强化专题 1 基本不等式的应用技巧
在解答基本不等式的问题时，常常会用加项、凑项、常数的代换、代换换元等技巧，而且在通常情况下往往会
考查这些知识的嵌套使用．
【技巧目录】
一、加项变换求最值
二、平方后使用基本不等式求最值
三、展开后求最值
四、常数代换法求最值
五、代换减元求最值
六、换元法求值
七、利用两次基本不等式求值
八、建立求解目标不等式求最值
【例题详解】
一、加项变换
1
例 1 求函数 y x(x 3)的最小值.
x 3
1
例 2 已知关于 x 的不等式 x＋ ≥7 在 x>a 上恒成立，则实数 a 的最小值为________．
x－a
0 x 1例 3 已知 ，则函数 y x(1 2x) 的最大值是（ ）
2
A 1
1 1 1
． 2 B． C． D．4 8 9
二、平方后使用基本不等式
y2
例 4 若 x>0，y>0，且 2x2＋ ＝8，则 x 6＋2y2的最大值为________．
3
三、展开后求最值
b 4a
例 5 若 a，b 是正数，则(1＋ )(1＋ 的最小值为( )a b )
A．7 B．8 C．9 D．10
四、常数代换法求最值
例 6 若 a
1 1 8
，b 都是正数，且ab 1，则 的最小值为（ ）
2a 2b a b
A．4 B．8 C． 4 3 D． 4 2
4 1
例 7 已知正实数 a,b满足 1，则a 2b的最小值为（ ）
a b b 1
A．6 B．8 C．10 D．12
例 8 已知 a 0,b 0,a 2b 1
1 1
，求 的最小值．
3a 4b a 3b
1 a 1
例 9 已知正实数 a,b，且 a 2b 2，则 的最小值是（ ）
a 1 2b 1
3 5 4
A． 2 B． C． D．
2 4 3
五、代换减元求最值
1
例 10 负实数 x 、 y 满足 x y 2，则 x y 的最小值为（ ）
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
1 3 1
例 11 若实数 x，y 满足 xy＋3x＝3(0 < x < )，则 ＋ 的最小值为________．2 x y－3
例 12 已知 5x2 y2 y4 1 (x, y R) x2，则 y2的最小值是（ ）
1 4
A． B 2 5． C． D．2
4 5 5
六、换元法求值
例 13 若实数 a,b满足 4a2 b2 4，则5a2 2ab的最小值为__________.
1 1
例 14 已知实数 x ， y 满足 x2 y2 3，则 (2x y)2 (x 2y)2 的最小值为__________．
七、利用两次基本不等式求值
b 1
例 15 已知 a 2，b∈R，且 a 0，则 a
2 (2a
的最小值是 _____．
b)b
a2 b2
例 16 若 a 2，b 3，则 的最小值是（ ）
a 2 b 3
A．16 B．18 C．20 D．22
八、建立求解目标不等式求最值
例 17 已知 a，b 是正数，且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，则 3a＋4b 的最小值等于________．
1 1
例 18 已知 a>0，b>0，且 a＋b＋ ＋ ＝5，则 a＋b 的取值范围是( )
a b
A．1≤a＋b≤4 B．a＋b≥2
C．1
4强化专题 1 基本不等式的应用技巧
在解答基本不等式的问题时，常常会用加项、凑项、常数的代换、代换换元等技巧，而且在通常情况下往往会
考查这些知识的嵌套使用．
【技巧目录】
一、加项变换求最值
二、平方后使用基本不等式求最值
三、展开后求最值
四、常数代换法求最值
五、代换减元求最值
六、换元法求值
七、利用两次基本不等式求值
八、建立求解目标不等式求最值
【例题详解】
一、加项变换
1
例 1 求函数 y x(x 3)的最小值.
x 3
【答案】5
1
【分析】式子化为 x 3 3，再利用基本不等式即可求解.
x 3
【详解】因为 x 3，所以 x 3 0，
1
所以 y x 3 3 2 (x 3) 1 3 5，
x 3 x 3
1
当且仅当 x 3 即 x 4时取等号，此时取得最小值 5.
x 3
1
例 2 已知关于 x 的不等式 x＋ ≥7 在 x>a 上恒成立，则实数 a 的最小值为________．
x－a
【答案】5
【详解】∵x>a，∴x－a>0，
1 1
∴x＋ ＝(x－a)＋ ＋a≥2＋a，
x－a x－a
当且仅当 x＝a＋1 时，等号成立，
∴2＋a≥7，即 a≥5.
