2.2法拉第电磁感应定律 学案
文档属性
| 名称 | 2.2法拉第电磁感应定律 学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 3.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版（2019） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2023-02-28 17:37:19 | ||
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文档简介
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2.2 法拉第电磁感应定律
一、考点梳理
考点一、法拉第电磁感应定律的应用
1．磁通量Φ、磁通量的变化量ΔΦ及磁通量的变化率的比较
磁通量Φ 磁通量的变化量ΔΦ 磁通量的变化率
物理意义 某时刻穿过磁场中某个面的磁感线条数 在某一过程中穿过某个面的磁通量的变化量 穿过某个面的磁通量变化的快慢
大小计算 Φ＝BS⊥ ΔΦ＝ ＝
注意 若穿过某个面有方向相反的磁场，则不能直接用Φ＝BS。应考虑相反方向的磁通量或抵消以后所剩余的磁通量 开始和转过180°时平面都与磁场垂直，但穿过平面的磁通量是不同的，一正一负，ΔΦ＝2BS，而不是零 既不表示磁通量的大小，也不表示变化的多少。在Φ t图像中，可用图线的斜率表示
2．对公式E＝n的理解
(1)感应电动势的大小取决于穿过电路的磁通量的变化率，而与Φ、ΔΦ的大小没有必然关系，与电路的电阻R无关；感应电流的大小与E和回路总电阻R有关。
(2)用公式E＝n所求的感应电动势为整个闭合电路的感应电动势，而不是回路中某部分导体两端的电动势。
(3)公式E＝n只表示感应电动势的大小，不涉及其正负，计算时ΔΦ应取绝对值，至于感应电流的方向，可以用楞次定律去判定。
【典例1】如图甲所示，一个圆形线圈匝数n＝1 000匝、面积S＝2×10－2 m2、电阻r＝1 Ω。在线圈外接一阻值为R＝4 Ω的电阻。把线圈放入一个匀强磁场中，磁场方向垂直线圈平面向里，磁场的磁感应强度B随时间变化规律如图乙所示。求：
(1)0～4 s内，回路中的感应电动势；
(2)t＝5 s时，a、b两点哪点电势高？
(3)t＝5 s时，电阻R两端的电压U。
(1)磁感应强度在0～4 s内均匀增大，可由E＝n·S求感应电动势。
(2)t＝5 s时，磁感应强度正在均匀减小，线圈产生感应电动势，相当于电源。
【答案】(1)1 V (2)a点的电势高 (3)3.2 V
【解析】(1)根据法拉第电磁感应定律得，0～4 s内，回路中的感应电动势E＝n
＝1 000× V
＝1 V。
(2)t＝5 s时，磁感应强度正在减弱，根据楞次定律，感应电流的磁场方向与原磁场方向相同，即感应电流产生的磁场方向是垂直纸面向里，故a点的电势高。
(3)在t＝5 s时，线圈的感应电动势为
E′＝n＝1 000× V＝4 V
根据闭合电路欧姆定律得电路中的电流为
I＝＝ A＝0.8 A
故电阻R两端的电压
U＝IR＝0.8×4 V＝3.2 V。
【典例2】如图所示,一正方形线圈的匝数为n、边长为a,线圈平面与匀强磁场垂直,且一半处在磁场中.在 Δt时间内,磁感应强度的方向不变,大小由B均匀地增大到2B.在此过程中,线圈中产生的感应电动势为 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当磁场增强时线圈中产生感生电动势,由法拉第电磁感应定律E=n=nS=na2=,选项B正确.
练习1、闭合线框abcd，自某高度自由下落时穿过一个有界的匀强磁场，当它经过如图所示的三个位置时，下列说法中正确的是（ ）
A．经过Ⅰ时，有顺时针方向的感应电流
B．若线圈匀速进入磁场，则也一定匀速出磁场
C．经过Ⅱ时，无感应电流
D．经过Ⅲ时，线圈的加速度不可能为零
【答案】C
【解析】A．由楞次定律可知，线框经过Ⅰ时，感应电流方向为：，电流沿逆时针方向，故A错误；
B．如果线圈匀速进入磁场，线圈受到的安培力等于其重力，线圈完全进入磁场后不产生感应电流，不受安培力，线圈做匀加速直线运动，线圈离开磁场时速度大于进入磁场时的速度，所受安培力大于重力，线圈做减速运动，故B错误；
C．线圈经过Ⅱ时穿过线圈的磁通量不变，不产生感应电流，故C正确；
D．如果线圈进入磁场时安培力小于重力，线圈做加速运动，线圈完全进入磁场后继续做加速运动，线圈离开磁场时速度大于进入磁场时的速度，线圈所受安培力大于线圈进入磁场时的安培力，线圈所受安培力可能等于重力，线圈所受合力为零，线圈加速度可能为零，故D错误；
练习2、现有内接正方形的金属圆环，正方形内充满变化磁场，金属环电阻率为、横截面积为S，圆环半径为R，如图（a）所示。规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，磁感应强度B随时间t的变化关系如图（b）所示，则（ ）
A．时间内，圆环中的感应电流方向为顺时针方向
B．时间内，圆环所受安培力大小为零
C．时间内，圆环中的感应电流大小为
D．时间内，圆环中产生的热量为
【答案】B
【解析】A．时间内，圆环中磁场向外且减小，据楞次定律可知，圆环中的感应电流方向为逆时针方向，A错误；
B．时间内，圆环中磁场向内且增大，产生逆时针的感应电流，但圆环所在位置磁场应强度为零，故圆环所受安培力大小为零，B正确；
C．时间内，据法拉第电磁感应定律可知，圆环中的感应电动势
圆环的电阻
故时间内，圆环中的感应电流大小为
C错误；
D．时间内，圆环中产生的热量为
D错误。
考点二、导体切割磁感线产生的感应电动势
1．对公式E＝Blv的理解
(1)在公式E＝Blv中，l是指导体棒的有效切割长度，即导体棒在垂直于速度v方向上的投影长度，如图所示的几种情况中，感应电动势都是E＝Blv。
(2)公式中的v应理解为导线和磁场间的相对速度，当导线不动而磁场运动时，也有感应电动势产生。
(3)当v与l或v与B的夹角为θ时，公式E＝Blv仍可用来求解导体切割磁感线时产生的感应电动势，但应注意的是其l或v应为有效切割长度或有效切割速度。当B、l、v三个量的方向相互垂直时，θ＝90°，感应电动势最大；当有任意两个量的方向平行时，θ＝0°，感应电动势为0。
(4)该公式可看成法拉第电磁感应定律的一个推论，通常用来求导线运动速度为v时的瞬时感应电动势，随着v的变化，E也相应变化；若v为平均速度，则E就为平均感应电动势。
2．转动切割磁感线的两个特例
导体棒旋转切割 相对位置 导体棒垂直于磁场，转动平面也垂直于磁场
转轴位置 端点 E＝Bl＝Blv中＝Bl2ω
中点 E＝0
任意位置 E＝Bl12ω－Bl22ω
闭合线圈匀速转动 条件 (1)匀速磁场；(2)匀速转动；(3)转轴垂直于磁场
公式 t＝0时线圈平行于磁场，E＝NBSω cos ωt
t＝0时线圈垂直于磁场，E＝NBSω sin ωt
备注 与线圈的形状、转轴的位置无关
感应电动势的三个表达式对比
表达式 E＝n E＝BLv E＝BL2ω
情景图
研究对象 回路(不一定闭合) 一段直导线(或等效成直导线) 绕一端转动的导体棒
意义 一般求平均感应电动势，当Δt→0时求的是瞬时感应电动势 一般求瞬时感应电动势，当v为平均速度时求的是平均感应电动势 用平均值法求瞬时感应电动势
适用条件 所有磁场 匀强磁场 匀强磁场
【典例1】所示，在虚线区城内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，一粗细均匀材质相同的正方形线圈边长为L，总电阻为R。在外力作用下以速度v进入磁场区域。则在进入磁场的过程中，a、b两点间的电势差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当线圈在外力作用下以速度v进入磁场区域，d、c两点间产生的感应电动势为
根据楞次定律可知，产生的感应电流的方向为逆时针方向，故此时a点的电势高于b点的电势，a、b两点间的电势差相当于a、b两点间的电压，为
。
【典例2】如图所示，在竖直向下的匀强磁场中，将一个水平放置的金属棒ab以水平初速度v0抛出，设运动的整个过程中棒的取向不变且不计空气阻力，则金属棒在运动过程中产生的感应电动势大小将( )
A．越来越大 B．越来越小
C．保持不变 D．无法确定
【答案】C
【解析】E＝BLvsin θ＝BLvx；ab做平抛运动，水平速度保持不变，感应电动势保持不变。
练习1、（多选）法拉第圆盘发电机的示意图如图所示。铜圆盘安装在竖直的铜轴上，两铜片P、Q分别与圆盘的边缘和铜轴接触。圆盘处于方向竖直向上的匀强磁场B中。圆盘旋转时，关于流过电阻R的电流，下列说法正确的是( )
A．若圆盘转动的角速度恒定，则电流大小恒定
B．若从上向下看，圆盘顺时针转动，则电流沿a到b的方向流动
C．若圆盘转动方向不变，角速度大小发生变化，则电流方向可能发生变化
D．若圆盘转动的角速度变为原来的2倍，则电流在R上的热功率也变为原来的2倍
【答案】AB
【解析】由右手定则知，圆盘按如题图所示的方向转动时，感应电流沿a到b的方向流动，选项B正确；由感应电动势E＝Bl2ω知，角速度恒定，则感应电动势恒定，电流大小恒定，选项A正确；角速度大小变化，感应电动势大小变化，但感应电流方向不变，选项C错误；若ω变为原来的2倍，则感应电动势变为原来的2倍，电流变为原来的2倍，由P＝I2R知，电流在R上的热功率变为原来的4倍，选项D错误。
练习2、如图所示，竖直平面内有一金属环，半径为a，总电阻为R（指拉直时两端的电阻），磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过环平面，在环的最高点A用铰链连接长度为2a、电阻为的导体棒AB，AB由水平位置紧贴环面摆下，当摆到竖直位置时，B点的线速度为v，则这时AB两端的电压大小为___________
【答案】
【解析】当摆到竖直位置时，导体中产生的感应电动势为
在导体与环组成的闭合电路中，导体充当电源，电路为并联电路，则AB两端的电压为路端电压，根据闭合电路的欧姆定律
练习3、如图所示，两根足够长的光滑直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为=30°的绝缘斜面上，两导轨间距为L=1m，M、P两点间接有阻值为R=8Ω的电阻。一根质量为m=1kg电阻为r=2Ω的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直。整套装置处于磁感应强度为B=5T的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向上。导轨的电阻可忽略。让金属杆ab沿导轨由静止开始下滑，沿斜面下滑d=2m时，金属杆达到最大速度，导轨和金属杆接触良好，重力加速度为g=10m/s2。求：
（1）金属杆达到的最大速度vm；
（2）在这个过程中，电阻R上产生的热量；
（3）在这个过程中，通过电阻R的电荷量。
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】(1)金属杆在磁场中运动时，产生的感应电动势为
金属杆中的电流为
金属杆受的安培力为
当速度最大时有
代入数据可得
(2)由能量的转化与守恒可得
代入数据可得
由
得
(3)电路中的平均平均感应电动势为
磁通量的变化量为
平均电流为
通过的电量
由以上方程可得
代入数据可得
考点三、平均电动势与瞬时电动势的求解
平均电动势与瞬时电动势的比较
E＝n E＝Blvsin θ
区别 物理意义不同 求的是Δt时间内的平均感应电动势，E与某段时间或某个过程相对应 求的是瞬时感应电动势，E与某个时刻或某个位置相对应
范围不同 求的是整个电路的感应电动势。整个电路的感应电动势为零时，其电路中某段导体的感应电动势不一定为零 求的是电路中一部分导体切割磁感线时产生的感应电动势
研究对象不同 由于是整个电路的感应电动势，因此研究对象即电源部分不容易确定 由于是一部分导体切割磁感线产生的感应电动势，该部分就相当于电源
联系 公式E＝n和E＝Blvsin θ是统一的，当Δt→0时，E为瞬时感应电动势，而公式E＝Blvsin θ中的v若代入平均速度，则求出的E为平均感应电动势
【典例1】如图所示，边长为0.1 m的正方形线圈ABCD在大小为0.5 T的匀强磁场中以AD边为轴匀速转动。初始时刻线圈平面与磁感线平行，经过1 s线圈转了90°，求：
(1)线圈在1 s时间内产生的感应电动势的平均值；
(2)线圈在1 s末时的感应电动势大小。
【答案】(1)0.005V (2)0
【解析】初始时刻线圈平面与磁感线平行，所以穿过线圈的磁通量为零，而1 s末线圈平面与磁感线垂直，磁通量最大，故磁通量有变化，有感应电动势产生。
(1)根据E＝可得在转过90°的过程中产生的平均感应电动势E＝＝0.5×0.1×0.1 V＝0.005 V。
(2)当线圈转了1 s时，恰好转了90°，此时线圈的速度方向与磁感线的方向平行，线圈的BC段不切割磁感线(或认为切割磁感线的有效速度为零)，所以线圈不产生感应电动势，E′＝0。
【典例2】如图所示，一导线弯成半径为a的半圆形闭合回路。虚线MN右侧有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于回路所在的平面。回路以速度v向右匀速进入磁场，直径CD始终与MN垂直。从D点到达边界开始到C点进入磁场为止，下列结论错误的是( )
A．感应电流方向不变
B．CD段直线始终不受安培力
C．感应电动势最大值E＝Bav
D．感应电动势平均值＝πBav
【答案】B
【解析】感应电动势公式E＝只能用来计算平均值，利用感应电动势公式E＝Blv计算时，l应是等效长度，即垂直切割磁感线的长度。在闭合电路进入磁场的过程中，通过闭合电路的磁通量逐渐增大，根据楞次定律可知感应电流的方向为逆时针方向不变，A正确。根据左手定则可以判断，CD段受安培力向下，B不正确。当半圆闭合回路进入磁场一半时，等效长度最大为a，这时感应电动势最大为E＝Bav，C正确。感应电动势平均值＝＝＝πBav，D正确。
练习1、（多选）如图所示，宽度为的光滑金属框架固定于水平面，并处在磁感应强度大小为的匀强磁场中，磁场方向竖直向下，框架的电阻分布不均匀。将质量为、长为的金属棒垂直放置在框架上，并且与框架接触良好。现给棒向左的初速度，其恰能做加速度大小为的匀减速直线运动，则在棒的速度由减为的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．棒的位移大小为 B．通过棒的电荷量为
C．框架段的热功率增大 D．棒产生的焦耳热为
【答案】AB
【解析】A．根据匀变速直线运动速度位移关系有
解得
故A正确；
B．对ab棒根据动量定理有
又
解得
故B正确；
C．根据热功率
随着导体棒ab速度的减小，动生电动势
也减小，根据闭合电路欧姆定律可知，电流不变，故热功率减小，故C错误；
D．由能量守恒定律可知
Q为电路中产生的焦耳热，故导体棒ab产生的焦耳热小于Q，即小于
故D错误。
练习2、、如图所示，边长为a的正方形闭合线框ABCD在匀强磁场中绕AB边匀速转动，磁感应强度为B，初始时刻线框所在平面与磁感线垂直，经过t时刻转过120°角，求：
(1)线框内感应电动势在t时间段内的平均值；
(2)转过120°角时感应电动势的瞬时值。
【答案】(1) (2)
【解析】(1)设初始时刻磁感线从线框反面穿入，此时磁通量Φ1＝－Ba2，t时刻后Φ2＝Ba2，磁感线从正面穿入，磁通量的变化量为ΔΦ＝，
则＝＝。
(2)计算感应电动势的瞬时值要用公式E＝Blvsin θ。
v＝，θ＝120°，所以E＝。
考点四、转动切割产生感应电动势的计算
如图所示，长为l的导体棒ab以a为圆心，以角速度ω在磁感应强度为B的匀强磁场中匀速转动，其感应电动势可从两个角度推导．
(1)棒上各点速度不同，其平均速度＝ωl，由E＝Blv得棒上感应电动势大小为E＝Bl·ωl＝Bl2ω.
