高中数学人教 A 版（2019）必修第一册第二章综合检测卷（基础 A 卷）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，选对得 5 分，选错得 0 分．
1 1
1．若不等式 ax2 bx 2 0的解集是 x x ，则 ax b 0 的解集为（2 3 ）
, 1 1 1 1A． B
． ,6
C． , D． ,
6 6 6
2．下列命题正确的是（ ）
A．a b,c 0 ac2 bc2 B．a b a b
C． a b且 c d a c b d D． a b a2 b2
3．若命题 p：“ x R ， x2 1 k x 1 0 ”是真命题，则 k 的取值范围是（ ）
A． , 1 3, B． 3,1 C． , 3 1, D． 1,3
4．已知 a＞0，b＞0，且 a+2b＝ab，则 ab 的最小值是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
1
5．已知 x 0，则 y x 1的最小值是（ ）
x
A．2 B．3 C．4 D．6
x 2
6．函数 y 8 (x 0)的最大值是（ ）
2 x
A．6 B．8 C．10 D．18
7 3 x x2 ax 9 0 x2 ax 2a 0 x2．若下列 个关于 的方程 ， ， a 1 x 9 0中最多有两个方程没有实4
数根，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． , 4 0, B． ,6 2,
C． , 4 2, D． 4,0
8．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为 a,b,c，三角
形的面积 S 可由公式 S p( p a)( p b)( p c) 求得，其中 p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦
----秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足 a b 10,c 6，则此三角形面积的最大值为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题满分 5 分，共 20 分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求。全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分．
9．已知实数m n ， p q ，且 pq 0 ，则下列不等式不一定成立的（ ）
A．m p n q B．mq np C．m p n q D．mp nq
10．在下列四个命题中，正确的是（ ）
A．命题“ x R ，使得 x2 x 1 0 ”的否定是“ x R ，都有 x2 x 1 0 ”
B．当 x 1时， x 4 的最小值是 5
x 1
C．若不等式 ax2 2x c 0的解集为 x 1 x 2 ，则 a c 2
1
D．“ a 1”是“ 1 ”的充要条件
a
11．如果关于 x 的不等式 x2 2ax b 1 0的解集为 x∣x a ，那么下列数值中，b 可取到的数为（ ）
A． 1 B．0 C．1 D．2
12．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利
奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若 a 0，
b 0， a b 2 ，则（ ）
A．0 a 1 B．0 ab 1 C． a2 b2 2 D．0 b 2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13 2．方程 x 2 a x 5 a 0的两根都大于 2，则实数 a 的取值范围是_____．
1
14．已知M a2 4a 1， N 2a ，则M ________ N .（填“>”或“<”）2
15．已知 a 0,b 0
3 1 m
，若不等式 恒成立，则m 的最大值为________．
a b a 3b
16．若关于 x 的不等式 2x2 8x 4 a 0 在1 x 5内有解，则实数 a 的取值范围是___________.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．解下列不等式：
2x 1 2 x
（1） 0； （2） 1.
3x 1 x 3
18．已知集合 A {x | x2 2x 8 0} B {x |
x 1
，集合 0}，设集合 I ( x 6 R
A) B ．
(1)求 I ；
(2)当 x I 时，求函数 f (x) x 9 x 的最小值． 2
19．已知集合 A x x x 2 0 .
(1)求集合A
(2)若函数 f x x 4 x x A ， 求 f x 的最大值.
20 2．设 p ：实数 x 满足 x 2ax 3a2 0 a 0 ， q : 2 x 4．
(1)若 a 1，且 p ，q都为真命题，求 x 的取值范围；
(2)若q是 p 的充分不必要条件，求实数 a的取值范围．
21．（1）设函数 f (x) ax2 (1 a)x a 2 .若不等式 f (x) 2对一切实数 x 恒成立，求实数 a的取值范围；
（2）解关于 x 的不等式 x2 (1 a)x a 0, (a R) .
