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黑龙江鹤岗市重点中学2022-2023学年高一下学期数学开学考试试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·新高考Ⅱ卷）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】 ，故 .
故答案为：B
【分析】先求出集合B，再根据交集的概念求 即可.
2．（2023高一下·鹤岗开学考）函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】解：f(1)=ln1+30-6=-5<0，
f(2)=ln2+31-6=ln2-3<0，
f(3)=ln3+32-6=ln3+3>0，
又f(x)为连续函数，且单调递增，
由零点存在性定理可得函数的零点所在区间为 .
故选：C
【分析】分别求得f(1)<0，f(2)<0，f(3)>0，再由由零点存在性定理可得答案.
3．（2023高一下·鹤岗开学考）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】
解：要使函数有意义，则有x2-1>0，解得：x>1 或 x<-1，
所以函数的定义域为{x|x>1 或 x<-1} .
令u(x)=x2-1 ，开口向上，在（1，+∞）上单调递增，在（-∞，-1）上单调递减，
又y=log2u在（0，+∞）上单调递增，由复合函数的单调性可知：
函数在（-∞，-1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以函数的单调递减区间为（-∞，-1） ，
故选： B.
【分析】先求出函数的定义域，然后利用二次函数的单调性和复合函数的单调性即可求解.
4．（2022高一下·广东期末）函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C.
故答案为：A.
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
5．（2021高二上·长安月考）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 .
故答案为：C
【分析】根据同角三角函数的基本关系，以及二倍角公式求解即可.
6．（2021·新高考Ⅱ卷）已知 ，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：，即a故答案为：C
【分析】根据对数函数的单调性可比较a、b与c的大小关系，由此可得出结论.
7．（2023高一下·鹤岗开学考）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由2|ab|≤a2+b2≤2，得|ab|≤1，则 ，故充分性成立；
当 时 ，不妨取a=3，b=，则不能推出a2+b2≤2，故必要性不成立；
故a2+b2≤2是 的充分不必要条件.
故选：A
【分析】由基本不等式的性质可判断充分性成立，举反例可判断必要性不成立，进而得答案.
8．（2023高一下·鹤岗开学考）已知小于2的正数x，y满足关系式，则+的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【知识点】复合函数的单调性；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】
解：由题意， ，
即 ，0记函数 ，
由于二次函数t=x2+1在（0，+∞）上单调递增， 在（0，+∞）上单调递增，
故 在（0，+∞）上单调递增，且y=t在（0，+∞）上单调递增，
故在（0，+∞）上单调递增，
故f(2-x)=f(2y) ，由于2-x，2y∈（0，+∞） ，故2-x=2y ，即x+2y=2 ，
则 ，
当且仅当 ，即x=2y=1时等号成立.
故选：A
【分析】构造函数 ，则原式等价于f(2-x)=f(2y) ，利用复合函数单调性分析可得在（0，+∞）上单调递增，即x+2y=2 ，转化 ，结合均值不等式，即得解.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2023高一下·鹤岗开学考）下列四个等式中正确的是（ ）
A．
B．
C．已知函数，则的最小正周期是
D．
【答案】A,B,D
【知识点】三角函数的恒等变换及化简求值；三角函数恒等式的证明
【解析】【解答】解： ，即 ，A正确；
，B正确；
， C错误；
，D正确.
故选：ABD
【分析】根据 展开化简得到A正确，利用三角恒等变换得到B正确，计算得到C错误，根据二倍角正切公式计算可判定D.
10．（2023高一下·鹤岗开学考）将函数的图象向左平移（）个单位，得到函数的图象，若函数是奇函数，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】函数的图象与图象变化；函数奇偶性的性质；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】
解：将 的图象向左平移（）个单位，
得到函数，
因为函数 是奇函数，
所以 ，
解得 ，
所以 的可能取值为 ， ，
故选：AC
【分析】由平移变换得到 ，再根据函数是奇函数，令求解.
11．（2023高一下·鹤岗开学考）已知函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．函数为奇函数
D．函数在区间上单调递减
【答案】B,C,D
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：f(x)max=2 ，则A=2 ， ，
∴ T=π， ω=2，f(x)=2cos(2x+φ)，
，
又， ，
∴ ，A错.
