必修第一册第三章 《函数概念与性质》综合检测卷（（培优 B 卷）（原卷版）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要
求，选对得 5 分，选错得 0 分．
1
1 2．函数 f (x) 4 xx 的定义域为（ ）
A．[ 2,0) (0, 2] B．[0,2] C．[ 2,2] D． (0, 2]
x 3, x 0,
2．已知 f x 若 f a 3 f a 2 ，则 f a （ ）
x , x 0,
A．2 B． 2 C．1 D．0
3．若函数 f x ax2 2x 1在区间 ( ,6)上单调递增，则实数 a 的取值范围是（ ）
1 1 1 1
A ． ,0
B． ,0
6 6
C． , D． ,1
6 6
4．已知关于 x 的不等式 ax2 bx 4 0的解集为 , m 4 ,
b 4
，其中m 0，则
m a b
的最小值为（ ）
A．－4 B．4 C．5 D．8
5 “ f x m2 m 1 xm 0, ” “ g x 2x m2 2 x． 幂函数 在 上为增函数 是 函数 为奇函数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
6．周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A 地出发前往 B 地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的
8
速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟.乙骑行 25分钟后，甲以原速的 继续骑行，经过一段时间，甲先到达 B 地，
5
乙一直保持原速前往 B 地.在此过程中，甲、乙两人相距的路程 y （单位：米）与乙骑行的时间 x （单位：分钟）
之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．乙的速度为300米/分钟 B． 25分钟后甲的速度为 400米/分钟
C．乙比甲晚14分钟到达 B 地 D．A 、 B 两地之间的路程为 29400米
7．已知函数 f（x）是 R 上的增函数，A（0，-1），B（3，1）是其图象上的两点，
那么|f（x+1）|<1 的解集的补集是（ ）
A．（-1，2） B．（1，4）
C．（-∞，1]∪[4，+∞） D．（-∞，-1]∪[2，+∞）
f x f x8 ．已知 f x 是定义在R 上的偶函数，在 ,0 上是增函数，且 f 2 0 ，则满足 0 的 x 的取值范
x
围是（ ）
A． , 2 B． 2, C． , 2 0,2 D． 2,2
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题满分 5 分，共 20 分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求。全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分．
9．已知函数 f x 是一次函数，满足 f f x 9x 8，则 f x 的解析式可能为（ ）
A． f x 3x 2 B． f x 3x 2
C． f x 3x 4 D． f x 3x 4
2x 1, x 010．已知函数 f x x2 2x 1, x 0
，则（ ）
A． f 1 2 B．若 f a 1，则 a 0或 a 2
C．函数 f x 在 0,1 上单调递减 D．函数 f x 在 1, 2 的值域为 1,3
11．已知函数 f (x) x 图像经过点(2,8)，则下列命题正确的有（ ）
A．f(0)=0 B． aC．若 x 1，则 f (x) 1 D．f(x)+f(-x)=0
12．已知函数 f (x) 的定义域为 R，对任意实数 x，y 满足： f (x) f (y) f (x y) 1，且 f (1) 0时，当 x 1时，
f (x) 0 .则下列选项正确的是（ ）
A． f (0) 1 B． f ( 1) 2
C． f (x) 1为奇函数 D． f (x) 为 R 上的增函数
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知 y f (x) 是定义在R 上的奇函数，当 x 0 时， f (x) x3 +2x，则在 x 0 时， f (x) 的解析式是________.
1
14．若函数 f (x) 2 的定义域为 R ，则实数 a的取值范围是__________ax 2ax 1
15．二次函数 y ax2 bx c a 0 的对称轴为 y 轴，经过 0,0 、 1,1 两点，并且当 1 x 1时， 2 m 2 时，
y t2 2mt 1恒成立，则实数 t 的取值范围是______
2
16．已知幂函数 f x x p 2 p 3 ( p N ) 的图像关于 y 轴对称，且在 0， 上是减函数，实数 a满足
p p
a2 1 3 3a 3 3 ，则 a的取值范围是_____．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在① f x 1 f x 2x 1，② f x 1 f 1 x ，且 f 0 3，③ f x 2恒成立，且 f 0 3这三个条
件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知二次函数 f x 的图像经过点（1，2），______.
