广东省东莞市石竹实验学校2022-2023学年高二下学期数学开学学情调查测试题
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023高二下·东莞开学考）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
又∵
∴
故选：C
【分析】将直线的一般式改写成斜截式，再由斜率公式可求得结果.
2．（2018·全国Ⅱ卷理）双曲线 （a>0，b>0）的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】∵e= = ，
∴3= =2
∴
∴渐近线方程为：y=
故答案为：A
【分析】由离心率 可得 ，进而可求 ，即可求渐近线方程。
3．（2023高二下·东莞开学考）已知，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
则
故选：B.
【分析】由诱导公式和同角关系将可化为 ，再由同角关系求出 ，由此可得结果.
4．（2023高二下·东莞开学考）当点到直线的距离最大时，m的值为（ ）
A． B．0 C．-1 D．1
【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：直线 过定点Q(2，1)，
所以点 到直线 的距离最大时，PQ垂直该直线，
即 ，
解得m=-1，
故选：C．
【分析】由于直线过定点Q(2，1)，所以当PQ垂直该直线时，点到直线的距离最大，从而可列方程可求得答案.
5．（2016高二上·武邑期中）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|=（ ）
A． B．6 C．12 D．7
【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由y2=3x得其焦点F（ ，0），准线方程为x=﹣ ．
则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（x﹣ ）= （x﹣ ）．
代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2）
则x1+x2= ，
所以|AB|=x1+ +x2+ = + + =12
故选：C
【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|．
6．（2023高二下·东莞开学考）与向量平行，且经过点的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】直线的点斜式方程；直线的方向向量
【解析】【解答】解：依题意可知，所求直线的斜率为 ，
所以所求直线方程为 ，即 .
故选：A.
【分析】利用点斜式求得直线方程.
7．（2023高二下·东莞开学考）函数的单调递增区间是
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】解：由x2-2x-8>0得：x∈( ∞， 2)∪(4，+∞)，
令t=x2-2x-8，则y=lnt，
∵x∈( ∞， 2)时，t=x2-2x-8为减函数；
x∈(4，+∞)时，t=x2-2x-8为增函数；
y=lnt为增函数，
故函数f(x)=ln(x2-2x-8 )的单调递增区间是(4，+∞)，
故选D.
【分析】先求函数的定义域，再由二次函数与对数函数的性质，结合复数函数的同增异减的性质求得答案.
8．（2023高二下·东莞开学考）已知、为双曲线的左、右焦点，P为右支上任意一点，若的最小值为8a，则该双曲线的离心率e的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解： .
当且仅当 ，即|PF2|=2a时，上式等号成立，这时|PF1|=4a .
又|PF1|+|PF2|≥|F1F2| ，即4a+2a≥2c ，
因此，
故选B.
【分析】化简，结合基本不等式求得|PF1|=4a，|PF2|=2a，再结合双曲线的性质得不等式4a+2a≥2c ，计算可得e的范围.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9．（2023高二下·东莞开学考）已知递减的等差数列的前n项和为，，则（ ）
A． B． C． D．最大
【答案】A,C,D
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列与一次函数的关系；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由 ， 可得 ， ，
由等差数列{an}为递减数列，
所以a8<0
又 ，故B错误；
，故C正确；
由等差数列{an}为递减数列，且a8<0所以当1≤n≤7时 ，an>0
当n≥8时 ，an<0，所以S7最大，故D正确.
故选：ACD
【分析】由可得 ，由等差数列{an}为递减数列，所以a8<00 ，n≥8时，an<0，根据等差数列的求和公式和性质，逐项分析判断即可.
10．（2023高二下·东莞开学考）已知四面体ABCD，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,D
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系；异面直线的判定
【解析】【解答】解：由题意可得四面体A－BCD为正四面体，如图.
A：因为AF∩平面ABC＝A，CE平面ABC，且 ， 平面ABC ，由异面直线的定义可知，AF，CE为异面直线，故A错误；
B：因为 ，所以 ，故B正确；
C：因为F分别为棱CD的中点，所以 ，故C错误；
D：因为E，F分别为棱AB，CD的中点，所以 ，所以 ，故D正确.