， ，
，B对.
奇函数，C对.
，g(x) 在 上单调递减，而 ，∴D对.
故选：BCD.
【分析】根据图象可得f(x)max=2 ，T ， ，然后求出f(x)的解析式，然后逐一判断即可.
12．（2023高一下·鹤岗开学考）已知函数，则下列结论正确的是（）
A．函数有3个零点
B．若函数有四个零点，则
C．若关于的方程有四个不等实根，则
D．若关于的方程有8个不等实根，则
【答案】A,C,D
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A选项，当x≥2 时，f(x)=ex-2 单调递增，
当0画出 的图象，可以看出y=e|x-2|关于x=2对称，
当x=2时， y=e|x-2|取得最小值为1，
在同一坐标系内作出y=x的图象，可看出两函数图象有3个交点，
所以函数 有3个零点，A正确；
数形结合可得：函数 有四 四个零点，则 ，B错误；
由上图可知：若关于x的方程f(x)=t有四个不等实根 ，
不妨设
其中x1，x2关于x=-1对称，x3，x4关于x=2对称，则x1+x2=-2 ，x3+x4=4
所以 ，C正确；
D选项，令f(x)=t，则t2-3t+α=0要有2个不相等的实数根t1 ，t2 ，t1 ，t2∈(1，2）
且t1+t2=3 ，α=t1t2 ，
α=t1t2=3t2-，
因为t2∈(1，2） ，所以 ，
由 ，
综上： ，
若关于x的方程 有8个不等实根，则 ，D正确.
故选：ACD
【分析】A选项，画出的图象，在同一坐标系内作出y=c的图象，可看出两函数图象有3个交点，A正确；
B选项，数形结合得到 ，B错误；
C选项，可看出四个实根有两个根关于x=-1对称，另外两个根关于x=2对称，从而得到 ，C正确；
D选项，令f(x)=t ，则t2-3t+α=0要有2个不相等的实数根t1 ，t2 ，t1 ，t2∈(1，2），得到两根之和，两根之积，化简得到，结合，求出 .
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（2023高一下·鹤岗开学考）已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为 ．
【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：由题意得，则 扇形的面积为.
故答案为：
【分析】先由弧长公式求得半径，再代入扇形的面积公式计算即可.
14．（2023高一下·鹤岗开学考）已知，则 ．
【答案】
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：，
故答案为：
【分析】由诱导公式化简求值即可.
15．（2022·全国乙卷）记函数 的最小正周期为T，若 ， 为 的零点，则 的最小值为 ．
【答案】3
【知识点】余弦函数的周期性；余弦函数的零点与最值
【解析】【解答】解： 函数 ，（ ， ）
的最小正周期为 ，因为 ，
又 ，所以 ，即 ，
又 为 的零点，所以 ，解得 ，
因为 ，所以当 时 .
故答案为：3
【分析】先表示周期 ，再根据 求出 ，最后根据 为函数的零点，即可求出 的取值，从而得解.
16．（2023高一下·鹤岗开学考）已知定义在上的函数满足：①；②函数为偶函数；③当时，，若关于的不等式的整数解有且仅有6个，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由函数 为偶函数可知，函数f(x)关于x=1对称，且f(x+1)=f(-x+1) ，即f(x+2)=f(-x) ，
又 ， f(x)关于x=3对称，
所以 ，即f(x)=f(4+x) ，
可得函数f(x)的周期T=4 ，
当时， ， 可得其图象如下所示：
由对称性可知，当x>1时满足不等式 的整数解有3个即可，
根据图示可得 ，解得 ，
即 .
故答案为：
【分析】根据函数性质可知函数f(x)关于x=1 ， x=3对称，且周期为4，再利用 上的解析式，画出函数图象，有数形结合即可求得实数m的取值范围.
四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023高一下·鹤岗开学考）
（1）已知=，求的值.
（2）化简求值：；
【答案】（1）解：原式
.