(1)求 f x 的解析式；
(2)求 f x 在 1, 上的值域.
18．已知幂函数 f (x) (a2 3a 3)xa 为偶函数，
(1)求函数 f (x) 的解析式；
(2)若函数 g x f x 2m 1 x 3在 1,3 上的最大值为 1，求实数m 的值.
19．已知函数 f x x2 2x 2，利用函数图象解决下列问题．
(1)若 x1 x2 1，试比较 f x1 与 f x2 的大小．
(2)若函数 f x 在区间 D 上的值域也为 D，则称函数 f x 具有较好的保值性，这个区间称为保值区间，保值区间
2
有三种形式： ( ,m]， m,n ，[m, ) ．试问 f x x 2x 2是否具有较好的保值性？若具有，求出保值区
间．
20．已知函数 f (x)
1
＝mx 1＋ ＋ (m，n 是常数)，且 f (1) f (2)
11
2 ＝2， ＝ .nx 4
(1)求 m，n 的值；
(2)当 x∈[1,＋∞)时，判断 f (x) 的单调性并用定义证明.
21．已知函数 f x x2 mx m 0 在区间 0,2 上的最小值为 g m ．
（1）求函数 g m 的解析式．
（2）定义在 ,0 0, 上的函数 h x 为偶函数，且当 x 0时， h x g x ．若 h t h 4 ，求实数 t 的取
值范围．
22．已知定义在 ( ,0) (0, )上的函数 f (x) 满足：
①对任意 x ， y ( ,0) (0, )， f (x y) f (x) f (y)；
②当 x 1时， f (x) 0 ，且 f (2) 1 ．
（1）试判断函数 f (x) 的奇偶性．
（2）判断函数 f (x) 在 (0, )上的单调性．
（3）求函数 f (x) 在区间[ 4,0) (0, 4]上的最大值．
（4）求不等式 f (3x 2) f (x) 4的解集．必修第一册第三章 《函数概念与性质》综合检测卷（（培优 B 卷）（解析版）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，选对得 5 分，选错得 0 分．
1．函数 f (x)
1
4 x2
x 的定义域为（ ）
A．[ 2,0) (0, 2] B．[0,2] C．[ 2,2] D． (0, 2]
【答案】D
【分析】根据定义域的定义进行求解即可
1 2
【详解】使得函数 f (x) 4 xx 的表达式有意义，
则 x 0且 4 x2 0，解得 x (0, 2]
故选：D
x 3, x 0,
2．已知 f x 若 f a 3 f a 2 ，则 f a （ ）
x , x 0,
A．2 B． 2 C．1 D．0
【答案】B
a 3 0
【分析】由题意 f x 在 ,0 , 0, 上分别单调递增，由条件即
a 2 0
，从而得出
a a 2 ，解出
答案.
【详解】作出函数 f x 的图像， f x 在 ,0 , 0, 上分别单调递增.
由 f a 3 f a 2 ，
a 3 0
若 ，即 2 a 3，此时 f a 3 a 3 3 a， f a 2 a 2
a 2 0
所以a a 2 ，即 a2 a 2，解得 a 2或 a 1（不满足a a 2 ，舍去）
此时 a 2满足题意，则 f a 2
a 3 0
若 a 2 0 ，此时不存在满足条件的
a
故选：B
3 f x ax2．若函数 2x 1在区间 ( ,6)上单调递增，则实数 a 的取值范围是（ ）
1 1
A． ,0 B． ,0
1 1
C． ,
D
6 ．
,1
6 6 6
【答案】A
【分析】讨论 a 的取值，可知 a=0 符合题意，当 a 0 时，结合二次函数的性质可得不等式组，求得 a 的范
围,综合可得答案.