(2)若经时间Δt，棒扫过的面积为ΔS＝πl2＝l2ωΔt，磁通量的变化量ΔΦ＝B·ΔS＝Bl2ωΔt，由E＝得棒上感应电动势大小为E＝Bl2ω.
【典例1】如图是法拉第研制成的世界上第一台发电机模型的原理图．将铜盘放在磁场中，让磁感线垂直穿过铜盘，图中a、b导线与铜盘的中轴线处在同一平面内，转动铜盘，就可以使闭合电路获得电流．若图中铜盘半径为r，匀强磁场的磁感应强度为B，回路总电阻为R，匀速转动铜盘的角速度为ω.则电路的功率是( )
A. B．
C. D．
【答案】C
【解析】根据导体棒旋转切割产生电动势E＝Bωr2，由P＝，得电路的功率是，故选项C正确．
【典例2】如图所示，一个转轮共有5根辐条，每根长皆为L，电阻皆为r，转轮的电阻不计，将它放在磁感应强度为B的匀强磁场里，磁场的方向垂直于轮面．A是轮轴，P为一与转轮边缘接触的触片，在轮子绕轴转动时P不动．在A、P间接一个电阻R，当轮以角速度ω绕轴做匀速转动时，求流过R的电流．
【答案】
【解析】本题考查转动切割磁感线产生感应电动势的情况，解题关键是将转动等效为平动，进而利用E＝BLv得到转动切割表达式E＝.
每根辐条切割磁感线产生的感应电动势E＝，5根辐条并联，其电动势仍为E.等效电源的内阻为，外电阻为R，因此流过R的电流I＝＝.
考点五、电磁感应中电荷量的计算
在电磁感应现象中有电流通过电路，那么导线中也就有电荷通过．由电流的定义式I＝可知Δq＝IΔt，必须注意I应为平均值．而＝，所以要通过求感应电动势的平均值求其电荷量，即Δq＝Δt＝＝.其中n为匝数，R为总电阻．
由此可知，感应电荷量Δq仅由磁通量变化大小ΔΦ与电路的电阻R及线圈匝数n决定，与磁通量的变化时间无关．
注意：不能由瞬时电动势求电荷量．
【典例1】如图甲所示，一个圆形线圈的匝数n＝100，线圈面积S＝200 cm2，线圈的电阻r＝1 Ω，线圈外接一个阻值R＝4 Ω的电阻，把线圈放入一方向垂直线圈平面向里的匀强磁场中，磁感应强度随时间变化规律如图乙所示。下列说法中正确的是( )
A．线圈中的感应电流方向为顺时针方向
B．电阻R两端的电压随时间均匀增大
C．线圈电阻r消耗的功率为4×10－4 W
D．前4 s内通过R的电荷量为4×10－4 C
【答案】C
【解析】由楞次定律，线圈中的感应电流方向为逆时针方向，选项A错误；由法拉第电磁感应定律，产生的感应电动势恒定为E＝nSΔB/Δt＝0.1 V，电阻R两端的电压不随时间变化，选项B错误；回路中电流I＝E/(R＋r)＝0.02 A，线圈电阻r消耗的功率为P＝I2r＝4×10－4 W，选项C正确；前4 s内通过R的电荷量为q＝It＝0.08 C，选项D错误。
【典例2】如图所示，两光滑平行金属导轨间距为L，直导线MN垂直跨在导轨上，且与导轨接触良好，整个装置处在垂直于纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度为B。电容器的电容为C，除电阻R外，导轨和导线的电阻均不计。现给导线MN一初速度，使导线MN向右运动，当电路稳定后，MN以速度v向右做匀速运动时( )
A．电容器两端的电压为零
B．电阻两端的电压为BLv
C．电容器所带电荷量为CBLv
D．为保持MN匀速运动，需对其施加的拉力大小为
【答案】C
【解析】当导线MN匀速向右运动时，导线MN产生的感应电动势恒定，稳定后，电容器既不充电也不放电，无电流产生，故电阻两端没有电压，电容器两极板间的电压为U＝E＝BLv，所带电荷量Q＝CU＝CBLv，故A、B错，C对；MN匀速运动时，因无电流而不受安培力， 故拉力为零，D错。
练习1、（多选）如图所示，间距为L、电阻不计的足够长平行光滑金属导轨水平放置，导轨左端用一阻值为R的电阻连接，导轨上横跨一根质量为m、电阻也为R的金属棒，金属棒与导轨接触良好。整个装置处于竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中。现使金属棒以初速度v沿导轨向右运动，若金属棒在整个运动过程中通过的电荷量为q。下列说法正确的是( )
A．金属棒在导轨上做匀减速运动
B．整个过程中金属棒克服安培力做功为mv2
C．整个过程中金属棒在导轨上发生的位移为
D．整个过程中电阻R上产生的焦耳热为mv2
【答案】BC
【解析】金属棒在整个运动过程中，受到竖直向下的重力，竖直向上的支持力，这两个力合力为零，受到水平向左的安培力，金属棒受到的合力为安培力；金属棒受到的安培力F＝BIL＝BL·＝BL·＝，金属棒受到安培力作用而做减速运动，速度v不断减小，安培力不断减小，加速度不断减小，故金属棒做加速度逐渐减小的变减速运动，故A错误；整个过程中由动能定理可得：－W安＝0－mv2，金属棒克服安培力做功为W安＝mv2，故B正确；整个过程中感应电荷量q＝IΔt＝·Δt，又E＝＝，联立得q＝，故金属棒的位移s＝，故C正确；克服安培力做功把金属棒的动能转化为焦耳热，由于金属棒电阻与电阻串联在电路中，且阻值相等，则电阻R上产生的焦耳热Q＝W安＝mv2，故D错误。
练习2、如图所示，一对光滑的平行金属导轨固定在同一水平面内，导轨间距l＝0.5 m，左端接有阻值R＝0.3 Ω的电阻。一质量m＝0.1 kg，电阻r＝0.1 Ω的金属棒MN放置在导轨上，整个装置置于竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B＝0.4 T。棒在水平向右的外力作用下，由静止开始以a＝2 m/s2的加速度做匀加速运动。当棒的位移x＝9 m时撤去外力，棒继续运动一段距离后停下来，已知撤去外力前后回路中产生的焦耳热之比Q1∶Q2＝2∶1。导轨足够长且电阻不计，棒在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触。求：
(1)棒在匀加速运动过程中，通过电阻R的电荷量q；
(2)撤去外力后回路中产生的焦耳热Q2；
(3)外力做的功WF。
【答案】(1)4.5 C (2)1.8 J (3)5.4 J
【解析】(1)设棒匀加速运动的时间为Δt，回路的磁通量变化量为ΔΦ，回路中的平均感应电动势为E，由法拉第电磁感应定律得E＝ ①
其中ΔΦ＝Blx ②
设回路中的平均电流为I，由闭合电路的欧姆定律得I＝ ③
则通过电阻R的电荷量为q＝Iδt ④
联立①②③④式，代入数据得q＝4.5 C ⑤
(2)设撤去外力时棒的速度为v，对棒的匀加速运动过程，由运动学公式得
v2＝2ax ⑥
设棒在撤去外力后的运动过程中安培力做功为W，由动能定理得W＝0－mv2⑦
撤去外力后回路中产生的焦耳热Q2＝－W ⑧
联立⑥⑦⑧式，代入数据得Q2＝1.8 J ⑨
(3)由题意知，撤去外力前后回路中产生的焦耳热之比Q1∶Q2＝2∶1，可得
Q1＝3.6 J
在棒运动的整个过程中，由功能关系可知，WF＝Q1＋Q2
由⑨⑩ 式得WF＝3.6 J＋1.8 J＝5.4 J
练习3、有一面积为S＝100 cm2的金属环，电阻为R＝0.1 Ω，环中磁场变化规律如图所示，且磁场方向垂直纸面向里，在t1到t2时间内，通过金属环的电荷量为多少？
【答案】 0.01 C
【解析】由题图可知磁感应强度的变化率为：
＝ ①
金属环中磁通量的变化率：
＝S＝S ②
环中形成的感应电流I＝＝＝ ③
通过金属环的电荷量q＝IΔt ④
由①②③④解得
q＝＝ C＝0.01 C.
练习4、如图所示，空间存在垂直于纸面的匀强磁场，在半径为a的圆形区域内部及外部，磁场方向相反，磁感应强度的大小均为B.一半径为b(b>a)、电阻为R的圆形导线环放置在纸面内，其圆心与圆形区域的中心重合．当内、外磁场同时由B均匀地减小到零的过程中，通过导线环截面的电荷量为( )
A. B．
C. D．
【答案】A
【解析】开始时穿过导线环向里的磁通量设为正值，Φ1＝Bπa2，向外的磁通量则为负值，Φ2＝－B·π(b2－a2)，总的磁通量为它们的代数和(取绝对值)Φ＝B·π|b2－2a2|，末态总的磁通量为Φ′＝0，由法拉第电磁感应定律得平均感应电动势为＝，通过导线环截面的电荷量为q＝·Δt＝。
考点六、电磁感应中的动力学和能量问题
闭合线框垂直进入或离开磁场做切割磁感线的运动，则产生感应电动势，影响回路电流，从而使线框所受安培力发生变化，最终影响线框自身的变化．具体讨论如下：
（1）线框以一定初速度进入磁场或离开磁场，除安培力外不受其他外力，如图1(a)(b)所示．我们将从电路、动力学和能量角度分别分析．
①电路：首先明确线框哪一部分切割磁感线．
根据法拉第电磁感应定律，整个过程平均感应电动势为．
根据闭合电路欧姆定律，整个过程平均电流，其中R为线框的总电阻．电流方向可根据右手定则或楞次定律判断．
则通过线框的电荷量．
即整个过程通过线框的电荷量只与线圈匝数、磁通量的变化量以及线框电阻有关．
②动力学
利用左手定则，结合电流方向判定线框所受安培力方向，并作出受力分析图．显然安培力与初速度方向相反．
某时刻下若线框的速度为v，根据法拉第电磁感应定律，瞬时感应电动势；又由闭合电路欧姆定律，瞬时电流，则线框所受安培力大小．
根据牛顿定律：
由于安培力与速度方向相反，线框速度减小，则加速度减小，因此线框做加速度逐渐减小的减速运动．
在的情况下，上式还可写成：．
整理得：，由于，，则上式求和可得：
即：
若明确研究过程的初末状态，代入就能确定初速度与末速度的关系．
③能量
安培力瞬时功率，而线框中某时刻的热功率，因此克服安培力所做的功等于回路产生的热量．从能量守恒的角度出发，即线框减少的动能转化成回路产生的热量．
(2)线框在恒力F作用下，以一定初速度垂直进入或离开磁场，如图2(a)(b)所示．
①电路
由于通过线框的电荷量与外力大小无关，故电荷量仍然符合．
②动力学
根据左手定则和电流方向确定安培力方向，画出受力分析图，这种情况下安培力方向仍与速度方向相反．
某时刻下若线框的速度为v，则感应电动势，感应电流，安培力大小．
根据牛顿定律：
a．若初始时刻恒力F大于安培力，线框做加速运动，则：
可知线框做加速度逐渐减小的加速运动，当时有最大速度，
b．若初始时刻恒力F小于安培力，线框做减速运动，
可知线框做加速度逐渐减小的减速运动，当时有最小速度，
在的情况下仍有：
即：
若知道整个运动过程的时间t，代入即可确定初速度与末速度的关系．
③能量
安培力瞬时功率，而线框中某时刻的热功率，因此克服安培力所做的功仍然等于回路产生的热量．从功能关系或能量守恒角度出发，加速运动时外力所做的功转化为线框产热和动能；减速运动时外力所做的功和动能减少量转化为线框产热．
【典例1】（多选）如图所示，MN、PQ是与水平面成θ角的两条平行光滑且足够长的金属轨道，其电阻忽略不计。空间存在着垂直于轨道平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。导体棒ab、cd垂直于轨道放置，且与轨道接触良好，每根导体棒的质量均为m，电阻均为r，轨道宽度为L，与轨道平行的绝缘细线一端固定，另一端与ab棒中点连接，细线承受的最大拉力Tm＝2mgsin θ。今将cd棒由静止释放，则细线被拉断时，cd棒的( )
A．速度大小是
B．速度大小是
C．加速度大小是2gsin θ
D．加速度大小是0
【答案】AD
【解析】由静止释放后cd棒沿斜面向下做加速运动，随着速度的增大，E＝BLv变大，I＝也变大，F＝BIL也变大，对ab棒，当T＝2mgsin θ＝mgsin θ＋BIL时细线刚好被拉断，此时v＝，cd棒这时向上的安培力与沿斜面向下的重力的分力平衡，加速度大小是0，故选项A、D正确，选项B、C错误。
【典例2】(多选)如图所示，两根足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为θ，两导轨间距为L，上端接有阻值为R的电阻。一根质量为m的均匀直导体棒ab放在两导轨上，并与导轨垂直。整套装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B，导轨和导体棒的电阻可忽略。让导体棒沿导轨由静止开始下滑，导轨和导体棒接触良好，不计它们之间的摩擦。重力加速度为g。下列选项正确的是( )
A．导体棒下滑时的最大加速度为gsin θ
B．导体棒匀速运动时所受的安培力为mgsin θ
C．导体棒匀速运动时产生的电动势为R
D．导体棒匀速运动时的速度为
【答案】ACD
【解析】导体棒刚开始下滑时所受合外力最大，为mgsin θ，所以产生的加速度最大，为gsin θ，A正确；当导体棒匀速运动时，由受力分析知，安培力F＝mgtan θ，所以B错误；由F＝BIL得I＝＝，所以电动势E＝IR＝R，C正确；由E＝BLvcos θ，得v＝，所以D正确。
练习1、如图所示，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L。导轨上端接有一平行板电容器，电容为C。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面。在导轨上放置一质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：
(1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；
(2)金属棒的速度大小随时间变化的关系。
【答案】(1)Q＝CBLv (2)v＝gt
【解析】(1)设金属棒下滑的速度大小为v，则感应电动势为E＝BLv ①
平行板电容器两极板之间的电势差为U＝E ②
设此时电容器极板上积累的电荷量为Q，按定义有C＝ ③
联立①②③式得Q＝CBLv ④
(2)设金属棒的速度大小为v时经历的时间为t，通过金属棒的电流为i。金属棒受到的磁场的作用力方向沿导轨向上，大小为f1＝Bli ⑤
设在时间间隔(t，t＋Δt)内流经金属棒的电荷量为ΔQ，按定义有i＝ ⑥
ΔQ也是平行板电容器两极板在时间间隔(t，t＋Δt)内增加的电荷量。由④式得ΔQ＝CBLΔv ⑦
式中，Δv为金属棒的速度变化量。按定义有a＝ ⑧
金属棒所受到的摩擦力方向斜向上，大小为f2＝μN ⑨
式中，N是金属棒对于导轨的正压力的大小，有N＝mgcos θ ⑩
金属棒在时刻t的加速度方向沿斜面向下，设其大小为a，根据牛顿第二定律有
mgsin θ－f1－f2＝ma
联立⑤至 式得
a＝g
由 式及题设可知，金属棒做初速度为零的匀加速直线运动。t时刻金属棒的速度大小为
v＝gt
练习2、如图，两条足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ相距为L，倾角=30°，N、Q两点间接有阻值为R的电阻，整个装置处于垂直导轨平面向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。质量为m、长为L、阻值为R的金属杆放在导轨上，与导轨接触良好。t= 0时，用一沿导轨向下的变力F拉金属杆，使金属杆从静止开始沿导轨向下做加速度为g的匀加速直线运动。已知重力加速度的大小为g，不计导轨电阻，求∶
（1）金属杆下滑距离d时，电阻R两端的电压；
（2）拉力F随t变化的关系式。
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1） 金属杆下滑d时的速度为v1
金属杆切割磁感线产生的电动势为
E1 = BLv1
根据闭合电路欧姆定律，得
电阻R两端的电压
（2）根据牛顿第二定律，得
F + mgsinθ- F安= mg
F安= BIL
其中∶
E=BLv
v=gt
联立解得∶
练习3、如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨，间距为l，导轨所在平面与水平面成角，M、P间接阻值为R的电阻。匀强磁场的方向垂直导轨所在平面向上，磁感应强度大小为B。质量为m、阻值为r、长度为l的金属棒放在两导轨上，在平行于导轨的拉力作用下，以速度v匀速向上运动。已知金属棒与导轨始终垂直并且保持良好接触，重力加速度为g。求
（1）金属棒产生的感应电动势；
（2）通过电阻R的电流大小和方向；
【答案】（1）；（2），方向从P到M
【解析】
(1)金属棒产生的感应电动势
(2)由闭合电路欧姆定律可得，通过电阻R的电流大小
由右手定则可知，电流方向从P到M。
练习4、如图甲所示，水平面内固定两根间距为的长直平行光滑金属导轨，其右端接有阻值为的电阻，一阻值为、长度为的金属棒垂直导轨放置于距导轨右端处，且与两导轨保持良好接触．整个装置处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度的大小随时间变化的情况如图乙所示。在内在金属棒的中点施加一水平外力，使金属棒保持静止，后金属棒在水平外力的作用下，从静止开始向左做加速度为的匀加速直线运动，导轨电阻不计。求：
（1）第内电阻产生的热量；
（2）时通过金属棒的电流大小；
（3）前内通过金属棒的电荷量。
【答案】（1）1.5J；（2）1A；（3）1.5C
【解析】
（1）在内，由法拉第电磁感应定律可得电动势为
由闭合电路的欧姆定种有温电流的大小为
第内电阻产生的热量为
（2）时金属棒的速度为
感应电动势大小为
根据闭合电路的欧姆定律可得时通过金属棒的电流大小为
（3）第内通过金属棒的电荷量为
金属棒在第内的位移大小为
根据法拉第电磁感应定律可得
第内的平均感应电流大小为
则第内通过金属棒的电荷量为
则前内通过金属棒的电荷量为
二、夯实小练
1、如图，空间有一匀强磁场，一直金属棒与磁感应强度方向垂直，当它以速度v沿与棒和磁感应强度都垂直的方向运动时，棒两端的感应电动势大小为ε，将此棒弯成两段长度相等且相互垂直的折线，置于与磁感应强度相垂直的平面内。当它沿两段折线夹角平分线的方向以速度v运动时，棒两端的感应电动势大小为ε′，则等于( )
