5.4抛体运动 学案

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5.4 抛体运动
一、考点梳理
考点一、对平抛运动的理解
1．平抛运动的性质：加速度为g的匀变速曲线运动．
2．平抛运动的特点
(1)受力特点：只受重力作用，不受其他力或其他力忽略不计．
(2)运动特点
①加速度：为自由落体加速度g，大小、方向均不变，故平抛运动是匀变速运动．
②速度：大小、方向时刻在变化，平抛运动是变速运动．
(3)轨迹特点：运动轨迹是抛物线．
(4)速度变化特点：任意两个相等的时间间隔内速度的变化相同，Δv＝gΔt，方向竖直向下，如图所示．
【典例1】图是滑雪道的示意图。可视为质点的运动员从斜坡上的M点由静止自由滑下，经过水平NP段后飞入空中，在Q点落地。不计运动员经过N点的机械能损失，不计摩擦力和空气阻力。下列能表示该过程运动员速度大小v或加速度大小a随时间t变化的图像是(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设斜坡倾角为，运动员在斜坡MN段做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律
可得
运动员在水平段做匀速直线运动，加速度
运动员从点飞出后做平抛运动，加速度为重力加速度
设在点的速度为，则从点飞出后速度大小的表达式为
由分析可知从点飞出后速度大小与时间的图像不可能为直线，且
C正确，ABD错误。
练习1、某人站在平台上平抛一小球，球离手时的速度为v1，落地时的速度为v2，不计空气阻力，能表示出速度矢量的变化过程的是(　　)
【答案】C
【解析】小球做平抛运动，加速度恒为g，则速度的变化量Δv＝gΔt恒定，方向始终为竖直向下，故选C.
考点二、平抛运动的应用
平抛运动的研究方法
把平抛运动分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动．
分别运用两个分运动的运动规律去求分速度、分位移等，再合成得到平抛运动的速度、位移等．
平抛运动的规律
平抛运动的时间：t＝，只由高度决定，与初速度无关．
水平位移(射程)：x＝v0t＝v0，由初速度和高度共同决定．
落地速度：v＝＝，与水平方向的夹角为θ，tan θ＝＝，落地速度由初速度和高度共同决定．
【典例1】如图，抛球游戏中，某人将小球水平抛向地面的小桶，结果球落在小桶的前方．不计空气阻力，为了把小球抛进小桶中，则原地再次水平抛球时，他可以(　　)
A．增大抛出点高度，同时增大初速度
B．减小抛出点高度，同时减小初速度
C．保持抛出点高度不变，增大初速度
D．保持初速度不变，增大抛出点高度
【答案】B
【解析】设小球平抛运动的初速度为v0，抛出点离桶的高度为h，水平位移为x，根据h＝gt2，可得平抛运动的时间为：t＝，则水平位移为：x＝v0t＝v0.增大抛出点高度，同时增大初速度，则水平位移x增大，不会抛进小桶中，故A错误．减小抛出点高度，同时减小初速度，则水平位移x减小，可能会抛进小桶中，故B正确．保持抛出点高度不变，增大初速度，则水平位移x增大，不会抛进小桶中，故C错误．保持初速度不变，增大抛出点高度，则水平位移x增大，不会抛进小桶中，D错误
【典例2】如图所示为某公园的喷水装置，若水从喷水口中水平喷出，忽略空气阻力及水之间的相互作用，下列说法正确的是(　　)
A．喷水口高度一定，喷水速度越大，水从喷出到落入池中的时间越短
B．喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越近
C．喷水速度一定，喷水口高度越高，水喷得越近
D．喷水口高度一定，无论喷水速度多大，水从喷出到落入池中的时间都相等
【答案】　D
【解析】　水水平喷出后，做平抛运动，其运动时间由高度决定，所以喷水口高度一定时，水从喷出到落入池中的时间相等，水速越大，水喷得越远，A、B错误，D正确；喷水速度一定，喷水口高度越高，水从喷出到落入池中的时间越长，水喷得越远，C错误．
练习1、如图所示，A、B两个小球在同一竖直线上，离地高度分别为和h，将两球水平抛出后，不计空气阻力，两球落地时的水平位移分别为s和。重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A．A、B两球的初速度大小之比为1：4
B．A、B两球的运动时间之比为
C．两小球运动轨迹交点的水平位移为
D．两小球运动轨迹交点的离地高度
【答案】D
【解析】AB．小球做平抛运动，竖直方向有
A球运动时间
B球运动时间
所以
由
得
结合两球落地时位移之比
可知A、B两球的初速度之比，故AB错误；
CD．两球相交时，水平方向位移相同，因此有
B球下落高度
A球下落的高度
各式联立得
两小球运动轨迹交点的高度
两小球运动轨迹交点的水平位移
联立解得
C错误D正确。
练习2、中国的面食文化博大精深，种类繁多。其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托面一手拿刀，直接将面削到开水锅里，如图所示，小面圈刚被削离时距开水锅的高度为h，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L，将削出的小面圈的运动视为平抛运动。且小面圈都落入锅中，重力加速度为g。则关于所有小面圈在空中运动的描述正确的是（　　）
A．速度的变化量都相同
B．运动的时间都不相同
C．落入锅中时，小面圈的最大速度是最小速度的3倍
D．初速度越大，落入锅中时速度与水平面之间的夹角越大
【答案】A
【解析】AB．小面圈均做平抛运动，有
解得
所以所有小面圈在空中运动的时间都相同，再根据
所以所有小面圈的速度的变化量都相同，故A正确，B错误；
C．根据题意可知，其小面圈的水平位移范围为
则小面圈的水平最小初速度为
水平最大速度为
竖直速度均为
所以落入锅中最大速度为
落入锅中最小速度为
由上述可知，最大速度并不是最小速度的三倍，故C错误；
考点三、平抛运动的研究方法及规律
1．平抛运动的研究方法：研究曲线运动通常采用“化曲为直”的方法，即将平抛运动分解为竖直方向上的自由落体运动和水平方向上的匀速直线运动．
2．平抛运动的规律
速度 位移
水平分运动 vx＝v0 x＝v0t
竖直分运动 vy＝gt y＝gt2
合运动 大小：v＝eq \r(v＋（gt）2)方向：与水平方向夹角为θ，tan θ＝＝ 大小：s＝方向：与水平方向夹角为α，tan α＝＝
图示
3.平抛运动的两个推论
(1)平抛运动某一时刻速度与水平方向夹角为θ，位移与水平方向夹角为α，则tan θ＝2tan α.
