高中数学人教 A 版（2019）必修第一册第二章综合检测卷（培优 B 卷）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，选对得 5 分，选错得 0 分．
1．若m n ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．m c n c
1 1
B． m n C．mc nc D． m n
2 2．已知 a，b，c 是 ABC 的三边长，且方程 c b x 2 b a x a b 0有两个相等的实数根，则这个三
角形是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定
3．已知 p： 2 x 4 ，q： x2 5x 4 0 ，则 p 是 q 的（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
4．一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买 8 克黄金，售货员先将 4 克的砝码放
在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将 4 克的砝码放在天平右盘中，取出一些黄
金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则该顾客实际得到的黄金（ ）
A．等于 8 克 B．大于 8 克 C．小于 8 克 D．不能确定
5．已知 a 0，b 0，且 ab 2a b，若 a 2b m2 8m恒成立，则实数m 的取值范围是 ( )
A． 4 - 2 6 m 4 2 6 B．m 4 2 6或m 4 - 2 6
C． -1 m 9 D．m 9或m 1
6．已知关于 x 的不等式mx2 6x 3m 0在 0，2 上有解，则实数m 的取值范围是（ ）
3 12 12A． ， B． ， C． 3， D． ， 7 7
1 3
7．设 x 0, y 0，且 x 3y 2，则 x y 的最小值是（ ）
A 1． 2 B．8 C．5 2 3 D．16
3
8 2．若不等式2kx kx 0对一切实数 x 都成立，则 k 的取值范围为（ ）
8
A． 3 k 0 B． 3 k＜0 C． 3 k 0 D． 3＜k 0
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题满分 5 分，共 20 分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求。全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分．
9．已知 a,b R ，则下列命题正确的是（ ）
A．若 a b ，则 a2 b2 B．若 a2 b2，则 a b
C．若 a b，则 a2 b2 D．若 a | b |，则 a2 b2
10．已知关于 x 的一元二次不等式 ax2 2a 1 x 2 0，其中 a 0，则该不等式的解集可能是（ ）
1 1 1
A． B． 2, C． , 2, D． , 2
a a a
11．解关于 x 的不等式： ax2 (2 4a)x 8 0，则下列说法中正确的是（ ）
A．当 a 0时，不等式的解集为 x x 4
B．当 a 0时，不等式的解集为 x x 4 2或 x
a
2
C．当 a 0时，不等式的解集为 x x 4
a
1
D．当 a 时，不等式的解集为
2
12．若 x ， y R ，且满足 x y xy 3 0，则下列结论正确的是（ ）
A． xy的最小值是 3 B． x y 的最小值为 6
1 4 1 1 3
C． 的最小值为 2 D．
7
x 1 y 1 x y x y 的最大值为 6
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知不等式 ax2 bx c 0的解集是{x | x }， 0，则不等式 cx2 bx a 0的解集是
____________.
14．下列四个代数式① 4mn ，② m2 4n2 ，③ 4m2 n2，④ m2 n2，若m n 0 ，则代数式的值最大的是
______．（填序号）．
15．已知实数 a,b ab
ab
，且 0，则 的最大值为______．
a2 b2 a2b2 4
16．已知 a 0，b 0，且 4a2 9b2 2ab 20 ，则 ab的最大值为____________．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．解以下一元二次不等式
(1) 2x2 3x 1 0
(2) x2 5x 6 0
(3) 4x2 4x 1 0
(4) x2 6x 9 0
18．求下列关于 x 的不等式的解集：
3x 1
(1) 1；
2 x
(2) 2ax2 a 2 x 1 0．
19．已知函数 f (x) x2 4x b，若 f x 0 的解集为 x |1 x m .