故选：BD.
【分析】由异面直线和向量平行的定义判断A，由空间向量数量积的运算判断BC，由空间向量的线性运算判断D．
11．（2023高二下·东莞开学考）经过点P（4，-2）的抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】解：若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为y2=2px(p>0) ，又因为抛物线经过点 P（4，-2） ，
所以(-2)2=2p×4 ，解得p= ，所以抛物线的方程为y2=x .
若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为x2=2py(p>0) ，又因为抛物线经过点 P（4，-2） ，
所以42=2p×(-2) ，解得p=-4 ，所以抛物线的方程为x2=-8y .
故选：AC．
【分析】根据题意，分抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为y2=2px(p>0) ，和抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为x2=2py(p>0) ，分别代入点P的坐标，计算可得选项．
12．（2023高二下·东莞开学考）已知数列的通项公式为若该数列是递减数列，则实数的值可能是 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A,B
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：依题意，， 则 ，
所以an+1-an=-2(2n+1)+λ<0恒成立，
即λ<2(2n+1)对任意的n∈N*恒成立.
所以λ<[2(2n+1)]min，
因为n∈N* ，所以2(2n+1)的最小值是6，
因此选项AB满足题意.
故选：AB.
【分析】本题可以先通过得出的解析式，再得出an+1-an的解析式，最后通过数列是递减数列得出实数λ的取值范围.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．（2019·浙江模拟）已知圆 ： （ 为正实数）上任意一点关于直线 ： 的对称点都在圆 上，则 的最小值为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】结合题意可知该直线过圆的圆心 ，代入直线方程，得到
，故最小值为
【分析】】结合题意将圆心代入直线方程，得到 ，再利用基本不等式可得所求最小值.
14．（2020高三上·黑龙江月考）等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，若对任意正整数 都有 ，则 的值为 .
【答案】
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】因为 ， 是等差数列，所以 ，
因为 ，
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合等差数列的性质推出，再利用等差数列前n项公式结合已知条件对任意正整数 都有 ， 从而求出，进而求出 的值 。
15．（2023高二下·东莞开学考）椭圆的右焦点关于直线的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是 .
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设F（c，0）关于直线的对称点为Q(m，n) ，
则有线段FQ的中点坐标为 ，
且直线FQ与直线垂直，
所以有 ，
所以Q 在椭圆上，
即有 ，又 ，可得e2(e4-4e2+1)+4e4=1，可得4e6+e2-1=0 ，
所以4e6-2e4+2e4-e2+2e2-1=0 ，
即(2e2-1)(2e4+e2+1)=0 ，因为0所以2e2-1=0 ，解得e= .
故答案为：
【分析】设Q(m，n) ，利用对称知识，结合椭圆方程得出椭圆中a，b，c，之间的关系，再由a2=b2+c2 ，以及离心率公式 ，及可求出离心率.
16．（2023高二下·东莞开学考）如图，抛物线上的点与x轴上的点构成等边三角形，，…，…其中点在抛物线上，点的坐为，猜测数列的通项公式为 .
【答案】
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式
【解析】【解答】 解：OP1的方程为 ，代入抛物线 可得 ，
同理可得
可猜测 ，
证明：记三角形 的边长为an ，
由题意可知，当n≥2时， 在抛物线上，
可得 ，
当n≥3时， ，
两式相减得：
化简得： ，
则数列{an}是等差数列， ，
因为，
所以 ，
所以 ，
所以．
故答案为： ．
【分析】求出 ，可猜测 ，利用累加法，即可求解.
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023高二下·东莞开学考） 的三个顶点、、，D为BC中点，求：
（1）BC边上的高所在直线的方程；
（2）B边上的中线AD所在直线的方程．
【答案】（1）解： 、 ， ，
所以BC边斜率 ，
故BC边上的高线的斜率 ，
故BC边上的高线所在直线的方程为 ，即
（2）BC中点 ，
中线AD所在直线的斜率为 ，
故BC边上的中线AD所在直线的方程为 ，即
【知识点】直线的点斜式方程
【解析】【分析】（1）求出直线BC的斜率，即可得到BC边上的高线的斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解.
