2023年河南省普通高中学业水平考试数学仿真模拟卷（五）（2月）（含解析）

河南省普通高中学业水平考试（2019版新教材）
数学仿真模拟卷（五）
一、选择题(本大题共16小题，每题3分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若全集U＝{0，1，2，3}且 UA＝{2}，则集合A的真子集共有(　　)
A．3个 B．5个 C．7个 D．8个
2．下列条件中，是x2<4的必要不充分条件的是(　　)
A．－2≤x≤2 B．－23．正方形ABCD的边长为1，则|＋|为(　　)
A．1 B. C．3 D．2
4．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为(　　)
A．6－4i B．－6－4i C．6＋4i D．－6＋4i
5．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为(　　)
A．至多有2件次品 B．至多有1件次品
C．至多有2件正品 D．至少有2件正品
6．已知向量a＝(2，4)，a＋b＝(3，2)，则b等于(　　)
A．(1，－2) B．(1，2) C．(5，6) D．(2，0)
7．设函数f(x)＝则f(f(3))＝(　　)
A. B．3 C. D.
8．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为(　　)
A．48(3＋) B．48(3＋2) C．24(＋) D．144
9．若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是(　　)
A.＜ B．a2＞b2 C.＞ D．a|c|＞b|c|
10．不等式＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是(　　)
A．x＝3 B．x＝－3 C．x＝5 D．x＝－5
11．如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b的取值范围为(　　)
A．b＝3 B．b≥3 C．b≤3 D．b≠3
12．直线a与直线b相交，直线c也与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是(　　)
A．相交 B．平行 C．异面 D．以上都有可能
13．已知一组数据3，5，7，4，6，则该样本的标准差为(　　)
A．1 B. C. D．2
14．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
15．如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山腰A处
测得AC＝60 m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台
底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为(　　)
A．20 m B．30 m
C．20 m D．30 m
16．已知tan 2α＝，α∈，函数f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α，且对任意的实数x，不等式f(x)≥0恒成立，则sin的值为(　　)
A．－ B．－ C．－ D．－
二、填空题(本大题共7小题，每小题3分，共21分)
17．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．
18．设x0是方程ln x＋x＝4的根，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________．
19．已知α是第二象限角，tan α＝－，则cos α＝________．
20．已知扇形OAB的圆心角为π，周长为5π＋14，则扇形OAB的面积为________．
21．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为1，，，则其外接球的表面积是________．
22．从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率为________．
23．某同学利用描点法画函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中0x 0 1 2 3 4
y 1 0 1 －1 －2
经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式应是________．
三、解答题(本大题共6小题，共31分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
24．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.
25．甲、乙两名学生在5次英语测试中的成绩统计如下：
甲：74　85　86　90　93
乙：76　83　85　87　97
现要从中选派一人参加英语口语竞赛，从统计学角度，你认为派哪位学生参加更合适？请说明理由．
26.已知点A(1，0)，B(0，1)，C(2sin θ，cos θ)．
(1)若||＝||，求的值；
(2)若(＋2)·＝1，其中O为坐标原点，求sin θ·cos θ的值．
27．甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出试验的样本空间；
(2)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，否则，乙胜．你认为此游戏是否公平？说明你的理由．
28.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ＜π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
29．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C.
(1)求角A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝，试判断△ABC的形状．
仿真模拟卷(五)答案
1．解析：选C　A＝{0，1，3}，真子集有23－1＝7个．
2．解析：选A　由x2<4得－23．解析：选B　在正方形ABCD中，AB＝1，易知AC＝，所以|＋|＝||＝AC＝.
4．解析：选D　(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.
5．解析：选B　至少有2件次品包含2，3，4，5，6，7，8，9，10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．
6．解析：选A　b＝a＋b－a＝(3，2)－(2，4)＝(1，－2)．
7．解析：选D　∵3＞1，∴f(3)＝
又∵f(3)＝≤1，∴f(f(3))＝＋1＝.
8．解析：选A　正六棱柱的侧面积S侧＝6×6×4＝144，底面面积S底＝2×6××42＝48，∴S表＝144＋48＝48(3＋)．
9．解析：选C　对A，若a＞0＞b，则＞0，＜0，
此时＞，∴A不成立；
对B，若a＝1，b＝－2，则a2＜b2，∴B不成立；
对C，∵c2＋1≥1，且a＞b，∴＞恒成立，∴C正确；
对D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，∴D不成立．
10．解析：选C　由基本不等式知等号成立的条件为＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)．
11．解析：选C　函数f(x)＝x2－2bx＋2的图象是开口向上，且以直线x＝b为对称轴的抛物线，
若函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b≤3.故选C.
12．解析：选D
　如图所示，长方体ABCD A1B1C1D1中，AB与AA1相交，A1B1与AA1相交，AB∥A1B1；AD与AA1相交，AB与AD相交，AA1与AB相交；A1D1与AA1相交，AB与AA1相交，AB与A1D1异面．
13．解析：选B　数据3，5，7，4，6的平均数x＝×(3＋5＋7＋4＋6)＝5，方差s2＝×[(3－5)2＋(5－5)2＋(7－5)2＋(4－5)2＋(6－5)2]＝2，所以标准差为，故选B.
14．解析：选B　因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，
所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.