【详解】当 a=0 时，函数 f x 2x 1在 R 上单调递增，
所以 f x 在 ( ,6)上单调递增，则 a＝0 符合题意；
当 a 0 时，函数 f x 是二次函数，又 f x 在 ( ,6)上单调递增，
1
6 1
由二次函数的性质知， a ，解得 a 0 .
a 0
6
1
综上，实数 a 的取值范围是 ,0 , 6
故选:A.
4
4 b 4．已知关于 x 的不等式 ax2 bx 4 0的解集为 ,m , ，其中m 0，则
m a b
的最小值为
（ ）
A．－4 B．4 C．5 D．8
【答案】C
【分析】根据不等式 ax2 bx 4 0的解集求出 a的值和b
b 4
的取值范围，在代入 a b 中利用对勾函数的单调
性求出它的最小值.
4
【详解】由 ax2 bx 4 0的解集为 ,m ,
m
，
则 a 0，且m 4， 是方程 ax2m bx 4 0的两根，
m
4 b
m a
由根与系数的关系知 ，
m 4 4
m a
解得 a 1，b 4 m 4m ，当且仅当m 2时等号成立，
b 4 4 4
故 b ， 设 f (b)= b + ，(b 4)
a b b b
函数 f b 在b [4,+ )上单调递增，
所以 f (b) = f (4) 4= 4 + = 5min 4
b 4
所以 a b 的最小值为 5.
故选：C
5．“幂函数 f x m2 m 1 xm 在 0, 上为增函数”是“函数 g x 2x m2 2 x为奇函数”的（ ）条
件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】要使函数 f x m2 m 1 xm 是幂函数，且在 0, 上为增函数，求出m 1，可得函数 g x 为
g x 2x m2 2 x奇函数，即充分性成立；函数 为奇函数，求出m 1，故必要性不成立，可得答案.
【详解】要使函数 f x m2 m 1 xm 是幂函数，且在 0, 上为增函数，
m2 m 1 1
则 ，解得：m 1，当m 1时， g x 2x 2 x ， x R ，
m 0
则 g x 2 x 2x 2x 2 x g x ，所以函数 g x 为奇函数，即充分性成立；
“ g x 2x m2 2 x函数 为奇函数”，
g x g x 2x m2 2 x 2 x m2 2x m2 2x 2 x则 ，即 ，
解得：m 1，故必要性不成立，
故选：A．
6．周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A 地出发前往 B
8
地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟.乙骑行 25分钟后，甲以原速的
5
继续骑行，经过一段时间，甲先到达 B 地，乙一直保持原速前往 B 地.在此过程中，甲、乙两人相距的路程 y
（单位：米）与乙骑行的时间 x （单位：分钟）之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．乙的速度为300米/分钟 B． 25分钟后甲的速度为 400米/分钟
C．乙比甲晚14分钟到达 B 地 D．A 、 B 两地之间的路程为 29400米
【答案】C
【分析】首先由图象确定甲乙两人的速度，再求出甲到达 B 地时乙距离 B 的的距离，计算甲的总路程即为
A 、 B 两地之间的路程，进而可判断各个选项的正确性，即可得正确答案.
1500
【详解】因为乙比甲早出发5分钟，由图知：乙的速度为 300米/分钟，故选项 A 正确；
5
设甲的原速度为V ，因为 25 300 25 5 V 2500 ，解得：V 250米/分钟，
所以 25 250
8
分钟后甲的速度为 400米/分钟，故选项 B 正确；
5
当 x 86时，甲到达 B 地，此时乙距离 B 地还有 250 20 400 86 25 300 86 3600米，所以还需要
3600
12分钟，所以乙比甲晚12分钟到达 B 地，故选项 C
300
不正确；
A 、 B 两地之间的路程为 250 20 400 86 25 29400米，故选项 D 正确；
所以说法错误的是选项 C，
故选：C.