证明：因为tan θ＝＝，tan α＝＝，所以tan θ＝2tan α.
(2)做平抛运动的物体在任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点．
证明：如上图所示，P点速度的反向延长线交OB于A点．则OB＝v0t，AB＝＝gt2·＝v0t.
可见AB＝OB.
【典例1】(多选)如图所示，李娜在边界A处正上方B点将球水平向右击出，球恰好过网C落在D处，已知AB高h1＝1.8 m，x＝18.3 m，CD＝9.15 m，网高为h2，不计空气阻力，g取10 m/s2则(　　)
A．球网上边缘的高度h2＝1 m
B．若保持击球位置、高度和击球方向不变，球刚被击出时的速率为60 m/s，球不能落在对方界内
C．任意增加击球的高度，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内
D．任意降低击球高度(仍高于h2)，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内
【答案】AC
【解析】根据h1＝gt得：t1＝＝ s＝0.6 s，则平抛运动的初速度为：v0＝＝ m/s＝45.75 m/s.则运动到球网的时间为：t＝＝ s＝0.4 s；则下落的高度为：Δh＝gt2＝×10×0.16 m＝0.8 m，则球网上边缘的高度为：h2＝h1－Δh＝(1.8－0.8) m＝1 m，故A正确；根据x＝v0t1＝60×0.6 m＝36 m＜2x，知球一定能落在对方界内，故B错误；增加击球高度，只要速度合适，球一定能发到对方界内，故C正确；任意降低击球高度(仍大于h2)，会有一临界情况，此时球刚好触网又刚好压界，若小于该临界高度，速度大会出界，速度小会触网，所以不是高度比网高，就一定能将球发到界内，故D错误．
【典例2】(多选)如图所示，高为h＝1.25 m的平台上覆盖一层薄冰．现有一质量为60 kg的滑雪爱好者以一定的初速度v向平台边缘滑去，着地时速度的方向与水平地面的夹角为45°(取重力加速度g＝10 m/s2，不计空气阻力)．由此可知下列说法正确的是(　　)
A．滑雪者离开平台边缘时的速度大小是5.0 m/s
B．滑雪者着地点到平台边缘的水平距离是2.5 m
C．滑雪者在空中运动的时间为1 s
D．着地时滑雪者的速度大小是5.0 m/s
【答案】AB
【解析】由vy2＝2gh，可得vy＝＝ m/s＝5.0 m/s，着地时的速度方向与水平地面的夹角为45°，所以着地时水平速度和竖直速度的大小相等，所以滑雪者离开平台边缘时的速度大小v0＝vy＝5.0 m/s，故A正确；由vy＝gt得，滑雪者在空中运动的时间t＝0.5 s，滑雪者在水平方向上做匀速直线运动，水平距离为x＝v0t＝2.5 m，故B正确，C错误；滑雪者着地的速度大小为v′＝＝v0＝5 m/s，故D错误．
练习1、如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面顶端P以速度v0拋出一个小球，落在斜面上某处Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α，若把初速度变为2v0，小球仍落在斜面上，则以下说法正确的是(　　)
A．夹角α将变大
B．夹角α与初速度大小无关
C．小球在空中的运动时间不变
D．PQ间距是原来间距的3倍
【答案】B
【解析】根据tan θ＝＝，解得t＝，初速度变为原来的2倍，则小球在空中的运动时间变为原来的2倍，C错误；根据x＝v0t＝知，初速度变为原来的2倍，则水平位移变为原来的4倍，PQ＝，PQ间距变为原来间距的4倍，D错误；末速度与水平方向夹角的正切值tan β＝＝＝2tan θ，可知速度方向与水平方向夹角正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，因为位移与水平方向夹角不变，则末速度与水平方向夹角不变，由几何关系可知α不变，与初速度大小无关，A错误，B正确．
练习2、如图所示，一质点做平抛运动先后经过A、B两点，到达A点时速度方向与水平方向的夹角为30°，到达B点时速度方向与水平方向的夹角为45°.从抛出开始计时，质点到A点与质点运动到B点的时间之比是(　　)