15．解析：选B　由题图，可得∠BAD＝∠DBA＝45°，∠DAC＝15°，，∠BAC＝30°，在△ABC中，由正弦定理得＝，故BC＝＝＝30(m)．
16．解析：选A　由tan 2α＝，即＝，得tan α＝或tan α＝－3.又因为f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α＝2cos xsin α－2sin α＝2sin α(cos x－1)≥0恒成立，而cos x－1≤0，所以sin α≤0，又因为α∈，所以tan α＝－3，sin α＝－＝－，cos α＝＝，所以sin＝sin αcos－cos αsin＝－×－×＝－.
17．解析：∵a＝∈(0，1)，∴f(x)＝ax在R上是减函数，又∵f(m)>f(n)，∴m答案：m18．解析：令f(x)＝ln x＋x－4，且f(x)在(0，＋∞)上递增，
∵f(2)＝ln 2＋2－4<0，f(3)＝ln 3－1>0，∴f(2)f(3)＜0，
∴f(x)在(2，3)内有解，∴k＝2.
答案：2
19．解析：因为＝－，且sin2α＋cos2α＝1，
又因为α是第二象限角，所以cos α＜0，所以cos α＝－.
答案：－
20．解析：设扇形的半径为r，圆心角为π，
∴弧长l＝πr，∵扇形的周长为5π＋14，∴πr＋2r＝5π＋14，
解得r＝7，由扇形的面积公式得S＝×π×r2＝×π×49＝.
答案：
21．解析：根据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，
∴把这个三棱锥可以补成一个同一顶点处三条棱长分别为1，，的长方体，于是长方体的外接球就是三棱锥的外接球．
设其外接球的半径为R，
则有(2R)2＝12＋()2＋()2＝6，∴2R＝，∴R＝，∴R2＝，
∴其外接球的表面积S＝4πR2＝6π.
答案：6π
22．解析：用A，B，C分别表示三名男同学，用a，b，c分别表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc，共15种．其中2名都是女同学包括ab，ac，bc，共3种．故所求的概率为＝.
答案：
23．解析：在平面直角坐标系中描出这五个点，如图所示．
根据函数图象的大致走势，可知点(1，0)不符合题意；
又因为0因为函数图象过(0，1)，∴2sin φ＝1，∴sin α＝，
又∵－<φ<，∴φ＝；
由(0，1)，(2，1)关于直线x＝1对称，
知x＝1时函数取得最大值2，
因此函数的最小正周期为6.
∴ω＝＝＝.∴函数y＝2sin.
答案：y＝2sin
24．证明：连接BC1(图略)，
在△BCC1中，
∵E，F分别为BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，
又∵AB∥A1B1∥D1C1，且AB＝A1B1＝D1C1，
∴四边形ABC1D1是平行四边形，
∴BC1∥AD1，∴EF∥AD1，又EF 平面AD1G，
AD1 平面AD1G，∴EF∥平面AD1G.
25．解：x甲＝＝85.6；
x乙＝＝85.6.
s＝×[(74－85.6)2＋(85－85.6)2＋(86－85.6)2＋(90－85.6)2＋(93－85.6)2]＝×209.2＝41.84；
s＝×[(76－85.6)2＋(83－85.6)2＋(85－85.6)2＋(87－85.6)2＋(97－85.6)2]＝×231.2＝46.24.
因为x甲＝x乙，s26．解：∵A(1，0)，B(0，1)，C(2sin θ，cos θ)，
∴＝(2sin θ－1，cos θ)，
＝(2sin θ，cos θ－1)．
(1)||＝||，
∴＝，
化简得2sin θ＝cos θ，所以tan θ＝，
∴＝＝＝－5.
(2)＝(1，0)，＝(0，1)，＝(2sin θ，cos θ)，
∴＋2＝(1，2)，
∵(＋2)·＝1，
∴2sin θ＋2cos θ＝1，∴(sin θ＋cos θ)2＝，
∴sin θ·cos θ＝－.
27．解：(1)方片4用4′表示，试验的样本空间为Ω＝{(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)}，则样本点的总数为12.
(2)不公平．理由如下：甲抽到牌的牌面数字比乙大有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种，甲胜的概率为P1＝，乙胜的概率为P2＝，因为<，所以此游戏不公平．
28．解：∵f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图象关于y轴对称，
∴f(x)在x＝0时取得最值，即sin φ＝1或－1.
依题设0≤φ＜π，∴解得φ＝，
由f(x)的图象关于点M对称，可知
sin＝0，即ω＋＝kπ，
解得ω＝－，k∈Z.
又∵f(x)在上是单调函数，∴T≥π，即≥π，
∴ω≤2，又∵ω＞0，∴0＜ω≤2，
∴k＝1时，ω＝；k＝2时，ω＝2.
故φ＝，ω＝2或.
29．解：(1)∵2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C，
由正弦定理得，2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，
即bc＝b2＋c2－a2，
∴cos A＝＝，
∵0°(2)∵A＋B＋C＝180°，
∴B＋C＝180°－60°＝120°，
由sin B＋sin C＝，
得sin B＋sin(120°－B)＝，
∴sin B＋sin 120°cos B－cos 120°sin B＝，
∴sin B＋cos B＝，∴ m(B＋30°)＝，即sin(B＋30°)＝1.
又∵0°∴30°∴B＋30°＝90°，即B＝60°，
∴A＝B＝C＝60°，∴△ABC为正三角形．