7．已知函数 f（x）是 R 上的增函数，A（0，-1），B（3，1）是其图象上的两点，
那么|f（x+1）|<1 的解集的补集是（ ）
A．（-1，2） B．（1，4）
C．（-∞，1]∪[4，+∞） D．（-∞，-1]∪[2，+∞）
【答案】D
【分析】不等式 | f (x 1) | 1可以变形为 f (0) f (x 1) f (3) ，再根据函数 f (x)
是R 上的增函数得0＜x 1＜3，解出 x 的范围就即可．
【详解】不等式 | f (x 1) | 1可变形为 1 f (x 1) 1，
∵ A(0, 1)，B(3,1) 是函数 f (x) 图象上的两点，∴ f (0) 1， f (3) 1，
∴ 1 f (x 1) 1等价于不等式 f (0) f (x 1) f (3) ，
又因为函数 f (x) 是R 上的增函数，
∴ f (0) f (x 1) f (3) 等价于0 x 1 3，
解得 1 x 2，
∴不等式 | f (x 1) | 1的解集为： ( 1,2)，
∴其补集为： ( , 1] [2, ) ．
故选：D．
8．已知 f x f x f x 是定义在R 上的偶函数，在 ,0 上是增函数，且 f 2 0 ，则满足 0 的 x 的
x
取值范围是（ ）
A． , 2 B． 2, C． , 2 0,2 D． 2,2
【答案】C
【分析】根据偶函数的区间单调性判断 f x 的区间符号，再把不等式转化为 xf x 0，进而等价转化为不
等式组求解集即可.
【详解】因为 f x 是定义在R 上的偶函数，且在 ,0 上是增函数， f 2 0 ，
所以函数 f x 在 0, 上单调递减， f 2 f 2 0，
当 x 2, , 2 时 f x 0 ；当 x 2,2 时 f x 0.
f x f x x 0 x 0
不等式 0 ，即 xf x 0 等价于 f (x) 0或 ，解得 x 2f (x) 0 或0 x 2 .x
所以不等式对应 x 的范围为 , 2 0,2 .
故选：C
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题满分 5 分，共 20 分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求。全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分．
9．已知函数 f x 是一次函数，满足 f f x 9x 8，则 f x 的解析式可能为（ ）
A． f x 3x 2 B． f x 3x 2
C． f x 3x 4 D． f x 3x 4
【答案】AD
【分析】设 f x kx b，代入 f f x 9x 8列方程组求解即可.
【详解】设 f x kx b，
由题意可知 f f x k kx b b k 2x kb b 9x 8，
k 2 9 k 3 k 3
所以 ，解得kb b 8
或 ，
b 2 b 4
所以 f x 3x 2或 f x 3x 4 .
故选：AD.
2x 1, x 0
10．已知函数 f x x2 2x 1, x 0，则（ ）
A． f 1 2 B．若 f a 1，则 a 0或 a 2
C．函数 f x 在 0,1 上单调递减 D．函数 f x 在 1, 2 的值域为 1,3
【答案】BD
【分析】作出函数图象，根据图象逐个分析判断即可
【详解】函数 f x 的图象如左图所示．
f 1 2 1 1 3，故 A 错误；
当 a 0时， f a 1 2a 1 1 a 0，此时方程无解；当 a 0时， f a 1 a2 2a 1 1 a 0或
a 2，故 B 正确；
由图象可得， f x 在 0,1 上单调递增，故 C 错误；
由图象可知当 x 1,2 时， f x min f 0 , f 2 1 f xmin ， max f 1 , f 1 3，故 fmax x 在
1, 2 的值域为 1,3 ，D 正确．
故选：BD．
11．已知函数 f (x) x 图像经过点(2,8)，则下列命题正确的有（ ）
A．f(0)=0 B． aC．若 x 1，则 f (x) 1 D．f(x)+f(-x)=0
【答案】ABCD
【分析】由幂函数过定点求得 3，再根据解析式判断 f (x) 的性质即可确定正确选项.