（2）
=
【知识点】三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】【分析】（1）由三角恒等变换，将原式化简为 ，代值计算即可；
（2）由三角恒等变换，将原式化简为 ，即可得答案.
18．（2023高一下·鹤岗开学考）已知函数.
（1）求函数的单调增区间；
（2）将函数图象上点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把所得函数图象向下平移个单位得到函数的图象，求的最小值及取得最小值时的x的取值集合.
【答案】（1）因为 ，
由 ，得 ，
所以 的单调增区间为 .
（2）将函数 图象上点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把所得函数图象向下平移 个单位得到函数 的图象，
所以 ，
故当 ，即 时， ，即 取得最小值-1，
所以 的最小值为-1，此时x的取值集合为 .
【知识点】正弦函数的单调性；正弦函数的零点与最值
【解析】【分析】（1）先将函数f(x)化简得 ，再由正弦函数的单调性，求解不等式即可；
（2）根据函数图象的变换法则，求得 ，再由正弦函数的性质逐个计算即可.
19．（2023高一下·鹤岗开学考）已知函数是定义域为的奇函数.
（1）求实数b的值；
（2）已知当时，，求实数k的取值范围.
【答案】（1）因为函数 是定义域为 的奇函数，
则 ，解得 ，
经检验当 时，函数 为奇函数，满足题意，
故实数b的值为-1.
（2）由（1）可知，函数 ，
当 时， ，
即 ，
因为 ，所以 ，则
当且仅当 ，即 时等号成立，即 ；
所以实数k的取值范围为 .
【知识点】函数奇偶性的性质；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）由f(0)=0，代入计算即可；
（2）等价转化为 ，再由基本不等式求最值即可.
20．（2023高一下·鹤岗开学考）已知函数．
（1）当时，求的值域；
（2）若，且，求的值；
【答案】（1）
， ，
利用余弦函数的性质知 ，则
（2） ，
又 ， ，
则
则
【知识点】三角函数的恒等变换及化简求值；三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦公式；余弦函数的定义域和值域
【解析】【分析】（1）三角恒等变换得 ，再由 ，结合余弦函数的性质求得值域；
（2）由 得 ，进而求得 ，再利用两角差的余弦公式计算.
21．（2023高一下·鹤岗开学考）已知是偶函数.
（1）求的值；
（2）设的最小值为，则实数的值.
【答案】（1）解：函数 的定义域为 ，
因为函数 是偶函数，所以 ，
又 ，
，
所以 ，
所以 ；
（2）解：由（1）知， ，
所以 ，
所以，
令 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
设函数 ，
其图像是开口向上，对称轴方程为 的抛物线，
当 时，即 时，
，解得 ，
当 时，即 时，
，
解得 （舍去），
综上可知， .
【知识点】函数奇偶性的性质；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值
【解析】【分析】（1）由偶函数的定义，易得 ，求解即可 ；
（2）化简得，换元 ，构造函数 ，利用二次函数的性质求解即可.
22．（2023高一下·鹤岗开学考）已知函数.
（1）常数ω＞0，若函数y=f（ωx）的最小正周期是π，求ω的值.
（2）若，且方程在上有实数解，求实数α的取值范围.
【答案】（1） ，
.
的最小正周期为 ，
所以 ，
所以 .
（2） ，
在 上有实数解，
即 在 上有实数解，
即 在 上有实数解，
令 ，
所以 ，
由 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
同时 ，
所以 ，
所以 在 上有实数解等价于 在 上有解，
即 在 上有解，
① 时， 无解；
② 时， 有解，
即 有解，
即 在 有解，
令 ，
所以 的值域为 ，
所以 在 有解等价于 .
【知识点】三角函数的恒等变换及化简求值；正弦函数的周期性；正弦函数的零点与最值
【解析】【分析】（1）先由三角恒等变换得 ，易得 ，再由正弦函数的周期公式得 .
（2）由化归思想将问题等价转化为 在 上有实数解， 换元 ， 再次等价转化为 在 上有解，参数分离， 再根据基本不等式求最值即可.
