必修第一册第三章 《函数概念与性质》综合检测卷（拔尖 C 卷）（原卷版）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要
求，选对得 5 分，选错得 0 分．
1．下列各组函数是同一函数的是（ ）
A y x
3 x 2
． 与 y x B y x． 与 y x
x2 1 x
| x |
C． y 与 y 1 Dx ． y x 1
2
与 y x 1
x
2 2x
f x x a 2．已知函数 ，若存在实数 x0 ，使得对于任意的实数 x 都有 f x f x0 成立，则实数 a的
x 2(x a)
取值范围是（ ）
A． 1， B． 2， C． 1， D． 2，
3．对于任意 x∈[-2，2]，不等式m x 2 x 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ）
9
A．m B．m≤-2 C．m≤0 D．m≤4
4
4 x．已知 R，则函数 f (x) 2 的图像不可能是（ ）x 1
A． B．
C． D．
x
5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 900 元，若每批生产 x 件，则平均仓储时间为
4
天，且每件产品每天的仓储费用为 1 元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产
品（ ）
A．30 件 B．60 件 C．80 件 D．100 件
6．已知函数 f x 的定义域为 R，满足 f x 1 f 1 x ，且当 x2 x1 1时， f x2 f x1 x2 x1 0恒成立，
设 a f 1 ，b f 2 ， c f e （其中 e 2.71828 ），则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A． c a b B．b c a
C．b a c D． c b a
7．已知函数 f x 满足 f
f (x ) f (x )
2- x =f x （x∈R 1 2），且对任意的 x1，x2 [1， ）, x1 x2 时，恒有 0x x 成立，1 2
f 2a2 a 2 ＜f 2a2则当 2a 4 时，实数 a 的取值范围为（ ）
2
A． ， B． ,
2
3 3
2 2
C． ，1 D． ，1 1,
3 3
8 f x R x 0 f x 1 x a2 2 2．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， x 2a 3a ，若 f x 1 f x 对任意2
x R恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ）
1 1 6 6 1 1
3 3
A． ， B． ， C．
， D． ，
6 6 6 6 3 3 3 3
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题满分 5 分，共 20 分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分．
2
9．若函数 f 1 1 x 2x 2 (x 0) ，则（ ）x
1 3
A． f 15 B． f 2
2 4
f x 4
2
C． 2 1(x 0) f
1 4x
D． 2 1(x 0且x 1) x 1 x x 1
x2 2x, x a
10．若函数 f x 存在最大值，则实数 a 可能的值是（ ）
x, x a
A． 2 B． 1 C．1 D．2
11．已知幂函数 f (x) 的图像经过点 (4, 2)，则下列命题正确的有（ ）
A．函数 f (x) 为非奇非偶函数 B．函数 f (x) 的定义域为R
f x f x
C． f (x) 的单调递增区间为[0, )
x x
D．若 x2 x1 0
1 2
，则 f 1 2
2 2
12．已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x) f ( x) 0 ， f (x) f (x 6) 0 ，且对任意的 x1, x2 [ 3，0] ，当 x1 x2
时，都有 x1 f (x1) x2 f (x2 ) x1 f (x2 ) x2 f (x1) ，则以下判断正确的是（ ）
A．函数 f (x) 是偶函数 B．函数 f (x) 在[ 9， 6]上单调递增
C．x=2 是函数 f (x 1)的对称轴 D．函数 f (x) 的最小正周期是 12
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．若函数 y x2 ax 2 的定义域为 R，则实数 a 的取值范围为________.