【详解】由题设， 2 8，可得 3，即 f (x) x3 ，
∴ f (0) 0且 f (x) 在定义域上为增函数、 f ( x) f (x) ，故 A、B、D 正确；
∴ x 1时有 f (x) 1，故 C 正确.
故选：ABCD.
12．已知函数 f (x) 的定义域为 R，对任意实数 x，y 满足： f (x) f (y) f (x y) 1，且 f (1) 0时，当 x 1
时， f (x) 0 .则下列选项正确的是（ ）
A． f (0) 1 B． f ( 1) 2
C． f (x) 1为奇函数 D． f (x) 为 R 上的增函数
【答案】ABC
【分析】由抽象函数关系式分析 f (x) 性质，对选项逐一判断
【详解】对于 A，令 x y 0 ，得 f (0) 1，故 A 正确
对于 B，令 x 1, y 1，得 f ( 1) 2，故 B 正确
对于 C，令 y x，得 f (x) f ( x) 2，故 f (x) 1 f ( x) 1 0， f (x) 1为奇函数，故 C 正确
对于 D， f (0) f (1)，故 f (x) 不是 R 上的增函数，D 错误
故选：ABC
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知 y f (x) 是定义在R 上的奇函数，当 x 0 时， f (x) x3 +2x，则在 x 0 时， f (x) 的解析式是
________.
【答案】 f (x) x3 +2x
【分析】任取 x 0 ，可得 x 0 ，求出 f ( x) ，再借助奇函数的定义即可计算作答.
【详解】 x 0，则 x 0 ，而当 x 0 时， f (x) x3 +2x，于是得 f ( x) ( x)3 +2( x) x3 2x，
因函数 y f (x) 是定义在R 上的奇函数，即 f ( x) f (x) ，则 f (x) x3 2x，整理得 f (x) x3 +2x，
所以在 x 0 时， f (x) 的解析式是： f (x) x3 +2x .
故答案为： f x x3 2x
1
14．若函数 f (x) 2 的定义域为 R ，则实数 a的取值范围是__________ax 2ax 1
【答案】[0,1)
【解析】由题意可得 ax2 2ax 1 0恒成立，分 a 0和 a 0两种情况分别考虑，解不等式即可得到所求
范围．
1
【详解】因为函数 f x 的定义域为 R，所以 ax22 2ax 1 0的解为 R，ax 2ax 1
即函数 y ax2 2ax 1的图象与 x 轴没有交点，
1 ，当 a 0时，函数 y 1与 x 轴没有交点，故 a 0成立；
2 ，当 a 0时，要使函数 y ax2 2ax 1的图象与 x 轴没有交点，则 4a2 4a 0，解得 0 a 1 .
综上：实数 a的取值范围是[0,1) .
【点睛】本题考查函数的定义域问题，注意运用分母不为0，以及二次不等式恒成立问题解法，属于中档
题．
15 2．二次函数 y ax bx c a 0 的对称轴为 y 轴，经过 0,0 、 1,1 两点，并且当 1 x 1时， 2 m 2
时， y t2 2mt 1恒成立，则实数 t 的取值范围是______
【答案】 t 4或 t 4或 t 0
【分析】由对称轴可求b ，由函数经过 0,0 、 1,1 两点可求 a,c ，从而可求二次函数的最大值，故当
2 m 2 时 2mt t 2 恒成立，从而可求解.
【详解】解：因为二次函数 y ax2 bx c a
b
0 的对称轴为 y 轴，所以 0即b 0，
2a
c 0 c 0
因为二次函数的图象经过 0,0 、 1,1 两点，所以 ，解得 ，
a c 1
a 1
所以二次函数的解析式为 y x2 ，
当 1 x 1时， y x2 的最大值为 1，
所以当 2 m 2 时，1 t 2 2mt 1即 2mt t 2 恒成立，
4t t 2
所以 2 ，解得 t 4或 t 4或 t 0 .
4t t
故答案为: t 4或 t 4或 t 0 .