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黑龙江鹤岗市重点中学2022-2023学年高一下学期数学开学考试试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·新高考Ⅱ卷）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023高一下·鹤岗开学考）函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高一下·鹤岗开学考）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高一下·广东期末）函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021高二上·长安月考）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2021·新高考Ⅱ卷）已知 ，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高一下·鹤岗开学考）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2023高一下·鹤岗开学考）已知小于2的正数x，y满足关系式，则+的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2023高一下·鹤岗开学考）下列四个等式中正确的是（ ）
A．
B．
C．已知函数，则的最小正周期是
D．
10．（2023高一下·鹤岗开学考）将函数的图象向左平移（）个单位，得到函数的图象，若函数是奇函数，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023高一下·鹤岗开学考）已知函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．函数为奇函数
D．函数在区间上单调递减
12．（2023高一下·鹤岗开学考）已知函数，则下列结论正确的是（）
A．函数有3个零点
B．若函数有四个零点，则
C．若关于的方程有四个不等实根，则
D．若关于的方程有8个不等实根，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（2023高一下·鹤岗开学考）已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为 ．
14．（2023高一下·鹤岗开学考）已知，则 ．
15．（2022·全国乙卷）记函数 的最小正周期为T，若 ， 为 的零点，则 的最小值为 ．
16．（2023高一下·鹤岗开学考）已知定义在上的函数满足：①；②函数为偶函数；③当时，，若关于的不等式的整数解有且仅有6个，则实数的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023高一下·鹤岗开学考）
（1）已知=，求的值.
（2）化简求值：；
18．（2023高一下·鹤岗开学考）已知函数.
（1）求函数的单调增区间；
（2）将函数图象上点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把所得函数图象向下平移个单位得到函数的图象，求的最小值及取得最小值时的x的取值集合.
19．（2023高一下·鹤岗开学考）已知函数是定义域为的奇函数.
（1）求实数b的值；
（2）已知当时，，求实数k的取值范围.
20．（2023高一下·鹤岗开学考）已知函数．
（1）当时，求的值域；
（2）若，且，求的值；
21．（2023高一下·鹤岗开学考）已知是偶函数.
（1）求的值；
（2）设的最小值为，则实数的值.
22．（2023高一下·鹤岗开学考）已知函数.
（1）常数ω＞0，若函数y=f（ωx）的最小正周期是π，求ω的值.
（2）若，且方程在上有实数解，求实数α的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】 ，故 .
故答案为：B
【分析】先求出集合B，再根据交集的概念求 即可.
2．【答案】C
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】解：f(1)=ln1+30-6=-5<0，
f(2)=ln2+31-6=ln2-3<0，
f(3)=ln3+32-6=ln3+3>0，
又f(x)为连续函数，且单调递增，
由零点存在性定理可得函数的零点所在区间为 .
故选：C
【分析】分别求得f(1)<0，f(2)<0，f(3)>0，再由由零点存在性定理可得答案.
3．【答案】B
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】
解：要使函数有意义，则有x2-1>0，解得：x>1 或 x<-1，
所以函数的定义域为{x|x>1 或 x<-1} .
令u(x)=x2-1 ，开口向上，在（1，+∞）上单调递增，在（-∞，-1）上单调递减，
又y=log2u在（0，+∞）上单调递增，由复合函数的单调性可知：
函数在（-∞，-1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以函数的单调递减区间为（-∞，-1） ，
故选： B.
【分析】先求出函数的定义域，然后利用二次函数的单调性和复合函数的单调性即可求解.
4．【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C.
故答案为：A.
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
5．【答案】C
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 .
故答案为：C
【分析】根据同角三角函数的基本关系，以及二倍角公式求解即可.
6．【答案】C
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：，即a故答案为：C
【分析】根据对数函数的单调性可比较a、b与c的大小关系，由此可得出结论.
7．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由2|ab|≤a2+b2≤2，得|ab|≤1，则 ，故充分性成立；
当 时 ，不妨取a=3，b=，则不能推出a2+b2≤2，故必要性不成立；
故a2+b2≤2是 的充分不必要条件.
故选：A
【分析】由基本不等式的性质可判断充分性成立，举反例可判断必要性不成立，进而得答案.