A. B.
C. D．条件不够，无法求出
【答案】B
【解析】设初速度为v0，将A、B两点的速度分解，在A点：tan 30°＝＝，解得：tA＝；在B点：tan 45°＝＝，解得：tB＝，则＝，故B正确．
考点四、平抛运动的临界问题
分析平抛运动中的临界的关键是确定临界轨迹．当受水平位移限制时，其临界轨迹为自抛出点到水平位移端点的一条抛物线；当受下落高度限制时，其临界轨迹为自抛出点到下落高度端点的一条抛物线，确定轨迹后再结合平抛运动的规律即可求解．
【典例1】(多选)如图，在某次比赛中，排球从底线A点的正上方以某一速度水平发出，排球正好擦着球网落在对方底线的B点上，且AB平行于边界CD.已知网高为h，球场的长度为s，重力加速度为g，不计空气阻力且排球可看成质点，则排球被发出时，击球点的高度H和水平初速度v分别为(　　)
A．H＝h B．H＝h
C．v＝ D．v＝
【答案】AD
【解析】排球做平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，有x＝vt，则排球从初位置运动到网的位置与排球从初位置到落地的时间之比为t1∶t2＝∶s＝1∶2，排球在竖直方向上做自由落体运动，由h＝gt2得，＝＝＝()2＝，解得H＝h，故A正确，B错误；排球从被发出至落在B点的过程中有s＝vt，所以v＝＝＝，故C错误，D正确．
【典例2】（多选）如图所示，水平屋顶高H＝5 m，围墙高h＝3.2 m，围墙到房子的水平距离L＝3 m，围墙外马路宽x＝10 m，为使小球(可视为质点)从屋顶水平飞出落在围墙外的马路上，小球离开屋顶时的速度v0的大小的可能值为(围墙厚度忽略不计，忽略空气阻力，g取10 m/s2)(　　)
A．6 m/s B．12 m/s C．4 m/s D．2 m/s
【答案】AB
【解析】刚好能越过围墙时，水平方向：L＝v0t
竖直方向：H－h＝gt2解得v0＝5 m/s
刚好能落到马路外边缘时，水平方向：L＋x＝v0′t′
竖直方向：H＝gt′2解得v0′＝13 m/s，
所以为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的马路上，速度大小的取值范围为5 m/s≤v0≤13 m/s，故选A、B.
练习1、如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，墙的厚度d＝0.4 m，某人在离墙壁距离L＝1.4 m、距窗子上沿h＝0.2 m处的P点，将可视为质点的小物件以速度v水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，取g＝10 m/s2，不计空气阻力．则v的取值范围是(　　)
A．v＞7 m/s
B．v＜2.3 m/s
C．3 m/s＜v＜7 m/s
D．2.3 m/s＜v＜3 m/s
【答案】C
【解析】若小物件恰好经窗口上沿，则有h＝gt12，L＝v1t1，解得v1＝7 m/s；若小物件恰好经窗口下沿，则有h＋H＝gt22，L＋d＝v2t2，解得v2＝3 m/s，所以3 m/s＜v＜7 m/s，故C正确．
练习2、一阶梯如图所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4 m，一小球(可视为质点)以水平速度v从图示位置飞出，不计空气阻力，g取10 m/s2，欲打在第4级台阶上，则v的取值范围是(　　)
A. m/sB．2 m/sC. m/sD．2 m/s【答案】A
【解析】若恰好打在第3级台阶的边缘，则有：3h＝gt32，3l＝v3t3 解得v3＝ m/s
若恰好打在第4级台阶的边缘，则有4h＝gt42，4l＝v4t4 解得v4＝2 m/s
所以打在第4级台阶上应满足的条件： m/s考点五、平抛运动与斜面相结合的问题
1．常见的两类情况
(1)物体从空中抛出落在斜面上；
(2)从斜面上抛出后又落在斜面上．
2．两种情况处理方法
方法 内容 斜面 总结
分解速度 水平：vx＝v0竖直：vy＝gt合速度：v＝eq \r(v＋v) 分解速度，构建速度三角形
分解位移 水平：x＝v0t竖直：y＝gt2合位移：x合＝ 分解位移，构建位移三角形
【典例1】如图所示，以10 m/s 的水平初速度v0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ为45°的斜面上(g取10 m/s2)，可知物体完成这段飞行的时间是(　　)
A. s B. s
C．1 s D．2 s
【答案】C
【解析】物体垂直地撞在倾角θ为45°的斜面上，根据几何关系可知此时速度方向与水平方向的夹角为45°，由平抛运动的规律得vy＝v0tan 45°＝gt，代入数据解得t＝1 s，故选项C正确，A、B、D错误．
【典例2】(多选)跳台滑雪运动员的动作惊险而优美，其实滑雪运动可抽象为物体在斜坡上的平抛运动．如图所示，设可视为质点的滑雪运动员，从倾角为θ的斜坡顶端P处，以初速度v0水平飞出，运动员最后又落到斜坡上A点处，AP之间距离为L，在空中运动时间为t，改变初速度v0的大小，L和t都随之改变．关于L、t与v0的关系，下列说法中正确的是(　　)
A．L与v0成正比 B．L与v成正比
C．t与v0成正比 D．t与v成正比
【答案】BC
【解析】滑雪运动可抽象为物体在斜坡上的平抛运动．设水平位移x，竖直位移为y，结合几何关系，有：水平方向上：x＝Lcos θ＝v0t，竖直方向上：y＝Lsin θ＝gt2，联立可得：t＝，即t与v0成正比；L＝eq \f(2vtan θ,gcos θ)，即L与v成正比，B、C正确．
练习1、如图所示，小球以v0正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则以下说法正确的是(重力加速度为g)(　　)
A．小球空中运动时间为
B．小球的水平位移大小为
C．由于不知道抛出点位置，位移大小无法求解
D．小球的竖直位移大小为
【答案】B
【解析】如图所示，过抛出点作斜面的垂线；当小球落在斜面上的B点时，位移最小，设运动的时间为t，则水平方向：x＝v0t；竖直方向：y＝gt2。
根据几何关系有＝tan θ；联立解得t＝；小球的水平位移大小为x＝v0t＝；竖直位移大小为y＝gt2＝，由水平位移和竖直位移可求解位移的大小；故A、C、D错误，B正确。
练习2、如图所示，在某次演习中，轰炸机沿水平方向投放一枚炸弹，经过时间炸弹恰好垂直击中山坡上的目标，已知炸弹平抛的初速度。不计空气阻力，则山坡倾角为（　　）（重力加速度g取）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【解析】炸弹在空中做平抛运动，炸弹击中目标时竖直分速度
设炸弹击中目标时速度方向与竖直方向的夹角为α，如图所示，则
得α=30°
根据几何关系可知山坡倾角θ=α=30°，故ACD错误，B正确。
考点六、类平抛运动
1．受力特点
物体所受的合外力为恒力，且与初速度方向垂直．
2．研究方法：运动的分解
将运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和沿合外力方向的初速度为零的匀变速直线运动．
3．运动规律
初速度v0方向上：vx＝v0，x＝v0t.