16．已知幂函数 f x x p2 2 p 3 ( p N ) 的图像关于 y 轴对称，且在 0， 上是减函数，实数 a满足
p p
a2 1 3 3a 3 3 ，则 a的取值范围是_____．
【答案】1 a 4
【分析】根据幂函数的性质求出 p 的值，根据幂函数的单调性得到关于 a的不等式解出即可.
2
【详解】 幂函数 f x x p 2 p 3 p N * 在 0， 上是减函数，
p2 2 p 3 0，解得 1 p 3，
p N * ， p 1或 2．
当 p 1时， f x x 4 为偶函数满足条件，
p 2 f x x 3当 时， 为奇函数不满足条件，
p p 1 1
则不等式等价为 (a2 1) 3 (3a 3) 3 ，即 (a2 1)3 3a 3 3 ，
1
f x x3 在 R 上为增函数，
a2 1 3a 3，解得：1 a 4 .
故答案为：1 a 4 .
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在① f x 1 f x 2x 1，② f x 1 f 1 x ，且 f 0 3，③ f x 2恒成立，且 f 0 3这
三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知二次函数 f x 的图像经过点（1，2），
______.
(1)求 f x 的解析式；
(2)求 f x 在 1, 上的值域.
【答案】(1) f x x2 2x 3
(2) 2,
【分析】（1）若选条件①，设 f x ax2 bx c a 0 ，用待定系数法求得 a,b,c即可；若选条件②,设
f x ax2 bx c a 0 ，根据对称轴是 x 1，结合条件列方程求得 a,b,c即可；若选条件③，设
f x ax2 bx c a 0 .，根据条件 f x f 1 2min ，列方程求得 a,b,c即可.
（2）直接由（1）中解析式，求二次函数在 1, 上的值域即可.
（1）
选条件①.
设 f x ax2 bx c a 0 ，
则 f x 1 a x 1 2 b x 1 c ax2 2a b x a b c .
因为 f x 1 f x 2x 1 2，所以 ax 2a b x a b c ax2 bx c 2x 1，
2a 2 a 1
所以 a ，解得 b 1
.因为函数 f x b 的图像经过点（1，2）， 2
所以 f 1 a b c 1 2 c 2，得 c 3 .故 f x x2 2x 3 .
选条件②.
设 f x ax2 bx c a 0 ，
则函数 f x b图像的对称轴为直线 x .
2a
b
1
2a
a 1
由题意可得 f 0 c 3 ，解得 b 2 . 2故 f x x 2x 3 .
f 1 a b c 2
c 3
选条件③
2
设 f x ax bx c a 0 .
因为 f 0 3，所以 c 3 .
f 1 a b 3 2 a 1
因为 f x 2 f 1 恒成立，所以 b ，解得 ，
1 b 2 2a
f x x2故 2x 3 .
（2）
由（1）可知 f x x2 2x 3 x 1 2 2 .因为 x 1，所以 x 1 2 0，
所以 x 1 2 2 2 .所以 f x 在 1, 上的值域为 2, .
18．已知幂函数 f (x) (a2 3a 3)xa 为偶函数，
(1)求函数 f (x) 的解析式；
(2)若函数 g x f x 2m 1 x 3在 1,3 上的最大值为 1，求实数m 的值.
【答案】(1) f (x) x2
1
(2) m 或m 1
3
【分析】（1）幂函数的系数为 1，代入求出两种可能值，再根据函数奇偶性判断即可；
（2）二次函数性质，结合对称轴公式，动轴定区间分类讨论即可得解.
（1）
因为 f (x) 为幂函数
所以 a2 3a 3 1，得a 1或a 2
因为 f (x) 为偶函数
所以 a 2 故 f (x) 的解析式 f (x) x2 .