(1)求b ，m 的值；
(2)当 a为何值时， (a b)x2 2(a b)x 1 0 的解集为R ？
9
20．（1）已知 x 3，求 x 的最小值；
x 2
1 1
（2）已知 x 0, y 0，且3x 2y 1 0，证明： 43x 2y ．
21．关于 x 的不等式 x2 ax b 0的解集为[ 1,2]，
(1)求 a，b 的值；
a b
(2)当 x 0, y 0，且满足 1x y 时，有2x y k
2 k 6恒成立，求实数 k 的取值范围．
22．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 162 平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如
图所示），如果池四周围墙建造单价为 400 元/米，中间两道隔墙建造单价为 248 元/米，池底建造单价为 80
元/米 2，水池所有墙的厚度忽略不计．
（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过 16 米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出
最低总造价．高中数学人教 A 版（2019）必修第一册第二章综合检测卷（培优 B 卷）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，选对得 5 分，选错得 0 分．
1．若m n ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．m c n c
1 1
B． m n C．mc nc D． m n
【答案】A
【详解】选项 A. 由m n ，根据不等式的基本性质可得m c n c 成立，故选项 A 正确.
选项 B. 当m,n为负数时，根式无意义，则 m n 不成立 . 故选项 B 不正确.
选项 C. 当 c 0时，mc nc 不成立 . 故选项 C 不正确.
1 1
选项 D. 取m 2,n 1，显然m n 满足，但 不成立，故选项 D 不正确.
m n
故选：A
2．已知 a，b，c 是 ABC 2的三边长，且方程 c b x 2 b a x a b 0有两个相等的实数根，则这个三
角形是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定
【答案】A
【详解】方程有两个相等的实数根，则b c，
2
又有△ 0 2 b a 4 c b a b 4 a b a c 0 ，
a b或 a c ，又b c，故是等腰三角形.
故选：A
3．已知 p： 2 x 4 ，q： x2 5x 4 0 ，则 p 是 q 的（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【详解】命题q化简为1 x 4，因此 p q ，但q不能推出 p 成立，
p 是q的充分不必要条件．
故选：A．
4．一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买 8 克黄金，售货员先将 4 克的砝码放
在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将 4 克的砝码放在天平右盘中，取出一些黄
金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则该顾客实际得到的黄金（ ）
A．等于 8 克 B．大于 8 克 C．小于 8 克 D．不能确定
【答案】C
【详解】设天平的左右臂长分别为m,n (m n )，第一次加黄金 x 克，第二次加黄金 y 克，
则根据物理知识可得 4m xn ，且 (4 y)m (x 4)n，即my 4n ，
4m 4n m n
所以 x y 4( ) 4 2 m n 8，当且仅当m n 时等号成立，
n m n m n m
因为m n，所以等号不成立，所以 x y 8克.
故选：C
5．已知 a 0，b 0，且 ab 2a b，若 a 2b m2 8m恒成立，则实数m 的取值范围是 ( )
A． 4 - 2 6 m 4 2 6 B．m 4 2 6或m 4 - 2 6
C． -1 m 9 D．m 9或m 1
【答案】C
【详解】 a 0，b 0，且 ab 2a b，
1 2 1
b a ，
a 1 2 2b 2a 2b 2a 2b a 2b 1 4 5 2 9 ，，
a b a b a b
当且仅当 a b 3时取“ ”；
若 a 2b m2 8m恒成立，
则9 m2 8m ，
即m2 8m 9 0 ，解得 1 m 9，
实数m 的取值范围是[ 1，9]．
故选：C．
6．已知关于 x 的不等式mx2 6x 3m 0在 0，2 上有解，则实数m 的取值范围是（ ）
3 12 12A． ， B． ， C． 3， D． ，
7 7
【答案】A
6x
【详解】由题意得，mx2 6x 3m 0， x 0，2 ，即m ，x2 3
6x
故问题转化为m 2 在 0，2 上有解，x 3
g(x) 6x g(x)
6x 6
设
x2
，则
3 x
2 3 x 3 ，
x 0，2 ，
x
x 3对于 ≥2 3 ，当且仅当 x 3 (0, 2]时取等号，
x
则 g(x)
6
max 3，故m 3 ，2 3
故选：A
1 3
7．设 x 0, y 0，且 x 3y 2，则 x y 的最小值是（ ）
A 1． 2 B．8 C．5 2 3 D．16
【答案】B
x 3y
【详解】由题意， x 3y 2故 1
2
1 3 (1 3) ( x 3y则 )
1 9 3x 3y 3x 3y 3x 3y
5 5 2 5 2 3 8
x y x y 2 2 2 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2
3x 3y 1
当且仅当 ，即 x y 2y 2x 时等号成立2
故选：B
8 2
3
．若不等式2kx kx 0对一切实数 x 都成立，则 k 的取值范围为（ ）
8
A． 3 k 0 B． 3 k＜0 C． 3 k 0 D． 3＜k 0
【答案】D
2 3
【详解】2kx kx 0对一切实数 x 都成立，
8
3
① k 0时， 0恒成立，
8
k 0
② k 0时，则 3 k 0Δ k 2 3k 0，解得 ，
综上可得， 3＜k 0 .