x
14．已知函数 f x ，若 a 2,2 1， x , 2
使不等式 f (x) m
2 10 2am 成立，则实数m 的取值范围为
x 1 2 3
______．
2 2 f x f x 15．已知函数 f x m m 1 xm m 3 是幂函数，对任意的x1， x2 0, ，且 x x 1 21 2 ，满足 0，x1 x2
若 a，b R ，且 f a f b 0，则 a b ______0（填“＞”“＝”或“＜”）．
16．已知 f x 是定义在 1,1 上的奇函数，且 f 1 2 ，若对任意x1， x2 1,1 ，且 x1 x2 ，有
f x1 f x2 0，则 f x 的最小值为______x x ．1 2
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
8 10
17．解不等式 3 x
3 5x 0
(x 1) x ． 1
x 1
18．已知函数 f x 2 ，判断并证明 f x 在区间 2,2 上的单调性．x 8
19 2．已知二次函数 f x ax bx c 2,0 2x 1 f x x2的图象经过 ，且不等式 2对一切实数 x 都成立．
2
（1）求函数 f x 的解析式；
x
（2）若对任意 x 1,1 ，不等式 f x t f 恒成立，求实数 t 的取值范围．
3
20．已知某船舶每小时航行所需费用 u（单位：元）与航行速度 v（单位：千米/时）的函数关系为
kv b,0 v 10,u v 2 （其中 a，b，k 为常数），函数u v 450 av ,v 10 的部分图象如图所示．
(1)求u v 的解析式；
(2)若该船舶需匀速航行 20 千米，问船舶的航行速度 v 为多少时，航行所需费用最少.最少的费用为多少？
f x ax b 1 221．已知函数 是定义在 1,1
x2
上的奇函数，且 f . 1 2 5
(1)求函数 f x 的解析式；
(2)判断函数 f x 在 1,1 上的单调性，并用定义证明；
1 1
(3)解不等式： f t 2
f t 2
0 .
2
22．已知幂函数 f (x) (m 1)2 xm 4m 2 在 (0, )上单调递增，函数 g(x) 2x k ．
（1）求 m 的值；
（2）当 x [1, 2)时，记 f (x), g(x)的值域分别为集合 A，B，设 p : x A,q : x B ，若 p 是 q 成立的必要条件，求实
数 k 的取值范围．
（3）设F (x) f (x) kx 1 k 2，且 | F (x) |在[0,1]上单调递增，求实数 k 的取值范围．必修第一册第三章 《函数概念与性质》综合检测卷（拔尖 C 卷）（解析版）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要
求，选对得 5 分，选错得 0 分．
1．下列各组函数是同一函数的是（ ）
x3A x
2
． y 与 y x B． y x 与 y x
x2 1 x
| x |
C． y 与 y 1 D y x 1 2x ． 与 y x 1
【答案】A
【分析】当两个函数的定义域和对应关系都相同时，则两个函数为同一函数，再对各个选项中的函数进行化简并
求出定义域，即可判断得出答案.
x3 x
【详解】解：对于 A， y 2 x的定义域为 R ， y x 的定义域为 R ，x 1
则两个函数的定义域和对应关系都相同，是同一函数；
2
对于 B， y x x的定义域为 x x 0 ， y x 的定义域为 R ，
x
则两个函数的定义域不同，不是同一函数；
y | x |对于 C， 的定义域为 x x 0 ， y 1的定义域为 Rx ，
则两个函数的定义域不同，不是同一函数；
对于 D， y x 1 2 x 1 和 y x 1的对应关系不同，故不是同一函数.
故选：A.
x2 2x x a
2．已知函数 f x ，若存在实数 x0 ，使得对于任意的实数 x 都有 f x f x0 成立，则实数 a的
x 2(x a)
取值范围是（ ）
A． 1， B． 2， C． 1， D． 2，
【答案】A
【分析】根据题意，得到函数存在最大值，结合分段函数的性质即可求解结论．
x
2 2x x a
【详解】解： 函数 f x
，若存在实数 x ，
x 2(x a)
0
使得对于任意的实数 x 都有 f x f x0 成立，
即函数有最大值 f x0 ，
又因为当 x a时， f x x 2，单调递减，且 f x a 2，
x a f x x2故当 时， 2x (x 1)2 1，
1 a 2且 a 1，故 a 1，
故选：A ．
3．对于任意 x∈[-2，2]，不等式m x 2 x 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ）
m 9A． B．m≤-2 C．m≤0 D．m≤4
4
【答案】C
【分析】将不等式进行等价变形，再换元构造函数，求出函数的最小值即可判断作答.
【详解】依题意，m x 2 x m x 2 x m (2 x) 2 x 2，
1 9
x∈[-2，2]，令 t 2 x [0, 2]，则 y (2 x) 2 x 2 2化为 y f (t) t t 2 (t )2 ，
2 4
显然， f (t) 在[0,
1] 1上单调递增，在[ , 2]上单调递减，而 f (0) 2, f (2) 0，即 f (t)
2 2 min
0，
于是得 x∈[-2，2]，当 x 2 时， x 2 x 取最小值 0，又任意 x∈[-2，2]，不等式m x 2 x 恒成立，则
m 0，
所以实数 m 的取值范围是m 0 .
