
（2）设每天获得的利润为W元，
由（1）得：W=（x﹣50）y=（x﹣50）（﹣x+100）=﹣x2+150x﹣5000=﹣（x﹣75）2+625，
∵﹣1＜0，
∴当x=75时，W最大=625即该公司要想第天获得最大利润，应把销售单价为75元/件，最大利润为625元．
21．（1）B（﹣3，0）；（2）y=x2+4x+3，E（﹣2，﹣1）；（3）①2；4或或；②P（﹣2，1）或（﹣2，2）．
【详解】解：（1）由抛物线的轴对称性及A（﹣1，0），可得B（﹣3，0）．
（2）设抛物线的对称轴交CD于点M，交AB于点N，
由题意可知AB∥CD，由抛物线的轴对称性可得CD=2DM．
∵MN∥y轴，AB∥CD，∴四边形ODMN是矩形．
∴DM=ON=2．∴CD=2×2=4．
∵A（﹣1，0），B（﹣3，0），∴AB=2．
∵梯形ABCD的面积=（AB+CD） OD=9，
∴OD=3，即c=3．
把A（﹣1，0），B（﹣3，0）代入y=ax2+bx+3得，解得．
∴y=x2+4x+3．
将y=x2+4x+3化为顶点式为y=（x+2）2﹣1，得E（﹣2，﹣1）；
（3）①连接BD交对称轴于P，则此时△PAD的周长最小，
∵B（﹣3，0），D（0，3），
易得直线BD的解析式为：y=x+3，
当x=-2时，y=-2+3=1，
∴P（-2，1），
∴当t为2秒时，△PAD的周长最小；
当△PAD是以AD，AP为腰的等腰三角形时，易得P（-2，3），
则此时t=4；
当△PAD是以AD，DP为腰的等腰三角形且点P在CD下方时，设抛物线的对称轴交CD于点M，
∵AO=1，OD=3，MD=2，
∴DP=AD=，
∴PM=，
∴EP=3+1-=4-，
∴t=4-；
当△PAD是以AD，DP为腰的等腰三角形且点P在CD上方时，
同理可得PM=，
∴EP=3+1+=4+，
∴t=4+；
故答案为：2；4或或；
②存在．
∵∠APD=90°，∠PMD=∠PNA=90°，
∴∠PDM+∠DPM=90°，∠DPM+∠APN=90°．
∴∠PDM=∠APN．
∵∠PMD=∠ANP，∴△APN∽△PDM．
∴，即．
∴PN2﹣3PN+2=0，解得PN=1或PN=2．
∴P（﹣2，1）或（﹣2，2）．
22．（1）（2），或（3）或或
【详解】解：直线解析式，
令，得；
令，得．
∴、．
∵点、在抛物线上，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为：．
令，
解得：或，
∴．
，
设，
①当时，如答图所示．
∵，
∴，故点满足条件．
过点作轴于点，则，，
∴．
∵，
∴，
∴直线的解析式为：．
联立与，
得：，
解得：，，
∴，，
∴；
②当与关于轴对称时，如答图所示．
∵，，
∴，
故点满足条件．
过点作轴于点，
则，，
∴．
∵，
∴，
∴直线的解析式为：．
联立与得：，
解得：，，
∴，，
∴．
综上所述，满足条件的点的坐标为：或．
设，则，，．
假设存在满足条件的点，设菱形的对角线交于点，设运动时间为．
①若以为菱形对角线，如答图．此时，菱形边长．
∴．
在中，
，
解得．
∴．
过点作轴于点，
则，，
∴．
∴．
∵点与点横坐标相差个单位，
∴；
②若以为菱形对角线，如答图．此时，菱形边长．
∵，
∴，点为中点，
∴．
∵点与点横坐标相差个单位，
∴；
③若以为菱形对角线，如答图．此时，菱形边长．
在中，，
解得．
∴，．
∴．
综上所述，存在满足条件的点，点坐标为：或或．