故选：D.
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题满分 5 分，共 20 分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求。全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分．
9．已知 a,b R ，则下列命题正确的是（ ）
A．若 a b ，则 a2 b2 B．若 a2 b2，则 a b
C．若 a b，则 a2 b2 D．若 a | b |，则 a2 b2
【答案】BD
【详解】当 a b 时，如 a 2，b 2时 a2 b2 成立，A 错；
若 a b则一定有 a2 b2 ，所以 a2 b2时，一定有 a b ，B 正确；
2 3，但22 ( 3)2 ，C 错；
a b ，则 a2 b 2 b2 ，D 正确．
故选：BD．
10 2．已知关于 x 的一元二次不等式 ax 2a 1 x 2 0，其中 a 0，则该不等式的解集可能是（ ）
2, 1 , 1 1 A． B． C． 2, D． , 2a a a
【答案】ABD
【详解】不等式变形为 (x 2)(ax 1) 0
1
，又 a 0，所以 (x 2)(x ) 0 ，
a
a 1 时，不等式解集为空集；
2
a 1 1 ， x 2，
2 a
1
a 0 时， 2 x
1
，
2 a
因此解集可能为 ABD．
故选：ABD．
11．解关于 x 的不等式： ax2 (2 4a)x 8 0，则下列说法中正确的是（ ）
A．当 a 0时，不等式的解集为 x x 4
2
B．当 a 0时，不等式的解集为 x x 4或 x
a
2
C．当 a 0时，不等式的解集为 x x 4
a
D．当 a
1
时，不等式的解集为
2
【答案】AD
【详解】对于 A：当 a 0时，不等式为 2x 8 0 ，解得 x 4，所以不等式的解集为 x x 4 ，故选项 A 正
确；
对于 B、C、D：由 ax2 (2 4a)x 8 0可得 ax 2 x 4 0，
对应方程 ax 2 x 4 0 2的两根分别为 x1 ， x 4，a 2
a 0
1 2
当 2 即 a 时，原不等式解集为： x x 4 ，
4 2 a
a
a 0
1 2
当 2 即 a 0 时，原不等式的解集为 x 4 x ，
4 2 a
a
当 a
1 2
时， 4，此时 ax 2 x 4 0的解集为 ，
2 a
故选项 BC 不正确，选项 D 正确，
故选：AD.
12．若 x ， y R ，且满足 x y xy 3 0，则下列结论正确的是（ ）
A． xy的最小值是 3 B． x y 的最小值为 6
1 4 1 1 3 7
C． x 的最小值为 2 D．
的最大值为
1 y 1 x y x y 6
【答案】BCD
2
【详解】对于 A. 0 x y xy 3 2 xy xy 3，所以 xy 2 xy 3 0， xy 3， xy 9，当且仅当
x y 3取得等号,所以 A 选项错误
B x y
2
对于 ．0 x y xy 3 x y 3，所以 x y 2 4 x y 12 0 ， x y 6，当且仅当 x y 3
4
取得等号，所以 B 选项正确．
对于 C．由条件得 4 1 4 1x 1 y 1 4， x 1 0， y 1 0， x 1 ， x 1 2y 1 x ，当且仅 1 y 1 x 1
当 x 2， y 5取得等号，所以 C 正确
1 + 1 3 x y 3 x y 3对于 D． ，令 t x yx y x y xy x y x y 3 x y ，则由 B 知
t 6
t 3 3 3 9
原式 1 1 在 t 6
7
，
t 3 t t 3 t t t 3 上单调递减，所以当 t 6时即 x y 3时有最大值 ，6
所以 D 正确；
故选：BCD.