故选：C
4．已知 R，则函数 f (x) x 2 的图像不可能是（ ）x 1
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据含参函数的解析式和函数特殊值判断函数可能的图像.
x
【详解】根据 f (x) 可知 x2 +1> 0，所以当 x 0时， x 0 ，即 f (x) 0 ，故选项 A 错误，而当 2 为其他值x 1
时，B,C,D 均有可能出现.
故选：A
x
5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 900 元，若每批生产 x 件，则平均仓储时间为 天，且每件
4
产品每天的仓储费用为 1 元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品
（ ）
A．30 件 B．60 件 C．80 件 D．100 件
【答案】B
【分析】确定生产 x 件产品的生产准备费用与仓储费用之和，可得平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，利用
基本不等式，即可求得最值．
x 1
【详解】根据题意，该生产 x 件产品的生产准备费用与仓储费用之和是900 x 900 x24 4
900 1 x2
这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为 f (x) 4 900 x x （ 为正整数）
x x 4
900 x 900 x
由基本不等式，得 2 30
x 4 x 4
900 x
当且仅当 ，即 x 60时， f (x) 取得最小值，
x 4
x 60时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小
故选：B
6．已知函数 f x 的定义域为 R，满足 f x 1 f 1 x ，且当 x2 x1 1时， f x2 f x1 x2 x1 0恒成
立，设 a f 1 ，b f 2 ， c f e （其中 e 2.71828 ），则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A． c a b B．b c a
C．b a c D． c b a
【答案】B
【分析】根据函数单调性的定义判断出 f x 在 1, 上单调递减,再利用 f x 1 f 1 x 把 f 1 转化为 f 3 ，
最后利用 f x 的单调性判断即可.
【详解】因为 x2 x1 1，所以 x2 x1 0，因此 f x2 f x1 0，即 f x2 f x1 ，
所以 f x 在 1, 上单调递减，
又因为 f x 1 f 1 x ，所以 f 1 f 1 2 f 1 2 f 3 ，
又因为1 2 e 3，所以 f 2 f e f 3 ，
所以b c a．
故选：B．
f (x ) f (x )7．已知函数 f x 满足 f 2- x =f x （x∈R），且对任意的 x1，x2 [1， ）, x1 x 1 22 时，恒有 0x x 成1 2
2
立，则当 f 2a a 2 ＜f 2a2 2a 4 时，实数 a 的取值范围为（ ）
2 2
A． ， B． ,
3 3
2 1 2 C． ， D． ，1 1,
3 3
【答案】A
2 2
【分析】先证明出 f x 在[1，+∞）上为减函数，把 f 2a a 2 ＜f 2a 2a 4 转化为
2a2 a 2＞2a2 - 2a 4 ，即可解得.
【详解】因为函数 f x 满足 f 2- x =f x （x∈R），则函数 f x 的图像关于直线 x＝1 对称，
f (x ) f (x )
又由对任意的 x1，x2 [1， ）, x1 x2 1 2时，恒有 0x x 成立，1 2
所以任取 x1 x2 1，有 x1 x2 0，所以 f (x1) f (x2 )，
所以 f x 在[1，+∞）上为减函数.
1 15 1 7
又由 2a2+a+2＝2（a ）2 ＞1，2a2﹣2a+4＝2（a ）2 ＞1，
4 8 2 2
若 f 2a2 a 2 ＜f 2a2﹣2a 4 ，则有 2a2 a 2＞2a2 - 2a 4 ，
2 2
解得： a＞ ，即 a 的取值范围为 ， .3 3
故选：A．
8．已知函数 f x 1是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f x x a2 x 2a2 3a2 ，若 f x 1 f x 对任2
意 x R恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ）
1 1 6 6 1 1 3 3
A．
， B．
6 6
，
6 6
C． ， D． ， 3 3
3 3
【答案】B
【分析】根据函数在 x 0 时的解析式及函数的奇偶性画出函数的图像，再根据 f x 1 f x 知，函数 f x 1 的
图像在函数 f x 图像的下方，进而得关于 a 的一元二次不等式，从而得出结论.
