2022-2023学年高一下学期数学人教版（2019）必修第二册6.3.5平面向量数量积的坐标表示 巩固习题（含答案）

6.3.5平面向量数量积的坐标表示
一、单选题（本大题共8小题）
1. 已知向量，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 已知，且，则等于( )
A. B. C. D.
3. 已知，，，且，，则( )
A. B. C. D.
4. 设向量，则( )
A. B.
C. 与的夹角为 D.
5. 已知向量，，若向量与向量的夹角为，则( )
A. B. C. D.
6. 已知向量，且，则( )
A. B. C. D.
7. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8. 已知，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题）
9. 已知，，则正确的有( )
A.
B. 的单位向量是
C.
D. 与共线且与垂直的单位向量是
10. 已知向量，其中，均为正数，且，下列说法正确的是( )
A. B. 与的夹角为钝角
C. D. 向量在方向上的投影为
11. 已知向量，，，则下列结论正确的有
A. B. 若，则
C. 的最大值为 D. 的最小值为
12. 下列命题中正确的是( )
A. 两个非零向量，，若，则与共线且反向
B. 已知，且，则
C. 若，，，为锐角，则实数的取值范围是
D. 若非零向量，满足，则与的夹角是
三、填空题（本大题共4小题）
13. 向量，，且，则 ．
14. 如图，在矩形中，已知，，且，则 ．
15. 已知向量，，则夹角的余弦值为 ．
16. 设平面向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共2小题）
17. 已知向量．
求向量与的夹角的大小；
若，求实数的值．
18. 在中，，，，为边中点．
求的值；
若点满足，求的最小值；
答案和解析
1.【答案】
解：根据已知条件，若，即，解得或，
因为或，
或，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选A．

2.【答案】
解：因为，，
所以，．
又因为，
所以，
即，解得．
故选：．

3.【答案】
解：，，解得，
，，解得，
，，
．
故选：．

4.【答案】
解：设向量，
因为，所以A错误；
因为，而，所以与不平行，所以B错误；
因为，
所以，
因为，所以，所以C错误；
因为，，
所以，
所以，所以D正确．
故选D．

5.【答案】
解：，，
，，，
．
故选C．

6.【答案】
解：，又，
，解得．
故选D．

7.【答案】
解：已知向量，，且与的夹角为锐角，
，解得且，
即的取值范围是．
故选D．

8.【答案】
解：由，则，得，
则，．
故选C．

9.【答案】
解：已知，，
则：，故A正确；
：的单位向量是，故B正确；
：，故，故C正确；
：与垂直的单位向量是 ，但与不共线，故D错误．
故选ABC．

10.【答案】
解：，故正确；
，
，的夹角不是钝角，故错误；
向量在方向上的投影为，故正确；
，
，
，
，故错误．
故选．

11.【答案】
解：对于，，A正确；
对于，若，则，，，所以；B正确；
对于，，，所以当时最大值为，C正确；
对于，，，
，
，当， 取得最小值，D错误．
故答案选：．

12.【答案】
解：对于，因为，是非零向量，由两边平方得，则与共线且反向，故A正确；
对于，已知，由得，则或与垂直，故B不正确；
对于，依题意得，为锐角，
则，即，
当时，，即，此时不为锐角，
于是得为锐角时，实数的取值范围是，故C不正确；
对于，，是非零向量，由得，则，
，，
又，于是得，故D正确．
故选AD．

13.【答案】
解：向量，，且，
可得，则，，
所以．
故答案为．

14.【答案】
解：如图，建立直角坐标系：
则，，，，
则，，
故答案为：

15.【答案】
解：已知向量，，故，
则．
故答案为：．

16.【答案】
解：因为与的夹角为锐角，所以，的量，，
所以，，
整理得，所以的范围为．
故答案为．

17.【答案】解：因为，
设向量与的夹角为，
所以，
因为，
故；
因为，
所以，
因为，
所以，
即，解得．
18.【答案】解：由勾股定理知，；
解法一坐标法：建立平面直角坐标系，如图所示：
则，，，的中点，
所以，，
所以；
解法二基向量法：；
解法三定义法：在中，，
；
由题意，点在上，
解法一极化恒等式：，
所以当时，此时，
取到最小值，即；
解法二坐标法：设，则，
所以的最小值是．
第1页，共1页