（2）求出BC的中点D坐标，求出中线AD所在直线的斜率，代点斜式即可求解.
18．（2020高二上·洛阳期末）在三棱柱 中， 平面 ， 为 的中点， 是边长为1的等边三角形.
（1）证明： ；
（2）若 ，求二面角 的大小.
【答案】（1）证明：连接 ，∵ 是边长为1的等边三角形，且 为 的中点，
∴ ，∴
∵ 面 ，∴ 面 ，
又 面 ，∴ ，
∵ ， 面 ，
又 面 ，∴ .
（2）解：以 为原点建立空间直角坐标系如图所示，
则 ， ， ， ， ， .
分设平面 的法向量为 ，
则
∴可取 ，
同理可求得平面 的一个法向量为 .
，且二面角 为锐角，
∴二面角 的大小为 .
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 连接 ，利用三角形 是边长为1的等边三角形，且 为 的中点，再利用等边三角形三线合一得出，再结合 面 ，得出 面 ，再利用线面垂直的定义，从而证出线线垂直，所以 ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以 面 ，再结合线面垂直的定义，从而证出线线垂直，进而证出 。
（2） 以 为原点建立空间直角坐标系，再结合已知条件求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，从而求出二面角 的大小。
19．（2023高二下·东莞开学考）已知数列{an}的前n项和为，且
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，为数列的前n项和，求数列的前n项和.
【答案】（1）解：数列 的前n项和为 ， ①，
当 时，解得 ，
当 时， ②，
①-②得： ，
故数列 是以3为首项，3为公比的等比数列；
所以 ；
（2）由（1）得 ，
所以 ，
故 ，
所以数列 的前n项和为
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用an=Sn-Sn-1可得{an}是首项为3，公比为3的等比数列，即可求出通项公式；
（2）可得 ，则 ， ，由裂项相消法即可求出前n项和.
20．（2023高二下·东莞开学考）已知圆与圆：关于直线对称．
（1）求圆的方程及圆与圆的公共弦长；
（2）设过点的直线l与圆交于M，N两点，O为坐标原点，求的最小值及此时直线l的方程．
【答案】（1）解： 圆 的圆心是
设 ，则由题意得
解得
∴圆 的方程为
将圆 与圆 的方程相减得两圆的公共弦所在直线方程为 ，
圆心 到公共弦所在直线的距离为 ，
∴两圆的公共弦长为
（2）若直线l与y轴重合，此时直线l与圆 相离，不合题意，
∴直线l的斜率存在.
设点 、 ，设直线l的方程为 ，
联立 整理得 ，
令 ，
解得 ，
由根与系数的关系得 ， ，
，其中 ，
要求 的最小值，只需在 的情形下计算．
令 ，则 ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
则 取得最小值 ，
此时 ，则直线l的方程为
【知识点】平面向量的数量积运算；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）设点 ，由题意可知，两圆圆心关于直线y=x+1对称，可得出关于a、b的方程组，解出这两个未知数的值，可求得圆C1的方程，求得两圆的公共弦方程，求出公共弦截圆C1所得弦长，即可得解；
（2）由题意可知直线l的斜率存在，设点 、 ，设直线l的方程为y=kx+3 ，将直线l的方程与圆C1的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于k的关系式，进而可求得 的最小值以及对应的k值，即可得出直线l的方程.
21．（2023高二下·东莞开学考）设数列的前n项和为，若对于任意的正整数n，都有
（1）设，求证：数列是等比数列，并求出的通项公式.
（2）求数列的前n项和.
【答案】（1）解： 对于任意的正整数n都成立，
，
两式相减，得 ，
，即 ，
，
即 对一切正整数都成立，
数列 是公比为2的等比数列.
