2022-2023学年高一下学期数学人教版（2019）必修第二册6.3.1平面向量基本定理 巩固习题（含答案）

6.3.1平面向量基本定理
一、单选题（本大题共8小题）
1. 如图，在中，，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
2. 如图，在中，，是的中点，若，则实数的值是( )
A. B. C. D.
3. 在中，为边上的中线，为边的中点，若，，则可用，表示为( )
A. B. C. D.
4. 如图，四边形中，，，则( )
A. B. C. D.
5. 在平行四边形中，设，，为的靠近的三等分点，与交于，则( )
A. B. C. D.
6. 如图所示，平面内有三个向量，，，与夹角为，与夹角为，且，，若，则( )
A. B. C. D.
7. 如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则( )
A. B. C. D.
8. 任意画一个正三角形，并把每一条边三等分，分别取三等分后的各边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，得到如图所示的六角星，点是该六角星的中心，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题）
9. 如图，点为正六边形的中心，其中可作为基底的一对向量是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
10. 如图所示，点，，是圆上的三点，线段与线段交于圆内一点，若则( )
A. 当为线段的中点时， B. 当为线段的中点时，
C. 无论取何值，恒有 D. 存在，
11. 如图所示，在中，，，与交于点过点的直线与两边、分别交于点，，设，，则( )
A. B.
C. 可能的取值为 D. 的最小值为
12. 在中，，，为内的一点，设，则下列说法正确的是( )
A. 若为的重心，则
B. 若为的内心，则
C. 若为的外心，则
D. 若为的垂心，则
三、填空题（本大题共4小题）
13. ，为两个不共线的向量，，，，用，为基底表示向量 ．
14. 如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为 ．
15. 如图，在平行四边形中，是与的交点，是的中点，若，则 ．
16. “赵爽弦图”是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中，，，分别是，，，的中点，若，则 ．
四、解答题（本大题共2小题）
17. 在三角形中，点分之比为：，点分分之比为：，设，．
设，试用，和实数表示；
试用，表示；
在边上有点，使得，求证：，，三点共线．
18. 如图，在菱形中，，．
若，求的值；
若，，求．
答案和解析
1.【答案】
解：，
，
，

，
，
，，
则．
故选B．

2.【答案】
解：因为是的中点，所以．
所以
，
因为，所以．
故选C．

3.【答案】
依题意，
．
故选：．

4.【答案】
解：在平行四边形中，由已知可得点为的中点，
由三角形法则可得
．

5.【答案】
解：由题意可知∽，
所以，
所以，
故选：．
6.【答案】
解：如图所示，建立直角坐标系：
，．
，
，
，解得，．
．
故选C．

7.【答案】
接：画出图形，如下图．
选取为基底，则，
．
故选C．

8.【答案】
解：，
，
则，
又，
则，
故选：．

9.【答案】
解：由题图可知，与共线，与共线，不能作为基底向量，
与不共线，与不共线，可作为基底向量．
故选：．

10.【答案】
解：由题意，，
因为与共线，所以设，即，
整理得，又与不共线，
所以，即，
解得，故C正确，D错误，
当为中点时，，即，
代入，得
解得，故A正确，B错误．
故选：．

11.【答案】
解：由已知，、、三点共线，设，又，
，则，
由、、三点共线，设，
，
则，
由得，，得．
，故A正确；
由、、三点共线，设，
，得，
又，，
，结合，
得，消去得，，故B正确；
由，由题意知，，
．
当且仅当，即时等号成立，
，不可能取值，故C错误；
，
．
当且仅当，即时等号成立．
的最小值为，故D正确．
故选：．

12.【答案】
解：取中点，连接，则的重心、内心、外心与垂心均在上．
对于取中点，连接交于，过作的平行线交于，则，所以，，所以，所以，即，故选项A正确；
对于设的内切圆半径为，则，解得，所以，所以，，故选项B错误；
对于令的外接圆半径为，则，解得，所以，所以，故选项C正确；
对于由题意可得，所以，所以，所以，所以，所以，故选项D正确．
故本题选：．

13.【答案】
解：，，
可得，
；
，，
；
故答案为．

14.【答案】
解：是上的一点，
设，由，
则
，
，，
解得，，
故答案为．

15.【答案】
解：四边形是平行四边形，且是的中点，
，
，
，
．
故答案为．

16.【答案】
解：由题意可得因为是平行四边形，所以，所以，所以因为，所以，，则．

17.【答案】解：由题意，
，
设由，，
由、得，，
，解得
；
由，得，
，
，
与共线，
与有公共点，
，，三点共线．
18.【答案】解：因为，，
所以，
而，
所以，，故．
，
，
为菱形，，，
，
即．

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