合外力方向上：a＝，vy＝at，y＝at2.
【典例1】如图所示，将质量为m的小球从倾角为θ的光滑斜面上A点以速度v0水平抛出(即v0∥CD)，小球运动到B点，已知A点的高度为h，重力加速度为g，求：
(1)小球加速度的大小；
(2)小球到达B点的时间；
(3)小球到达B点时的速度大小．
【答案】(1)gsin θ　(2)　(3)
【解析】(1)小球从A点抛出后在斜面上做类平抛运动．由牛顿第二定律得mgsin θ＝ma
得a＝gsin θ
(2)小球在沿斜面向下的方向做初速度为零的匀加速直线运动，
有＝at2
解得t＝
(3)小球沿水平方向做匀速直线运动，有vx＝v0
小球在沿斜面向下的方向做初速度为零的匀加速直线运动，有vy＝at
小球到达B点时的速度大小为vB＝＝.
练习1、如图，倾角的斜面体放在水平面上，斜面ABCD为边长为L的正方形，在斜面左上角A点沿AB方向水平抛出一个小球，小球做平抛运动，结果恰好落在斜面体的右下角C点。不计空气阻力，重力加速度为g，则小球水平抛出的初速度大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】小球从A点开始做类平抛运动到C点，沿斜面向下有
水平方向位移
解得
A正确，BCD错误。
练习2、（多选）如图所示，在倾角为的足够大的光滑斜面上。将小球a、b同时以相同的速率沿水平面内不同方向抛出。已知a球初速度方向垂直竖直平面PQM向外，b球初速度沿着PQ方向。则（　　）
A．若将a球的初速度大小变为之前的2倍，则a球落到斜面上时，其速度大小也将变为之前的2倍
B．a球落到斜面上时，a、b两球的位移大小不相等
C．若将b球的初速度大小变为之前的2倍，则在相同时间内，其速度大小也将变为之前的2倍
D．a球落到斜面上时，a球的速度大小是b球速度大小的2倍
【答案】AB
【解析】A．当a球落到斜面时，有
解得
则a球落到斜面时的速度为
因为，若将a球的初速度大小变为之前的2倍。则a球落到斜面上时，其速度大小也变为之前的2倍，故A项正确；
B．由之前的分析可知a球落到斜面上用时为
此时a球的位移为
b球的水平位移为
沿斜面向下的位移为
b球的位移为
故a、b两球的位移大小不相等，故B项正确；
C．根据
所以相同时间内，其速度大小不一定变为之前的两倍，故C项错误；
D．a球落到斜面上时，a球的速度大小为
此时b球的速度大小为
故D项错误。
考点七、斜抛运动
1．斜抛运动的性质：斜抛运动是加速度恒为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．
2.斜抛运动的基本规律(以斜上抛为例说明，如图所示)
斜上抛运动可以看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动．
(1)速度公式：vx＝v0x＝v0cos θ
vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt
(2)位移公式：x＝v0cos θ·t
y＝v0sin θ·t－gt2
(3)当vy＝0时，v＝v0x＝v0cos θ，物体到达最高点hmax＝＝.
【典例1】某同学参加学校的跳远比赛，其运动轨迹可以简化为如图所示，该同学以速率v沿与水平地面成某一角度方向跳出，运动过程中离开地面的最大高度为，若该同学可视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g，则该同学本次跳远的成绩为（　　）
B． C． D．
【答案】A
【解析】设速度v与水平方向夹角为θ，则
运动时间
水平位移
联立解得
【典例2】如图所示，将一篮球从地面上方B点斜向上抛出，刚好垂直击中篮板A点，不计空气阻力。若抛射点B向篮板方向水平移动一小段距离，仍使抛出的篮球垂直击中A点，则可行的是(　　)
A．增大抛射角θ，同时减小抛出速度v0
B．增大抛射角θ，同时增大抛出速度v0
C．减小抛射角θ，同时增大抛出速度v0
D．减小抛射角θ，同时减小抛出速度v0
【答案】A
【解析】篮球垂直击中A点，其逆过程是平抛运动，平抛的水平速度越大，抛出后落地速度越大，落地速度与水平面的夹角越小，落地时的水平位移越大。若水平速度减小，则落地速度变小，落地速度与水平面的夹角变大，落地时的水平位移变小，因此斜向上抛出篮球时，若抛射点B向篮板方向水平移动一小段距离，则只有增大抛射角，同时减小抛出速度，篮球才能仍垂直打到篮板上的A点，故A正确，B、C、D错误。
练习1、如图是做斜抛运动物体的轨迹，C点是轨迹的最高点，A、B是轨迹上等高的两个点。下列叙述中正确的是（不计空气阻力）（ ）
A．物体在C点速度为零
B．物体在A点的速度与物体在B点的速度相同
C．物体在A点、B点的水平速度均大于物体在C点的水平速度
D．物体在A、B、C各点的加速度都相同
【答案】D
【解析】A．斜抛运动在水平方向分运动是匀速直线运动，即水平速度不变，物体在C点具有水平方向的速度，故A错误；
B．速度是矢量，既有大小也有方向，由斜抛运动的对称性可知A、B两点的速度大小相等，方向不同，物体在A点的速度与物体在B点的速度不相同，故B错误；
C．斜抛运动在水平方向分运动是匀速直线运动，即水平速度不变，物体在A点、B点的水平速度均等于物体在C点的速度，故C错误；
D．斜抛运动的物体只受到重力的作用，即加速度恒为g，故D正确。
练习2、体育课上，某同学跳起投篮，松手后篮球将斜向上飞出，恰好能够斜向下、无碰触地穿过篮框中心，如图所示。若篮框平面到篮板上沿的距离是h=0.45m，篮球脱手时初速度方向与水平方向夹角为45°，篮球穿过篮框中心时速度与水平方向的夹角为37°，小球到达最高点时恰好与篮板上沿等高，已知重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，篮球可以看做质点，空气阻力不计。下列说法正确的是（　　）