22 2．已知函数 f x x a 1 x 1．
(1)若关于 x 的不等式的 f x 0 的解集是 x m x 2 ，求 a，m 的值；
(2)设关于 x 不等式的 f x 0在 0,1 上恒成立，求实数 a的取值范围．高中数学人教 A 版（2019）必修第一册第二章综合检测卷（基础 A 卷）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，选对得 5 分，选错得 0 分．
1 1
1．若不等式 ax2 bx 2 0的解集是 x x ，则 ax b 0 的解集为（2 3 ）
, 1 , 1 1 1A ． B． C． , 6
D． ,
6 6 6
【答案】A
1 1
【详解】不等式 ax2 bx 2 0的解集是 x x 2 3
1 1 b
2 3 a a 12
则根据对应方程的韦达定理得到： ，解得 b ， 1 1 2 2
2 3 a
1
则 12x 2 0的解集为 ,
6
故选：A
2．下列命题正确的是（ ）
A．a b,c 0 ac2 bc2 B．a b a b
C． a b且 c d a c b d D． a b a2 b2
【答案】A
【详解】对于选项 A，∵ c 0，∴ c2 0，又 a b， ac2 bc2 成立，故 A 正确；
对于选项 B，当 a 0，b 0时，结论明显错误，故 B 错误
对于选项 C，当 a 4,b 3,c 1, d 2 时， a c b d ，所以结论错误，故 C 错误
对于选项 D，当 a 1,b 2 时， a2 b2 ，所以结论错误，故 D 错误
故选：A
3．若命题 p：“ x R ， x2 1 k x 1 0 ”是真命题，则 k 的取值范围是（ ）
A． , 1 3, B． 3,1 C． , 3 1, D． 1,3
【答案】D
2
【详解】由题意可知 x 1 k x 1 0恒成立，
所以 (1 k)2 4 0 ，解得 1 k 3，
故选：D
4．已知 a＞0，b＞0，且 a+2b＝ab，则 ab 的最小值是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【详解】∵已知 a＞0，b＞0，且 a+2b＝ab，∴ab≥2 a 2b ，
化简可得 ab 2 2 ，
∴ab≥8，当且仅当 a＝2b 时等号成立，
故 ab 的最小值是 8，
故选：B．
1
5．已知 x 0，则 y x 1的最小值是（ ）
x
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
1 1
【详解】因为 x 0，可得 y x 1 2 x 1 3，
x x
1
当且仅当 x 时，即 x 1时，等号成立，
x
1
所以 y x 1的最小值是3 .
x
故选：B.
y 8 x 26．函数 (x 0)的最大值是（ ）
2 x
A．6 B．8 C．10 D．18
【答案】A
x 2
【详解】因为 x 0，所以 0, 0,
2 x
y 8 x 2 8 x 2 x 2所以
8 2 6，2 x 2 x 2 x
x 2
当且仅当 即 x 1时，等号成立，
2 x
y 8 x 2所以 (x 0)的最大值是 6，
2 x
故选：A
9
7．若下列 3 个关于 x 的方程 x2 ax 9 0， x2 ax 2a 0 x2， a 1 x 0中最多有两个方程没有实4
数根，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． , 4 0, B． ,6 2,
C． , 4 2, D． 4,0
【答案】A
a2 36 0 6 a 6,
a2 8a 0 【详解】假设 3 个关于 x 的方程都没有实数根，则 即 8 a 0,所以 4 a 0，
a 1 2 4 9 0 4 a 2,
4
所以若这 3 个关于 x 的方程中最多有两个方程没有实数根，则实数 a 的取值范围是 , 4 0, .
故选：A.