8．【答案】A
【知识点】复合函数的单调性；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】
解：由题意， ，
即 ，0记函数 ，
由于二次函数t=x2+1在（0，+∞）上单调递增， 在（0，+∞）上单调递增，
故 在（0，+∞）上单调递增，且y=t在（0，+∞）上单调递增，
故在（0，+∞）上单调递增，
故f(2-x)=f(2y) ，由于2-x，2y∈（0，+∞） ，故2-x=2y ，即x+2y=2 ，
则 ，
当且仅当 ，即x=2y=1时等号成立.
故选：A
【分析】构造函数 ，则原式等价于f(2-x)=f(2y) ，利用复合函数单调性分析可得在（0，+∞）上单调递增，即x+2y=2 ，转化 ，结合均值不等式，即得解.
9．【答案】A,B,D
【知识点】三角函数的恒等变换及化简求值；三角函数恒等式的证明
【解析】【解答】解： ，即 ，A正确；
，B正确；
， C错误；
，D正确.
故选：ABD
【分析】根据 展开化简得到A正确，利用三角恒等变换得到B正确，计算得到C错误，根据二倍角正切公式计算可判定D.
10．【答案】A,C
【知识点】函数的图象与图象变化；函数奇偶性的性质；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】
解：将 的图象向左平移（）个单位，
得到函数，
因为函数 是奇函数，
所以 ，
解得 ，
所以 的可能取值为 ， ，
故选：AC
【分析】由平移变换得到 ，再根据函数是奇函数，令求解.
11．【答案】B,C,D
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：f(x)max=2 ，则A=2 ， ，
∴ T=π， ω=2，f(x)=2cos(2x+φ)，
，
又， ，
∴ ，A错.
， ，
，B对.
奇函数，C对.
，g(x) 在 上单调递减，而 ，∴D对.
故选：BCD.
【分析】根据图象可得f(x)max=2 ，T ， ，然后求出f(x)的解析式，然后逐一判断即可.
12．【答案】A,C,D
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A选项，当x≥2 时，f(x)=ex-2 单调递增，
当0画出 的图象，可以看出y=e|x-2|关于x=2对称，
当x=2时， y=e|x-2|取得最小值为1，
在同一坐标系内作出y=x的图象，可看出两函数图象有3个交点，
所以函数 有3个零点，A正确；
数形结合可得：函数 有四 四个零点，则 ，B错误；
由上图可知：若关于x的方程f(x)=t有四个不等实根 ，
不妨设
其中x1，x2关于x=-1对称，x3，x4关于x=2对称，则x1+x2=-2 ，x3+x4=4
所以 ，C正确；
D选项，令f(x)=t，则t2-3t+α=0要有2个不相等的实数根t1 ，t2 ，t1 ，t2∈(1，2）
且t1+t2=3 ，α=t1t2 ，
α=t1t2=3t2-，
因为t2∈(1，2） ，所以 ，
由 ，
综上： ，
若关于x的方程 有8个不等实根，则 ，D正确.
故选：ACD
【分析】A选项，画出的图象，在同一坐标系内作出y=c的图象，可看出两函数图象有3个交点，A正确；
B选项，数形结合得到 ，B错误；
C选项，可看出四个实根有两个根关于x=-1对称，另外两个根关于x=2对称，从而得到 ，C正确；
D选项，令f(x)=t ，则t2-3t+α=0要有2个不相等的实数根t1 ，t2 ，t1 ，t2∈(1，2），得到两根之和，两根之积，化简得到，结合，求出 .
13．【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：由题意得，则 扇形的面积为.
故答案为：
【分析】先由弧长公式求得半径，再代入扇形的面积公式计算即可.
14．【答案】
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：，
故答案为：
【分析】由诱导公式化简求值即可.
15．【答案】3
【知识点】余弦函数的周期性；余弦函数的零点与最值
【解析】【解答】解： 函数 ，（ ， ）
的最小正周期为 ，因为 ，
又 ，所以 ，即 ，
又 为 的零点，所以 ，解得 ，
因为 ，所以当 时 .
