6.1.2向量的几何表示 巩固习题（含解析）

6.1.2向量的几何表示
一、单选题（本大题共9小题）
1. 两个非零向量的模相等是这两个向量相等的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 下列说法中，正确的个数有( )
零向量可以与任何向量平行，也可以与任何向量垂直；
若向量的模等于，则为单位向量；
所有的单位向量都相等；
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3. 给出下列个命题，其中真命题的个数是( )零向量没有方向
零向量只与零向量相等
零向量与任何向量共线
单位向量都相等
共线的单位向量必相等
A. B. C. D.
4. 下列说法不正确的是( )
A. 向量的模是一个非负实数
B. 任何一个非零向量都可以平行移动
C. 长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D. 两个有共同起点且共线的向量终点也必相同
5. 在四边形中，且，则四边形的形状一定是( )
A. 正方形 B. 长方形 C. 菱形 D. 等腰梯形
6. 如图，网格纸上小正方形的边长为，，分别是的边，的中点，则( )
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
7. 下列结论中正确的为( )
A. 两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B. 向量与向量的长度相等
C. 对任意向量，是一个单位向量
D. 零向量没有方向
8. 如果，是两个单位向量，则与一定( )
A. 相等 B. 平行 C. 方向相同 D. 长度相等
9. 如图，在正六边形，点为其中心，则下列判断错误的是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共3小题）
10. 下列说法中错误的是( )
A. 向量与是共线向量，则，，，四点必在一条直线上
B. 零向量与零向量共线
C. 若，，则
D. 温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量
11. 下面的命题正确的有( )
A. 方向相反的两个非零向量一定共线
B. 单位向量都相等
C. 若，满足且与同向，则
D. “若、、、是不共线的四点，且”“四边形是平行四边形”
12. 向量，则下列说法正确的是( )
A.
B. 向量方向相反
C.
D.
三、填空题（本大题共4小题）
13. 一个人从点出发沿东北方向走了到达点，然后改变方向，沿南偏东方向又走了到达点，则此人从点回到点的位移为 ．
14. 在下列判断中，真命题的是
长度为的向量都是零向量；
零向量的方向都是相同的；
单位向量的长度都相等；
单位向量都是同方向；
任意向量与零向量都共线．
15. 若为任意非零向量，为模为的向量，下列各式：
；；；．
其中正确的是 填序号．
16. 把同一平面内所有模不小于且不大于的向量的起点移到同一点，则这些向量的终点构成的图形的面积为 ．
四、解答题（本大题共2小题）
17. 如图，是正六边形的中心，且，，在以这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：
与相等的向量有哪些？
的相反向量有哪些？
与模相等的向量有哪些？
18. 如图所示方格纸由若干个边长为的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点，，点为小正方形的顶点，且．
画出所有的向量；
求的最大值与最小值．
答案和解析
1.【答案】
解：两个非零向量的模相等，但方向不一定相同，两个向量不一定相等．
若两个向量相等，则两个向量的模相等．
两个非零向量的模相等是这两个向量相等的必要不充分条件．
故选：．

2.【答案】
解：零向量的方向是任意的，
它可以与任何向量包括零向量平行、垂直，
知正确；
根据单位向量的定义知正确；
不是所有的单位向量都相等，所有单位向量的模长相等错．
故选C．

3.【答案】
解：零向量的方向是任意的，故为假命题；
零向量只与零向量相等，真命题；
零向量与任何向量共线，真命题；
单位向量大小相等，方向不一定相同，故为假命题；
共线的单位向量不一定相等，故为假命题；
故选C．
4.【答案】
解：根据向量的模长公式，向量的模是一个非负实数，故正确；
B.任何一个非零向量都可以平行移动，由相等向量定义知正确；
C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量，由共线向量定义知正确；
D.两个有共同起点且共线的向量其终点不一定相同，故错误．
故选D．

5.【答案】
解：因为，所以且，所以四边形是平行四边形，又因为，所以，所以四边形是菱形．

6.【答案】
解：由题意，
因为，分别是的边，的中点，
所以，
故选B．

7.【答案】
解：选项，单位向量的方向任意，所以当起点相同时，终点在以起点为圆心的单位圆上，终点不一定相同，故A不正确
选项，向量与向量是相反向量，方向相反，长度相等，故B正确
选项，当时，无意义，故C不正确
选项，零向量的方向是任意的，而不是没有方向，故D不正确．

8.【答案】
解：因为，是两个单位向量；
只能得到其模长相等，方向不确定，
故选D．

9.【答案】
解：在正六边形中，不妨设其边长为，依次分析选项：
对于、由正六边形的性质可得与平行且相等，则有，故A正确；
对于、由正六边形的性质可得与平行，即，故B正确；
对于、在正六边形中，与均过中心，则有，即有，故C正确；
对于、在中由余弦定理得，
而，则，故D错误；
故选：．

10.【答案】
解：向量与是共线向量，则，，，四点不一定在一条直线上，故A错误；
零向量与任一向量共线，故B正确；
若，，则，故C正确；
温度是数量，只有正负，没有方向，故D错误．
故选：．

11.【答案】
解：对于，由相反向量的概念可知A正确；
对于，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；
对于，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模的大小，故C错误；
对于，若、、、是不共线的四点，且，
可得，且，故四边形是平行四边形；
若四边形是平行四边形，可知，且，
此时、、、是不共线的四点，且，故D正确．
故选AD．
12.【答案】
解：因为，
所以，故D正确；
由向量共线定理知，A正确；
由于，属于与方向相反，故B正确；
由上可知，故C错误．
故选ABD．
13.【答案】沿西偏北长度为
解：由题意可知，，，，
为正三角形，
，即此人从点回到点所走的路程为．
又易知此人行走的方向为西偏北．
此人从点回到点的位移为沿西偏北长度为．

14.【答案】
解：由定义知正确，
由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故不正确．
显然正确，不正确．
故答案为．

15.【答案】
解：对于，因为 为任意非零向量， 为模为的向量，当时，不成立，错误，
对于，与不一定共线，命题错误，
对于，因为 为任意非零向量，，命题正确，
对于，因为为模为的向量，，则，命题错误，
综上，正确的命题序号是，
故答案为

16.【答案】
解：这些向量的终点构成的图形是一个圆环，
其面积为．
故答案为．

17.【答案】解：由相等向量定义知：与相等的向量有；
由相反向量定义知：的相反向量有；
由向量模长定义知：与模相等的向量有
18.【答案】 解： 画出所有的向量，如图所示．
由所画的图知，当点位于点和时，取得最小值；
当点位于点和时，取得最大值．
的最大值为，最小值为．
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