黑龙江省哈尔滨市第九中学校2022-2023学年高三下学期开学测试数学试卷（Word版含答案）

哈尔滨市第九中学2023届高三下学期开学测试
数学学科试卷
（本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟.）
注意事项：请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 记集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 下列命题中，真命题是（ ）
A. ，
B. ，
C. “”是“”的必要不充分条件
D. 命题“，”的否定为“，”
3. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
4. 为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）
①a的值为0.005；
②估计成绩低于60分的有25人；
③估计这组数据的众数为75；
④估计这组数据的第85百分位数为86
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③
5. 已知的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中含项的系数为（ ）
A. 25 B. 3 C. 33 D. 5
6. 如图，已知四边形ABCD为圆柱的轴截面，F为的中点，E为母线BC的中点，异面直线AC与EF所成角的余弦值为，，则该圆柱的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. ，是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上异于顶点的一点，I是的内切圆圆心，若的面积等于的面积的4倍，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 设数列的前n项和为，，且，若，则n的最大值为（ ）
A. 50 B. 51 C. 52 D. 53
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 复数的虚部为
B. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点在第四象限
C. 若为虚数单位，n为正整数，则
D. 若，则在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形面积为
10. 下列说法中正确的是（ ）
A. 已知数据X：，，…，，数据Y：，，…，，则数据Y的方差是数据X方差的4倍
B. 若随机变量，且，则
C. 袋中装有除颜色外完全相同的3个红球和4个白球，从袋中不放回的依次抽取2个球.记事件A表示“第一次抽到的是红球”，事件B表示“摸得的两球同色”，则
D. 对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若一个样本点为，则实数
11. 在边长为2正六边形ABCDEF中，G是线段AB上一点，，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若向量在向量上的投影向量是，则
C. 若，则的值为
D. 若P为正六边形ABCDEF内一点（包含端点），则的取值范围是
12. 设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题纸指定位置上.
13. 点在抛物线上，则抛物线的准线方程是______.
14. 函数在上的单调递增区间为______.
15. 有6名志愿者要到A，B，C三个社区进行志愿服务，每个志愿者只去一个社区，每个社区至少安排1名志愿者，则有且只有2名志愿者去A社区的概率是______.（结果用分数表示）
16. 已知三个内角A，B，C的对边a，b，c依次成等比数列，且，，点T为线段AB（含端点）上的动点，若满足的点T恰好有2个，则实数t的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，满分70分（17题10分，18题至22题12分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知椭圆E：的离心率为，且过点.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若直线m过椭圆E的右焦点和上顶点，直线l过点且与直线m平行.设直线l与椭圆E交于A，B两点，求AB的长度.
18. 已知等差数列的前n项和为，且，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前n项和.
19. 已知中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
（1）求角A的大小；
（2）若，D为BC边上一点，，且，求.
20. 我市为了解学生体育运动的时间长度是否与性别因素有关，从某几所学校中随机调查了男、女生各100名的平均每天体育运动时间，得到如下数据：
分钟 性别
女生 10 40 40 10
男生 5 25 40 30
根据学生课余体育运动要求，平均每天体育运动时间在内认定为“合格”，否则被认定为“不合格”，其中，平均每天体育运动时间在内认定为“良好”.
（1）完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析学生体育运动时间与性别因素有无关联；
不合格 合格 合计
女生
男生
合计
（2）从女生平均每天体育运动时间在，，，的100人中用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取2人，记X为2人中平均每天体育运动时间为“良好”的人数，求X的分布列及数学期望；
（3）从全市学生中随机抽取100人，其中平均每天体育运动时间为“良好”的人数设为，记“平均每天体育运动时间为‘良好’的人数为k”的概率为，视频率为概率，用样本估计总体，求的表达式.
附：，其中.
0.010 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
21. 已知在长方形ABCD中，，点E是AD的中点，沿BE折起平面ABE，使平面平面BCDE.