8．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为 a,b,c，三角
形的面积 S 可由公式 S p( p a)( p b)( p c) 求得，其中 p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦
----秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足 a b 10,c 6，则此三角形面积的最大值为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【详解】由题意， a b 10， c 6，
p 8 S 8 8 a 8 b 8 c 16 8 a 8 8 a 8 b可得 ， b 16 12，
2
当且仅当 a b 5时等号成立，
所以此三角形面积的最大值为 12．
故选： B ．
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题满分 5 分，共 20 分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求。全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分．
9．已知实数m n ， p q ，且 pq 0 ，则下列不等式不一定成立的（ ）
A．m p n q B．mq np C．m p n q D．mp nq
【答案】BCD
【详解】A 选项，由不等式同向可加性，可得m p n q，故 A 正确；
B 选项，m 1,n 3, p 2,q 7，则mq 7 np 6，故 B 错误；
C 选项，m 1,n 3, p 2,q 7，则m p 1 n q 4，故 C 错误；
D 选项，m 1,n 3, p 2,q 1，则mp 2 nq 3，故 D 错误，
故选：BCD
10．在下列四个命题中，正确的是（ ）
A．命题“ x R ，使得 x2 x 1 0 ”的否定是“ x R ，都有 x2 x 1 0 ”
B．当 x 1时， x 4 的最小值是 5
x 1
C．若不等式 ax2 2x c 0的解集为 x 1 x 2 ，则 a c 2
1
D．“ a 1”是“ 1 ”的充要条件
a
【答案】ABC
【详解】对于 A，命题“ x R ，使得 x2 x 1 0 ”的否定是“ x R ，都有 x2 x 1 0 ”故 A 正确；
4
对于 B 4 4 4，当 x 1时， x x 1 1 2 x 1 1 5，当且仅当 x 1 ，即 x 3时，等
x 1 x 1 x 1 x 1
号成立，故 B 正确；
2 c
对于C，由不等式 ax2 2x c 0的解集为 x 1 x 2 ，可知 1 2 , 1 2 ，∴ a 2,c 4, a c 2，a a
故 C 正确；
1 1
对于 D，由“ a 1”可推出“ 1 ”，由 1，可得 a 1或 a 0，推不出“ a 1”，故 D 错误.
a a
故答案为：ABC.
11．如果关于 x 的不等式 x2 2ax b 1 0的解集为 x∣x a ，那么下列数值中，b 可取到的数为（ ）
A． 1 B．0 C．1 D．2
【答案】CD
【详解】由题设知， y x2 2ax b 1对应的△ 0 ，
4 a2即 b 1 0，故b a2 1 1，
所以数值 1,0,1,2中，b 可取到的数为 1，2.
故选：CD .
12．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利
奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若 a 0，
b 0， a b 2 ，则（ ）
A．0 a 1 B．0 ab 1 C． a2 b2 2 D．0 b 2
【答案】BCD
a 0
【详解】∴ a 0,b 0,b 2 a .∴ 2 a 0 ，解得
0 a 2 ，
同理0 b 2，则 A 不正确.D 正确：
∵ ab a b
2 2
2
1，当且仅当 a b时，等号成立，
2 2
∴ 0 ab 1，则 B 正确：
∵ 2 2 a b
2 2
a b 2 2，当且仅当 a b时，等号成立，
2 2
∴ a2 b2 2 ，则 C 正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．方程 x2 2 a x 5 a 0的两根都大于 2，则实数 a 的取值范围是_____．
【答案】 5 a 4
2
【详解】由题意，方程 x － 2－a x 5－a 0的两根都大于 2，
令 f x x2－ 2－a x 5－a，
0 a2 16
可得 f 2 0 ，即 a 5 0 ，解得－5 a －4．
2 a
2 2 a 4
2
故答案为： 5 a 4 .
1
14．已知M a2 4a 1， N 2a ，则M ________ N .（填“>”或“<”）2
【答案】
M N 3 a2 2a (a 1)2 1【详解】 0，∴ M N ．
2 2
故答案为： ．
3 1 m
15．已知 a 0,b 0，若不等式 恒成立，则m 的最大值为________．
a b a 3b
【答案】12
3 1 m 3 1 9b a
【详解】由 得m a 3b 6a b a b ．a b a 3b
9b a
又 6
9b a
2 9 6 12 ，当且仅当 ，即当 a 3b时等号成立，
a b a b
∴ m 12，∴ m 的最大值为12．
故答案为：12
16．若关于 x 的不等式 2x2 8x 4 a 0 在1 x 5内有解，则实数 a 的取值范围是___________.
【答案】 ( , 6)
【详解】由 2x2 8x 4 a 0 ，即 a 2x2 8x 4，
设 f (x) 2x2 8x 4 2(x 2)2 12，
当1 x 5时，最小值 f (2) 12，而 f (1) 10， f (5) 6，
∴ f (x) [ 12,6)，
∴要使不等式 2x2 8x 4 a 0 在1 x 5内有解，则 a 6，即 a 的范围是 ( , 6) .