x，0 x a2
【详解】当 x 0 时， f x a2，a2 x 2a2 ，由 f x 是奇函数，可作出 f x 的图象如下．
2
x 3a ，x 2a
2
又 f x 1 f x 对任意 x R恒成立，所以 f x 1 的图象恒在 f x 的图象的下方，
即将 f x 的图象向右平移 1 个单位长度后得到的图象恒在 f x 的图象的下方，
2 2 a 6 6
如图所示，所以 3a 1 3a ，解得 ， ．
6 6
故选：B．
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题满分 5 分，共 20 分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分．
9 1 x
2
．若函数 f 1 2x 2 (x 0) ，则（ ）x
1
A． f 15 B． f 2
3
2 4
4 1 4x2
C． f x 2 1(x 0) D． f 2 1(x 0且x 1) x 1 x x 1
【答案】AD
1 1
【分析】由换元法求出 f x ，可判断 C；分别令 x 2或 x 可判断 A，B；求出 f 可判断 D.2 x
1 t 21
1 t 2 4 4
【详解】令1 2x t(t 1)，则 x ，所以 f (t) 2 2 1，则 f (x) 1(x 1)(x 1)2 ，故 C 错2 1 t (t 1)
2
误；
f 1 15，故 A 正确； f 2 3，故 B 错误；
2
f 1 4 4x
2
2 1 1 x 1 (x 1)
2 （ x 0且 x 1），故 D 正确．
1
x
故选：AD．
2
10．若函数 f
x 2x, x a
x 存在最大值，则实数 a 可能的值是（ ）
x, x a
A． 2 B． 1 C．1 D．2
【答案】BCD
【分析】求出二次函数部分的对称轴，再讨论 a 与对称轴的大小，求出 a 的的取值范围即可得到答案
【详解】解： y x2 2x 图象的对称轴方程为 x 1，
①当 a 1， x a 2时， f x x 2x有最大值 f 1 1，又 x a 1，所以 x 1，所以此时 f x 有最大值
1；
②当 a 1， x a时， f x x2 2x有最大值 f a a2 2a ，
当 x a时， f x x在 a, 单调递减，所以 f x x a，
所以要 f x 有最大值，得 a2 2a a ，解得 1 a 0，与 a 1矛盾，舍去，
综上，当 a 1时， f x 有最大值，
故选：BCD．
11．已知幂函数 f (x) 的图像经过点 (4, 2)，则下列命题正确的有（ ）
A．函数 f (x) 为非奇非偶函数 B．函数 f (x) 的定义域为R
f x f x
C． f (x) 的单调递增区间为[0, )
1 D x x 0 2 x x ．若 2 1 ，则 f 1 22 2
【答案】AC
【分析】根据A 点坐标，求出幂函数解析式，然后对选项分别进行判断即可.
【详解】设幂函数 f x x ， 为实数，
1
其图像经过点 4,2 ，所以 4 2，则 ，2
1
所以 f x x 2 ，定义域为 0, ， f x 为非奇非偶函数，故 A 正确，B 错误.
1
且 f x x 2 在 0, 上为增函数，故 C 正确.
1
因为函数 f x x 2 是凸函数，所以对定义域内任意 x1 x2，
f x1 f x2 x x
都有 f 1 2 成立，故 D 错误.2 2
故选:AC.