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知不等式 ax2 bx c 0的解集是{x | x }， 0，则不等式 cx2 bx a 0的解集是
____________.
1 1
【答案】 ，
【详解】由不等式 ax2 bx c 0的解集是{x | x （} 0），可知：
， 是一元二次方程 ax2 bx c 0的实数根，且 a 0；
由根与系数的关系可得：
b c
， ，
a a
c b
所以不等式 cx2 bx a 0 x2化为 x 1 0 2，即： x x 1 0；a a
化为 x 1 x 1 0；
1 1
又 , 0， 0 ；
1 1
不等式 cx2 bx a 0的解集为：{x | x } ，
1 1
故答案为： ，
14．下列四个代数式① 4mn ，② m2 4n2 ，③ 4m2 n2，④ m2 n2，若m n 0
，则代数式的值最大的是______．（填序号）．
【答案】③
【详解】∵ m n 0 ，
令② ①得：m2 4n2 4mn m 2n 2＞0 ，∴②＞①，
令③ ②得： 4m2 n2 m2 4n2 3m2 3n2＞0，∴③＞②，
令③ ④得： 4m2 n2 m2 n2 3m2＞0，∴③＞④，
∴代数式的值最大的是③.
故答案为：③
ab
15．已知实数 a,b，且 ab 0，则 2 2 2 2 的最大值为______．a b a b 4
1
【答案】
6
ab ab
【详解】由 a2 b2 2ab 0，所以 ，
a2 b2 a2b2 4 2ab a2b2 4
ab 1 1 1
又由 2ab a2b2 4 2 4 ab 2 2 ab 4
6 ，
ab ab
ab 1
当且仅当 a b时，等号成立，所以
a2 b2 a2b2
.
4 6
1
故答案为： .
6
16．已知 a 0，b 0，且 4a2 9b2 2ab 20 ，则 ab的最大值为____________．
【答案】2
【详解】因为 a 0，b 0，且 4a2 9b2 2ab 20 ，所以 4a2 9b2 2ab 20 2 4a2 9b2 2ab ，解得
ab 2，当且仅当 4a2 9b2 ，即 2a 3b 时，取等号， 所以 ab的最大值为 2，
故答案为：2．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成
积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所
求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．解以下一元二次不等式
(1) 2x2 3x 1 0
(2) x2 5x 6 0
(3) 4x2 4x 1 0
(4) x2 6x 9 0
1 1
【答案】(1) x x 1 ；(2) x x 6 或 x 1 ；(3) x x ；(4) x 3
2 2
1
【详解】(1)由 2x2 3x 1 0，得 (x 1)(2x 1) 0，解得 x 1，
2
1
所以不等式的解集为 x x 12
．
(2)由 x2 5x 6 0，得 x2 5x 6 0，
则 (x 1)(x 6) 0，解得 x 6 或 x 1，
所以不等式的解集为 x x 6 或 x 1 ．
1
(3)由 4x2 4x 1 0，得 (2x 1)2
1
0 ，解得 x 2 ，所以不等式的解集为
x x
2
．
(4)由 x2 6x 9 0 ，得 (x 3)2 0 ，得 x 3，所以不等式的解集为 x x 3 ．
18．求下列关于 x 的不等式的解集：
3x 1
(1) 1；
2 x
(2) 2ax2 a 2 x 1 0．
3x 1 3x 1 2 x 4x 3
【详解】(1)由 1可得： 0，
2 x 2 x 2 x
(4x 3)(2 x) 0
3 ，解得： x 2 .
x 2 4
3x 1 3
故 1的解集为 x x 2 .
2 x 4
(2)1、当 a 0时，不等式为 2x 1
1
0 x ,
.
2
2、当 a 0时，由 2ax2 a 2 x 1 2x 1 ax 1 0 1，解得 x1 , x
1
2 .2 a
, 1 1当 a 0时，不等式的解集为 ,
a 2 ，
1 1
当0 a 2 时， 不等式的解集为 , 2 a
，
1
当 a 2 时，不等式的解集为 .