A．篮球的速度变化率先减小后增大
B．篮球脱手时的速度大小为5m/s
C．篮球脱手到过篮框中心的时间为0.7s
D．篮球脱手的位置到篮框中心间的竖直高度为0.8m
【答案】C
【解析】A．速度变化率即为加速度，故篮球的加速度为重力加速度，故速度变化率保持不变，故A错误；
B．篮球到达最高点，只有水平速度，故篮球从最高点向右穿过篮框中心的过程做平抛运动，则有
代入数据解得
vy=3m/s
篮球穿过篮框中心时速度与水平方向夹角为37°，则水平速度为
则篮球从出手到最高点，到达最高点时竖直方向的速度为零，只有水平速度，则有
故B错误；
C．篮球从出手到最高点，竖直方向的速度为
故竖直上抛运动的时间为
篮球从最高点到穿过篮框中心，做平抛运动，则运动的时间为
故篮球脱手到过篮框中心的时间为
故C正确；
D．篮球从出手到最高点，竖直方向的位移为
则篮球脱手的位置到篮框中心间的竖直高度为
故D错误。
二、夯实小练
1、如图所示，A、B两个小球在同一竖直线上，离地高度分别为2h和h，将两球水平抛出后，两球落地时的水平位移大小之比为1∶2，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
A．A、B两球的初速度大小之比为1∶4
B．A、B两球的初速度大小之比为1∶
C．若两球同时落地，则两球抛出的时间差为(－1)
D．若两球同时抛出，则落地的时间差为
【答案】C
【解析】小球做平抛运动，竖直方向有H＝gt2，则运动时间t＝，所以A球的运动时间tA＝＝，B球的运动时间tB＝，所以tA∶tB＝∶1，由x＝v0t得v0＝，结合两球落地时的水平位移之比xA∶xB＝1∶2，可知A、B两球的初速度大小之比为1∶2，故A、B错误；若两球同时落地，则两球抛出的时间差Δt＝tA－tB＝(－1)，故C正确；若两球同时抛出，则落地的时间差Δt′＝tA－tB＝(－1)，故D错误．
2、（多选）一光滑宽阔的斜面，倾角为θ，高为h，现有一小球在A处以水平速度v0射出，最后从B处离开斜面，下列说法正确的是（　　）
A．小球的运动轨迹为抛物线
B．小球的加速度为gsinθ
C．小球从A处到达B处所用的时间为
D．小球到达B处的水平方向位移大小
【答案】ABC
【解析】A．小球受重力和支持力两个力作用，合力沿斜面向下，与初速度方向垂直，做类平抛运动，其运动轨迹为抛物线，A正确；B．根据牛顿第二定律知，小球的加速度a==gsinθ，B正确；C．小球在沿加速度方向上的位移为根据解得运动时间C正确；小球在沿初速度方向的位移x=v0t=小球在沿加速度方向的位移的水平分位移则小球在水平方向的总位移D错误。故选ABC。
3、（多选）如图所示，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的。不计空气阻力，则（　　）
A．a的飞行时间比b的长
B．b和c的飞行时间相同
C．a的水平初速度比b的小
D．b的水平初速度比c的大
【答案】BD
【解析】AB．根据平抛运动的规律，得因此平抛运动的时间只由下落高度决定，因为，所以b与c的飞行时间相同，大于a的飞行时间，故A错误，B正确；
C．做平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动，又因为xa>xb，而tavc，即b的水平初速度比c的大，故D正确。
4、横截面为直角三角形的两个相同斜面如图紧靠在一起，固定在水平面上，它们的竖直边长都是底边长的一半。小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右平抛，最后落在斜面上。其中有三次的落点分别是。下列判断正确的是（　　）
A．图中三小球比较，落在的小球飞行时间最短
B．图中三小球比较，落在的小球飞行过程速度变化最大
C．图中三小球比较，落在的小球飞行过程速度变化最快
D．图中三小球比较，落在的小球初速度最大
【答案】D
【解析】A．从图中可以发现点的位置最低，即此时在竖直方向上下落的距离最大，由可知时间所以此时运动的时间最长，故A错误；B．小球做的是平抛运动，平抛运动在水平方向的速度是不变的，所以小球的速度的变化都发生在竖直方向上，竖直方向上的速度的变化为所以运动的时间短的小球速度变化小，所以球的速度变化最小，故B错误；C．速度变化的快慢是指物体运动的加速度的大小，由于物体做的都是平抛运动，运动的加速度都是重力加速度，所以三次运动速度变化的快慢是一样的，故C错误；
D．根据小球c的水平位移最大，而下落的高度最小，则初速度最大，选项D正确。
5、如图所示，某同学用一个小球在O点对准前方的一块竖直放置的挡板，O与A在同一高度，小球的水平初速度分别是，不计空气阻力。打在挡板上的位置分别是B、C、D，且。则之间的正确关系是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】三个小球做平抛运动，水平位移相同，由
可得
竖直方向有
解得
所以
6、质量为的物体以初速度水平抛出，重力加速度，不计空气阻力当经过后，下列说法正确的是（　　）
A．瞬时速度大小为 B．运动的竖直位移大小为
C．竖直分位移大小等于水平分位移大小 D．此过程速度的变化量大小为
【答案】D
【解析】A．经过后,竖直速度为
瞬时速度为
故A错误；
B．运动的竖直位移大小为
故B错误；
C．水平位移为
故C错误；
D．此过程水平速度不变，竖直速度变化量为
则速度的变化量为竖直速度变化量，大小为。故D正确。