12．已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x) f ( x) 0 ， f (x) f (x 6) 0 ，且对任意的 x1, x2 [ 3，0] ，当
x1 x2 时，都有 x1 f (x1) x2 f (x2 ) x1 f (x2 ) x2 f (x1) ，则以下判断正确的是（ ）
A．函数 f (x) 是偶函数 B．函数 f (x) 在[ 9， 6]上单调递增
C．x=2 是函数 f (x 1)的对称轴 D．函数 f (x) 的最小正周期是 12
【答案】BCD
【分析】根据函数的奇偶性的定义判断 A;由 f (x) f (x 6) 0结合函数的奇偶性可推得 f (x 6) f ( x)以及
f (x 12) f (x)，从而判断函数的对称轴和周期，判断 C,D；根据函数的对称性和单调性以及周期性可判断 B;
【详解】因为定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x) f ( x) 0，即 f ( x) f (x) ，
故函数 f (x) 是奇函数，故 A 错误；
因为 f (x) f (x 6) 0，故 f (x 6) f (x)，而 f ( x) f (x) ，
所以 f (x 6) f ( x)，即 f (x) 的图象关于 x 3对称，
则 x=2 是函数 f (x 1)的对称轴，故 C 正确；
因为 f (x 6) f ( x)，所以 f (x 12) f (x 6) f (x)，
故 12 是函数 f (x) 的周期；
对任意的 x1, x2 [ 3，0] ，当 x1 x2 时，都有 x1 f (x1) x2 f (x2 ) x1 f (x2 ) x2 f (x1) ，
即 (x1 x2 ) [ f (x1) f (x2 )] 0，
故 x [ 3，0]时， f (x) 单调递减，又因为 f (x) 为奇函数，所以 x [0，3]时， f (x) 单调递减，
又因为 f (x) 的图象关于 x 3对称，故 x [3,6]时， f (x) 单调递增，
因为 12 是函数 f (x) 的周期，故函数 f (x) 在[ 9, 6] 单调性与 x [3,6]时的单调性相同，
故函数 f (x) 在[ 9, 6]上单调递增，故 B 正确，
作出函数 f (x) 的大致图象如图示：
结合图象可得知 12 是函数 f (x) 的最小正周期，D 正确；
故选：BCD
【点睛】本题考查了函数的奇偶性单调性以及对称性和周期性的判断，综合性强，推理复杂，要能熟练地应用相
应概念进行相应的推理，解答的关键是函数单调性对称性以及奇偶性周期性的综合应用.
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．若函数 y x2 ax 2 的定义域为 R，则实数 a 的取值范围为________.
【答案】 2 2,2 2 .
【分析】根据偶次根式下被开方数非负列不等式，再根据不等式恒成立，结合二次函数的图象与性质可得
a2 8 0，解不等式可得 a 的取值范围.
【详解】 y x2 ax 2 的定义域为 R，则 x2 ax 2 0恒成立，所以 a2 8 0，所以实数 a 的取值范围为
2 2,2 2 .
x 1
14．已知函数 f x ，若 a 2,2 x , 2 2 10， 使不等式 f (x) m 2am 成立，则实数m 的取值范围x 1 2 3
为______．
【答案】 , 3 1,1 3,
1
【分析】令 g(a) 2am
10
m2 ，则若 a 2,2 ， x , 2
2 10
使不等式 f (x) m 2am 成立等价于在3 2 3
a 2, 2 x 1 ， , 2 上有 g a f xmin min ， 2
易知 f x 1 min ，讨论 a与 0 的大小关系，则可得到 g(a)在 2,2 上的单调性，则可得到 g a 3 min ，即可解出实数
m 的取值范围.
1
【详解】令 g(a)
10
2am m2 ，则问题可转化为在 a 2,2 ， x , 2 上有 g a f x3 2 min min ，
f (x) x 1 1
1
易知 在 , 2
上单调递增，故 f x f 1 1 ，
x 1 x 1 2 min 2 3
①当m 0时， g a 在 2,2 2 10 1上单调递增，则 g a m 4m min ，3 3
所以m2 4m 3 (m 3) (m 1) 0，可得m , 3 1,0 ；
10 1
②当m 0时，则 g(a) f (x)min ，符合题意；3 3
10 1
③当m 0时， g a 在 2,2 2上单调递减，则 g(a)min m 4m ，3 3
所以m2 4m 3 (m 1)(m 3) 0，可得m 0,1 3, ．
综上所述，m , 3 1,1 3, ．
故答案为： , 3 1,1 3, .
15 f x m2 m2 m 3 f x1 f x．已知函数 m 1 x 是幂函数，对任意的x1， x2 0, ，且 x x
2
1 2 ，满足 0，x1 x2
若 a，b R ，且 f a f b 0，则 a b ______0（填“＞”“＝”或“＜”）．
【答案】＜
【分析】由函数 f x 为幂函数，可得 m＝－1 或 m＝2，又由题意函数 f x 在 0, 上单调递增，可得
f x x3 ，从而根据函数 f x 的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】解：因为函数 f x 为幂函数，所以m2 m 1 1，即m2 m 2 0，解得 m＝－1 或 m＝2．
f x 1当 m＝－1 时， 3 ；当 m＝2 时， f x x
3
．
x
f x f x
因为函数 f x 1 2 对任意的x1， x2 0, ，且 x1 x2 ，满足 0，x1 x2
所以函数 f x 在 0, 上单调递增，
所以 f x x3 ，
又 f x x 3 x3 ，
所以函数 f x x3 是奇函数，且为增函数，
因为 f a f b 0，
所以 f a f b f b ，
所以 a b ，即 a b 0．
故答案为：＜.