A. B.
C．1 D.
【答案】 B
【解析】B 设折弯前导体切割磁感线的长度为L，ε＝BLv；折弯后，导体切割磁感线的有效长度为l＝ ＝ L，故产生的感应电动势为ε′＝Blv＝B·Lv＝ε，所以＝，B正确。
2、如图所示，把一阻值为R、边长为L的正方形金属线框，从磁感应强度为B的匀强磁场中，以速度v向右匀速拉出磁场。在此过程中线框中产生了电流，此电流( )
A．方向与图示箭头方向相同，大小为
B．方向与图示箭头方向相同，大小为
C．方向与图示箭头方向相反，大小为
D．方向与图示箭头方向相反，大小为
【答案】A
【解析】利用右手定则可判断感应电流是逆时针方向。根据E＝BLv知，电流I＝＝。
3、如图所示，平行导轨间的距离为d，一端跨接一个电阻R，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直于平行金属导轨所在的平面。一根足够长的金属棒与导轨成θ角放置。金属棒与导轨的电阻不计，当金属棒沿垂直于棒的方向滑行时，通过电阻R的电流为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】题中B、l、v满足两两垂直的关系，所以E＝Blv，其中l＝，即E＝，故通过电阻R的电流为，选D。
（多选）单匝线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场的轴匀速转动，穿过线圈的磁通量随时间变化的图像如图所示，则( )
A．在t＝0时，线圈中磁通量最大，感应电动势也最大
B．在t＝1×10－2 s时，感应电动势最大
C．在t＝2×10－2 s时，感应电动势为零
D．在0～2×10－2 s时间内，线圈中感应电动势的平均值为零
【答案】BC
【解析】由法拉第电磁感应定律知E∝，故t＝0及t＝2×10－2 s时，E＝0，选项A错误，选项C正确；t＝1×10－2 s时，E最大，选项B正确；0～2×10－2 s，ΔΦ≠0，E≠0，选项D错误。
5、如图所示，在半径为R的虚线圆内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间变化关系为B＝B0＋kt。在磁场外距圆心O为2R处有一半径恰为2R的半圆导线环(图中实线)，则导线环中的感应电动势大小为( )
A．0 B．kπR2
C. D．2kπR2
【答案】C
【解析】由E＝n＝＝πR2k可知选项C正确。
6、(多选）无线电力传输目前取得重大突破，在日本展出了一种非接触式电源供应系统，这种系统基于电磁感应原理可无线传输电力。两个感应线圈可以放置在左右相邻或上下相对的位置，原理示意图如图所示。下列说法正确的是( )
A．若甲线圈中输入电流，乙线圈中就会产生感应电动势
B．只有甲线圈中输入变化的电流，乙线圈中才会产生感应电动势
C．甲中电流越大，乙中感应电动势越大
D．甲中电流变化越快，乙中感应电动势越大
【答案】BD
【解析】根据产生感应电动势的条件，只有处于变化的磁场中，乙线圈才能产生感应电动势，A错，B对；根据法拉第电磁感应定律，感应电动势的大小取决于磁通量变化率，所以C错，D对。
7、如图甲所示线圈的匝数n＝100匝，横截面积S＝50 cm2，线圈总电阻r＝10 Ω，沿轴向有匀强磁场，设图示磁场方向为正，磁场的磁感应强度随时间作如图乙所示变化，则在开始的0.1 s内( )
A．磁通量的变化量为0.25 Wb
B．磁通量的变化率为2.5×102 Wb/s
C．a、b间电压为0
D．在a、b间接一个理想电流表时，电流表的示数为0.25 A
【答案】D
【解析】通过线圈的磁通量与线圈的匝数无关，若设Φ2＝B2S为正，则线圈中磁通量的变化量为ΔΦ＝B2S－(－B1S)，代入数据即ΔΦ＝(0.1＋0.4)×50×10－4 Wb＝2.5×10－3 Wb，A错误；磁通量的变化率＝ Wb/s＝2.5×10－2 Wb/s，B错误；根据法拉第电磁感应定律可知，当a、b间断开时，其间电压等于线圈产生的感应电动势，感应电动势大小为E＝n＝2.5 V且恒定，C错误；在a、b间接一个理想电流表时相当于a、b间接通而形成回路，回路总电阻即为线圈的总电阻，故感应电流大小I＝＝0.25 A，选项D正确。
8、在如图所示的三维坐标系中，有与x轴同方向的磁感应强度为B的匀强磁场，一矩形导线框，面积为S，电阻为R，其初始位置abcd与xOz平面的夹角为θ，以z轴为转动轴沿顺时针方向匀速转动2θ角到达a′b′cd位置，角速度为ω。求：
(1)这一过程中导线框中产生的感应电动势的平均值；
(2)θ为0°时感应电动势的瞬时值。
【答案】(1) (2)BSω
【解析】(1)导线框转动2θ角的过程所用的时间Δt＝，穿过线框的磁通量的变化量ΔΦ＝2BSsin θ。由法拉第电磁感应定律知，此过程中产生的感应电动势的平均值
＝＝＝。
(2)θ为0°时，线框中感应电动势的大小为ab边切割磁感线产生的感应电动势的大小
E＝B···ω＝BSω。
如图所示，导线OA长为l，在方向竖直向上，磁感应强度为B的匀强磁场中以角速度ω沿图中所示方向绕通过悬点O的竖直轴旋转，导线OA与竖直方向的夹角为θ。则OA导线中的感应电动势大小和O、A两点电势高低情况分别是( )
A．Bl2ω O点电势高
B．Bl2ω A点电势高
C.Bl2ωsin2θ O点电势高
D.Bl2ωsin2θ A点电势高
【答案】D
【解析】导线OA切割磁感线的有效长度等于圆的半径，即R＝l·sin θ，产生的感应电动势E＝BR2ω＝Bl2ωsin2θ，由右手定则可知A点电势高，所以D正确。
如图所示，有一匝接在电容器两端的圆形导线回路，圆形导线回路中存在垂直于回路平面向里的匀强磁场B，已知圆的半径r＝5 cm，电容C＝20 μF，当磁场B以4×10－2 T/s的变化率均匀增加时，则( )
A．电容器a板带正电，电荷量为2π×10－9 C
B．电容器a板带负电，电荷量为2π×10－9 C
C．电容器b板带正电，电荷量为4π×10－9 C
D．电容器b板带负电，电荷量为4π×10－9 C
【答案】A
【解析】根据楞次定律可判断a板带正电，线圈中产生的感应电动势E＝πr2＝π×10－4 V，板上电荷量Q＝CE＝2π×10－9 C，选项A正确。
11、如图所示，固定于水平面上的金属架CDEF处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒MN沿框架以速度v向右做匀速运动。t＝0时，磁感应强度为B0，此时MN到达的位置使MDEN构成一个边长为l的正方形，为使MN棒中不产生感应电流，从t＝0开始，磁感应强度B应怎样随时间t变化？请推导出这种情况下B与t的关系式。
【答案】B＝
【解析】要使MN棒中不产生感应电流，应使穿过闭合回路的磁通量不发生变化。
在t＝0时刻，穿过闭合回路的磁通量
Φ1＝B0S＝B0l2
设t时刻的磁感应强度为B，此时磁通量为
Φ2＝Bl(l＋vt)
由Φ1＝Φ2得B＝。
12.如图所示，倾角为α的光滑导轨上端接入一定值电阻，Ⅰ和Ⅱ是边长都为L的两正方形磁场区域，其区域内的磁场方向都垂直于导轨平面向上，区域Ⅰ中磁场的磁感应强度为B1，恒定不变，区域Ⅱ中磁场随时间按B2＝kt变化，一质量为m、电阻为r的金属杆穿过区域Ⅰ垂直地跨放在两导轨上，并恰能保持静止(金属杆所受安培力沿斜面向上)。试求：
(1)通过金属杆的电流大小。
(2)定值电阻的阻值为多大？
【答案】(1) (2)－r
【解析】(1)对金属杆：mgsin α＝B1IL①
解得：I＝。②
(2)感应电动势E＝＝L2＝kL2③
闭合电路的电流I＝④
联立②③④得：R＝－r＝－r。
三、培优练习
1、如图所示，100匝的线圈两端M、N与一个理想电压表V相连。线圈内有方向垂直纸面向内的磁场，线圈中的磁通量按如图所示规律变化。则下列说法正确的是（ ）
A．电压表示数为150V，M端接电压表正接线柱 B．电压表示数为150V，N端接电压表正接线柱
C．电压表示数为50.0V，M端接电压表正接线柱 D．电压表示数为50.0V，N端接电压表正接线柱
【答案】 C
【解析】根据法拉第电磁感应定律得
根据楞次定律，M端接电源正极，所以电压表示数为50.0V，M端接电压表正接线柱。
2、如图所示，先后以速度v1和v2匀速把一矩形线圈拉出有界匀强磁场区域，v1=2v2。在先后两种情况下（ ）
A．通过线圈某截面的电荷量之比q1∶q2=1∶1
B．线圈中的感应电流之比为I1∶I2=1∶1
C．线圈中的感应电流之比为I1∶I2=1∶2
D．通过线圈某截面的电荷量之比q1∶q2=2∶1
【答案】 A
【解析】BC．匀速拉动时感应电流
已知v1=2v2，则
I1∶I2=2∶1
故BC错误；
AD．线框拉出磁场的时间
根据
可知通过某截面的电荷量之比为
q1∶q2=1∶1
故A正确，D错误。
3、由螺线管、电阻和水平放置的平行板电容器组成的电路如图甲所示。螺线管处于方向竖直向上、磁感应强度大小为的磁场中，随时间变化的图像如图乙所示。一电荷量为的颗粒在时间内悬停在电容器中。则（ ）
A．颗粒带正电
B．时间内，感应电动势增大
C．时间内，电路中没有感应电流
D．时间内，点电势高于点电势
【答案】 C
【解析】A．一电荷量为的颗粒在时间内悬停在电容器中，由平衡条件可知
电场力方向竖直向上，在时间内，根据楞次定律可知，电容器上极板带正电，下极板带负电，则场强方向竖直向下，所以颗粒带负电，则A错误；
B．根据
则在时间内，感应电动势保持不变，所以B错误；
CD．在时间内，感应电动势不变，电容器稳定时没有电流通过，则点电势等于点电势，所以C正确D错误；
4．如图所示，阻值为的金属棒从图示位置分别以、的速度沿光滑导轨（电阻不计）匀速滑到位置，若，则在这两次过程中（ ）
A．回路电流 B．产生的热量
C．通过任一截面的电荷量 D．外力的功率
【答案】 A
【解析】A．感应电动势为
电流为
所以回路电流。A正确；
B．产生的热量为
所以产生的热量，B错误；
C．通过任一截面的电荷量为
所以通过任一截面的电荷量。C错误；
D．导体棒做匀速运动，所以外力与安培力平衡，则外力的功率为
故外力的功率，D错误。
5、一个面积S = 0.05m2匝数n = 100的闭合线圈放在匀强磁场中，磁场方向垂直于线圈平面，磁感应强度B随时间t变化的规律如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．0 ~ 2s内线圈中感应电流的方向发生了改变
B．2 ~ 4s内穿过线圈的磁通量的变化量等于零
C．0 ~ 2s内线圈中产生的感应电动势等于10V
D．在第3s末线圈中的感应电动势等于零
【答案】 C
【解析】A．在0 ~ 2s内线圈的磁通量变化率是恒定的，则产生的电流为恒定电流，A错误；
B．在2 ~ 4s内穿过线圈的磁通量的变化量为Φ = 2BS不等于零，B错误；
C．在0 ~ 2s内线圈中产生的感应电动势为
E = n = 100 × 0.1V = 10V
C正确；
D．在2 ~ 4s内线圈的磁通量变化率是恒定的且不为零，则产生的电流为恒定电流，所以在第3s末线圈中的感应电动势不等于零，D错误。
6、如图所示，宽为h的矩形线框从初始位置由静止开始下落，进入一水平的匀强磁场，磁场方向与线框平面垂直，且。已知线框刚进入磁场时恰好匀速下落，则线框刚出磁场时将做（ ）
A．向下的匀速运动 B．向下的减速运动
C．向下的加速运动 D．向上的运动
【答案】 B
【解析】进入磁场时做匀速运动，知安培力与重力相等，有
完全进入磁场后，做加速运动，出磁场的速度大于v，则安培力大于mg，安培力的方向竖直向上，知线框做减速运动，速度减小，安培力减小，加速度减小，则线框的运动是变减速运动。故B正确ACD错误。
7、如图所示，一平行金属导轨与水平成放置，导轨间的距离为L，在OO’的上方区域存在与导轨平面垂直，磁感应强度为B的匀强磁场（图中未全部画出），导轨的下端接有阻值为2R的电阻，在导轨的上端垂直于导轨放有一质量为m的导体棒ab，另有一质量为M的导体棒cd垂直于导轨，以v0的速度沿导轨向上进入磁场，cd与导轨无摩擦，当cd进入和离开磁场时，导体棒ab恰好保持静止，且导体棒ab一直处于静止状态，两导体棒一直没有相撞。已知两导体棒的长度均为L，cd棒电阻为R，ab棒电阻为2R，导体棒与导轨接触良好，不计其他电阻。则：（ ）
A．导体棒ab恰好不受摩擦力时，导体棒cd的速度为
B．cd上滑过程中重力的冲量等于下滑过程中重力的冲量
C．cd上滑过程中通过R的电荷量大于下滑过程中通过R的电荷量
D．cd离开磁场时的速度为v0
【答案】 A
【解析】A．导体棒ab恰好不受摩擦力时，设通过ab棒的电流为I，则有
电路的感应电动势为
联立解得
A正确；
B．cd上滑过程中，根据牛顿第二定律得
cd下滑过程中，根据牛顿第二定律得
可知，上滑加速度始终大于下滑加速度，根据可知，下滑时间较长，所以下滑时重力的冲量较大。B错误；
C．通过的电荷量为
解得
通过R的电荷量与导体棒cd运动的位移有关，因为上滑和下滑过程中运动的位移大小相同，所以通过R的电荷量相同，C错误；