（2）
2
由（1）知 g x x 2m 1 x 3，
1 2m
当 1 m
1
即 时， g x gmax 3 3 6m 1
1
，即m
2 2 3
1 2m 1
当 1即m 时， g x g 1max 1 2m 1即m 12 2
1
综上所述：m 或m 1
3
19 f x x2．已知函数 2x 2，利用函数图象解决下列问题．
(1)若 x1 x2 1，试比较 f x1 与 f x2 的大小．
(2)若函数 f x 在区间 D 上的值域也为 D，则称函数 f x 具有较好的保值性，这个区间称为保值区间，保
值区间有三种形式： ( , m] m,n [m, ) f x x2， ， ．试问 2x 2是否具有较好的保值性？若具有，
求出保值区间．
【答案】(1) f x1 f x2 ；
(2)具有较好的保值性，保值区间是 1,2 ，[1, ) ，[2, )．
【分析】（1）画出二次函数的图象，数形结合法判断函数值大小；
（2）由 f x 的值域是[1, ) ，讨论 x ( ,m]、 x m,n 、 x [m, ) 结合保值区间定义求对应 m、n，即
可确定存在性.
（1）
f x x 1 2由 1的图象，如下图所示．
由图知：当 x1 x2 1时， f x1 f x2 ．
（2）
f x 具有较好的保值性，
由 f x 的图象知： f x 的值域是[1, ) ．
当 x ( , m]时， f x 趋向 ，不符合题意；
n m 1
当 x m, n 时，要使值域为 m,n ，则 f m m ，
f n n
所以 m，n 是方程 x2 2x 2 x 的两个根，解得 m＝1，n＝2，
所以保值区间是 1,2 ；
m 1
当 x [m, ) 时，要使值域为[m, ) ，则 ，解得 m＝1 或 m＝2，
f (m) m
所以保值区间是[1, ) ，[2, )．
综上， f x x2 2x 2具有较好的保值性，保值区间是 1,2 ，[1, ) ，[2, )．
20．已知函数 f (x)
1
＝mx 1＋ ＋ (m，n 是常数)，且 f (1)＝2， f (2)
11
2 ＝ .nx 4
(1)求 m，n 的值；
(2)当 x∈[1,＋∞)时，判断 f (x) 的单调性并用定义证明.
m 1
【答案】(1) n 2 ；
(2) f (x) 在[1,＋∞)上单调递增，证明见解析.
【分析】（1）由解析式，结合已知条件列方程组，求 m，n 的值即可.
（2）利用函数单调性的定义证明 f (x) 的单调性.
(1)
f (1) m 1 1 1 1 11∵ ＝ ＝2， f (2) ＝ 2m ＝ .
n 2 2n 2 4
m 1
∴ .
n 2
(2)
f (x) 11 x 1由（ ）知： ＝ ＋ ＋ ， f (x)2 在 x∈[1,＋∞)上为增函数，证明如下：2x
x 1 1 (x 1 1设1 x x ，则 f (x1 ) f (x2 ) 1 )
1 (x1 x2 )(2x1x2 1)
1 2 2x 2 2 2x 2 ＝
(x1 x2 )(1 )
1 2 2x1x
＝
2 2x
.
1x2
又1 x1 x2 ，则 x1 x2 0， x1x2 1，
(x1 x2 )(2x1x2 1)∴ 2x1x2 2 1，故 ＜0，即 f (x1) f (x2 )2x x ，1 2
∴ f (x) 在[1,＋∞)上单调递增.