16．已知 f x 是定义在 1,1 上的奇函数，且 f 1 2 ，若对任意x1， x2 1,1 ，且 x1 x2 ，有
f x1 f x2 0 f x ______
x1 x
，则 的最小值为 ．
2
【答案】 2
f x1 f x2
【分析】首先利用函数是奇函数，不等式变形为 0x x ，判断函数的单调性，再根据函数的最大值求1 2
函数的最小值.
【详解】∵ f x 是定义在 1,1 上的奇函数，
f x f x f x f x
∴对任意x ， x2 1,1 x 1 2 1 2，，且 1 x2 ， 0等价于 01 x1 x2 x1 x2
，
∴ f x 在 1,1 上单调递增．
∵ f 1 2 ，∴ f x f 1 f 1 2min ．
故答案为： 2
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
8 10
17 3．解不等式 (x 1)3
x 5x 0
x 1 ．
【答案】 ， 2 1，1 ．
2
3
2 2
【分析】不等式变形为 5 x
3 5x ，将 视为一个整体，方程两边具有相同的结构，于是构造函
x 1 x 1 x 1
数 f x x3 5x，然后由函数的单调性解不等式．
【详解】令 f x x3 5x，易知 f x 在 R 上单调递增．
3
2 2 2
原不等式变形为 5 x
3 5x ，即 f f x ．
x 1 x 1 x 1
由 f x 2在 R 上单调递增得 x ，解得 x 2或 1 x 1．
x 1
所以原不等式的解集为 ， 2 1，1 ．
x 1
18．已知函数 f x 2 ，判断并证明 f x 在区间 2,2 上的单调性．x 8
【答案】单调递增，证明见解析
【分析】利用单调性的定义证明，先任取x1， x2 2, 2 ，且 x1 x2，然后作差 f x1 f x2 ，变形，判断符号，
即可得结论.
【详解】 f x 在区间 2,2 上单调递增，理由如下：
任取x1， x2 2, 2 ，且 x1 x2，
x 1 x 1 x1 1 x22 8 x 2 1 2 2 1 x1 8 x1 x x x 8 x xf x1 f x 2 1 2 1 2 2 ．x2 8 x2 8 x2 2 21 2 1 8 x2 8 x1 8 x22 8
因为 2 x1 x2 2 ，
所以 x1 x2 0， 4 x1 x2 4 ， 4 x1x2 4，
所以 x1 x2 x1x2 8
所以 x1 x2 8 x1x2 0，
所以 f x1 f x2 0，即 f x1 f x2 ，
所以函数 f x 在区间 2,2 上单调递增．
1
19 2 2．已知二次函数 f x ax bx c 的图象经过 2,0 ，且不等式 2x f x x 2对一切实数 x 都成立．
2
（1）求函数 f x 的解析式；
x
（2）若对任意 x 1,1 ，不等式 f x t f 恒成立，求实数 t 的取值范围．
3
【答案】（1） f x 1 8 2 x2 x 1；（2） t .
4 3 3
【解析】（1）观察不等式，令 x 2，得到 4 f 2 4成立，即 f 2 4，以及 f 2 0，
2x f x 1 2再根据不等式 x 2对一切实数 x 都成立，列式求函数的解析式；（2）法一，不等式转化为
2
8x2 18t 24 x 9t 2 36t 0对 x 1,1 恒成立，利用函数与不等式的关系，得到 t 的取值范围，法二，代入后利
4x 2x
用平方关系得到 t 4 t3 3
0， x 1,1 恒成立，再根据参变分离，转化为最值问题求参数的取值范围.