D．根据能量守恒，导体棒有部分机械能转化为电能，所以导体棒进入磁场时的速度要大于离开磁场时的速度，D错误。
8、（多选）如图甲所示，正方形金属线圈abcd位于竖直平面内，其质量为m，电阻为R，在线圈的下方有一匀强磁场，MN和是磁场的水平边界，并与bc边平行，磁场方向垂直于纸面向里。现使金属线圈从MN上方某一高度处由静止开始下落，图乙是线圈开始下落到完全穿过匀强磁场区域瞬间的v-t图像，图中给出的数据均为已知量，重力加速度大小为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．金属线圈刚出磁场时感应电流方向为a→d→c→b→a
B．时刻金属线圈做自由落体运动
C．金属线圈产生的总热量为
D．金属线圈产生的总热量为
【答案】 AD
【解析】A．根据右手定则，金属线圈刚出磁场时感应电流方向为a→d→c→b→a。A正确；
B．时刻金属线圈完全进入磁场，仅受重力，做竖直下抛运动。B错误；
CD．线圈进出磁场的过程中，线圈会产生热量，则进入磁场的过程中，产生的热量为
出磁场的过程中，产生的热量为
所以总热量为
C错误，D正确。
9、（多选）如图所示，两个同种材料，粗细相同的导线制成的单匝线框M、N，M是边长为L的正方形，N是边长为的长方形，两线框置于同一竖直平面内、同一高度处，线框正下方虚线的下侧有垂直纸面水平向里的匀强磁场，将两线框由静止释放，重力加速度大小为g，在线框刚进入下方磁场时，下列说法正确的是（ ）
A．两线框均产生逆时针方向的感应电流
B．M、N线框中的感应电流之比为3：4
C．M、N线框所受的安培力大小之比为3：2
D．若线框M进入磁场的过程中恰好做匀速运动，则线框N刚进入磁场时的加速度大小为
【答案】 ABD
【解析】A．根据右手定则，两线框均产生逆时针方向的感应电流。A正确；
B．两线框从同一高度释放，所以进入磁场时的速度大小相等，则感应电流为
，
所以电流之比为3：4，B正确；
C．根据安培力公式得安培力之比为3：8，C错误；
D．线框M进入磁场的过程中恰好做匀速运动，有
根据两线框长度关系，可知线框N的质量为
对线框N有
解得
。
10、（多选）如图所示，足够长的U形光滑金属导轨平面与水平面成角，其中MN与PQ平行且间距为L，磁感应强度为B的匀强磁场垂直导轨平面，导轨NQ部分电阻为R，其余部分电阻不计。金属棒ab由静止开始沿导轨下滑，与两导轨垂直且接触良好，ab棒接入电路部分的电阻为R，当流过ab棒某一横截面的电荷量为q时，ab棒的速度大小为v，不计空气阻力，则金属棒ab在这一过程中（ ）
A．运动的平均速度大小为 B．下滑位移大小为
C．产生的焦耳热小干 D．受到的最大安培力大小为
【答案】 BCD
【解析】A．对金属棒，根据牛顿第二定律有
由于v从0增大，所以金属棒做加速度越来越小的加速运动，则其平均速度，A错误；
B．由
可得
B正确；
C．在此过程中，金属棒产生的感应电动势最大值为
电路产生的焦耳热
ab棒产生的焦耳热等于焦耳热的一半，则
C正确；
D．ab棒受到的最大安培力大小为
。
11、（多选）如图甲所示，一电阻不计且足够长的固定光滑平行金属导轨、间距，下端接有阻值的电阻，导轨平面与水平面间的夹角。整个装置处于方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中。一质量、阻值的金属棒垂直于导轨放置并用绝缘细线通过光滑的定滑轮与质量的重物相连，左端细线沿方向。棒由静止释放后，沿方向位移x与时间t之间的关系如图乙所示，其中为直线。已知棒在0~0.3s内通过的电荷量是0.3~0.4s内通过电荷量的2倍，g取，下列说法正确的是（ ）
A．图乙中a点的纵坐标是0.6m
B．棒在0~0.3s内通过的电荷量是0.6C
C．磁感应强度
D．电阻R在0~0.4s内产生的热量
【答案】 ABD
【解析】A．通过导体棒的电荷量为
棒在0~0.3s内通过的电荷量是0.3~0.4s内通过电荷量的2倍，则有
解得
A正确；
BC．0.3s后棒做匀速运动，则受力平衡，有
根据闭合电路的欧姆定律得
解得
B正确，C错误；
D．在0~0.4s内，对导体棒由动能定理得
根据功能关系有
在电路中，电阻R在0~0.4s内产生的热量
联立解得
D正确。
12、如图所示，足够长的竖直放置的“”形光滑导轨的间距L=0.2m，导轨上端接一阻值R1=0.4Ω的定值电阻，一电阻R2=0.1Ω的导体棒ab与导轨垂直且接触良好，整个装置处于磁感应强度大小B=1T，方向与导轨所在平面垂直的匀强磁场中。现将ab由静止释放，最终导体棒以大小v=20m/s的速度匀速下滑。导轨电阻及空气阻力均不计，取重力加速度大小g=10m/s2，求：
（1）当导体棒ab匀速下滑时，回路中通过的电流I；
（2）导体棒ab的质量m。
【答案】 （1）8A；（2）0.16kg
【解析】（1）当导体棒匀速下滑时，导体棒上产生的感应电动势
此时回路中通过的感应电流
解得
（2）由物体的平衡条件有
解得
13、如图所示，一对平行的粗糙金属导轨固定于同一水平面上，导轨间距L=0.2m，导轨左端接有阻值R=0.2的电阻，右侧平滑连接一对弯曲的光滑轨道，仅在水平导轨的整个区域内存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小B=1.0T。一根质量m=0.4kg，电阻r=0.1的金属棒ab垂直放置于导轨上，金属棒ab在水平向右F=0.8N的恒力作时下从静止开始运动，当金属棒通过位移x=9m时离开磁场，在离开磁场前金属棒ab的速度已达到最大值。当金属棒离开磁场时撤去外力F，接着金属棒沿弯曲轨道向上运动。已知金属棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.1，导轨电阻不计，金属棒在运动过程中始终与导轨垂直且与导轨保持良好接触，取g=10m/s2。求∶
（1）金属棒运动的最大速率v及金属棒沿弯曲轨道上升的最大高度h；
（2）金属棒在磁场中速度为时的加速度大小；
（3）金属棒在磁场区域运动过程中，电阻R上产生的焦耳热。
【答案】 （1）3m/s，0.45m；（2）0.5m/s2；（3）1.2J
【解析】（1）金属棒在磁场中做匀速运动时，设回路中的电流为I，根据平衡条件得
F=BIL+μmg
解得金属棒运动的最大速率为
v=3m/s
金属棒出磁场后在弯曲轨道上上升的过程中，由机械能守恒定律得
金属棒沿弯曲轨道上升的最大高度为
h=0.45m
（2）金属棒速度为时，设回路中的电流为I'，根据牛顿第二定律得
F-BI'L-μmg=ma
代入数据解得
a=0.5m/s2
（3）设金属棒在磁场区域运动过程中，回路中产生的焦耳热为Q，根据功能关系
则电阻R上的焦耳热为
代入数据解得
QR=1.2J
14、如图所示，固定在倾角θ=37°的斜面上的两根足够长的平行长直光滑金属导轨的间距d=0.5m，其底端接有阻值R=4Ω的电阻，整个装置处在方向垂直斜面向上、磁感应强度大小B=5T的匀强磁场中。一质量m=2kg的导体杆ab（质量分布均匀）垂直于导轨放置，且与两导轨保持良好接触。现ab在沿斜面向上、垂直于ab的恒力F=15N作用下，从静止开始沿导轨向上运动，当导体棒的位移达到L=8m时，其速度恰好达到最大（运动过程中ab始终与导轨保持垂直）。设ab接入电路的电阻r=1Ω，导轨电阻不计，重力加速度大小g=10m/s2。求此过程中；
（1）ab的速度最大值；
（2）流过电阻R的电荷量。
【答案】 （1）2.4m/s；（2）
【解析】（1）由导体棒切割磁感线产生感应电动势最大值
Em=Bdvm
感应电流
导体棒所受安培力
F安=BId
当ab达到最大速度时满足
F=F安+mgsinθ
代人数据得
vm=2.4m/s
（2）流过电阻R的电荷量
联立解得
15、如图，、为足够长的光滑平行的水平金属导轨，电阻，置于竖直向下的有界匀强磁场中，为磁场边界，磁场磁感应强度，导轨间距，质量的导体棒垂直置于导轨上且与导轨接触良好，导体棒接入电路的电阻为。时刻，导体棒在的水平拉力作用下从左侧某处由静止开始运动，时棒进入磁场继续运动，导体棒始终与导轨垂直。
（1）求导体棒时刻进入磁场瞬间的加速度a的大小及回路的电功率；
（2）若导体棒进入磁场瞬间立即撤去力F，求导体棒在运动过程中电阻R产生的焦耳热Q。
【答案】 （1），；（2）
【解析】（1）根据牛顿第二定律
速度
感应电动势
电流
解得
回路功率
解得
（2）由能量守恒
R产生的热量
16、如图所示，空间分布着水平向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。宽为的光滑U型金属导轨固定在竖直平面内。一质量为、长也为的金属棒从图示位置由静止开始释放，金属棒在下落过程中始终保持水平状态且与导轨接触良好。已知金属导轨上方连接的电阻为，金属棒和导轨的电阻均不计。重力加速度为，不计空气阻力。
（1）求金属棒下落的最大速度；
（2）当金属棒下落的加速度为时，求电阻的发热功率；
（3）已知金属棒下落时间为时，其下落的高度为、速度为。若在相同时间内，电阻上产生的热量与一恒定电流在该电阻上产生的热量相同，求该恒定电流的表达式。
【答案】 （1）；（2）；（3）
【解析】（1）金属棒下落过程：金属棒受到重力及安培力作用，当金属棒达到最大速度，即时，加速度为零，此时回路感应电动势最大设为，感应电流最大设为，有
解得
（2）金属棒下落加速度为时：设回路总电流为，有
设回路的发热功率为，有
解得
（3）根据能量守恒定律，有
解得恒定电流的表达式为
17、如图甲所示，两条相距l=1 m的水平粗糙导轨左端接一定值电阻。t=0s时，一质量m=1kg、阻值r=0.5Ω的金属杆，在水平外力的作用下由静止开始向右运动，5s末到达MN，MN右侧为一匀强磁场，磁感应强度B=1T，方向垂直纸面向内。当金属杆到达MN后，保持外力的功率不变，金属杆进入磁场，8s末开始做匀速直线运动。整个过程金属杆的v t图像如图乙所示。若导轨电阻忽略不计，杆和导轨始终垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数μ=0.5，重力加速度g=10 m/s2，试计算：
（1）进入磁场前，金属杆所受的外力F的大小；
（2）定值电阻的阻值R；
（3）若前8s金属杆克服摩擦力做功127.5J，试求这段时间内电阻R上产生的热量。
【答案】 （1）6N；（2）1.1Ω；（3）20.28J
【解析】（1）未进入磁场前，金属杆做匀加速直线运动
根据牛顿第二定律有
其中
代入数据，解得
F=6 N
（2）设金属杆到达MN瞬间速度为v1，则此时外力的功率
根据题意，金属杆进入磁场后外力的功率恒为Pm=30 W，最后以v2=4 m/s做匀速直线运动，受力平衡，有
联立并代入数据，解得
（3）0~8s内，对金属杆，根据动能定理，有
进入磁场前金属杆的位移
则0~8s内外力F做的总功
金属杆动能的变化量
联立方程，代入数据解得
前8s内电路产生的热量
则前8s内电阻R上产生的热量
18、如图，两条相距l的光滑平行金属导轨位于同一水平面(纸面)内，其左端接一阻值为R的电阻；一与导轨垂直的金属棒置于两导轨上；在电阻、导轨和金属棒中间有一面积为S的区域，区域中存在垂直于纸面向里的均匀磁场，磁感应强度大小B1随时间t的变化关系为B1＝kt，式中k为常量；在金属棒右侧还有一匀强磁场区域，区域左边界MN(虚线)与导轨垂直，磁场的磁感应强度大小为B0，方向也垂直于纸面向里．某时刻，金属棒在一外加水平恒力的作用下从静止开始向右运动，在t0时刻恰好以速度v0越过MN，此后向右做匀速运动．金属棒与导轨始终相互垂直并接触良好，它们的电阻均忽略不计．求：
(1)在t＝0到t＝t0时间间隔内，流过电阻的电荷量的绝对值；
(2)在时刻t(t>t0)穿过回路的总磁通量和金属棒所受外加水平恒力的大小．
【答案】见解析
【解析】(1)在金属棒未越过MN之前，t时刻穿过回路的磁通量为Φ＝ktS①
设在从t时刻到t＋Δt的时间间隔内，回路磁通量的变化量为ΔΦ，流过电阻R的电荷量为Δq.由法拉第电磁感应定律有E＝②
由欧姆定律有i＝③
由电流的定义有i＝④
联立①②③④式得|Δq|＝Δt⑤
由⑤式得，在t＝0到t＝t0的时间间隔内，流过电阻R的电荷量q的绝对值为|q|＝.⑥
(2)当t>t0时，金属棒已越过MN，由于金属棒在MN右侧做匀速运动，有f＝F⑦
式中，f是外加水平恒力，F是匀强磁场施加的安培力．设此时回路中的电流为I，F的大小为F＝B0lI⑧
此时金属棒与MN之间的距离为s＝v0(t－t0)⑨
匀强磁场穿过回路的磁通量为Φ′＝B0ls⑩
回路的总磁通量为Φt＝Φ＋Φ′
式中，Φ仍如①式所示．由①⑨⑩ 式得，在时刻t(t>t0)穿过回路的总磁通量为Φt＝B0lv0(t－t0)＋kSt
在t到t＋Δt的时间间隔内，总磁通量的改变量为
ΔΦt＝(B0lv0＋kS)Δt
由法拉第电磁感应定律得，回路感应电动势的大小为Et＝
由欧姆定律有I＝
联立⑦⑧ 式得f＝(B0lv0＋kS).