故答案为：3
【分析】先表示周期 ，再根据 求出 ，最后根据 为函数的零点，即可求出 的取值，从而得解.
16．【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由函数 为偶函数可知，函数f(x)关于x=1对称，且f(x+1)=f(-x+1) ，即f(x+2)=f(-x) ，
又 ， f(x)关于x=3对称，
所以 ，即f(x)=f(4+x) ，
可得函数f(x)的周期T=4 ，
当时， ， 可得其图象如下所示：
由对称性可知，当x>1时满足不等式 的整数解有3个即可，
根据图示可得 ，解得 ，
即 .
故答案为：
【分析】根据函数性质可知函数f(x)关于x=1 ， x=3对称，且周期为4，再利用 上的解析式，画出函数图象，有数形结合即可求得实数m的取值范围.
17．【答案】（1）解：原式
.
（2）
=
【知识点】三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】【分析】（1）由三角恒等变换，将原式化简为 ，代值计算即可；
（2）由三角恒等变换，将原式化简为 ，即可得答案.
18．【答案】（1）因为 ，
由 ，得 ，
所以 的单调增区间为 .
（2）将函数 图象上点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把所得函数图象向下平移 个单位得到函数 的图象，
所以 ，
故当 ，即 时， ，即 取得最小值-1，
所以 的最小值为-1，此时x的取值集合为 .
【知识点】正弦函数的单调性；正弦函数的零点与最值
【解析】【分析】（1）先将函数f(x)化简得 ，再由正弦函数的单调性，求解不等式即可；
（2）根据函数图象的变换法则，求得 ，再由正弦函数的性质逐个计算即可.
19．【答案】（1）因为函数 是定义域为 的奇函数，
则 ，解得 ，
经检验当 时，函数 为奇函数，满足题意，
故实数b的值为-1.
（2）由（1）可知，函数 ，
当 时， ，
即 ，
因为 ，所以 ，则
当且仅当 ，即 时等号成立，即 ；
所以实数k的取值范围为 .
【知识点】函数奇偶性的性质；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）由f(0)=0，代入计算即可；
（2）等价转化为 ，再由基本不等式求最值即可.
20．【答案】（1）
， ，
利用余弦函数的性质知 ，则
（2） ，
又 ， ，
则
则
【知识点】三角函数的恒等变换及化简求值；三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦公式；余弦函数的定义域和值域
【解析】【分析】（1）三角恒等变换得 ，再由 ，结合余弦函数的性质求得值域；
（2）由 得 ，进而求得 ，再利用两角差的余弦公式计算.
21．【答案】（1）解：函数 的定义域为 ，
因为函数 是偶函数，所以 ，
又 ，
，
所以 ，
所以 ；
（2）解：由（1）知， ，
所以 ，
所以，
令 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
设函数 ，
其图像是开口向上，对称轴方程为 的抛物线，
当 时，即 时，
，解得 ，
当 时，即 时，
，
解得 （舍去），
综上可知， .
【知识点】函数奇偶性的性质；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值
【解析】【分析】（1）由偶函数的定义，易得 ，求解即可 ；
（2）化简得，换元 ，构造函数 ，利用二次函数的性质求解即可.
22．【答案】（1） ，
.
的最小正周期为 ，
所以 ，
所以 .
（2） ，
在 上有实数解，
即 在 上有实数解，
即 在 上有实数解，
令 ，
所以 ，
由 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
同时 ，
所以 ，
所以 在 上有实数解等价于 在 上有解，
即 在 上有解，
① 时， 无解；
② 时， 有解，
即 有解，
即 在 有解，
令 ，
所以 的值域为 ，
所以 在 有解等价于 .
【知识点】三角函数的恒等变换及化简求值；正弦函数的周期性；正弦函数的零点与最值
【解析】【分析】（1）先由三角恒等变换得 ，易得 ，再由正弦函数的周期公式得 .
（2）由化归思想将问题等价转化为 在 上有实数解， 换元 ， 再次等价转化为 在 上有解，参数分离， 再根据基本不等式求最值即可.
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