21 2．已知函数 f x x mx m 0 在区间 0,2 上的最小值为 g m ．
（1）求函数 g m 的解析式．
（2）定义在 ,0 0, 上的函数 h x 为偶函数，且当 x 0时， h x g x ．若 h t h 4 ，求实数
t 的取值范围．
m2
g m ,0 m 4【答案】（1） 4 ；（2） 4,0 0,4
4 2m,m 4
【分析】（1）将二次函数 f x 配方，按对称轴在定义域内和不在定义域内两种情况，分别求出函数的最小
值，可得函数 g m 的解析式；
（2）由已知得出 h x 的解析式，利用函数的单调性和偶函数，列不等式解出实数 t 的取值范围．
2 2
【详解】（1）因为 f x x2 m m mx x
m 0 ，
2 4
m m m2
所以当0 m 4时，0 2，此时 g m f ；2 2 4
2 2
当m 4
m
时， 2 f x x m m，此时函数 在区间 0,2 上单调递减，2 2 4
m2
所以 g m f 2 4 2m g m ,0 m 4 ．综上， 4
4 2m,m 4
x2
（2）因为 x 0时， h x g x ,0 x 4，所以当 x 0时， h x 4 ，易知函数 h x 在 0, 上单调
4 2x, x 4
递减，因为定义在 ,0 0, 上的函数 h x 为偶函数，且 h t h 4 ，所以0 t 4，解得 4 t 0
或0 t 4，所以实数 t 的取值范围为 4,0 0,4 ．
22．已知定义在 ( ,0) (0, )上的函数 f (x) 满足：
①对任意 x ， y ( ,0) (0, )， f (x y) f (x) f (y)；
②当 x 1时， f (x) 0 ，且 f (2) 1 ．
（1）试判断函数 f (x) 的奇偶性．
（2）判断函数 f (x) 在 (0, )上的单调性．
（3）求函数 f (x) 在区间[ 4,0) (0, 4]上的最大值．
（4）求不等式 f (3x 2) f (x) 4的解集．
8
【答案】（1）偶函数；（2）增函数；（3）2；（4）{x∣x 2或 x
3
．
【解析】（1）先用赋值法求 f (1) f ( 1) 0 ，再令 y 1，得到 f ( x) f (x) ，从而得到函数 f (x) 的奇偶性；
x x
（2）任取x1， x2 (0, )
2
，且 x1 x2，则有 1 fx ．得
2 0，再运用变形
1 x1
f x f x x2 f x f x2 2 1 1 得到单调性；
x1 x1
（3）由奇偶性和单调性，求得函数 f (x) 在区间[ 4,0) (0, 4]上的最大值；
（4）将不等式转化为 f [x(3x 2)] f (16)，根据奇偶性和单调性，再转化为 | x(3x 2) | 16，求出解集.
【详解】（1）令 x y 1，则；，得 f (1) 0；再令 x y 1，
则 f [( 1) ( 1)] f ( 1) f ( 1)，得 f ( 1) 0．
由 f (x y) f (x) f (y)，令 y 1，
则 f ( x) f (x) f ( 1)，
∴ f ( x) f (x) ．
又函数 f (x) 的定义域关于原点对称，
∴函数 f (x) 为偶函数．
x
（2 2）任取x1， x2 (0, ) ，且 x1 x2，则有 1x ．1
又∵当 x 1时， f (x) 0 ，∴ f
x
2 0．
x1
x x
而 f x2 f x1 2 f x1 f 2 f x1 x ， 1 x1
即 f x2 f x1 ，
∴函数 f (x) 在 (0, )上是增函数．
（3）∵ f (4) f (2 2) f (2) f (2)，且 f (2) 1，∴ f (4) 2 ．
又由（1）（2）知函数 f (x) 在区间[ 4,0) (0, 4]上是偶函数且在 (0,4]上是增函数，
∴函数 f (x) 在区间[ 4,0) (0, 4]上的最大值为 f (4) f ( 4) 2．
（4）∵ f (3x 2) f (x) f [x(3x 2)]，4 2 2 f (4) f (4) f (16)，
∴原不等式等价于 f [x(3x 2)] f (16)，
又函数 f (x) 为偶函数，且函数 f (x) 在 (0, )上是增函数，
∴原不等式又等价于 | x(3x 2) | 16，
即 x(3x 2) 16或 x(3x 2) 16，
得3x2 2x 16 0或3x2 2x 16 0，
8
得 x≤ 2或 x ，
3
∴不等式 f (3x 2) f (x) 4 8 的解集为{x∣x 2或 x ．
3
【点睛】本题主要考查了抽象函数的奇偶性、单调性的判断以及最值和不等式的求法，还考查了学生的分
析推理和运算能力，属于中档题.