图1
图2
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2.2 法拉第电磁感应定律
一、考点梳理
考点一、法拉第电磁感应定律的应用
1．磁通量Φ、磁通量的变化量ΔΦ及磁通量的变化率的比较
磁通量Φ 磁通量的变化量ΔΦ 磁通量的变化率
物理意义 某时刻穿过磁场中某个面的磁感线条数 在某一过程中穿过某个面的磁通量的变化量 穿过某个面的磁通量变化的快慢
大小计算 Φ＝BS⊥ ΔΦ＝ ＝
注意 若穿过某个面有方向相反的磁场，则不能直接用Φ＝BS。应考虑相反方向的磁通量或抵消以后所剩余的磁通量 开始和转过180°时平面都与磁场垂直，但穿过平面的磁通量是不同的，一正一负，ΔΦ＝2BS，而不是零 既不表示磁通量的大小，也不表示变化的多少。在Φ t图像中，可用图线的斜率表示
2．对公式E＝n的理解
(1)感应电动势的大小取决于穿过电路的磁通量的变化率，而与Φ、ΔΦ的大小没有必然关系，与电路的电阻R无关；感应电流的大小与E和回路总电阻R有关。
(2)用公式E＝n所求的感应电动势为整个闭合电路的感应电动势，而不是回路中某部分导体两端的电动势。
(3)公式E＝n只表示感应电动势的大小，不涉及其正负，计算时ΔΦ应取绝对值，至于感应电流的方向，可以用楞次定律去判定。
【典例1】如图甲所示，一个圆形线圈匝数n＝1 000匝、面积S＝2×10－2 m2、电阻r＝1 Ω。在线圈外接一阻值为R＝4 Ω的电阻。把线圈放入一个匀强磁场中，磁场方向垂直线圈平面向里，磁场的磁感应强度B随时间变化规律如图乙所示。求：
(1)0～4 s内，回路中的感应电动势；
(2)t＝5 s时，a、b两点哪点电势高？
(3)t＝5 s时，电阻R两端的电压U。
(1)磁感应强度在0～4 s内均匀增大，可由E＝n·S求感应电动势。
(2)t＝5 s时，磁感应强度正在均匀减小，线圈产生感应电动势，相当于电源。
【答案】(1)1 V (2)a点的电势高 (3)3.2 V
【解析】(1)根据法拉第电磁感应定律得，0～4 s内，回路中的感应电动势E＝n
＝1 000× V
＝1 V。
(2)t＝5 s时，磁感应强度正在减弱，根据楞次定律，感应电流的磁场方向与原磁场方向相同，即感应电流产生的磁场方向是垂直纸面向里，故a点的电势高。
(3)在t＝5 s时，线圈的感应电动势为
E′＝n＝1 000× V＝4 V
根据闭合电路欧姆定律得电路中的电流为
I＝＝ A＝0.8 A
故电阻R两端的电压
U＝IR＝0.8×4 V＝3.2 V。
【典例2】如图所示,一正方形线圈的匝数为n、边长为a,线圈平面与匀强磁场垂直,且一半处在磁场中.在 Δt时间内,磁感应强度的方向不变,大小由B均匀地增大到2B.在此过程中,线圈中产生的感应电动势为 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当磁场增强时线圈中产生感生电动势,由法拉第电磁感应定律E=n=nS=na2=,选项B正确.
练习1、闭合线框abcd，自某高度自由下落时穿过一个有界的匀强磁场，当它经过如图所示的三个位置时，下列说法中正确的是（ ）
A．经过Ⅰ时，有顺时针方向的感应电流
B．若线圈匀速进入磁场，则也一定匀速出磁场
C．经过Ⅱ时，无感应电流
D．经过Ⅲ时，线圈的加速度不可能为零
【答案】C
【解析】A．由楞次定律可知，线框经过Ⅰ时，感应电流方向为：，电流沿逆时针方向，故A错误；
B．如果线圈匀速进入磁场，线圈受到的安培力等于其重力，线圈完全进入磁场后不产生感应电流，不受安培力，线圈做匀加速直线运动，线圈离开磁场时速度大于进入磁场时的速度，所受安培力大于重力，线圈做减速运动，故B错误；
C．线圈经过Ⅱ时穿过线圈的磁通量不变，不产生感应电流，故C正确；
D．如果线圈进入磁场时安培力小于重力，线圈做加速运动，线圈完全进入磁场后继续做加速运动，线圈离开磁场时速度大于进入磁场时的速度，线圈所受安培力大于线圈进入磁场时的安培力，线圈所受安培力可能等于重力，线圈所受合力为零，线圈加速度可能为零，故D错误；
练习2、现有内接正方形的金属圆环，正方形内充满变化磁场，金属环电阻率为、横截面积为S，圆环半径为R，如图（a）所示。规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，磁感应强度B随时间t的变化关系如图（b）所示，则（ ）
A．时间内，圆环中的感应电流方向为顺时针方向
B．时间内，圆环所受安培力大小为零
C．时间内，圆环中的感应电流大小为
D．时间内，圆环中产生的热量为
【答案】B
【解析】A．时间内，圆环中磁场向外且减小，据楞次定律可知，圆环中的感应电流方向为逆时针方向，A错误；
B．时间内，圆环中磁场向内且增大，产生逆时针的感应电流，但圆环所在位置磁场应强度为零，故圆环所受安培力大小为零，B正确；
C．时间内，据法拉第电磁感应定律可知，圆环中的感应电动势
圆环的电阻
故时间内，圆环中的感应电流大小为
C错误；
D．时间内，圆环中产生的热量为
D错误。
考点二、导体切割磁感线产生的感应电动势
1．对公式E＝Blv的理解
(1)在公式E＝Blv中，l是指导体棒的有效切割长度，即导体棒在垂直于速度v方向上的投影长度，如图所示的几种情况中，感应电动势都是E＝Blv。
(2)公式中的v应理解为导线和磁场间的相对速度，当导线不动而磁场运动时，也有感应电动势产生。
(3)当v与l或v与B的夹角为θ时，公式E＝Blv仍可用来求解导体切割磁感线时产生的感应电动势，但应注意的是其l或v应为有效切割长度或有效切割速度。当B、l、v三个量的方向相互垂直时，θ＝90°，感应电动势最大；当有任意两个量的方向平行时，θ＝0°，感应电动势为0。
(4)该公式可看成法拉第电磁感应定律的一个推论，通常用来求导线运动速度为v时的瞬时感应电动势，随着v的变化，E也相应变化；若v为平均速度，则E就为平均感应电动势。
2．转动切割磁感线的两个特例
导体棒旋转切割 相对位置 导体棒垂直于磁场，转动平面也垂直于磁场
转轴位置 端点 E＝Bl＝Blv中＝Bl2ω
中点 E＝0
任意位置 E＝Bl12ω－Bl22ω
闭合线圈匀速转动 条件 (1)匀速磁场；(2)匀速转动；(3)转轴垂直于磁场
公式 t＝0时线圈平行于磁场，E＝NBSω cos ωt
t＝0时线圈垂直于磁场，E＝NBSω sin ωt
备注 与线圈的形状、转轴的位置无关
感应电动势的三个表达式对比
表达式 E＝n E＝BLv E＝BL2ω
情景图
研究对象 回路(不一定闭合) 一段直导线(或等效成直导线) 绕一端转动的导体棒
意义 一般求平均感应电动势，当Δt→0时求的是瞬时感应电动势 一般求瞬时感应电动势，当v为平均速度时求的是平均感应电动势 用平均值法求瞬时感应电动势
适用条件 所有磁场 匀强磁场 匀强磁场
【典例1】所示，在虚线区城内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，一粗细均匀材质相同的正方形线圈边长为L，总电阻为R。在外力作用下以速度v进入磁场区域。则在进入磁场的过程中，a、b两点间的电势差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当线圈在外力作用下以速度v进入磁场区域，d、c两点间产生的感应电动势为
根据楞次定律可知，产生的感应电流的方向为逆时针方向，故此时a点的电势高于b点的电势，a、b两点间的电势差相当于a、b两点间的电压，为
。
【典例2】如图所示，在竖直向下的匀强磁场中，将一个水平放置的金属棒ab以水平初速度v0抛出，设运动的整个过程中棒的取向不变且不计空气阻力，则金属棒在运动过程中产生的感应电动势大小将( )
A．越来越大 B．越来越小
C．保持不变 D．无法确定
【答案】C
【解析】E＝BLvsin θ＝BLvx；ab做平抛运动，水平速度保持不变，感应电动势保持不变。
练习1、（多选）法拉第圆盘发电机的示意图如图所示。铜圆盘安装在竖直的铜轴上，两铜片P、Q分别与圆盘的边缘和铜轴接触。圆盘处于方向竖直向上的匀强磁场B中。圆盘旋转时，关于流过电阻R的电流，下列说法正确的是( )
A．若圆盘转动的角速度恒定，则电流大小恒定
B．若从上向下看，圆盘顺时针转动，则电流沿a到b的方向流动
C．若圆盘转动方向不变，角速度大小发生变化，则电流方向可能发生变化
D．若圆盘转动的角速度变为原来的2倍，则电流在R上的热功率也变为原来的2倍
【答案】AB
【解析】由右手定则知，圆盘按如题图所示的方向转动时，感应电流沿a到b的方向流动，选项B正确；由感应电动势E＝Bl2ω知，角速度恒定，则感应电动势恒定，电流大小恒定，选项A正确；角速度大小变化，感应电动势大小变化，但感应电流方向不变，选项C错误；若ω变为原来的2倍，则感应电动势变为原来的2倍，电流变为原来的2倍，由P＝I2R知，电流在R上的热功率变为原来的4倍，选项D错误。
练习2、如图所示，竖直平面内有一金属环，半径为a，总电阻为R（指拉直时两端的电阻），磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过环平面，在环的最高点A用铰链连接长度为2a、电阻为的导体棒AB，AB由水平位置紧贴环面摆下，当摆到竖直位置时，B点的线速度为v，则这时AB两端的电压大小为___________
【答案】
【解析】当摆到竖直位置时，导体中产生的感应电动势为
在导体与环组成的闭合电路中，导体充当电源，电路为并联电路，则AB两端的电压为路端电压，根据闭合电路的欧姆定律
练习3、如图所示，两根足够长的光滑直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为=30°的绝缘斜面上，两导轨间距为L=1m，M、P两点间接有阻值为R=8Ω的电阻。一根质量为m=1kg电阻为r=2Ω的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直。整套装置处于磁感应强度为B=5T的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向上。导轨的电阻可忽略。让金属杆ab沿导轨由静止开始下滑，沿斜面下滑d=2m时，金属杆达到最大速度，导轨和金属杆接触良好，重力加速度为g=10m/s2。求：
（1）金属杆达到的最大速度vm；
（2）在这个过程中，电阻R上产生的热量；
（3）在这个过程中，通过电阻R的电荷量。
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】(1)金属杆在磁场中运动时，产生的感应电动势为
金属杆中的电流为
金属杆受的安培力为
当速度最大时有
代入数据可得
(2)由能量的转化与守恒可得
代入数据可得
由
得
(3)电路中的平均平均感应电动势为
磁通量的变化量为
平均电流为
通过的电量
由以上方程可得
代入数据可得
考点三、平均电动势与瞬时电动势的求解
平均电动势与瞬时电动势的比较
E＝n E＝Blvsin θ
区别 物理意义不同 求的是Δt时间内的平均感应电动势，E与某段时间或某个过程相对应 求的是瞬时感应电动势，E与某个时刻或某个位置相对应
范围不同 求的是整个电路的感应电动势。整个电路的感应电动势为零时，其电路中某段导体的感应电动势不一定为零 求的是电路中一部分导体切割磁感线时产生的感应电动势
研究对象不同 由于是整个电路的感应电动势，因此研究对象即电源部分不容易确定 由于是一部分导体切割磁感线产生的感应电动势，该部分就相当于电源
联系 公式E＝n和E＝Blvsin θ是统一的，当Δt→0时，E为瞬时感应电动势，而公式E＝Blvsin θ中的v若代入平均速度，则求出的E为平均感应电动势
【典例1】如图所示，边长为0.1 m的正方形线圈ABCD在大小为0.5 T的匀强磁场中以AD边为轴匀速转动。初始时刻线圈平面与磁感线平行，经过1 s线圈转了90°，求：
(1)线圈在1 s时间内产生的感应电动势的平均值；
(2)线圈在1 s末时的感应电动势大小。
【答案】(1)0.005V (2)0
【解析】初始时刻线圈平面与磁感线平行，所以穿过线圈的磁通量为零，而1 s末线圈平面与磁感线垂直，磁通量最大，故磁通量有变化，有感应电动势产生。
(1)根据E＝可得在转过90°的过程中产生的平均感应电动势E＝＝0.5×0.1×0.1 V＝0.005 V。
(2)当线圈转了1 s时，恰好转了90°，此时线圈的速度方向与磁感线的方向平行，线圈的BC段不切割磁感线(或认为切割磁感线的有效速度为零)，所以线圈不产生感应电动势，E′＝0。
【典例2】如图所示，一导线弯成半径为a的半圆形闭合回路。虚线MN右侧有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于回路所在的平面。回路以速度v向右匀速进入磁场，直径CD始终与MN垂直。从D点到达边界开始到C点进入磁场为止，下列结论错误的是( )
A．感应电流方向不变
B．CD段直线始终不受安培力
C．感应电动势最大值E＝Bav
D．感应电动势平均值＝πBav
【答案】B
【解析】感应电动势公式E＝只能用来计算平均值，利用感应电动势公式E＝Blv计算时，l应是等效长度，即垂直切割磁感线的长度。在闭合电路进入磁场的过程中，通过闭合电路的磁通量逐渐增大，根据楞次定律可知感应电流的方向为逆时针方向不变，A正确。根据左手定则可以判断，CD段受安培力向下，B不正确。当半圆闭合回路进入磁场一半时，等效长度最大为a，这时感应电动势最大为E＝Bav，C正确。感应电动势平均值＝＝＝πBav，D正确。
练习1、（多选）如图所示，宽度为的光滑金属框架固定于水平面，并处在磁感应强度大小为的匀强磁场中，磁场方向竖直向下，框架的电阻分布不均匀。将质量为、长为的金属棒垂直放置在框架上，并且与框架接触良好。现给棒向左的初速度，其恰能做加速度大小为的匀减速直线运动，则在棒的速度由减为的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．棒的位移大小为 B．通过棒的电荷量为
C．框架段的热功率增大 D．棒产生的焦耳热为
【答案】AB
【解析】A．根据匀变速直线运动速度位移关系有
解得
故A正确；
B．对ab棒根据动量定理有
又
解得
故B正确；
C．根据热功率
随着导体棒ab速度的减小，动生电动势
也减小，根据闭合电路欧姆定律可知，电流不变，故热功率减小，故C错误；
D．由能量守恒定律可知
Q为电路中产生的焦耳热，故导体棒ab产生的焦耳热小于Q，即小于
故D错误。
练习2、、如图所示，边长为a的正方形闭合线框ABCD在匀强磁场中绕AB边匀速转动，磁感应强度为B，初始时刻线框所在平面与磁感线垂直，经过t时刻转过120°角，求：
(1)线框内感应电动势在t时间段内的平均值；
(2)转过120°角时感应电动势的瞬时值。
【答案】(1) (2)
【解析】(1)设初始时刻磁感线从线框反面穿入，此时磁通量Φ1＝－Ba2，t时刻后Φ2＝Ba2，磁感线从正面穿入，磁通量的变化量为ΔΦ＝，
则＝＝。
(2)计算感应电动势的瞬时值要用公式E＝Blvsin θ。
v＝，θ＝120°，所以E＝。
考点四、转动切割产生感应电动势的计算
如图所示，长为l的导体棒ab以a为圆心，以角速度ω在磁感应强度为B的匀强磁场中匀速转动，其感应电动势可从两个角度推导．
(1)棒上各点速度不同，其平均速度＝ωl，由E＝Blv得棒上感应电动势大小为E＝Bl·ωl＝Bl2ω.
