6.4.1平面几何中的向量方法 巩固习题-2022-2023学年高一下学期数学人教版（2019）必修第二册（含解析）

6.4.1平面几何中的向量方法
一、单选题（本大题共6小题）
1. 为平面上的定点，，，是平面上不共线的三点，若，则是
A. 以为底面的等腰三角形 B. 以为底面的等腰三角形
C. 以为斜边的直角三角形 D. 以为斜边的直角三角形
2. 在中，向量与满足，且，则为( )
A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等腰直角三角形
3. 已知点是所在平面内的一定点，是平面内一动点，若，则点的轨迹一定经过的( )
A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心
4. 在中，若点满足，，则与的面积之比为( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
5. 在三角形中三边上高的交点叫垂心，三条角平线的交点叫内心，三条中线的交点叫重心，三边的垂直平分线的交点叫外心已知点是所在平面内一点，且满足，则动点的轨迹必通过的( )
A. 垂心 B. 内心 C. 重心 D. 外心
6. 如图，在的内部，为的中点，且，则的面积与的面积的比值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题）
7. 已知梯形中，，，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 若，则点在线段的反向延长线上
D. 若，则的面积是面积的倍
8. 已知，，是平面上不共线的三点，是的重心，动点满足，则点一定不是( )
A. 边中线的中点 B. 边中线的三等分点非重心
C. 的重心 D. 边的中点
9. 点在所在平面内，下列说法中，能保证点轨迹过重心的是( )
A.
B. 动点满足，
C. 动点满足，
D. 点满足
10. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足则( )
A. 为的外心
B.
C.
D.
三、填空题（本大题共5小题）
11. 在中，，点满足，若，则
12. 已知等腰直角的斜边长为，其所在平面上两动点、满足且、、，若，则的最大值为 ．
13. 在中，，，，点为上一点，若，则 ．
14. 易经是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图，这是易经中记载的几何图形八卦图图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦图已知正八边形的边长为，是正八边形所在平面内的一点，则的最小值为 ．
15. 已知是正实数，的三边长为，点是边与点，不重合上任一点，且若不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共2小题）
16. 中，为的中点，为外心，点满足．
证明：；
若，设与相交于点，关于点对称，且，求的取值范围。
17. 如图所示，等腰梯形中，，，已知分别为线段，上的动点可与线段的端点重合，且满足，．
求关于的关系式并确定的取值范围
若，判断是否存在恰当的和使得取得最大值若存在，求出该最大值及对应的和若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
解：设的中点为，，，
，，故的边上的中线也是高线．
故是以为底边的等腰三角形，
故选 B．

2.【答案】
解：因为，所以的平分线与垂直，
所以三角形是等腰三角形，且．
又因为，所以，所以三角形是等腰直角三角形．
故选：．

3.【答案】
解：如图，设是的中点，
，
，
，
点的轨迹是射线，
是中边上的中线，
点的轨迹一定经过的重心．
故答案选：．

4.【答案】
解：因为，
所以，即，
得点为线段上靠近点的三等分点．
又，
所以，即，
得点为线段上靠近点的四等分点，
所以，
所以与的面积之比为：：：，
故选B．

5.【答案】
解：如图所示：
设线段的中点为，则．
，
，
，即
，且平分．
因此动点的轨迹必通过的外心．
故选D．

6.【答案】
解：为的中点，
，
，
，
是的中点，
，
．
故选B．

7.【答案】
解：对于中，取的中点，
因为，所以，
又由，
可得，所以A错误；
对于中，在中，可得，所以B正确；
对于中，由，可得，即，
即点是线段的中点，所以C正确；
对于中，如图所示，
在上取点，使得，在上取点，使得，
由
，
因为，且，
可得点到的距离为点到的距离的倍，
所以的面积是面积的倍，所以D正确．
故选BCD．

8.【答案】
解：因为是的重心，所以，
所以，
所以点为的中点，即为边中线的三等分点非重心．
故选：．

9.【答案】
解：选项，如图所示，设的中点为，
由，则，故点为的重心，选项正确；
选项，由，，得，
又为方向的单位向量，为方向的单位向量，
故，
如图所示，，且射线为的角分线，故点在的角分线上，选项错误；
选项，如图所示，为的中点，由，，得，
故与共线，则在射线上，故点的轨迹一定过的重心，选项正确；
选项，由，得，即，即，
同理，，故点为的垂心，选项错误．
故选：．

10.【答案】
解：因为，
同理，，故为的垂心，故A错误；
，所以，
又，所以，
又，所以，故B正确；
故A，同理，
延长交于点，则
，
同理可得：：，所以：：：：，故C正确；
：：：，
同理可得：：，所以：：：：，
又，所以，故D正确．
故选：．
11.【答案】
解：
取的中点，连接，则，
因为，所以，
，
点满足，则，
设，则，解得，
是等边三角形，．
故答案为：．

12.【答案】
解：，
，得，
整理可得，
且，，，，，，
点在内或其边界上，取线段的中点，
则
，
当取最大值时，取最大值．
如图，当点与的顶点重合时，取得最大值，且最大值为，
，，
当且仅当，，三点共线且在线段上时等号成立，
．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】
【解答】
解：因为，，，
所以，即，
以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，
则，，设，
因为，
所以，，
因此．
故答案为．

14.【答案】
解：设，分别为，的中点，连接交于，则为的中点根据正八边形的特征，
可得，
．

15.【答案】
解：，即，
．
以为原点分别以、为、轴建立平面直角坐标系，如图所示：
，，
则，
则，
．
又点在直线：上，
则有，即，
由恒成立，
可得恒成立，
由，可得，
则，
当且仅当，即时等号成立．
又，，则，
则，则，
则，
则实数的取值范围是．
故答案为：．

16.【答案】解：因为为的中点，为外心，所以，
根据平面向量减法运算可得，
又因为，所以．
由，得，两边平方，展开化简的，所以，
此时为的中点，与重合，为的重心，
，
所以
．

17.【答案】解：由等腰梯形的性质可知，
即，
又，
，
则
．
由，分别为线段，上动点，故，．
由可得，则，
又，解得，．
故，令，则，
即，，
显然函数在上单调递增，
故当即且时，取得最大值为．
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