2022-2023学年北师大 版数学九年级下册第3章 圆 单元测试（含解析）

北师大新版数学九年级下册《第3章 圆》2023年单元测试
一 、单选题
1.圆是轴对称图形，它的对称轴有
A. 条 B. 条 C. 条 D. 无数条
2.如图，已知是半圆的直径，是延长线上一点，切半圆于点，于点，于点，若，则的半径为
A. B. C. D.
3.下列说法：
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径垂直于弦；
③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆；
④圆是轴对称图形，直径是它的对称轴.
其中正确的个数是
A. B. C. D.
4.下列说法：①过三点可以作圆；②相等的圆心角所对的弧相等； ③在内经过一点的所有弦中，以与垂直的弦最短；④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．其中正确的有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.九章算术中有一题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾短直角边长为步，股长直角边长为步，问该直角三角形能容纳的圆形内切圆直径是
A. 步 B. 步 C. 步 D. 步
6.如图，为的直径，弦于，，，则的面积为
A. B. C. D.
7.如图，在平面直角坐标系中，、，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，以为直径在第一象限作半圆，交线段于、，则线段的最大值为
A. B. C. D.
8.已知圆的半径是，则该圆内接正六边形的面积为
A. B. C. D.
9.如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若，则
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二 、填空题
10.如图，四边形内接于，、的延长线相交于点，、的延长线相交于点，，则 ______ ．
11.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多尺寸，门对角线距离恰好为丈问门高、宽各是多少？丈尺，尺寸如图，设门高为尺，根据题意，可列方程为 ______ .
12.如图，是的直径，是的切线，且，则图中阴影部分的面积为 ______.
13.如图，已知点是圆上一点，以点为圆心，为半径作弧，交圆于点，则的度数为 ______度．
14.点是非圆上一点，若点到上的点的最小距离是，最大距离是，则的半径是 ______ .
15.如图，为半圆上一点，为直径，且，延长到，使，连接交半圆于，过作的垂线交的延长线于，则的长度为______.
16.如图，把一只篮球放在高为的长方体纸盒中，发现篮球的一部分露出盒，其截面如图所示．若量得，则该篮球的半径为______
三 、解答题
17. 填表：
18.如图，在中，，的中点为
求证：，，三点在以为圆心的圆上；
若，求证：，，，四点在以为圆心的圆上．
19.如图，在正方形中，，与相切于点，、是正方形与圆的另外两个交点.
______ ，圆心到直线的距离为 ______ ；
求的半径长和的值.
20.如图，为的外接圆，为与的交点，为线段延长线上一点，且．
求证：直线是的切线．
若为的中点，，
求的半径；
求的内心到点的距离．
21.如图，在单位长度为的的正方形网格中建立一直角坐标系，的顶点、、的坐标分别为，，请在网格图中进行下列操作：
在图中利用网格画出外接圆的圆心点的位置；并写出点的坐标为 ______.
在图中找出一格点，画出，使得
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】
这道题主要考查了圆的性质，属于基础题．
根据圆的性质即可判断．

圆的对称轴是经过圆心的直线，有无数条．
故选D．
2.【答案】D;
【解析】解：连接，过点作，

切半圆于点，
，
，
，，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，，
故选：
连接，过点作，得到四边形是矩形，根据矩形的性质判定，根据全等三角形的性质及勾股定理求解即可．
此题主要考查了圆周角定理即切线的性质，熟记圆周角定理即切线的性质并作出合理的辅助线是解答该题的关键．
3.【答案】B;
【解析】解：①同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；
②平分弦不是直径的直径垂直于弦，故错误；
③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆，正确；
④圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，故错误，
正确的只有个，
故选：
利用圆的有关性质分别判断后即可确定正确的选项．
考查了确定圆的条件及圆的有关性质，解答该题的关键是了解有关的性质，难度不大．
4.【答案】B;
【解析】解：过不在同一条直线上三点可以作圆，①错误；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，②错误；
在内经过一点的所有弦中，以与垂直的弦最短，③正确；
三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，所以到三角形的三个顶点的距离相等，④正确；
正确的个数有个．
故选：
在一条直线上三点不能作圆即可判断①；根据圆心角、弧、弦的关系即可判断②；根据垂径定理即可判断③，根据三角形外接圆的定义即可判断④．
此题主要考查对三角形的外接圆与外心，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，确定圆的条件等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行说理是解此题的关键．
5.【答案】A;
【解析】解：根据勾股定理得：斜边为，
则该直角三角形能容纳的圆形内切圆半径，
即直径为步，
故选：．
根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可确定出内切圆半径．
该题考查了三角形的内切圆与内心，，三边长为，，斜边，其内切圆半径．
6.【答案】C;
【解析】解：为的直径，弦，，
，
的面积为，
故选C．
根据垂径定理求出，根据三角形的面积公式求出即可．
该题考查了三角形的面积，垂径定理的应用，解此题的关键是求出的长．
7.【答案】B;
【解析】解：过的中点作的垂线与交于点，连接，
，
，
当的值最小时，的值最小，
根据垂线段最短可知，当直线过点时，的值最大，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
故选：
过的中点作的垂线与交于点，连接，当直线过点时，的值最大，利用，求出，，再利用勾股定理求出即可求解．
此题主要考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，能够确定最大时的位置，利用直角三角函数求边是解答该题的关键．
8.【答案】A;
【解析】解：设是正六边形的中心，是正六边形的一边，是边心距，
，，
则是正三角形，
，
，
正六边形的面积为，
故选：
设是正六边形的中心，是正六边形的一边，是边心距，则是正三角形，的面积的六倍就是正六边形的面积．
此题主要考查的正多边形和圆，理解正六边形被半径分成六个全等的等边三角形是解答该题的关键．
9.【答案】B;
【解析】根据切线长定理即可得到答案.
10.【答案】;
【解析】解：四边形内接于，
，，，
，
，
故答案为：．
根据圆内接四边形的性质得到，，，根据三角形内角和定理计算即可．
该题考查的是圆内接四边形的性质、三角形内角和定理，掌握圆内接四边形的对角互补、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解答该题的关键．
11.【答案】（x-6.8）2+=102;
【解析】解：设门高为尺，则门的宽为尺，丈尺，
依题意得：，
即
故答案为：
设门高为尺，则门的宽为尺，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答该题的关键．
12.【答案】4;
【解析】解：连接，