(2)若经时间Δt，棒扫过的面积为ΔS＝πl2＝l2ωΔt，磁通量的变化量ΔΦ＝B·ΔS＝Bl2ωΔt，由E＝得棒上感应电动势大小为E＝Bl2ω.
【典例1】如图是法拉第研制成的世界上第一台发电机模型的原理图．将铜盘放在磁场中，让磁感线垂直穿过铜盘，图中a、b导线与铜盘的中轴线处在同一平面内，转动铜盘，就可以使闭合电路获得电流．若图中铜盘半径为r，匀强磁场的磁感应强度为B，回路总电阻为R，匀速转动铜盘的角速度为ω.则电路的功率是( )
A. B．
C. D．
【答案】C
【解析】根据导体棒旋转切割产生电动势E＝Bωr2，由P＝，得电路的功率是，故选项C正确．
【典例2】如图所示，一个转轮共有5根辐条，每根长皆为L，电阻皆为r，转轮的电阻不计，将它放在磁感应强度为B的匀强磁场里，磁场的方向垂直于轮面．A是轮轴，P为一与转轮边缘接触的触片，在轮子绕轴转动时P不动．在A、P间接一个电阻R，当轮以角速度ω绕轴做匀速转动时，求流过R的电流．
【答案】
【解析】本题考查转动切割磁感线产生感应电动势的情况，解题关键是将转动等效为平动，进而利用E＝BLv得到转动切割表达式E＝.
每根辐条切割磁感线产生的感应电动势E＝，5根辐条并联，其电动势仍为E.等效电源的内阻为，外电阻为R，因此流过R的电流I＝＝.
考点五、电磁感应中电荷量的计算
在电磁感应现象中有电流通过电路，那么导线中也就有电荷通过．由电流的定义式I＝可知Δq＝IΔt，必须注意I应为平均值．而＝，所以要通过求感应电动势的平均值求其电荷量，即Δq＝Δt＝＝.其中n为匝数，R为总电阻．
由此可知，感应电荷量Δq仅由磁通量变化大小ΔΦ与电路的电阻R及线圈匝数n决定，与磁通量的变化时间无关．
注意：不能由瞬时电动势求电荷量．
【典例1】如图甲所示，一个圆形线圈的匝数n＝100，线圈面积S＝200 cm2，线圈的电阻r＝1 Ω，线圈外接一个阻值R＝4 Ω的电阻，把线圈放入一方向垂直线圈平面向里的匀强磁场中，磁感应强度随时间变化规律如图乙所示。下列说法中正确的是( )
A．线圈中的感应电流方向为顺时针方向
B．电阻R两端的电压随时间均匀增大
C．线圈电阻r消耗的功率为4×10－4 W
D．前4 s内通过R的电荷量为4×10－4 C
【答案】C
【解析】由楞次定律，线圈中的感应电流方向为逆时针方向，选项A错误；由法拉第电磁感应定律，产生的感应电动势恒定为E＝nSΔB/Δt＝0.1 V，电阻R两端的电压不随时间变化，选项B错误；回路中电流I＝E/(R＋r)＝0.02 A，线圈电阻r消耗的功率为P＝I2r＝4×10－4 W，选项C正确；前4 s内通过R的电荷量为q＝It＝0.08 C，选项D错误。
【典例2】如图所示，两光滑平行金属导轨间距为L，直导线MN垂直跨在导轨上，且与导轨接触良好，整个装置处在垂直于纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度为B。电容器的电容为C，除电阻R外，导轨和导线的电阻均不计。现给导线MN一初速度，使导线MN向右运动，当电路稳定后，MN以速度v向右做匀速运动时( )
A．电容器两端的电压为零
B．电阻两端的电压为BLv
C．电容器所带电荷量为CBLv
D．为保持MN匀速运动，需对其施加的拉力大小为
【答案】C
【解析】当导线MN匀速向右运动时，导线MN产生的感应电动势恒定，稳定后，电容器既不充电也不放电，无电流产生，故电阻两端没有电压，电容器两极板间的电压为U＝E＝BLv，所带电荷量Q＝CU＝CBLv，故A、B错，C对；MN匀速运动时，因无电流而不受安培力， 故拉力为零，D错。
练习1、（多选）如图所示，间距为L、电阻不计的足够长平行光滑金属导轨水平放置，导轨左端用一阻值为R的电阻连接，导轨上横跨一根质量为m、电阻也为R的金属棒，金属棒与导轨接触良好。整个装置处于竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中。现使金属棒以初速度v沿导轨向右运动，若金属棒在整个运动过程中通过的电荷量为q。下列说法正确的是( )
A．金属棒在导轨上做匀减速运动
B．整个过程中金属棒克服安培力做功为mv2
C．整个过程中金属棒在导轨上发生的位移为
D．整个过程中电阻R上产生的焦耳热为mv2
【答案】BC
【解析】金属棒在整个运动过程中，受到竖直向下的重力，竖直向上的支持力，这两个力合力为零，受到水平向左的安培力，金属棒受到的合力为安培力；金属棒受到的安培力F＝BIL＝BL·＝BL·＝，金属棒受到安培力作用而做减速运动，速度v不断减小，安培力不断减小，加速度不断减小，故金属棒做加速度逐渐减小的变减速运动，故A错误；整个过程中由动能定理可得：－W安＝0－mv2，金属棒克服安培力做功为W安＝mv2，故B正确；整个过程中感应电荷量q＝IΔt＝·Δt，又E＝＝，联立得q＝，故金属棒的位移s＝，故C正确；克服安培力做功把金属棒的动能转化为焦耳热，由于金属棒电阻与电阻串联在电路中，且阻值相等，则电阻R上产生的焦耳热Q＝W安＝mv2，故D错误。
练习2、如图所示，一对光滑的平行金属导轨固定在同一水平面内，导轨间距l＝0.5 m，左端接有阻值R＝0.3 Ω的电阻。一质量m＝0.1 kg，电阻r＝0.1 Ω的金属棒MN放置在导轨上，整个装置置于竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B＝0.4 T。棒在水平向右的外力作用下，由静止开始以a＝2 m/s2的加速度做匀加速运动。当棒的位移x＝9 m时撤去外力，棒继续运动一段距离后停下来，已知撤去外力前后回路中产生的焦耳热之比Q1∶Q2＝2∶1。导轨足够长且电阻不计，棒在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触。求：
(1)棒在匀加速运动过程中，通过电阻R的电荷量q；
(2)撤去外力后回路中产生的焦耳热Q2；
(3)外力做的功WF。
【答案】(1)4.5 C (2)1.8 J (3)5.4 J
【解析】(1)设棒匀加速运动的时间为Δt，回路的磁通量变化量为ΔΦ，回路中的平均感应电动势为E，由法拉第电磁感应定律得E＝ ①
其中ΔΦ＝Blx ②
设回路中的平均电流为I，由闭合电路的欧姆定律得I＝ ③
则通过电阻R的电荷量为q＝Iδt ④
联立①②③④式，代入数据得q＝4.5 C ⑤
(2)设撤去外力时棒的速度为v，对棒的匀加速运动过程，由运动学公式得
v2＝2ax ⑥
设棒在撤去外力后的运动过程中安培力做功为W，由动能定理得W＝0－mv2⑦
撤去外力后回路中产生的焦耳热Q2＝－W ⑧
联立⑥⑦⑧式，代入数据得Q2＝1.8 J ⑨
(3)由题意知，撤去外力前后回路中产生的焦耳热之比Q1∶Q2＝2∶1，可得
Q1＝3.6 J
在棒运动的整个过程中，由功能关系可知，WF＝Q1＋Q2
由⑨⑩ 式得WF＝3.6 J＋1.8 J＝5.4 J
练习3、有一面积为S＝100 cm2的金属环，电阻为R＝0.1 Ω，环中磁场变化规律如图所示，且磁场方向垂直纸面向里，在t1到t2时间内，通过金属环的电荷量为多少？
【答案】 0.01 C
【解析】由题图可知磁感应强度的变化率为：
＝ ①
金属环中磁通量的变化率：
＝S＝S ②
环中形成的感应电流I＝＝＝ ③
通过金属环的电荷量q＝IΔt ④
由①②③④解得
q＝＝ C＝0.01 C.
练习4、如图所示，空间存在垂直于纸面的匀强磁场，在半径为a的圆形区域内部及外部，磁场方向相反，磁感应强度的大小均为B.一半径为b(b>a)、电阻为R的圆形导线环放置在纸面内，其圆心与圆形区域的中心重合．当内、外磁场同时由B均匀地减小到零的过程中，通过导线环截面的电荷量为( )
A. B．
C. D．
【答案】A
【解析】开始时穿过导线环向里的磁通量设为正值，Φ1＝Bπa2，向外的磁通量则为负值，Φ2＝－B·π(b2－a2)，总的磁通量为它们的代数和(取绝对值)Φ＝B·π|b2－2a2|，末态总的磁通量为Φ′＝0，由法拉第电磁感应定律得平均感应电动势为＝，通过导线环截面的电荷量为q＝·Δt＝。
考点六、电磁感应中的动力学和能量问题
闭合线框垂直进入或离开磁场做切割磁感线的运动，则产生感应电动势，影响回路电流，从而使线框所受安培力发生变化，最终影响线框自身的变化．具体讨论如下：
（1）线框以一定初速度进入磁场或离开磁场，除安培力外不受其他外力，如图1(a)(b)所示．我们将从电路、动力学和能量角度分别分析．
①电路：首先明确线框哪一部分切割磁感线．
根据法拉第电磁感应定律，整个过程平均感应电动势为．
根据闭合电路欧姆定律，整个过程平均电流，其中R为线框的总电阻．电流方向可根据右手定则或楞次定律判断．
则通过线框的电荷量．
即整个过程通过线框的电荷量只与线圈匝数、磁通量的变化量以及线框电阻有关．
②动力学
利用左手定则，结合电流方向判定线框所受安培力方向，并作出受力分析图．显然安培力与初速度方向相反．
某时刻下若线框的速度为v，根据法拉第电磁感应定律，瞬时感应电动势；又由闭合电路欧姆定律，瞬时电流，则线框所受安培力大小．
根据牛顿定律：
由于安培力与速度方向相反，线框速度减小，则加速度减小，因此线框做加速度逐渐减小的减速运动．
在的情况下，上式还可写成：．
整理得：，由于，，则上式求和可得：
即：
若明确研究过程的初末状态，代入就能确定初速度与末速度的关系．
③能量
安培力瞬时功率，而线框中某时刻的热功率，因此克服安培力所做的功等于回路产生的热量．从能量守恒的角度出发，即线框减少的动能转化成回路产生的热量．
(2)线框在恒力F作用下，以一定初速度垂直进入或离开磁场，如图2(a)(b)所示．
①电路
由于通过线框的电荷量与外力大小无关，故电荷量仍然符合．
②动力学
根据左手定则和电流方向确定安培力方向，画出受力分析图，这种情况下安培力方向仍与速度方向相反．
某时刻下若线框的速度为v，则感应电动势，感应电流，安培力大小．
根据牛顿定律：
a．若初始时刻恒力F大于安培力，线框做加速运动，则：
可知线框做加速度逐渐减小的加速运动，当时有最大速度，
b．若初始时刻恒力F小于安培力，线框做减速运动，
可知线框做加速度逐渐减小的减速运动，当时有最小速度，
在的情况下仍有：
即：
若知道整个运动过程的时间t，代入即可确定初速度与末速度的关系．
③能量
安培力瞬时功率，而线框中某时刻的热功率，因此克服安培力所做的功仍然等于回路产生的热量．从功能关系或能量守恒角度出发，加速运动时外力所做的功转化为线框产热和动能；减速运动时外力所做的功和动能减少量转化为线框产热．
【典例1】（多选）如图所示，MN、PQ是与水平面成θ角的两条平行光滑且足够长的金属轨道，其电阻忽略不计。空间存在着垂直于轨道平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。导体棒ab、cd垂直于轨道放置，且与轨道接触良好，每根导体棒的质量均为m，电阻均为r，轨道宽度为L，与轨道平行的绝缘细线一端固定，另一端与ab棒中点连接，细线承受的最大拉力Tm＝2mgsin θ。今将cd棒由静止释放，则细线被拉断时，cd棒的( )
A．速度大小是
B．速度大小是
C．加速度大小是2gsin θ
D．加速度大小是0
【答案】AD
【解析】由静止释放后cd棒沿斜面向下做加速运动，随着速度的增大，E＝BLv变大，I＝也变大，F＝BIL也变大，对ab棒，当T＝2mgsin θ＝mgsin θ＋BIL时细线刚好被拉断，此时v＝，cd棒这时向上的安培力与沿斜面向下的重力的分力平衡，加速度大小是0，故选项A、D正确，选项B、C错误。
【典例2】(多选)如图所示，两根足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为θ，两导轨间距为L，上端接有阻值为R的电阻。一根质量为m的均匀直导体棒ab放在两导轨上，并与导轨垂直。整套装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B，导轨和导体棒的电阻可忽略。让导体棒沿导轨由静止开始下滑，导轨和导体棒接触良好，不计它们之间的摩擦。重力加速度为g。下列选项正确的是( )
A．导体棒下滑时的最大加速度为gsin θ
B．导体棒匀速运动时所受的安培力为mgsin θ
C．导体棒匀速运动时产生的电动势为R
D．导体棒匀速运动时的速度为
【答案】ACD
【解析】导体棒刚开始下滑时所受合外力最大，为mgsin θ，所以产生的加速度最大，为gsin θ，A正确；当导体棒匀速运动时，由受力分析知，安培力F＝mgtan θ，所以B错误；由F＝BIL得I＝＝，所以电动势E＝IR＝R，C正确；由E＝BLvcos θ，得v＝，所以D正确。
练习1、如图所示，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L。导轨上端接有一平行板电容器，电容为C。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面。在导轨上放置一质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：
(1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；
(2)金属棒的速度大小随时间变化的关系。
【答案】(1)Q＝CBLv (2)v＝gt
【解析】(1)设金属棒下滑的速度大小为v，则感应电动势为E＝BLv ①
平行板电容器两极板之间的电势差为U＝E ②
设此时电容器极板上积累的电荷量为Q，按定义有C＝ ③
联立①②③式得Q＝CBLv ④
(2)设金属棒的速度大小为v时经历的时间为t，通过金属棒的电流为i。金属棒受到的磁场的作用力方向沿导轨向上，大小为f1＝Bli ⑤
设在时间间隔(t，t＋Δt)内流经金属棒的电荷量为ΔQ，按定义有i＝ ⑥
ΔQ也是平行板电容器两极板在时间间隔(t，t＋Δt)内增加的电荷量。由④式得ΔQ＝CBLΔv ⑦
式中，Δv为金属棒的速度变化量。按定义有a＝ ⑧
金属棒所受到的摩擦力方向斜向上，大小为f2＝μN ⑨
式中，N是金属棒对于导轨的正压力的大小，有N＝mgcos θ ⑩
金属棒在时刻t的加速度方向沿斜面向下，设其大小为a，根据牛顿第二定律有
mgsin θ－f1－f2＝ma
联立⑤至 式得
a＝g
由 式及题设可知，金属棒做初速度为零的匀加速直线运动。t时刻金属棒的速度大小为
v＝gt
练习2、如图，两条足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ相距为L，倾角=30°，N、Q两点间接有阻值为R的电阻，整个装置处于垂直导轨平面向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。质量为m、长为L、阻值为R的金属杆放在导轨上，与导轨接触良好。t= 0时，用一沿导轨向下的变力F拉金属杆，使金属杆从静止开始沿导轨向下做加速度为g的匀加速直线运动。已知重力加速度的大小为g，不计导轨电阻，求∶
（1）金属杆下滑距离d时，电阻R两端的电压；
（2）拉力F随t变化的关系式。
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1） 金属杆下滑d时的速度为v1
金属杆切割磁感线产生的电动势为
E1 = BLv1
根据闭合电路欧姆定律，得
电阻R两端的电压
（2）根据牛顿第二定律，得
F + mgsinθ- F安= mg
F安= BIL
其中∶
E=BLv
v=gt
联立解得∶
练习3、如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨，间距为l，导轨所在平面与水平面成角，M、P间接阻值为R的电阻。匀强磁场的方向垂直导轨所在平面向上，磁感应强度大小为B。质量为m、阻值为r、长度为l的金属棒放在两导轨上，在平行于导轨的拉力作用下，以速度v匀速向上运动。已知金属棒与导轨始终垂直并且保持良好接触，重力加速度为g。求
（1）金属棒产生的感应电动势；
（2）通过电阻R的电流大小和方向；
【答案】（1）；（2），方向从P到M
【解析】
(1)金属棒产生的感应电动势
(2)由闭合电路欧姆定律可得，通过电阻R的电流大小
由右手定则可知，电流方向从P到M。
练习4、如图甲所示，水平面内固定两根间距为的长直平行光滑金属导轨，其右端接有阻值为的电阻，一阻值为、长度为的金属棒垂直导轨放置于距导轨右端处，且与两导轨保持良好接触．整个装置处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度的大小随时间变化的情况如图乙所示。在内在金属棒的中点施加一水平外力，使金属棒保持静止，后金属棒在水平外力的作用下，从静止开始向左做加速度为的匀加速直线运动，导轨电阻不计。求：
（1）第内电阻产生的热量；
（2）时通过金属棒的电流大小；
（3）前内通过金属棒的电荷量。
【答案】（1）1.5J；（2）1A；（3）1.5C
【解析】
（1）在内，由法拉第电磁感应定律可得电动势为
由闭合电路的欧姆定种有温电流的大小为
第内电阻产生的热量为
（2）时金属棒的速度为
感应电动势大小为
根据闭合电路的欧姆定律可得时通过金属棒的电流大小为
（3）第内通过金属棒的电荷量为
金属棒在第内的位移大小为
根据法拉第电磁感应定律可得
第内的平均感应电流大小为
则第内通过金属棒的电荷量为
则前内通过金属棒的电荷量为
二、夯实小练
1、如图，空间有一匀强磁场，一直金属棒与磁感应强度方向垂直，当它以速度v沿与棒和磁感应强度都垂直的方向运动时，棒两端的感应电动势大小为ε，将此棒弯成两段长度相等且相互垂直的折线，置于与磁感应强度相垂直的平面内。当它沿两段折线夹角平分线的方向以速度v运动时，棒两端的感应电动势大小为ε′，则等于( )