7、如图所示，某一小球以v0=5m/s的速度水平抛出，在落地之前经过空中A，B两点，在A点小球速度方向与水平方向的夹角为45°，在B点小球速度方向与水平方向的夹角为60°（空气阻力忽略不计，g取10m/s2）。以下判断中正确的是（　　）
A．小球经过A、B两点间的时间 B．小球经过A、B两点间的时间
C．A、B两点间的高度差h=10m D．A、B两点间的高度差h=2.5m
【答案】D
【解析】AB．根据平行四边形定则可知，小球在A、B两点处竖直分速度大小分别为
则小球由A到B的时间为
AB错误；
CD．A、B的高度差为
C错误，D正确。
8、如图所示，A、B两个小球在同一竖直线上，离地高度分别为和h，将两球水平抛出后，不计空气阻力，两球落地时的水平位移分别为s和。重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A．A、B两球的初速度大小之比为1：4
B．A、B两球的运动时间之比为
C．两小球运动轨迹交点的水平位移为
D．两小球运动轨迹交点的离地高度
【答案】D
【解析】AB．小球做平抛运动，竖直方向有
A球运动时间
B球运动时间
所以
由
得
结合两球落地时位移之比
可知A、B两球的初速度之比，故AB错误；
CD．两球相交时，水平方向位移相同，因此有
B球下落高度
A球下落的高度
各式联立得
两小球运动轨迹交点的高度
两小球运动轨迹交点的水平位移
联立解得
C错误D正确。
9、如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t 到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．小球水平抛出时的初速度大小为
B．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为
C．仅小球初速度增大，则平抛运动的时间不变
D．若小球初速度增大，则θ增大
【答案】C
【解析】A．小球落地时竖直方向的速度
根据题意可得
解得
A错误；
B．设在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为，根据平抛运动的推论
可知
B错误；
C．竖直方向高度不变，根据
可得
若小球初速度增大，则平抛运动的时间不变，C正确；
D．根据
可知若小球初速度增大，则减小，D错误。
10、如图所示，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从A点水平飞出，落到斜坡上的B点。A、B两点间的竖直高度h＝45m，斜坡与水平面的夹角α＝37°，不计空气阻力（取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2）。求：
（1）运动员水平飞出时初速度v0的大小；
（2）运动员落到B点时瞬时速度v1的大小和方向。（结果可含根号）
【答案】（1）20m/s；（2），方向斜向右下方，与水平方向夹角的正切值为1.5
【解析】
（1）运动员从A到B经过的时间为
运动员水平飞出时初速度大小为
（2）运动员落到B点时的竖直分速度大小为
合速度大小为
设v1的方向与水平方向的夹角为θ， 则
即v1方向斜向右下方，与水平方向夹角的正切值为1.5。
11、如图所示，一小球在光滑斜面的A处以水平速度射出，最后从处离开斜面，已知斜面倾角，A处距斜面底端高，A、间距离。重力加速度取，，，忽略空气阻力，求：
（1）小球从A处到达处所用的时间；
（2）小球从A处射出的水平速度的大小。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）小球所受力的合力沿斜面向下，与初速度方向垂直，因而做类平抛运动，小球的加速度
小球在沿加速度方向上的位移为
根据
解得
（2）小球从A处到达处沿初速度方向的位移大小
小球从A处射出的水平速度大小为
三、培优练习
1、物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角α的正切值tanα随时间t变化的图像是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】平抛运动速度方向与水平方向的夹角α的正切值tanα随时间t变化的关系可知两者成正比关系。故选B。
2、如图所示,斜面上有A、B、C、D四个点,AB=BC=CD.从A点正上方的O点以速度v水平抛出一个小球,它落在斜面上的B点.若小球从O点以速度2v水平抛出,不计空气阻力,则它将落在斜面上的 (　　)
A.B与C之间某一点 B.C点
C.C与D之间某一点 D.D点
【答案】A
【解析】如图所示,M、B、N在同一水平面上,且MB=BN.假设没有斜面,小球从O点以速度2v水平抛出后,将经过N点,则它将落在斜面上的B与C之间某一点,选项A正确.
3、(多选)如图所示，一个半径为R＝0.75 m的半圆柱体放在水平地面上，一小球从圆柱体左端A点正上方的B点水平抛出(小球可视为质点)，恰好从半圆柱体的右上方C点掠过．已知O为半圆柱体侧面半圆的圆心，OC与水平方向夹角为53°，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则(　　)
A．小球从B点运动到C点所用时间为0.3 s
B．小球从B点运动到C点所用时间为0.5 s
C．小球做平抛运动的初速度为4 m/s
D．小球做平抛运动的初速度为6 m/s
【答案】AC
【解析】从B点到C点，小球做平抛运动，由题可知小球在C点的速度方向与水平方向成37°角，由速度的分解可知，竖直分速度大小为vy＝v0tan 37°＝gt，水平方向有R＋Rcos 53°＝v0t，联立解得t＝0.3 s，v0＝4 m/s，故选A、C.
