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6.1.3平方根
参考答案与试题解析
夯基训练
知识点1 平方根的定义
1.如果x2=a,那么下列说法错误的是( )
A. 若x确定,则a的值是唯一的
B. 若a确定,则x的值是唯一的
C. a是x的平方
D. x是a的平方根
1.【答案】B
2.下列说法正确的有( )
①-2是-4的一个平方根;
②a2的平方根是a;
③2是4的平方根;
④4的平方根是-2.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.【答案】A
解：-4没有平方根,①错误;a2的平方根是±a,②错误;2是4的平方根,③正确;4的平方根是±2,④错误.故选A.教育网
知识点2 平方根的性质
3.一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，求这个数．
3.解析：因为一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，所以2a＋1和a－4互为相反数，根据互为相反数的两个数的和为0列方程求解．
解：由于一个正数的两个平方根是2a＋1和a－4，则有2a＋1＋a－4＝0，即3a－3＝0，解得a＝1.所以这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9.
方法总结：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，即它们的和为零．
4.下列说法正确的是( )
A.任何数的平方根都有两个
B.一个正数的平方根的平方就是这个数
C.负数也有平方根
D.非负数的平方根都有两个
4.【答案】B
5.下列说法错误的是( )
A.-4是16的平方根
B.4是16的平方根
C.±4是16的平方根
D.16的平方根是-4
5.【答案】D
知识点3 求平方根(开平方)
6.求下列各式中x的值：
(1)x2＝361; (2)81x2－49＝0；
(3)49(x2＋1)＝50; (4)(3x－1)2＝(－5)2.
6.解析：若x2＝a(a≥0)，则x＝±，先把各题化为x2＝a的形式，再求x.其中(4)中可将(3x－1)看作一个整体，先通过开平方求出这个整体的值，然后解方程求出x.
解：(1)∵x2＝361，∴开平方得x＝±＝±19；
(2)整理81x2－49＝0，得x2＝，∴开平方得x＝±＝±；
(3)整理49(x2＋1)＝50，得x2＝，∴开平方得x＝±＝±；
(4)∵(3x－1)2＝(－5)2，∴开平方得3x－1＝±5.当3x－1＝5时，x＝2；当3x－1＝－5时，x＝－.综上所述，x＝2或－.
方法总结：利用平方根的定义进行开平方解方程，从而求出未知数的值．一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；开平方时，不要漏掉负平方根．
题型总结
题型1 利用平方法求平方根和算术平方根
7.求下列各数的平方根：
(1)1；(2)0.0001；(3)(－4)2；(4)10－6；(5).
7.解析：把带分数化为假分数，含有乘方运算先求出它的幂．注意正数有两个互为相反数的平方根．
解：(1)∵1＝，(±)2＝，∴1的平方根为±，即±＝±；
(2)∵(±0.01)2＝0.0001，∴0.0001的平方根是±0.01，即±＝±0.01；
(3)∵(±4)2＝(－4)2，∴(－4)2的平方根是±4，即±＝±4；
(4)∵(±10－3)2＝10－6，∴10－6的平方根是±10－3，即±＝±10－3；
(5)∵(±3)2＝9＝，∴的平方根是±3.
方法总结：正确理解平方根的概念，明确是求哪一个数的平方根．如(5)中是求9的平方根．
题型2 利用平方根的定义解方程
8.已知(2x+1)2-121=0,求x的值.
8.解:由(2x+1)2-121=0,得(2x+1)2=121,
所以2x+1=±11.
所以2x+1=11或2x+1=-11,
解得x=5或x=-6.
题型3利用平方根的性质求字母的值
9.已知一个正数的两个平方根分别是2m+1和5-3m,求m的值和这个正数.
9.解:因为一个正数的两个平方根互为相反数,所以(2m+1)+(5-3m)=0,解得m=6.此时 2m+1=2×6+1=13,5-3m=5-3×6=-13.因为(±13)2=169,所以这个正数是169.
题型4 利用平方根的意义求字母的值
10.已知2m+3和4m+9是一个正数的平方根,求m的值和这个正数的平方根.
10.解:分两种情况进行讨论:
(1)当2m+3≠4m+9时,得(2m+3)+(4m+9)=0,解得m=-2.所以2m+3=2×(-2)+3=-1,4m+9=4×(-2)+9=1.
所以这个正数的平方根是±1.
(2)当2m+3=4m+9时,得m=-3,此时这个正数为(2m+3)2=9.
所以这个正数的平方根为±3.
11.已知2m+2的平方根是±4,3m+n+1的平方根是±5,求m+2n的值.