（1）求证：在四棱锥中，；
（2）若在线段AC上存在点F，使二面角的余弦值为，求的值；
（3）在（2）的条件下，求点C到平面BEF的距离.
22. 设函数，.
（1）若，讨论的单调性；
（2）若（其中）恒成立，求的最小值，并求出的最大值.
高三下学期开学测试答案
1－8：ACBC DBAB 9. CD 10. BC 11. AD 12. BCD
13. 14. 15. 16.
8.【详解】∵，∴，
∵是以－1为公比的等比数列，∴，
∴，
当n为偶数时，无解，当n为奇数时，，
∴，又，∴，即，
即，又n为奇数，故n的最大值为51.
12.【详解】因为，所以.
因为，所以，所以.
因为，所以，得，所以，
所以，所以的图象关于直线对称，所以，故B正确.
因为为奇函数，所以，且.
因为，所以，则的周期，
所以，故A错误.
因为，所以的周期也为4，
所以，，
所以，故C正确.
因为，，，，
所以，所以D正确.
故选：BCD.
16.【详解】由，
又由，
所以，
∴，∴，（舍），
∵，∴，从而，∴，即为等边三角形.
设BC中点M，则，，，
由题意若满足的点T恰好有2个，即需要，
故，
∴实数t的取值范围为.
17. 解：（1）因为，所以，，设椭圆E的方程为.
将点P的坐标代入得：，（b，a算对一个给2分）
所以，椭圆E的方程为.
（2）由得过椭圆右焦点坐标和上顶点的直线斜率为－1，
所以直线l的方程为，即，
联立，可得，
，，，
所以.
18.（1）设等差数列的公差为d，则由，，，
可得，
解得，
因此.
（2）由（1）知，
∴①，
②，
①－②得
，
∴.
19.（1）因为，所以，即，
所以，又，所以.
（2）由（1）可知，所以，
又，所以，
根据正弦定理，在中，，在中，，
又，∴，
所以由余弦定理可得，则，
所以.
20. 解：（1）由题意可知，列联表如下表
不合格 合格 合计
女生 50 50 100
男生 30 70 100
合计 80 120 200
零假设为：性别与学生体育运动时间无关联.
根据列联表中的数据，经计算得到
，
（保留到小数点后三位，没保留分数且结果错误全扣，如果有分数但结果不标准扣一分，无比较扣1分）
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别因素与学生体育运动时间有关联.
（2）抽取的20人中，女生平均每天运动时间在，，，的人数分别为2人，8人，8人，2人，
X的所有可能取值为0，1，2，
，，，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以数学期望为；
（3）平均每天运动时间在的频率为，
由题意可知，
所以.
21.（1）连结CE.因为E为AD的中点，，所以.
因为四边形ABCD为长方形，所以，.
在直角三角形ABE中，，同理.
又，所以，所以.
平面平面BCDE，平面平面，面BCDE，
所以平面ABE，所以.
又，且，所以平面AEC，所以.
（2）易知和均为等腰直角三角形，过A点作底边BE的高，交BE于O点，取BC中点G，连结OG.以O为原点，、、为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，
显然平面ABE的一个法向量为，
设，，则，又，设平面BEF的法向量为，可得，即得，
令可得，，
，或（舍），
∴.
（3）由（2），
而，所以点C到平面BEF的距离.
22. 解：（1）由于，则定义域为，
可得：，
当时，∵，∴，故在区间上单调递减；
当时，∵，∴由可得，由得，
故在区间单调递减，在区间上单调递增.
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）令，则对，都有成立.
因为，
所以当时，函数在在上单调递增，
注意到，∴这与恒成立矛盾，不成立；
当时，
得在区间上单调递增，在上单调递减，
∴.
若对，都有成立，则只需成立，
，
当时，则的最小值，
∵，∴函数在上递增，在上递减，∴，
即的最大值为.