4、一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示，水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h.不计空气的作用，重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是(　　)
A.B.C.D.【答案】D
【解析】当速度最小时，球沿中线，恰好过网，设速度为v1，则有3h－h＝gt12，＝v1t1，解得v1＝；当速度最大时，球斜向右侧台面两个角发射，设速度为v2，则3h＝gt22，＝v2t2，解得v2＝，因此v的最大取值范围是，选项D正确．
5、如图所示，质量相等的a、b两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度v0同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等，斜面底边长是其竖直高度的2倍，若小球a能落到半圆轨道上，小球b能落到斜面上。则下列说法不正确的是（　　）
A．a球可能垂直打在半圆轨道
B．a、b两球的速度偏转角可能相同
C．a、b两球在空中时，单位时间内速度变化量相等
D．b球以抛出与以抛出落在斜面上时速度偏转角一定相等
【答案】A
【解析】A．球如果能垂直打在半圆轨道上，则速度反向延长线过圆心，故A选项是不正确的。B．a、b两球可能落在等高且距离抛出点水平位移相等的位移处，时间相等，速度偏转角相同，选项B正确；C． a、b两球加速度相同，单位时间内速度变化量相等，选项C正确；D．b球落在斜面上，根据则速度偏转角也相同，选项D正确。此题选择不正确的，故选A。
6、（多选）如图所示，bc为竖直放置的半径为R的圆弧，b点为圆弧最低点将小球从圆心处以大小不同的初速度v0水平抛出，球落到圆弧上。空气阻力可忽略，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　）
A．落在圆弧上时的最小速度为
B．落在圆弧上时的最小速度为
C．小球的运动时间与v0大小无关
D．无论调整v0大小为何值，球都不可能垂直撞击在圆弧上
【答案】BD
【解析】AB．小球做平抛运动且而落点的速度
整理得显然当时速度取得最小值，代入可得最小值为
B正确，A错误；C．v0越大，水平位移越大，竖直下落距离越小，运动时间越短，C错误；
D．由于速度的反向延长线恰好过与抛出点等高的水平位移的中点处，若与圆弧垂直，恰好与半径一致，两者相矛盾，因此球都不可能垂直撞击在圆弧上，D正确。故选BD。
7、如图所示，质量相同的两小球a、b分别从斜面顶端A和斜面中点B沿水平方向抛出后，恰好都落在斜面底端，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．小球a、b在空中飞行的时间之比为4：1
B．小球a、b抛出时的初速度大小之比为2：1
C．小球a、b到达斜面底端时的速率之比为：1
D．小球a、b到达斜面底端时速度方向与斜面的夹角之比为：1
【答案】C
【解析】A．小球a、b分别从斜面顶端A和斜面中点B沿水平方向抛出后，恰好都落在斜面底端，可知两球下落的高度之比为2：1，根据得则飞行的时间之比为，选项A错误；B．两球的水平位移之比为2：1，飞行时间之比为，根据知，两球的初速度之比为，选项B错误；C．根据动能定理可知达斜面底端时有即所以选项C正确；D．小球落在斜面上，速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，因为位移与水平方向的夹角相等，则速度与水平方向的夹角相等，到达斜面底端时速度方向与斜面的夹角也相等，选项D错误。故选C。
8、投弹训练中，某战士从倾角为37°、长度为L的斜坡顶端，将手榴弹（图中用点表示）以某一初速度水平抛出，手榴弹恰好落到斜坡底端。重力加速度大小为g，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．手榴弹抛出时的初速度大小为
B．手榴弹抛出后在空中运动的时间为
C．手榴弹抛出后经时间，与斜坡间的距离最大
D．手榴弹落到斜坡底端前瞬间的速度方向与水平方向的夹角为60°
【答案】C
【解析】B．手榴弹做平抛运动，竖直方向的分运动是自由落体运动
手榴弹抛出后在空中运动的时间为
故B错误；
A ．手榴弹水平的分运动是匀速直线运动
带入解得
故A错误；
C．将手榴弹的初速度和重力加速度分解到沿斜面方向和垂直斜面方向
当减为0时手榴弹与斜坡间的距离最大,时间
故C正确；
D．手榴弹落到斜坡底端前瞬间的位移角
则速度角
则手榴弹落到斜坡底端前瞬间的速度方向与水平方向的夹角不是60°，故D错误。
9、（多选）某旅展开的实兵实弹演练中，某火箭炮在山坡上发射炮弹，所有炮弹均落在山坡上，炮弹的运动可简化为斜面上的平抛运动，如图所示，重力加速度为g。则下列说法正确的是（ ）
A．若将炮弹初速度由变为，炮弹落在斜面上的速度方向与斜面的夹角不变
B．若将炮弹初速度由变为，则炮弹下落的竖直高度变为原来的
C．若炮弹初速度为，则炮弹运动到距斜面最大距离时所需要的时间为
D．若炮弹初速度为，则运动过程中炮弹距斜面的最大距离
【答案】ACD
【解析】A.炮弹落到斜面上时，竖直方向位移与水平方向位移关系为
可得