2
1 1
当 a 2时，不等式的解集为 , . a 2
19．已知函数 f (x) x2 4x b，若 f x 0 的解集为 x |1 x m .
(1)求b ，m 的值；
(2)当 a为何值时， (a b)x2 2(a b)x 1 0 的解集为R ？
【详解】(1)由题意可知， x2 4x b 0的解集为 x |1 x m ，
所以 x 1与 x m 为方程 x2 4x b 0的两根，
1 m 4 m 3
1 m b ， b 3 ；
(2) a b x2 2 a b x 1 0的解集为R ，
①当 a b 0时， 1 0的解集为R ， a 3 0， a 3；
a b 0
②当 a b 0时，
Δ 4(a b)
2 4 a b 0，
1 a b 0， 1 a 3 0 ， 4 a 3
综上所述， a的取值范围为 4, 3 .
9
20．（1）已知 x 3，求 x 的最小值；
x 2
1 1
（2）已知 x 0, y 0，且3x 2y 1 0，证明： 43x 2y ．
9 9
【详解】（1）因为 x 3，所以 x 2 1，则 x x 2 2 6 2 8，
x 2 x 2
x 2 9 9当且仅当 ，即 x 5时，等号成立．所以 x 最小值 8．
x 2 x 2
（2）因为 x 0, y 0，3x 2y 1 0得3x 2y 1．
1 1 1 1
则 1
1 1
(3x 2y) 1 2y 3x 2y 3x 1 2 2 4．
3x 2y 3x 2y 3x 2y 3x 2y 3x 2y
1 1
所以 4
1 1
3x 2y 成立，当且仅当
x ， y 时等号成立，
6 4
1 1
所以 43x 2y .
21．关于 x 的不等式 x2 ax b 0的解集为[ 1,2]，
(1)求 a，b 的值；
a b
(2)当 x 0, y 0，且满足 1x y 时，有2x y k
2 k 6恒成立，求实数 k 的取值范围．
【详解】(1)因为关于 x 的不等式 x2 ax b 0的解集为[ 1,2]，
1 2 a a 1
所以 1和 2 是方程 x2 ax b 0 的两个实数根，可得
1 2 b
，解得 ，
b 2
a 1
经检验 满足条件，所以 a 1,b 2 .
b 2
a 1 1 2
(2)由（1）知 ，可得 1，
b 2 x y
2x y 2x y 1 2 4 y 4x y 4x则 4 2 8，
x y x y x y
x 2
当且仅当 时，等号成立，
y 4
因为2x y k 2 k 6 2恒成立，所以 (2x y)min k k 6，即8 k 2 k 6 ，
可得 k 2 k 2 0，解得 2 k 1，所以 k 的取值范围为[ 2,1]．
22．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 162 平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如
图所示），如果池四周围墙建造单价为 400 元/米，中间两道隔墙建造单价为 248 元/米，池底建造单价为 80
元/米 2，水池所有墙的厚度忽略不计．
（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过 16 米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出
最低总造价．
81
【答案】（1）长为 16.2 米，宽为 10 米时总造价最低，最低总造价为 38880 元；（2）长为 16 米，宽为 米
8
时，总造价最低，为 38882 元．
162
【详解】（1）设污水处理池的宽为 x 米，则长为 米．
x
2 162 1296 100
则总造价 f（x）＝400×（2x ）+248×2x+80×162＝1296x 12960
x x
100
＝1296（x ）+12960≥1296×2 x 100 12960＝38880（元），
x x
100
当且仅当 x （x＞0），即 x＝10 时，取等号．
x
∴当长为 16.2 米，宽为 10 米时总造价最低，最低总造价为 38880 元．
0＜x 16
81
（2）由限制条件知 0 162
，∴ x 16 ．
＜ 16 8 x
100 81
设 g（x）＝x （ x 16 ），
x 8
81
由对勾函数性质易知 g（x）在[ ，16]上是增函数，
8
81 162 81 800
∴当 x＝ 时（此时 16），g（x）有最小值，即 f（x）有最小值 1296×（ ）+12960＝38882
8 x 8 81
（元）．
1
∴当长为 16 米，宽为 10 米时，总造价最低，为 38882 元．
8