【详解】（1）由题意得： f 2 4a 2b c 0 ①，
1 2
因为不等式 2x f x x 2对一切实数 x 都成立，
2
令 x 2，得： 4 f x 4 ，所以 f 2 4，即 4a 2b c 4 ②
由①②解得：b 1，且 c 2 4a，
所以 f x ax2 x 2 4a，
由题意得： f x 2x 0 f x 1 x2且 2 0对 x R 恒成立，
2
ax2 x 2 4a 0③
即 1 对 x R 恒成立，
a x
2 x 4a 0
2
对③而言，由 a 0且 1 4a 2 4a 0 ，
1
得到 4a 1 2 0，所以 a ，经检验满足，
4
f x f x 1 2故函数 的解析式为 x x 1．
4
x
（Ⅱ）法一：二次函数法，由题意， f x t f 对 x [ 1,1]恒成立，
3
1 x t 2 x t 1 1 x
2
x
可转化为 1，对 x [ 1,1]恒成立，4 4 3 3
整理为8x2 18t 24 x 9t 2 36t 0对 x 1,1 恒成立，
令 g x 8x2 18t 24 x 9t 2 36t ，
g 1 0 9t 2 18t 16 0
则有 ，即 ，
g 1 0 9t 2 54t 32 0
8 2
t 3 3
解得
16 t 2
，
3 3
8 2
所以 t 的取值范围为 t ．
3 3
法二，利用乘积的符号法则和恒成立命题求解，
1 x
由①得到， f x x 2 2， f x t f 对 x [ 1,1]恒成立，4 3
1 2
可转化为 x t 1 x 2 2 2
对 x 1,1 恒成立，4 4 3
2 x
2
得到 x t 2 2 0对 x 1,1 恒成立，平方差公式展开整理，
3
4x 2x
即 t 4
t
0
3 3
4x t 4 0 4x t 4 0 3 3
即 或 对 x 1,1 2x 恒成立， t 0 2x t 0
3 3
t
4x
4
t
4x 4
3 min 3 max
即 或
t 2x 2x t 3
max 3 min
t 16 8
t 3 3
即 ，或 ，
t 2 t 2
3 3
8 2 8 2
即 x 或 t ，所以 t 的取值范围为 t ．
3 3 3 3
【点睛】本题考查求二次函数的解析式，不等式恒成立求参数的取值范围，重点考查函数，不等式与方程的关
系，转化与变形，计算能力，属于中档题型.
20．已知某船舶每小时航行所需费用 u（单位：元）与航行速度 v（单位：千米/时）的函数关系为
kv b,0 v 10,u v 450 av2 ,v 10 （其中 a，b，k 为常数），函数u v 的部分图象如图所示．
(1)求u v 的解析式；
(2)若该船舶需匀速航行 20 千米，问船舶的航行速度 v 为多少时，航行所需费用最少.最少的费用为多少？
33v 320,0 v 10,【答案】(1)u v
450 2v
2 ,v 10.
(2)当航行速度为 15 千米/时时，航行所需费用最少，最少的费用为 1200 元．
【解析】（1）
320 b, k 33,
将 0,320 ， 10,650 分别代入u kv b得 解得
650 k 10 b, b 320.
把 10,650 代入u 450 av2，得650 450 a 102 ，解得 a 2．
33v 320,0 v 10,所以u v
450 2v
2 ,v 10.
（2）
20
航行时间 t 小时，所需费用设为 z 元，
v
660 6400 ,0 v 10,
z u v t v则
9000 40v,v 10.
v
①当0 v 10时，函数单调递减，所以 zmin 660 640 1300；
9000
②当 v 10 9000时， z 2 40v 2 9000 40 1200，当且仅当 40v，
v v
即 v 15时，等号成立．
由1200 1300知， v 15时，航行所需费用最小.
所以以当航行速度为 15 千米/时时，航行所需费用最少，最少的费用为 1200 元．
ax b 1 2
21．已知函数 f x 是定义在 1,1 2 上的奇函数，且 f .x 1 2 5
(1)求函数 f x 的解析式；
(2)判断函数 f x 在 1,1 上的单调性，并用定义证明；
1
(3) f t
1
解不等式： 2
f t 0 .
2
x
【答案】(1) f x ；
x2 1
(2)函数 f x 在 1,1 上单调递增，证明见解析；
1
(3) ,0
.