当 时， ，
即 ， ，
，
（2）由 知 ，
设数列 的前n项和为 ，则
… … ，
令 … ，①
则 … ，②
①-②得： … ，
即 ，
故 ，
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用数列的递推关系式，化简，变形为 ， 即可得到 ，证得数列为等比数列，进而求得 的通项公式；
（2）利用错位相减法，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可求解．
22．（2023高二下·东莞开学考）给定椭圆，称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“卫星圆”.若椭圆C的离心率为，点在C上．
（1）求椭圆C的方程和其“卫星圆”方程；
（2）点P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点，过点P作直线，使得，与椭圆C都只有一个交点，且，分别交其“卫星圆”于点M，N，证明：弦长|MN|为定值．
【答案】（1）解：由条件可得： 解得 ，
所以椭圆的方程为 ，
卫星圆的方程为
（2）①当 中有一条无斜率时，不妨设 无斜率，
因为 与椭圆只有一个公共点，则其方程为 或 ，
当 方程为 时，此时 与“卫星圆”交于点 和 ，
此时经过点 和 ，且与椭圆只有一个公共点的直线是 ，
，
线段MN应为“卫星圆”的直径，
②当 都有斜率时，设点P（x0，y0），其中 ，
设经过点P（x0，y0）与椭圆只有一个公共点的直线为x=t（y-y0）+x0，
则 ，
消去y得到 ，
∴
所以 ，满足条件的两直线 垂直
线段MN应为“卫星圆”的直径， ，
综合①②知：因为 经过点P（x0，y0），又分别交其卫星圆于点MN，且 垂直，
所以线段MN为卫星圆 的直径，
所以弦长|MN|为定值
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的应用
【解析】【分析】（1）本题可根据题意得出关于a，b的方程组，解得a，b，进而求得椭圆方程，最后根据即可求出卫星圆的方程；
（2）本题可先讨论l1 、l2中有一条无斜率的情况，通过求出l1 、l2的方程即可求出|MN|的值，然后讨论l1 、l2都有斜率的情况，设点 P（x0，y0） 以及经过点P且与椭圆只有一个公共点的直线为 x=t（y-y0）+x0， ，再然后通过联立方程以及韦达定理的应用得出满足条件的两直线 、 垂直，判断出此时线段MN应为“卫星圆”的直径以及|MN|的值，最后综合两种情况即可得出结果.
1 / 1广东省东莞市石竹实验学校2022-2023学年高二下学期数学开学学情调查测试题
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023高二下·东莞开学考）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2018·全国Ⅱ卷理）双曲线 （a>0，b>0）的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高二下·东莞开学考）已知，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023高二下·东莞开学考）当点到直线的距离最大时，m的值为（ ）
A． B．0 C．-1 D．1
5．（2016高二上·武邑期中）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|=（ ）
A． B．6 C．12 D．7
6．（2023高二下·东莞开学考）与向量平行，且经过点的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023高二下·东莞开学考）函数的单调递增区间是
A． B． C． D．
8．（2023高二下·东莞开学考）已知、为双曲线的左、右焦点，P为右支上任意一点，若的最小值为8a，则该双曲线的离心率e的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9．（2023高二下·东莞开学考）已知递减的等差数列的前n项和为，，则（ ）
A． B． C． D．最大
10．（2023高二下·东莞开学考）已知四面体ABCD，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023高二下·东莞开学考）经过点P（4，-2）的抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023高二下·东莞开学考）已知数列的通项公式为若该数列是递减数列，则实数的值可能是 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．（2019·浙江模拟）已知圆 ： （ 为正实数）上任意一点关于直线 ： 的对称点都在圆 上，则 的最小值为 ．
14．（2020高三上·黑龙江月考）等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，若对任意正整数 都有 ，则 的值为 .
15．（2023高二下·东莞开学考）椭圆的右焦点关于直线的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是 .
16．（2023高二下·东莞开学考）如图，抛物线上的点与x轴上的点构成等边三角形，，…，…其中点在抛物线上，点的坐为，猜测数列的通项公式为 .
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023高二下·东莞开学考） 的三个顶点、、，D为BC中点，求：
（1）BC边上的高所在直线的方程；
（2）B边上的中线AD所在直线的方程．
18．（2020高二上·洛阳期末）在三棱柱 中， 平面 ， 为 的中点， 是边长为1的等边三角形.
（1）证明： ；
（2）若 ，求二面角 的大小.
19．（2023高二下·东莞开学考）已知数列{an}的前n项和为，且
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，为数列的前n项和，求数列的前n项和.