A. B.
C．1 D.
【答案】 B
【解析】B 设折弯前导体切割磁感线的长度为L，ε＝BLv；折弯后，导体切割磁感线的有效长度为l＝ ＝ L，故产生的感应电动势为ε′＝Blv＝B·Lv＝ε，所以＝，B正确。
2、如图所示，把一阻值为R、边长为L的正方形金属线框，从磁感应强度为B的匀强磁场中，以速度v向右匀速拉出磁场。在此过程中线框中产生了电流，此电流( )
A．方向与图示箭头方向相同，大小为
B．方向与图示箭头方向相同，大小为
C．方向与图示箭头方向相反，大小为
D．方向与图示箭头方向相反，大小为
【答案】A
【解析】利用右手定则可判断感应电流是逆时针方向。根据E＝BLv知，电流I＝＝。
3、如图所示，平行导轨间的距离为d，一端跨接一个电阻R，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直于平行金属导轨所在的平面。一根足够长的金属棒与导轨成θ角放置。金属棒与导轨的电阻不计，当金属棒沿垂直于棒的方向滑行时，通过电阻R的电流为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】题中B、l、v满足两两垂直的关系，所以E＝Blv，其中l＝，即E＝，故通过电阻R的电流为，选D。
（多选）单匝线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场的轴匀速转动，穿过线圈的磁通量随时间变化的图像如图所示，则( )
A．在t＝0时，线圈中磁通量最大，感应电动势也最大
B．在t＝1×10－2 s时，感应电动势最大
C．在t＝2×10－2 s时，感应电动势为零
D．在0～2×10－2 s时间内，线圈中感应电动势的平均值为零
【答案】BC
【解析】由法拉第电磁感应定律知E∝，故t＝0及t＝2×10－2 s时，E＝0，选项A错误，选项C正确；t＝1×10－2 s时，E最大，选项B正确；0～2×10－2 s，ΔΦ≠0，E≠0，选项D错误。
5、如图所示，在半径为R的虚线圆内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间变化关系为B＝B0＋kt。在磁场外距圆心O为2R处有一半径恰为2R的半圆导线环(图中实线)，则导线环中的感应电动势大小为( )
A．0 B．kπR2
C. D．2kπR2
【答案】C
【解析】由E＝n＝＝πR2k可知选项C正确。
6、(多选）无线电力传输目前取得重大突破，在日本展出了一种非接触式电源供应系统，这种系统基于电磁感应原理可无线传输电力。两个感应线圈可以放置在左右相邻或上下相对的位置，原理示意图如图所示。下列说法正确的是( )
A．若甲线圈中输入电流，乙线圈中就会产生感应电动势
B．只有甲线圈中输入变化的电流，乙线圈中才会产生感应电动势
C．甲中电流越大，乙中感应电动势越大
D．甲中电流变化越快，乙中感应电动势越大
【答案】BD
【解析】根据产生感应电动势的条件，只有处于变化的磁场中，乙线圈才能产生感应电动势，A错，B对；根据法拉第电磁感应定律，感应电动势的大小取决于磁通量变化率，所以C错，D对。
7、如图甲所示线圈的匝数n＝100匝，横截面积S＝50 cm2，线圈总电阻r＝10 Ω，沿轴向有匀强磁场，设图示磁场方向为正，磁场的磁感应强度随时间作如图乙所示变化，则在开始的0.1 s内( )
A．磁通量的变化量为0.25 Wb
B．磁通量的变化率为2.5×102 Wb/s
C．a、b间电压为0
D．在a、b间接一个理想电流表时，电流表的示数为0.25 A
【答案】D
【解析】通过线圈的磁通量与线圈的匝数无关，若设Φ2＝B2S为正，则线圈中磁通量的变化量为ΔΦ＝B2S－(－B1S)，代入数据即ΔΦ＝(0.1＋0.4)×50×10－4 Wb＝2.5×10－3 Wb，A错误；磁通量的变化率＝ Wb/s＝2.5×10－2 Wb/s，B错误；根据法拉第电磁感应定律可知，当a、b间断开时，其间电压等于线圈产生的感应电动势，感应电动势大小为E＝n＝2.5 V且恒定，C错误；在a、b间接一个理想电流表时相当于a、b间接通而形成回路，回路总电阻即为线圈的总电阻，故感应电流大小I＝＝0.25 A，选项D正确。
8、在如图所示的三维坐标系中，有与x轴同方向的磁感应强度为B的匀强磁场，一矩形导线框，面积为S，电阻为R，其初始位置abcd与xOz平面的夹角为θ，以z轴为转动轴沿顺时针方向匀速转动2θ角到达a′b′cd位置，角速度为ω。求：
(1)这一过程中导线框中产生的感应电动势的平均值；
(2)θ为0°时感应电动势的瞬时值。
【答案】(1) (2)BSω
【解析】(1)导线框转动2θ角的过程所用的时间Δt＝，穿过线框的磁通量的变化量ΔΦ＝2BSsin θ。由法拉第电磁感应定律知，此过程中产生的感应电动势的平均值
＝＝＝。
(2)θ为0°时，线框中感应电动势的大小为ab边切割磁感线产生的感应电动势的大小
E＝B···ω＝BSω。
如图所示，导线OA长为l，在方向竖直向上，磁感应强度为B的匀强磁场中以角速度ω沿图中所示方向绕通过悬点O的竖直轴旋转，导线OA与竖直方向的夹角为θ。则OA导线中的感应电动势大小和O、A两点电势高低情况分别是( )
A．Bl2ω O点电势高
B．Bl2ω A点电势高
C.Bl2ωsin2θ O点电势高
D.Bl2ωsin2θ A点电势高
【答案】D
【解析】导线OA切割磁感线的有效长度等于圆的半径，即R＝l·sin θ，产生的感应电动势E＝BR2ω＝Bl2ωsin2θ，由右手定则可知A点电势高，所以D正确。
如图所示，有一匝接在电容器两端的圆形导线回路，圆形导线回路中存在垂直于回路平面向里的匀强磁场B，已知圆的半径r＝5 cm，电容C＝20 μF，当磁场B以4×10－2 T/s的变化率均匀增加时，则( )
A．电容器a板带正电，电荷量为2π×10－9 C
B．电容器a板带负电，电荷量为2π×10－9 C
C．电容器b板带正电，电荷量为4π×10－9 C
D．电容器b板带负电，电荷量为4π×10－9 C
【答案】A
【解析】根据楞次定律可判断a板带正电，线圈中产生的感应电动势E＝πr2＝π×10－4 V，板上电荷量Q＝CE＝2π×10－9 C，选项A正确。
11、如图所示，固定于水平面上的金属架CDEF处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒MN沿框架以速度v向右做匀速运动。t＝0时，磁感应强度为B0，此时MN到达的位置使MDEN构成一个边长为l的正方形，为使MN棒中不产生感应电流，从t＝0开始，磁感应强度B应怎样随时间t变化？请推导出这种情况下B与t的关系式。
【答案】B＝
【解析】要使MN棒中不产生感应电流，应使穿过闭合回路的磁通量不发生变化。
在t＝0时刻，穿过闭合回路的磁通量
Φ1＝B0S＝B0l2
设t时刻的磁感应强度为B，此时磁通量为
Φ2＝Bl(l＋vt)
由Φ1＝Φ2得B＝。
12.如图所示，倾角为α的光滑导轨上端接入一定值电阻，Ⅰ和Ⅱ是边长都为L的两正方形磁场区域，其区域内的磁场方向都垂直于导轨平面向上，区域Ⅰ中磁场的磁感应强度为B1，恒定不变，区域Ⅱ中磁场随时间按B2＝kt变化，一质量为m、电阻为r的金属杆穿过区域Ⅰ垂直地跨放在两导轨上，并恰能保持静止(金属杆所受安培力沿斜面向上)。试求：
(1)通过金属杆的电流大小。
(2)定值电阻的阻值为多大？
【答案】(1) (2)－r
【解析】(1)对金属杆：mgsin α＝B1IL①
解得：I＝。②
(2)感应电动势E＝＝L2＝kL2③
闭合电路的电流I＝④
联立②③④得：R＝－r＝－r。
三、培优练习
1、如图所示，100匝的线圈两端M、N与一个理想电压表V相连。线圈内有方向垂直纸面向内的磁场，线圈中的磁通量按如图所示规律变化。则下列说法正确的是（ ）
A．电压表示数为150V，M端接电压表正接线柱 B．电压表示数为150V，N端接电压表正接线柱
C．电压表示数为50.0V，M端接电压表正接线柱 D．电压表示数为50.0V，N端接电压表正接线柱
【答案】 C
【解析】根据法拉第电磁感应定律得
根据楞次定律，M端接电源正极，所以电压表示数为50.0V，M端接电压表正接线柱。
2、如图所示，先后以速度v1和v2匀速把一矩形线圈拉出有界匀强磁场区域，v1=2v2。在先后两种情况下（ ）
A．通过线圈某截面的电荷量之比q1∶q2=1∶1
B．线圈中的感应电流之比为I1∶I2=1∶1
C．线圈中的感应电流之比为I1∶I2=1∶2
D．通过线圈某截面的电荷量之比q1∶q2=2∶1
【答案】 A
【解析】BC．匀速拉动时感应电流
已知v1=2v2，则
I1∶I2=2∶1
故BC错误；
AD．线框拉出磁场的时间
根据
可知通过某截面的电荷量之比为
q1∶q2=1∶1
故A正确，D错误。
3、由螺线管、电阻和水平放置的平行板电容器组成的电路如图甲所示。螺线管处于方向竖直向上、磁感应强度大小为的磁场中，随时间变化的图像如图乙所示。一电荷量为的颗粒在时间内悬停在电容器中。则（ ）
A．颗粒带正电
B．时间内，感应电动势增大
C．时间内，电路中没有感应电流
D．时间内，点电势高于点电势
【答案】 C
【解析】A．一电荷量为的颗粒在时间内悬停在电容器中，由平衡条件可知
电场力方向竖直向上，在时间内，根据楞次定律可知，电容器上极板带正电，下极板带负电，则场强方向竖直向下，所以颗粒带负电，则A错误；
B．根据
则在时间内，感应电动势保持不变，所以B错误；
CD．在时间内，感应电动势不变，电容器稳定时没有电流通过，则点电势等于点电势，所以C正确D错误；
4．如图所示，阻值为的金属棒从图示位置分别以、的速度沿光滑导轨（电阻不计）匀速滑到位置，若，则在这两次过程中（ ）
A．回路电流 B．产生的热量
C．通过任一截面的电荷量 D．外力的功率
【答案】 A
【解析】A．感应电动势为
电流为
所以回路电流。A正确；
B．产生的热量为
所以产生的热量，B错误；
C．通过任一截面的电荷量为
所以通过任一截面的电荷量。C错误；
D．导体棒做匀速运动，所以外力与安培力平衡，则外力的功率为
故外力的功率，D错误。
5、一个面积S = 0.05m2匝数n = 100的闭合线圈放在匀强磁场中，磁场方向垂直于线圈平面，磁感应强度B随时间t变化的规律如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．0 ~ 2s内线圈中感应电流的方向发生了改变
B．2 ~ 4s内穿过线圈的磁通量的变化量等于零
C．0 ~ 2s内线圈中产生的感应电动势等于10V
D．在第3s末线圈中的感应电动势等于零
【答案】 C
【解析】A．在0 ~ 2s内线圈的磁通量变化率是恒定的，则产生的电流为恒定电流，A错误；
B．在2 ~ 4s内穿过线圈的磁通量的变化量为Φ = 2BS不等于零，B错误；
C．在0 ~ 2s内线圈中产生的感应电动势为
E = n = 100 × 0.1V = 10V
C正确；
D．在2 ~ 4s内线圈的磁通量变化率是恒定的且不为零，则产生的电流为恒定电流，所以在第3s末线圈中的感应电动势不等于零，D错误。
6、如图所示，宽为h的矩形线框从初始位置由静止开始下落，进入一水平的匀强磁场，磁场方向与线框平面垂直，且。已知线框刚进入磁场时恰好匀速下落，则线框刚出磁场时将做（ ）
A．向下的匀速运动 B．向下的减速运动
C．向下的加速运动 D．向上的运动
【答案】 B
【解析】进入磁场时做匀速运动，知安培力与重力相等，有
完全进入磁场后，做加速运动，出磁场的速度大于v，则安培力大于mg，安培力的方向竖直向上，知线框做减速运动，速度减小，安培力减小，加速度减小，则线框的运动是变减速运动。故B正确ACD错误。
7、如图所示，一平行金属导轨与水平成放置，导轨间的距离为L，在OO’的上方区域存在与导轨平面垂直，磁感应强度为B的匀强磁场（图中未全部画出），导轨的下端接有阻值为2R的电阻，在导轨的上端垂直于导轨放有一质量为m的导体棒ab，另有一质量为M的导体棒cd垂直于导轨，以v0的速度沿导轨向上进入磁场，cd与导轨无摩擦，当cd进入和离开磁场时，导体棒ab恰好保持静止，且导体棒ab一直处于静止状态，两导体棒一直没有相撞。已知两导体棒的长度均为L，cd棒电阻为R，ab棒电阻为2R，导体棒与导轨接触良好，不计其他电阻。则：（ ）
A．导体棒ab恰好不受摩擦力时，导体棒cd的速度为
B．cd上滑过程中重力的冲量等于下滑过程中重力的冲量
C．cd上滑过程中通过R的电荷量大于下滑过程中通过R的电荷量
D．cd离开磁场时的速度为v0
【答案】 A
【解析】A．导体棒ab恰好不受摩擦力时，设通过ab棒的电流为I，则有
电路的感应电动势为
联立解得
A正确；
B．cd上滑过程中，根据牛顿第二定律得
cd下滑过程中，根据牛顿第二定律得
可知，上滑加速度始终大于下滑加速度，根据可知，下滑时间较长，所以下滑时重力的冲量较大。B错误；
C．通过的电荷量为
解得
通过R的电荷量与导体棒cd运动的位移有关，因为上滑和下滑过程中运动的位移大小相同，所以通过R的电荷量相同，C错误；