所以速度偏转角的正切值不变，炮弹落在斜面上的速度方向与斜面夹角不变，故A正确；
B.由炮弹落到斜面竖直方向位移与水平方向位移关系，可以解得炮弹的飞行时间为
所以炮弹速度变为原来一半时，飞行时间也变为原来一半，由竖直位移公式可知，竖直位移为原来的，故B错误；
C.炮弹与斜面距离最大时，速度方向与斜面平行，此时竖直方向速度与水平速度的关系为
解得飞行时间为
故C正确；
D.建立如图所示坐标系，对炮弹初速度和加速度进行分解
，
当y轴方向速度减小为0时，炮弹距离斜面最远，则最远距离为
故D正确。
10、如图所示，在斜面底端正上方的点将一小球以的速度水平抛出，与此同时由静止释放斜面顶端的滑块，经过一段时间后，小球恰好能够以垂直于斜面的速度在斜面P点处击中滑块，小球和滑块均可视为质点，斜面光滑，倾角为37°，重力加速度取，sin37°=0.6，cos37°=0.8，则（　　）
A．小球在空中飞行的时间为0.3s
B．小球抛出点到斜面P点的水平距离为1.0m
C．小球抛出点到斜面底端的竖直高度为1.6m
D．斜面长度为1.98m
【答案】D
【解析】A．球恰好能够以垂直于斜面的速度在斜面点处击中滑块，则解得小球在空中飞行的时间故A错误；B．小球抛出点到斜面P点的水平距离故B错误；C．根据几何关系可得小球抛出点到斜面底端的竖直高度故C错误；D．斜面长度故D正确。
11、质量为m的小球，从A点以初速度竖直向上抛出，同时受到恒定的水平向左的风力作用，经过一段时间到达最高点C，此过程水平方向的分位移与竖直方向的分位移之比为3：4。已知小球在B点时速度最小，重力加速度为g，求：
（1）小球所受合力的大小及合力与水平方向间夹角的正切值；
（2）小球在B点的速度大小与在C点的速度大小的比值及从A到B的运动时间。
【答案】（1），；（2），
【解析】(1)设小球从A到C的运动时间为t，竖直方向做竖直上抛运动，到达C点时，竖直方向的速度正好为0，可得
设风力为F，由牛顿第二定律，水平方向的加速度
小球从A到C，水平方向做初速度为0的匀加速直线运动，则
由题意
综合可得
，
由力的合成，小球的合力
设与水平方向的夹角为，由几何关系可得
(2)由匀变速直线运动的速度时间关系可得
，
解得小球在C点的速度
把小球在A点的初速度，分别沿着的反方向和垂直的方向分解，沿着的反方向的分速度
垂直的方向的分速度
由数学知识可得
，
可以把小球的运动看成垂直的方向以做匀速直线运动，沿着的反方向做初速度为的匀减速直线运动，加速度为
当小球在方向的分速度为零时，速度最小为
正好运动到B点，可得
沿着的反方向，由匀变速直线运动的规律，小球由A运动到B的时间
12、2020年2月，在国际单板滑雪U型场地赛中，我国运动员蔡雪桐勇夺冠军。如图，滑道边缘线PQ的倾角为θ，运动员以速度v0从PQ上的O点沿PQ的竖直切面滑出滑道，滑出时速度方向与PQ的夹角为α，腾空后从PQ上的A点进入滑道。已知α+θ=90°，重力加速度为g，运动员可视为质点，不计空气阻力。求∶
（1）O、A两点间的距离；
（2）运动员腾空中离PQ的最大距离。
【答案】（1）；（2）
【解析】(1)将初速度v0和加速度g分别分解在沿斜面方向和垂直斜面方向，则由垂直斜面方向的运动可得
O、A两点间的距离为
(2)运动员腾空中离PQ的最大距离为
13、在某项娱乐活动中，要求参与者通过一光滑的斜面将质量为m的物块送上高处的水平传送带后运送到网兜内。斜面长度为l，倾角为θ=，传送带距地面高度为l，传送带的长度为3l，传送带表面的动摩擦因数，传送带一直以速度顺时针运动。当某参与者第一次试操作时瞬间给予小物块一初速度只能将物块刚好送到斜面顶端；第二次调整初速度，恰好让物块水平冲上传送带并成功到达网兜。求：
(1)第一次小物块获得的初速度；
(2)第二次小物块滑上传送带的速度和传送带距斜面的水平距离；
(3)假如小物块是一小煤块，第二次小煤块通过传送带过程中留在传送带上的痕迹长度。
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】(1)第一次在斜面上滑到顶端时
由运动学公式得
所以第一次小物块获得的初速度
(2)第二次恰好让物块水平冲上传送带，逆向看相当于平抛运动，竖直方向上相当于自由落体，则有
同时
由速度分解关系得第二次小物块滑上传送带的速度
传送带距斜面的水平距离
(3)当物块匀减速至传送带速度相等的时间
物块向右的位移
此过程中传送带向右的位移
划痕长度为相对位移
14、如图所示，倾角为37°的粗糙斜面固定在水平面上，在斜面底端正上方的O点将一小球以速度v0=3m/s水平抛出，与此同时一小滑块以初速度v1沿斜面上滑，经过一段时间后，小球恰好在斜面上P点击中滑块，此时滑块速度方向沿斜面向上，O、P两点的连线与斜面垂直，滑块与斜面间的动摩擦因数μ=0.3，小球和滑块均视为质点，取重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）抛出点O离斜面底端的高度；
（2）滑块上滑的初速度v1。
【答案】（1）5m；（2）7.11m/s
【解析】（1）根据平抛运动规律有
由几何关系有
解得
所以
设抛出点O到斜面最低点的距离为h，由几何关系得
解得
（2）设在时间t内，滑块的位移为s，由几何关系得
对滑块由牛顿第二定律
解得
由运动学公式
解得
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