20．（2023高二下·东莞开学考）已知圆与圆：关于直线对称．
（1）求圆的方程及圆与圆的公共弦长；
（2）设过点的直线l与圆交于M，N两点，O为坐标原点，求的最小值及此时直线l的方程．
21．（2023高二下·东莞开学考）设数列的前n项和为，若对于任意的正整数n，都有
（1）设，求证：数列是等比数列，并求出的通项公式.
（2）求数列的前n项和.
22．（2023高二下·东莞开学考）给定椭圆，称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“卫星圆”.若椭圆C的离心率为，点在C上．
（1）求椭圆C的方程和其“卫星圆”方程；
（2）点P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点，过点P作直线，使得，与椭圆C都只有一个交点，且，分别交其“卫星圆”于点M，N，证明：弦长|MN|为定值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
又∵
∴
故选：C
【分析】将直线的一般式改写成斜截式，再由斜率公式可求得结果.
2．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】∵e= = ，
∴3= =2
∴
∴渐近线方程为：y=
故答案为：A
【分析】由离心率 可得 ，进而可求 ，即可求渐近线方程。
3．【答案】B
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
则
故选：B.
【分析】由诱导公式和同角关系将可化为 ，再由同角关系求出 ，由此可得结果.
4．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：直线 过定点Q(2，1)，
所以点 到直线 的距离最大时，PQ垂直该直线，
即 ，
解得m=-1，
故选：C．
【分析】由于直线过定点Q(2，1)，所以当PQ垂直该直线时，点到直线的距离最大，从而可列方程可求得答案.
5．【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由y2=3x得其焦点F（ ，0），准线方程为x=﹣ ．
则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（x﹣ ）= （x﹣ ）．
代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2）
则x1+x2= ，
所以|AB|=x1+ +x2+ = + + =12
故选：C
【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|．
6．【答案】A
【知识点】直线的点斜式方程；直线的方向向量
【解析】【解答】解：依题意可知，所求直线的斜率为 ，
所以所求直线方程为 ，即 .
故选：A.
【分析】利用点斜式求得直线方程.
7．【答案】D
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】解：由x2-2x-8>0得：x∈( ∞， 2)∪(4，+∞)，
令t=x2-2x-8，则y=lnt，
∵x∈( ∞， 2)时，t=x2-2x-8为减函数；
x∈(4，+∞)时，t=x2-2x-8为增函数；
y=lnt为增函数，
故函数f(x)=ln(x2-2x-8 )的单调递增区间是(4，+∞)，
故选D.
【分析】先求函数的定义域，再由二次函数与对数函数的性质，结合复数函数的同增异减的性质求得答案.
8．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解： .
当且仅当 ，即|PF2|=2a时，上式等号成立，这时|PF1|=4a .
又|PF1|+|PF2|≥|F1F2| ，即4a+2a≥2c ，
因此，
故选B.
【分析】化简，结合基本不等式求得|PF1|=4a，|PF2|=2a，再结合双曲线的性质得不等式4a+2a≥2c ，计算可得e的范围.
9．【答案】A,C,D
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列与一次函数的关系；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由 ， 可得 ， ，
由等差数列{an}为递减数列，
所以a8<0又 ，故B错误；
，故C正确；
由等差数列{an}为递减数列，且a8<0所以当1≤n≤7时 ，an>0
当n≥8时 ，an<0，所以S7最大，故D正确.
故选：ACD
【分析】由可得 ，由等差数列{an}为递减数列，所以a8<00 ，n≥8时，an<0，根据等差数列的求和公式和性质，逐项分析判断即可.
10．【答案】B,D
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系；异面直线的判定
【解析】【解答】解：由题意可得四面体A－BCD为正四面体，如图.
A：因为AF∩平面ABC＝A，CE平面ABC，且 ， 平面ABC ，由异面直线的定义可知，AF，CE为异面直线，故A错误；
B：因为 ，所以 ，故B正确；
C：因为F分别为棱CD的中点，所以 ，故C错误；
D：因为E，F分别为棱AB，CD的中点，所以 ，所以 ，故D正确.
故选：BD.