D．根据能量守恒，导体棒有部分机械能转化为电能，所以导体棒进入磁场时的速度要大于离开磁场时的速度，D错误。
8、（多选）如图甲所示，正方形金属线圈abcd位于竖直平面内，其质量为m，电阻为R，在线圈的下方有一匀强磁场，MN和是磁场的水平边界，并与bc边平行，磁场方向垂直于纸面向里。现使金属线圈从MN上方某一高度处由静止开始下落，图乙是线圈开始下落到完全穿过匀强磁场区域瞬间的v-t图像，图中给出的数据均为已知量，重力加速度大小为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．金属线圈刚出磁场时感应电流方向为a→d→c→b→a
B．时刻金属线圈做自由落体运动
C．金属线圈产生的总热量为
D．金属线圈产生的总热量为
【答案】 AD
【解析】A．根据右手定则，金属线圈刚出磁场时感应电流方向为a→d→c→b→a。A正确；
B．时刻金属线圈完全进入磁场，仅受重力，做竖直下抛运动。B错误；
CD．线圈进出磁场的过程中，线圈会产生热量，则进入磁场的过程中，产生的热量为
出磁场的过程中，产生的热量为
所以总热量为
C错误，D正确。
9、（多选）如图所示，两个同种材料，粗细相同的导线制成的单匝线框M、N，M是边长为L的正方形，N是边长为的长方形，两线框置于同一竖直平面内、同一高度处，线框正下方虚线的下侧有垂直纸面水平向里的匀强磁场，将两线框由静止释放，重力加速度大小为g，在线框刚进入下方磁场时，下列说法正确的是（ ）
A．两线框均产生逆时针方向的感应电流
B．M、N线框中的感应电流之比为3：4
C．M、N线框所受的安培力大小之比为3：2
D．若线框M进入磁场的过程中恰好做匀速运动，则线框N刚进入磁场时的加速度大小为
【答案】 ABD
【解析】A．根据右手定则，两线框均产生逆时针方向的感应电流。A正确；
B．两线框从同一高度释放，所以进入磁场时的速度大小相等，则感应电流为
，
所以电流之比为3：4，B正确；
C．根据安培力公式得安培力之比为3：8，C错误；
D．线框M进入磁场的过程中恰好做匀速运动，有
根据两线框长度关系，可知线框N的质量为
对线框N有
解得
。
10、（多选）如图所示，足够长的U形光滑金属导轨平面与水平面成角，其中MN与PQ平行且间距为L，磁感应强度为B的匀强磁场垂直导轨平面，导轨NQ部分电阻为R，其余部分电阻不计。金属棒ab由静止开始沿导轨下滑，与两导轨垂直且接触良好，ab棒接入电路部分的电阻为R，当流过ab棒某一横截面的电荷量为q时，ab棒的速度大小为v，不计空气阻力，则金属棒ab在这一过程中（ ）
A．运动的平均速度大小为 B．下滑位移大小为
C．产生的焦耳热小干 D．受到的最大安培力大小为
【答案】 BCD
【解析】A．对金属棒，根据牛顿第二定律有
由于v从0增大，所以金属棒做加速度越来越小的加速运动，则其平均速度，A错误；
B．由
可得
B正确；
C．在此过程中，金属棒产生的感应电动势最大值为
电路产生的焦耳热
ab棒产生的焦耳热等于焦耳热的一半，则
C正确；
D．ab棒受到的最大安培力大小为
。
11、（多选）如图甲所示，一电阻不计且足够长的固定光滑平行金属导轨、间距，下端接有阻值的电阻，导轨平面与水平面间的夹角。整个装置处于方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中。一质量、阻值的金属棒垂直于导轨放置并用绝缘细线通过光滑的定滑轮与质量的重物相连，左端细线沿方向。棒由静止释放后，沿方向位移x与时间t之间的关系如图乙所示，其中为直线。已知棒在0~0.3s内通过的电荷量是0.3~0.4s内通过电荷量的2倍，g取，下列说法正确的是（ ）
A．图乙中a点的纵坐标是0.6m
B．棒在0~0.3s内通过的电荷量是0.6C
C．磁感应强度
D．电阻R在0~0.4s内产生的热量
【答案】 ABD
【解析】A．通过导体棒的电荷量为
棒在0~0.3s内通过的电荷量是0.3~0.4s内通过电荷量的2倍，则有
解得
A正确；
BC．0.3s后棒做匀速运动，则受力平衡，有
根据闭合电路的欧姆定律得
解得
B正确，C错误；
D．在0~0.4s内，对导体棒由动能定理得
根据功能关系有
在电路中，电阻R在0~0.4s内产生的热量
联立解得
D正确。
12、如图所示，足够长的竖直放置的“”形光滑导轨的间距L=0.2m，导轨上端接一阻值R1=0.4Ω的定值电阻，一电阻R2=0.1Ω的导体棒ab与导轨垂直且接触良好，整个装置处于磁感应强度大小B=1T，方向与导轨所在平面垂直的匀强磁场中。现将ab由静止释放，最终导体棒以大小v=20m/s的速度匀速下滑。导轨电阻及空气阻力均不计，取重力加速度大小g=10m/s2，求：
（1）当导体棒ab匀速下滑时，回路中通过的电流I；
（2）导体棒ab的质量m。
【答案】 （1）8A；（2）0.16kg
【解析】（1）当导体棒匀速下滑时，导体棒上产生的感应电动势
此时回路中通过的感应电流
解得
（2）由物体的平衡条件有
解得
13、如图所示，一对平行的粗糙金属导轨固定于同一水平面上，导轨间距L=0.2m，导轨左端接有阻值R=0.2的电阻，右侧平滑连接一对弯曲的光滑轨道，仅在水平导轨的整个区域内存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小B=1.0T。一根质量m=0.4kg，电阻r=0.1的金属棒ab垂直放置于导轨上，金属棒ab在水平向右F=0.8N的恒力作时下从静止开始运动，当金属棒通过位移x=9m时离开磁场，在离开磁场前金属棒ab的速度已达到最大值。当金属棒离开磁场时撤去外力F，接着金属棒沿弯曲轨道向上运动。已知金属棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.1，导轨电阻不计，金属棒在运动过程中始终与导轨垂直且与导轨保持良好接触，取g=10m/s2。求∶
（1）金属棒运动的最大速率v及金属棒沿弯曲轨道上升的最大高度h；
（2）金属棒在磁场中速度为时的加速度大小；
（3）金属棒在磁场区域运动过程中，电阻R上产生的焦耳热。
【答案】 （1）3m/s，0.45m；（2）0.5m/s2；（3）1.2J
【解析】（1）金属棒在磁场中做匀速运动时，设回路中的电流为I，根据平衡条件得
F=BIL+μmg
解得金属棒运动的最大速率为
v=3m/s
金属棒出磁场后在弯曲轨道上上升的过程中，由机械能守恒定律得
金属棒沿弯曲轨道上升的最大高度为
h=0.45m
（2）金属棒速度为时，设回路中的电流为I'，根据牛顿第二定律得
F-BI'L-μmg=ma
代入数据解得
a=0.5m/s2
（3）设金属棒在磁场区域运动过程中，回路中产生的焦耳热为Q，根据功能关系
则电阻R上的焦耳热为
代入数据解得
QR=1.2J
14、如图所示，固定在倾角θ=37°的斜面上的两根足够长的平行长直光滑金属导轨的间距d=0.5m，其底端接有阻值R=4Ω的电阻，整个装置处在方向垂直斜面向上、磁感应强度大小B=5T的匀强磁场中。一质量m=2kg的导体杆ab（质量分布均匀）垂直于导轨放置，且与两导轨保持良好接触。现ab在沿斜面向上、垂直于ab的恒力F=15N作用下，从静止开始沿导轨向上运动，当导体棒的位移达到L=8m时，其速度恰好达到最大（运动过程中ab始终与导轨保持垂直）。设ab接入电路的电阻r=1Ω，导轨电阻不计，重力加速度大小g=10m/s2。求此过程中；
（1）ab的速度最大值；
（2）流过电阻R的电荷量。
【答案】 （1）2.4m/s；（2）
【解析】（1）由导体棒切割磁感线产生感应电动势最大值
Em=Bdvm
感应电流
导体棒所受安培力
F安=BId
当ab达到最大速度时满足
F=F安+mgsinθ
代人数据得
vm=2.4m/s
（2）流过电阻R的电荷量
联立解得
15、如图，、为足够长的光滑平行的水平金属导轨，电阻，置于竖直向下的有界匀强磁场中，为磁场边界，磁场磁感应强度，导轨间距，质量的导体棒垂直置于导轨上且与导轨接触良好，导体棒接入电路的电阻为。时刻，导体棒在的水平拉力作用下从左侧某处由静止开始运动，时棒进入磁场继续运动，导体棒始终与导轨垂直。
（1）求导体棒时刻进入磁场瞬间的加速度a的大小及回路的电功率；
（2）若导体棒进入磁场瞬间立即撤去力F，求导体棒在运动过程中电阻R产生的焦耳热Q。
【答案】 （1），；（2）
【解析】（1）根据牛顿第二定律
速度
感应电动势
电流
解得
回路功率
解得
（2）由能量守恒
R产生的热量
16、如图所示，空间分布着水平向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。宽为的光滑U型金属导轨固定在竖直平面内。一质量为、长也为的金属棒从图示位置由静止开始释放，金属棒在下落过程中始终保持水平状态且与导轨接触良好。已知金属导轨上方连接的电阻为，金属棒和导轨的电阻均不计。重力加速度为，不计空气阻力。
（1）求金属棒下落的最大速度；
（2）当金属棒下落的加速度为时，求电阻的发热功率；
（3）已知金属棒下落时间为时，其下落的高度为、速度为。若在相同时间内，电阻上产生的热量与一恒定电流在该电阻上产生的热量相同，求该恒定电流的表达式。
【答案】 （1）；（2）；（3）
【解析】（1）金属棒下落过程：金属棒受到重力及安培力作用，当金属棒达到最大速度，即时，加速度为零，此时回路感应电动势最大设为，感应电流最大设为，有
解得
（2）金属棒下落加速度为时：设回路总电流为，有
设回路的发热功率为，有
解得
（3）根据能量守恒定律，有
解得恒定电流的表达式为
17、如图甲所示，两条相距l=1 m的水平粗糙导轨左端接一定值电阻。t=0s时，一质量m=1kg、阻值r=0.5Ω的金属杆，在水平外力的作用下由静止开始向右运动，5s末到达MN，MN右侧为一匀强磁场，磁感应强度B=1T，方向垂直纸面向内。当金属杆到达MN后，保持外力的功率不变，金属杆进入磁场，8s末开始做匀速直线运动。整个过程金属杆的v t图像如图乙所示。若导轨电阻忽略不计，杆和导轨始终垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数μ=0.5，重力加速度g=10 m/s2，试计算：
（1）进入磁场前，金属杆所受的外力F的大小；
（2）定值电阻的阻值R；
（3）若前8s金属杆克服摩擦力做功127.5J，试求这段时间内电阻R上产生的热量。
【答案】 （1）6N；（2）1.1Ω；（3）20.28J
【解析】（1）未进入磁场前，金属杆做匀加速直线运动
根据牛顿第二定律有
其中
代入数据，解得
F=6 N
（2）设金属杆到达MN瞬间速度为v1，则此时外力的功率
根据题意，金属杆进入磁场后外力的功率恒为Pm=30 W，最后以v2=4 m/s做匀速直线运动，受力平衡，有
联立并代入数据，解得
（3）0~8s内，对金属杆，根据动能定理，有
进入磁场前金属杆的位移
则0~8s内外力F做的总功
金属杆动能的变化量
联立方程，代入数据解得
前8s内电路产生的热量
则前8s内电阻R上产生的热量
18、如图，两条相距l的光滑平行金属导轨位于同一水平面(纸面)内，其左端接一阻值为R的电阻；一与导轨垂直的金属棒置于两导轨上；在电阻、导轨和金属棒中间有一面积为S的区域，区域中存在垂直于纸面向里的均匀磁场，磁感应强度大小B1随时间t的变化关系为B1＝kt，式中k为常量；在金属棒右侧还有一匀强磁场区域，区域左边界MN(虚线)与导轨垂直，磁场的磁感应强度大小为B0，方向也垂直于纸面向里．某时刻，金属棒在一外加水平恒力的作用下从静止开始向右运动，在t0时刻恰好以速度v0越过MN，此后向右做匀速运动．金属棒与导轨始终相互垂直并接触良好，它们的电阻均忽略不计．求：
(1)在t＝0到t＝t0时间间隔内，流过电阻的电荷量的绝对值；
(2)在时刻t(t>t0)穿过回路的总磁通量和金属棒所受外加水平恒力的大小．
【答案】见解析
【解析】(1)在金属棒未越过MN之前，t时刻穿过回路的磁通量为Φ＝ktS①
设在从t时刻到t＋Δt的时间间隔内，回路磁通量的变化量为ΔΦ，流过电阻R的电荷量为Δq.由法拉第电磁感应定律有E＝②
由欧姆定律有i＝③
由电流的定义有i＝④
联立①②③④式得|Δq|＝Δt⑤
由⑤式得，在t＝0到t＝t0的时间间隔内，流过电阻R的电荷量q的绝对值为|q|＝.⑥
(2)当t>t0时，金属棒已越过MN，由于金属棒在MN右侧做匀速运动，有f＝F⑦
式中，f是外加水平恒力，F是匀强磁场施加的安培力．设此时回路中的电流为I，F的大小为F＝B0lI⑧
此时金属棒与MN之间的距离为s＝v0(t－t0)⑨
匀强磁场穿过回路的磁通量为Φ′＝B0ls⑩
回路的总磁通量为Φt＝Φ＋Φ′
式中，Φ仍如①式所示．由①⑨⑩ 式得，在时刻t(t>t0)穿过回路的总磁通量为Φt＝B0lv0(t－t0)＋kSt
在t到t＋Δt的时间间隔内，总磁通量的改变量为
ΔΦt＝(B0lv0＋kS)Δt
由法拉第电磁感应定律得，回路感应电动势的大小为Et＝
由欧姆定律有I＝
联立⑦⑧ 式得f＝(B0lv0＋kS).
图1
图2
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