6.1.3相等向量与共线向量 巩固习题（含解析）

6.1.3相等向量与共线向量
一、单选题（本大题共8小题）
1. 已知向量，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 如图，四边形，其中，则相等的向量是( )
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
3. 下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，，则
C. 长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量
D. 单位向量都相等
4. 如图，四边形中，，则相等的向量是( )
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
5. 给出下列四个命题：
若，则；
若，，，是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；
若，，则；
的充要条件是且．
其中正确命题的序号是( )
A. B. C. D.
6. 下列命题中，正确的命题是( )
A. B.
C. D.
7. 设，都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是( )
A. 且 B.
C. D.
8. 如图，在圆中，向量，，是( )
A. 有相同起点的向量 B. 单位向量
C. 模相等的向量 D. 相等的向量
二、多选题（本大题共4小题）
9. 下列说法错误的为( )
A. 共线的两个单位向量相等
B. 相等向量的起点不一定相同
C. 若，则一定有直线
D. 若向量，共线，则点，，，必在同一直线上
10. 如图所示，四边形，，是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是( )
A. B. 与共线 C. 与共线 D.
11. 下列说法错误的是( )
A. 若，，则
B. 若，则
C. 对任意非零向量，是和它共线的一个单位向量
D. 零向量没有方向
12. 给出下列四个条件中能使成立的条件是( )
A. B.
C. 与方向相反 D. 或
三、填空题（本大题共4小题）
13. 有下列说法：
若向量与向量不平行，则与方向一定不相同；
若向量，满足，且与同向，则；
若，则一定不与共线；
由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行．
其中，说法正确的是 ．
14. 已知四边形是菱形，则在向量，，，，和中，相等的有 对
15. 给出下列各命题：
零向量没有方向若，则
单位向量都相等两相等向量若其起点相同，则终点也相同
若，，则
若四边形是平行四边形，则，
其中正确命题的序号是 ．
16. 下面几个命题：
若，则；
若，则；
若，则；
若向量满足，则．
其中正确命题的是
四、解答题（本大题共2小题）
17. 下列各组中的两个量是不是向量？如果是向量，说明它们是不是平行向量．
两个平面图形各自的面积
停放在广场上的两辆小汽车各自受到的重力
小船驶向河对岸的速度与水流速度．
浮在水面的物体受到的重力与浮力．
18. 如图，四边形为梯形，，，且，分别为边的三等分点．
写出与向量相等的所有向量除外；
写出与向量方向相同的所有向量除外．
答案和解析
1.【答案】
解：，推不出，
“”是“”的必要不充分条件，
故选：．

2.【答案】
解：，
，且，则四边形为平行四边形，
为的中点，
，
又与方向相同，
所以，
故选D．

3.【答案】
A.若，只能说明两个向量的模长相等，但是方向不确定，所以A错误
B.如果，结论不正确
C.根据平行向量的定义，C正确
D.单位向量长度相等，但是方向不确定，所以D错误．
故选C．

4.【答案】
解：四边形中，，
四边形是平行四边形，
．
故选：．

5.【答案】
解：若，但两向量方向不一定相同，则不一定成立，故错误；
若，，，是不共线的四点，则且四边形为平行四边形，
即是四边形为平行四边形的充要条件，故正确；
若，，则，故正确；
的必要不充分条件是且，故错误．
故答案选：．

6.【答案】
解：对于，向量的模长相等但向量的方向不一定相同，则向量不一定相等，故A错误；
对于，向量的模长可以比较大小，但向量不能比较大小，故B错误；
对于，，则向量相等，则一定有，故C正确；
对于，共线向量的方向可能相反，模长不一定相等，则不一定是相等向量，故D错误．
故选C．

7.【答案】
解：由得向量方向相同，且均为非零向量，
对照各个选项，可得：
项中向量 、 的方向不一定相同，可能相反；
项中向量、的方向相反；
项中向量、的方向相同或相反；
只有项能确定向量、方向相同．
故选D

8.【答案】
解：由题图可知，三个向量方向不同，但长度相等．
故选C．

9.【答案】ACD
解：对于，共线的两个单位向量的方向可能相反，故错误；
对于，相等向量的起点和终点都可能不相同，故正确；
对于，直线与可能重合，故错误；
对于，和可能平行，则，，，四点不共线，故错误．
故选ACD．

10.【答案】
解：由向量相等及共线和模的概念结合图形可知ABD正确；
不一定正确；
故选ABD．

11.【答案】
解：对于，若 为零向量时， 与 不一定共线，故A错误
对于，向量不能比较大小， B错误
对于，因为是非零向量，所以是和它共线的一个单位向量，故C正确；
对于，因为向量是有方向和大小的量，所以零向量是有方向的，零向量的方向是任意的，故D错误
故选：．

12.【答案】
解：因为与为相等向量，所以，即能够使成立；
由于并没有确定与的方向，即不能够使成立；
因为与方向相反时，，即能够使成立；
因为零向量与任意向量共线，所以或时，能够成立
故使成立的条件是．
故选ACD．

13.【答案】
解：对于，根据向量平行的定义知，两向量不平行方向一定不相同，命题正确；
对于向量不能比较大小，命题错误；
对于，非零向量与零向量，满足，但与共线，命题错误；
对于，零向量与任何向量平行，故错误；综上，正确的命题序号是
故答案为：

14.【答案】
解：相等的有，，共对．
故答案为．

15.【答案】
解：该命题不正确，零向量不是没有方向，只是方向不确定，是任意的
该命题不正确，只是说明这两个向量的模相等，但其方向未必相同
该命题不正确，单位向量只是模为单位长度，而对方向没有要求
该命题正确，因为两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合
该命题不正确．当时，则对两不共线的向量与，也有，，但与不一定共线
该命题不正确，应该是，．
故答案为．

16.【答案】
解：对于，由相等向量的定义可知，时，则有，所以正确；
对于，当时，则有，所以错误；
对于，当时，与的方向不一定相同，所以错误；
对于，当向量满足时，
有或，所以错误．
故答案为：．
17.【答案】解：由于面积是数，只有大小，故不是向量．
由于重力既有大小又由方向，故是向量．又重力所在直线与底面都垂直，故两辆小汽车各自受到的重力是平行向量；
由于速度既有大小又由方向，故是向量，但是小船驶向河对岸的速度与水流速度的方向既不相同也不相反，所以不是平行向量；
由于重力与浮力既有大小又有方向，所以是向量；由于重力与浮力的方向相反，所以重力与浮力是平行向量．
18.【答案】解：因为四边形为梯形，，且分别为边的三等分点，
所以
又因为，所以与向量相等的向量有
由可知：与向量方向相同的向量有

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