故答案为： ( , 6) .
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．解下列不等式：
2x 1 0 2 x（1） ； （2） 1.
3x 1 x 3
x 1 1
(2x 1)(3x 1) 0 或x
【详解】（1
3 2
）原不等式可化为
3x
，解得 ，
1 0 x 1
3
1
∴x< x≥ 1－ 或
3 2
，
1 1∴ 原不等式的解集为 x | x 3 或
x .
2
(2 x) (x 3)
（2）原不等式可化为 0，
x 3
2x 1 0 2x 1化简得 ，即 0，
x 3 x 3
1
∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得 3 x ，
2
1
∴ 原不等式的解集为 x | 3 x 2
.
x 1
18．已知集合 A {x | x2 2x 8 0}，集合 B {x | 0}，设集合 I ( R A) Bx 6 ．
(1)求 I ；
9
(2)当 x I 时，求函数 f (x) x x 2 的最小值．
【详解】（1）因为 A {x | x2 2x 8 0}
x 1
[ 4,2]，所以 R A ( , 4) (2, )， B {x | 0} (1,6)x ， 6
故 I ( R A) B (2,6)．
（2）当 x I 时，有 x 2 0，
则 f (x) x
9 9
(x 2) 2≥ 2 (x 2) 9 2 8，
x 2 x 2 x 2
x
9
2 ,
当且仅当 x 2 即 x 5 (2,6) 时取等号．
x 2
x I f (x) x 9故当 时，函数 f (5) 8x 2 的最小值为 ．
19．已知集合 A x x x 2 0 .
(1)求集合A
(2)若函数 f x x 4 x x A ， 求 f x 的最大值.
【详解】(1)解不等式 x x 2 0， 得0 x 2， 所以 A x 0 x 2
(2) 0 x 2， 4 x 0，
由均值不等式得: f x x 4 x x 4 x 2（当且仅当 x 2时取等） ，故 f x 的最大值为 2 .
2
20 2．设 p ：实数 x 满足 x 2ax 3a2 0 a 0 ， q : 2 x 4．
(1)若 a 1，且 p ，q都为真命题，求 x 的取值范围；
(2)若q是 p 的充分不必要条件，求实数 a的取值范围．
【详解】(1) a 1时， x2 2x 3 0， 1 x 3，即 p :-1< x < 3，又 q : 2 x 4，
而 p ，q都为真命题，所以 2 x 3；
(2) a 0， x2 2ax 3a2 0 a x 3a，
q p a 2 4是 的充分不必要条件，则 3a 4 且等号不能同时取得，所以 a ． 3
21．（1）设函数 f (x) ax2 (1 a)x a 2 .若不等式 f (x) 2对一切实数 x 恒成立，求实数 a的取值范围；
（2）解关于 x 的不等式 x2 (1 a)x a 0, (a R) .
【详解】（1）由题设， g(x) ax2 (1 a)x a 0对一切实数 x 恒成立，
当 a 0时， g(x) x 0在 x R 上不能恒成立；
a 0
∴{ 2 2 ，解得 a
1
.
Δ 1 a 4a 0 3
（2）由 x2 (1 a)x a (x a)(x 1) 0 ，
∴当 a 1时，解集为 (a, 1)；
当 a 1时，无解；
当 a 1时，解集为 ( 1,a)；
22．已知函数 f x x2 a 1 x 1．
(1)若关于 x 的不等式的 f x 0 的解集是 x m x 2 ，求 a，m 的值；
(2)设关于 x 不等式的 f x 0在 0,1 上恒成立，求实数 a的取值范围．
【详解】(1) 2根据二次不等式的解集与系数的关系可得 x m 和 x 2是方程 x a 1 x 1 0的两根，故
22 a 1 2 1 0 3 1，解得 a ，由韦达定理有 2m 1，解得m .
2 2
3 1
故 a ，m
2 2
(2) f x 0 2 1 在 0,1 上恒成立，即 x 1 a 1 x恒成立.当 x 0时满足题意，当 x 0,1 时， x a 1
x min
恒成立，因为 x 1 2 x 1 2，当且仅当 x 1时取等号.故 a 1 2，即 a的取值范围为 ,1 .
x x