是的切线，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
阴影部分的面积为：



故答案为：
连接，根据切线的性质及可判断、是等腰直角三角形，再根据阴影部分的面积为计算即可．
此题主要考查了扇形的面积公式，解题关键是将求不规则图形面积转化成规则图形面积．
13.【答案】60;
【解析】解：如图，连接、、，
由题意得：，
为等边三角形，
，
的度数为，
故答案为：
连接、、，根据等边三角形的性质得到，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理解答即可．
此题主要考查的是圆心角、弧、弦之间的关系、等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线、得出为等边三角形是解答该题的关键．
14.【答案】6.5cm或2.5cm;
【解析】解：分为两种情况：

①当点在圆内时，如图，
点到圆上的最小距离，最大距离，
直径，
半径；
②当点在圆外时，如图，
点到圆上的最小距离，最大距离，
直径，
半径；
故答案为：或
点应分为位于圆的内部于外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径最小距离最大距离；②当点在圆外时，直径最大距离最小距离．
此题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．
15.【答案】;
【解析】解：如图，连接，，
为直径，
；
又，
则、、、四点共圆，
，
中，
故填空答案：
如图，连接，；根据直径所对的圆周角是直角，得，又，则四边形有一个外接圆，所以，在中利用三角函数即可求出
此题主要是发现能够把要求的线段放到一个的直角三角形中，综合运用了圆内接四边形的判定方法以及圆周角定理．
16.【答案】12.5;
【解析】解：的中点，作于点，取上的球心，连接，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，
设，则，
，，
在直角三角形中，
即：
解得：，
故答案为：
取的中点，作于点，取上的球心，连接，设，则，，在中利用勾股定理求得的长即可．
本题主考查垂径定理、矩形的性质及勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解答该题的关键．
17.【答案】解：
;
【解析】根据直线与圆的位置关系解答即可.
18.【答案】（1）证明：连结OC，

∵∠ACB=90°，AB的中点为O，
∴OC=OA=OB，
∴A、B、C三点在以O为圆心，AB长为直径的圆上．
（2）证明：连结OD，

∵∠ACB=∠ADB=90°，AB的中点为O，
∴OA=OB=OC=OD=AB，
∴A，B，C，D四点在以O为圆心，OA长为半径的圆上．;
【解析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据圆的定义证明即可．
连结，同理可得，则可得出结论．
此题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，圆的定义，是基础题，熟记性质是解答该题的关键．
19.【答案】2 4;
【解析】解：连接，连接，并延长交于点，
则有，

四边形是正方形，
，
是的直径，
，
与相切于点，
，
四边形是矩形，
，
，
圆心到直线的距离为，
故答案为：；
如图，连接，并延长交于点，
则有，
过点作，垂足为，则有

四边形是矩形，

设的半径为，
四边形为正方形，，

在中，，
解得

，

由圆周角定理和垂径定理可得出答案；
连接，并延长交于点，则有，过点作，垂足为，则有在中，，解得则答案可求出．
此题主要考查了圆的切线性质，正方形的性质以及勾股定理的运用．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
20.【答案】解：（1）证明：连接AO，并延长AO交⊙O于点F，连接CF

∵AF是直径
∴∠ACF=90°
∴∠F+∠FAC=90°，
∵∠F=∠ABC，∠ABC=∠EAC
∴∠EAC=∠F
∴∠EAC+∠FAC=90°
∴∠EAF=90°，且AO是半径
∴直线AE是⊙O的切线．
（2）①如图，连接AO，

∵D为AB的中点，OD过圆心，
∴OD⊥AB，AD=BD=AB=8，
∵AO2=AD2+DO2，
∴AO2=82+（AO-6）2，
∴AO=，
∴⊙O的半径为；
②如图，作∠CAB的平分线交CD于点H，连接BH，过点H作HM⊥AC，HN⊥BC，

∵OD⊥AB，AD=BD
∴AC=BC，且AD=BD
∴CD平分∠ACB，且AH平分∠CAB
∴点H是△ABC的内心，且HM⊥AC，HN⊥BC，HD⊥AB
∴MH=NH=DH
在Rt△ACD中，AC===BC，
∵S△ABC=S△ACH+S△ABH+S△BCH，
∴×16×6=×10×MH+×16×DH+×10×NH，
∴DH=，
∵OH=CO-CH=CO-（CD-DH），
∴OH=-（6-）═5．;
【解析】
连接，并延长交于点，连接，由圆周角定理可得，可得，由，可得，即可得结论；
由垂径定理可得，，由勾股定理可求的半径；
作的平分线交于点，连接，过点作，，由角平分线的性质可得，由三角形的面积公式可求的值，即可求的内心到点的距离．
本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，切线的判定，角平分线性质，勾股定理等知识，熟练运用这些性质定理进行推理是本题的关键．
21.【答案】（1，1）;
【解析】解：如图，点即为所求；点的坐标；
故答案为：；

如图，点即为所求．
根据网格作和的垂直平分线，交点即为点；
根据网格即可画出，使得
此题主要考查了作图复杂作图，坐标与图形性质，垂径定理，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点．