【分析】由异面直线和向量平行的定义判断A，由空间向量数量积的运算判断BC，由空间向量的线性运算判断D．
11．【答案】A,C
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】解：若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为y2=2px(p>0) ，又因为抛物线经过点 P（4，-2） ，
所以(-2)2=2p×4 ，解得p= ，所以抛物线的方程为y2=x .
若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为x2=2py(p>0) ，又因为抛物线经过点 P（4，-2） ，
所以42=2p×(-2) ，解得p=-4 ，所以抛物线的方程为x2=-8y .
故选：AC．
【分析】根据题意，分抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为y2=2px(p>0) ，和抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为x2=2py(p>0) ，分别代入点P的坐标，计算可得选项．
12．【答案】A,B
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：依题意，， 则 ，
所以an+1-an=-2(2n+1)+λ<0恒成立，
即λ<2(2n+1)对任意的n∈N*恒成立.
所以λ<[2(2n+1)]min，
因为n∈N* ，所以2(2n+1)的最小值是6，
因此选项AB满足题意.
故选：AB.
【分析】本题可以先通过得出的解析式，再得出an+1-an的解析式，最后通过数列是递减数列得出实数λ的取值范围.
13．【答案】
【知识点】基本不等式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】结合题意可知该直线过圆的圆心 ，代入直线方程，得到
，故最小值为
【分析】】结合题意将圆心代入直线方程，得到 ，再利用基本不等式可得所求最小值.
14．【答案】
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】因为 ， 是等差数列，所以 ，
因为 ，
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合等差数列的性质推出，再利用等差数列前n项公式结合已知条件对任意正整数 都有 ， 从而求出，进而求出 的值 。
15．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设F（c，0）关于直线的对称点为Q(m，n) ，
则有线段FQ的中点坐标为 ，
且直线FQ与直线垂直，
所以有 ，
所以Q 在椭圆上，
即有 ，又 ，可得e2(e4-4e2+1)+4e4=1，可得4e6+e2-1=0 ，
所以4e6-2e4+2e4-e2+2e2-1=0 ，
即(2e2-1)(2e4+e2+1)=0 ，因为0所以2e2-1=0 ，解得e= .
故答案为：
【分析】设Q(m，n) ，利用对称知识，结合椭圆方程得出椭圆中a，b，c，之间的关系，再由a2=b2+c2 ，以及离心率公式 ，及可求出离心率.
16．【答案】
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式
【解析】【解答】 解：OP1的方程为 ，代入抛物线 可得 ，
同理可得
可猜测 ，
证明：记三角形 的边长为an ，
由题意可知，当n≥2时， 在抛物线上，
可得 ，
当n≥3时， ，
两式相减得：
化简得： ，
则数列{an}是等差数列， ，
因为，
所以 ，
所以 ，
所以．
故答案为： ．
【分析】求出 ，可猜测 ，利用累加法，即可求解.
17．【答案】（1）解： 、 ， ，
所以BC边斜率 ，
故BC边上的高线的斜率 ，
故BC边上的高线所在直线的方程为 ，即
（2）BC中点 ，
中线AD所在直线的斜率为 ，
故BC边上的中线AD所在直线的方程为 ，即
【知识点】直线的点斜式方程
【解析】【分析】（1）求出直线BC的斜率，即可得到BC边上的高线的斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解.
（2）求出BC的中点D坐标，求出中线AD所在直线的斜率，代点斜式即可求解.
18．【答案】（1）证明：连接 ，∵ 是边长为1的等边三角形，且 为 的中点，
∴ ，∴
∵ 面 ，∴ 面 ，
又 面 ，∴ ，
∵ ， 面 ，
又 面 ，∴ .
（2）解：以 为原点建立空间直角坐标系如图所示，
则 ， ， ， ， ， .
分设平面 的法向量为 ，
则
∴可取 ，
同理可求得平面 的一个法向量为 .
，且二面角 为锐角，
∴二面角 的大小为 .