11.解:由题意,得2m+2=(±4)2=16,3m+n+1=(±5)2=25,
解得m=7,n=3.所以m+2n=7+2×3=13.
拓展培优
拓展角度1利用阅读材料信息,探究与|a|的大小关系
12.阅读下列材料:
当a>0时,如a=6,则|a|=|6|=6,故此时a的绝对值是它本身;
当a=0时,|a|=|0|=0,故此时a的绝对值是零;
当a<0时,如a=-6,则|a|=|-6|=-(-6),故此时a的绝对值是它的相反数.
综上可知,
|a|=
这种分析方法渗透了数学中的分类讨论思想.
回答下列问题:
(1)请仿照材料中的分类讨论思想,分析的情况;
(2)猜想与|a|的大小关系.
12.解:(1)当a>0时,如a=5,则=5,故此时=a;
当a=0时,=0;当a<0时,如a=-5,则=-(-5),
故此时=-a.
综上可知,=
(2)=|a|.
拓展角度2利用阅读材料信息估算近似值
13.阅读材料:学习了估算后,某数学兴趣小组开展了一次探究活动:估算的近似值.
小明的方法:
因为<<,设=3+k(0
所以()2=(3+k)2,
所以13=9+6k+k2,
所以13≈9+6k,解得k≈,
所以≈3+≈3.67.
(上述方法中使用了完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2,下面可参考使用)问题:
(1)请你依照小明的方法,估算≈ ;(结果保留两位小数)
(2)请结合上述具体实例,概括出估算的公式:已知非负整数a,b,m,若a<13.(1)6.08 (2)a+
解：(1)因为<<,设=6+k(0(2)利用(1)中所求得出一般规律:若a<21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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6.1.3平方根
夯基训练
知识点1 平方根的定义
1.如果x2=a,那么下列说法错误的是( )
A. 若x确定,则a的值是唯一的
B. 若a确定,则x的值是唯一的
C. a是x的平方
D. x是a的平方根
2.下列说法正确的有( )
①-2是-4的一个平方根;
②a2的平方根是a;
③2是4的平方根;
④4的平方根是-2.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
知识点2 平方根的性质
一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，求这个数．
4.下列说法正确的是( )
A.任何数的平方根都有两个
B.一个正数的平方根的平方就是这个数
C.负数也有平方根
D.非负数的平方根都有两个
5.下列说法错误的是( )
A.-4是16的平方根
B.4是16的平方根
C.±4是16的平方根
D.16的平方根是-4
知识点3 求平方根(开平方)
6.求下列各式中x的值：
(1)x2＝361; (2)81x2－49＝0；
(3)49(x2＋1)＝50; (4)(3x－1)2＝(－5)2.
题型总结
题型1 利用平方法求平方根和算术平方根
7.求下列各数的平方根：
(1)1；(2)0.0001；(3)(－4)2；(4)10－6；(5).
题型2 利用平方根的定义解方程
已知(2x+1)2-121=0,求x的值.
题型3利用平方根的性质求字母的值
已知一个正数的两个平方根分别是2m+1和5-3m,求m的值和这个正数.
题型4 利用平方根的意义求字母的值
已知2m+3和4m+9是一个正数的平方根,求m的值和这个正数的平方根.
已知2m+2的平方根是±4,3m+n+1的平方根是±5,求m+2n的值.
拓展培优
拓展角度1利用阅读材料信息,探究与|a|的大小关系
12.阅读下列材料:
当a>0时,如a=6,则|a|=|6|=6,故此时a的绝对值是它本身;
当a=0时,|a|=|0|=0,故此时a的绝对值是零;
当a<0时,如a=-6,则|a|=|-6|=-(-6),故此时a的绝对值是它的相反数.
综上可知,
|a|=
这种分析方法渗透了数学中的分类讨论思想.
回答下列问题:
(1)请仿照材料中的分类讨论思想,分析的情况;
(2)猜想与|a|的大小关系.
拓展角度2利用阅读材料信息估算近似值
13.阅读材料:学习了估算后,某数学兴趣小组开展了一次探究活动:估算的近似值.
小明的方法:
因为<<,设=3+k(0所以()2=(3+k)2,
所以13=9+6k+k2,
所以13≈9+6k,解得k≈,
所以≈3+≈3.67.
(上述方法中使用了完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2,下面可参考使用)问题:
(1)请你依照小明的方法,估算≈ ;(结果保留两位小数)
(2)请结合上述具体实例,概括出估算的公式:已知非负整数a,b,m,若a<21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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