2
【分析】（1）根据奇函数的定义可求得b 的值，再结合已知条件可求得实数 a的值，由此可得出函数 f x 的解析
式；
（2）判断出函数 f x 在 1,1 上是增函数，任取x1、 x2 1,1 且 x1 x2，作差 f x1 f x2 ，因式分解后判断
f x1 f x2 的符号，即可证得结论成立；
1 1 1 1
（3）由 f t f t 0 f
t f 得 t
，根据函数 f x 的单调性与定义域可得出关于实数 t 的不等
2 2 2 2
式组，由此可解得实数 t 的取值范围.
（1）
ax b
解：因为函数 f x 2 是定义在 1,1 上的奇函数，则 f x f x ，x 1
ax b ax b
即 2 ，可得b 0，则 f x
ax
，
x 1 x2 1 x2 1
1
1 af 2 2 2所以， a
x
2 2 1 5 5
，则 a 1，因此， f x 2 .
1 x 1
2
（2）
证明：函数 f x 在 1,1 上是增函数，证明如下：
2
f x f x x1 x2 x1x2 x1 x
2x x
任取x1、 x2 1,1 且 x
1 2 2
1 x2，则 1 2 x2 1 x2 21 2 1 x1 1 x22 1
x1x2 x2 x1 x1 x2 x1 x2 1 x 1x2
x21 1 x2 2 2 ，2 1 x1 1 x2 1
因为 1 x1 x2 1，则 x1 x2 0， 1 x1x2 1，故 f x1 f x2 0，即 f x1 f x2 .
因此，函数 f x 在 1,1 上是增函数.
（3）
解：因为函数 f x 是 1,1 上的奇函数且为增函数，
f t 1 f t 1 0 f 1 1 1 由 2
得
2
t f t f t ，
2 2 2
1 1
t t
2 2
1 1 t 1 1由已知可得 ，解得 t 0 .
2 2
1 t
1
1
2
f t 1 f t 1 1 因此，不等式 2 2
0的解集为 ,0 .
2
22 2．已知幂函数 f (x) (m 1)2 xm 4m 2 在 (0, )上单调递增，函数 g(x) 2x k ．
（1）求 m 的值；
（2）当 x [1, 2)时，记 f (x), g(x)的值域分别为集合 A，B，设 p : x A,q : x B ，若 p 是 q 成立的必要条件，求实
数 k 的取值范围．
（3）设F (x) f (x) kx 1 k 2，且 | F (x) |在[0,1]上单调递增，求实数 k 的取值范围．
【答案】（1）m 0；（2）0 k 1；（3） 1,0 2,
【分析】（1）由幂函数的定义 (m 1)2 1，再结合单调性即得解.
（2）求解 f (x) ， g(x)的值域，得到集合A ， B ，转化命题 p 是q成立的必要条件为B A，列出不等关系，即得
解.
k k
（3）由（1）可得F (x) x2 kx 1 k 2，根据二次函数的性质，分类讨论 0 和 1两种情况，取并集即可得
2 2
解.
【详解】（1）由幂函数的定义得： (m 1)2 1， m 0 或m 2 ，
当m 2 时， f (x) x 2 在 (0, )上单调递减，与题设矛盾，舍去；
当m 0时， f (x) x2 在 (0, )上单调递增，符合题意；
综上可知：m 0 .
（2）由（1）得： f (x) x2 ，
当 x [1, 2)时， f (x) 1,4 ，即 A 1,4 ，
当 x [1, 2)时， g(x) 2 k, 4 k ，即B 2 k, 4 k ，
p q 2 k 1 k 1由命题 是 成立的必要条件，则B A，显然B ，则 4 k 4 ，即 k 0，
所以实数 k 的取值范围为：0 k 1.
k
（3）由（1）可得F (x) x2 kx 1 k 2，二次函数的开口向上，对称轴为 x ，
2
要使 | F (x) |在[0,1]上单调递增，如图所示：
或
k 0 k 1
即 2 或 2 ，解得： 1 k 0或 k 2 .
F (0) 0 F (0) 0
所以实数 k 的取值范围为： 1,0 2,
【点睛】关键点点睛：本题考查幂函数的定义及性质，必要条件的应用，已知函数的单调性求参数，理解 p 是q的
必要不充分条件，则q对应集合是 p 对应集合的真子集是解题的关键，考查学生的分析试题能力与分类讨论思想，
及数形结合思想，属于较难题.