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 连接 ，利用三角形 是边长为1的等边三角形，且 为 的中点，再利用等边三角形三线合一得出，再结合 面 ，得出 面 ，再利用线面垂直的定义，从而证出线线垂直，所以 ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以 面 ，再结合线面垂直的定义，从而证出线线垂直，进而证出 。
（2） 以 为原点建立空间直角坐标系，再结合已知条件求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，从而求出二面角 的大小。
19．【答案】（1）解：数列 的前n项和为 ， ①，
当 时，解得 ，
当 时， ②，
①-②得： ，
故数列 是以3为首项，3为公比的等比数列；
所以 ；
（2）由（1）得 ，
所以 ，
故 ，
所以数列 的前n项和为
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用an=Sn-Sn-1可得{an}是首项为3，公比为3的等比数列，即可求出通项公式；
（2）可得 ，则 ， ，由裂项相消法即可求出前n项和.
20．【答案】（1）解： 圆 的圆心是
设 ，则由题意得
解得
∴圆 的方程为
将圆 与圆 的方程相减得两圆的公共弦所在直线方程为 ，
圆心 到公共弦所在直线的距离为 ，
∴两圆的公共弦长为
（2）若直线l与y轴重合，此时直线l与圆 相离，不合题意，
∴直线l的斜率存在.
设点 、 ，设直线l的方程为 ，
联立 整理得 ，
令 ，
解得 ，
由根与系数的关系得 ， ，
，其中 ，
要求 的最小值，只需在 的情形下计算．
令 ，则 ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
则 取得最小值 ，
此时 ，则直线l的方程为
【知识点】平面向量的数量积运算；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）设点 ，由题意可知，两圆圆心关于直线y=x+1对称，可得出关于a、b的方程组，解出这两个未知数的值，可求得圆C1的方程，求得两圆的公共弦方程，求出公共弦截圆C1所得弦长，即可得解；
（2）由题意可知直线l的斜率存在，设点 、 ，设直线l的方程为y=kx+3 ，将直线l的方程与圆C1的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于k的关系式，进而可求得 的最小值以及对应的k值，即可得出直线l的方程.
21．【答案】（1）解： 对于任意的正整数n都成立，
，
两式相减，得 ，
，即 ，
，
即 对一切正整数都成立，
数列 是公比为2的等比数列.
当 时， ，
即 ， ，
，
（2）由 知 ，
设数列 的前n项和为 ，则
… … ，
令 … ，①
则 … ，②
①-②得： … ，
即 ，
故 ，
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用数列的递推关系式，化简，变形为 ， 即可得到 ，证得数列为等比数列，进而求得 的通项公式；
（2）利用错位相减法，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可求解．
22．【答案】（1）解：由条件可得： 解得 ，
所以椭圆的方程为 ，
卫星圆的方程为
（2）①当 中有一条无斜率时，不妨设 无斜率，
因为 与椭圆只有一个公共点，则其方程为 或 ，
当 方程为 时，此时 与“卫星圆”交于点 和 ，
此时经过点 和 ，且与椭圆只有一个公共点的直线是 ，
，
线段MN应为“卫星圆”的直径，
②当 都有斜率时，设点P（x0，y0），其中 ，
设经过点P（x0，y0）与椭圆只有一个公共点的直线为x=t（y-y0）+x0，
则 ，
消去y得到 ，
∴
所以 ，满足条件的两直线 垂直
线段MN应为“卫星圆”的直径， ，
综合①②知：因为 经过点P（x0，y0），又分别交其卫星圆于点MN，且 垂直，
所以线段MN为卫星圆 的直径，
所以弦长|MN|为定值
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的应用
【解析】【分析】（1）本题可根据题意得出关于a，b的方程组，解得a，b，进而求得椭圆方程，最后根据即可求出卫星圆的方程；
（2）本题可先讨论l1 、l2中有一条无斜率的情况，通过求出l1 、l2的方程即可求出|MN|的值，然后讨论l1 、l2都有斜率的情况，设点 P（x0，y0） 以及经过点P且与椭圆只有一个公共点的直线为 x=t（y-y0）+x0， ，再然后通过联立方程以及韦达定理的应用得出满足条件的两直线 、 垂直，判断出此时线段MN应为“卫星圆”的直径以及|MN|的值，最后综合两种情况即可得出结果.
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