1
例 3 已知0 x ，则函数 y x(1 2x) 的最大值是（ ）
2
A 1
1 1 1
． 2 B． C． D．4 8 9
【答案】C
【分析】将 y x(1 2x)
1
化为 2x(1 2x)，利用基本不等式即可求得答案.
2
【详解】∵ 0
1
x ， 1 2x 0 ,
2
∴ x(1 2x)
1
2x(1 2x) 1 [2x (1 2x) ]2 1 ，
2 2 2 8
1
当且仅当 2x 1 2x 时，即 x 时等号成立，
4
因此，函数 y x(1 2x) (0 x
1) 1, 的最大值为 ,
2 8
故选：C．
二、平方后使用基本不等式
y2
例 4 若 x>0，y>0，且 2x2＋ ＝8，则 x 6＋2y2的最大值为________．
3
9
【答案】 3
2
y2 y
2
(2x2＋1＋ ) 9【详解】(x 6＋2y2)2＝x2(6＋2y2)＝3·2x2(1＋ )≤3· 3 2＝3×( )2.3 2 2
y2 3 42
当且仅当 2x2＝1＋ ，即 x＝ ，y＝ 时，等号成立．
3 2 2
9
故 x 6＋2y2的最大值为 3.
2
三、展开后求最值
b 4a
例 5 若 a，b 是正数，则(1＋ )(1＋ )的最小值为( )a b
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【详解】∵a，b 是正数，
b 4a 4a b 4a b
∴(1＋ )(1＋ )＝1＋ ＋ ＋4＝5＋ ＋ ≥5＋2 4a b· ＝5＋4＝9，a b b a b a b a
当且仅当 b＝2a 时取“＝”．
四、常数代换法求最值
1 1 8
例 6 若 a，b 都是正数，且ab 1，则 的最小值为（ ）
2a 2b a b
A．4 B．8 C． 4 3 D． 4 2
【答案】A
【分析】将ab 1代入，利用基本不等式直接求解即可得出结论．
【详解】若 a，b 都是正数，且ab 1
1 1 8 b a 8 a b 8 2 a b 8 ≥ 4，
2a 2b a b 2 2 a b 2 a b 2 a b
当且仅当 a b 4 时等号成立，
故选：A.
4 1
例 7 已知正实数 a,b满足 1，则a 2b的最小值为（ ）
a b b 1
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
4 1
【分析】令 a 2b a b b 1 1，用 a b b 1分别乘 1两边再用均值不等式求解即可.
a b b 1
4 1
【详解】因为 1，且 a,b为正实数
a b b 1
a b b 1 (a b b 1)( 4 1 ) 4 a b 4(b 1)所以 1
a b b 1 b 1 a b
a b 4(b 1)
5 2 a b 4(b 1) 9，当且仅当 即 a b 2 时等号成立.
b 1 a b b 1 a b
所以 a 2b 1 9,a 2b 8 .
故选：B.
例 8 已知 a 0,b 0,a 2b 1
1 1
，求 的最小值．
3a 4b a 3b
1
【答案】 3 2 25
【分析】因为 a 0,b 0,a 2b 1，所以 3a 4b 2a 6b 5 a 2b 5，利用构造思想，用基本不等式可得出
答案.
【详解】因为 a 0,b 0,a 2b 1，
所以 3a 4b 2a 6b 5 a 2b 5，
1 1 1 2 1
3a 4b 2a 6b 1 2
3a 4b a 3b 3a 4b 2a 6b 5 3a 4b 2a 6b
1 2a 6b 2 3a 4b 3 1 3 2 2a 6b 2 3a 4b
5 3a 4b 2a 6b
5 3a 4b 2a 6b
1
3 2 2 ，5
“ 2a 6b
2 3a 4b
当且仅当 ”时取等号，即 2a 6b 2 3a 4b 且 a 2b 1，
3a 4b 2a 6b
5 2
即 a 7 5 2,b 4 时取等号.
2
1 1 1
所以 的最小值为： 3 2 2 .
3a 4b a 3b 5
a,b 1 a 1例 9 已知正实数 ，且 a 2b 2，则 的最小值是（ ）
a 1 2b 1
3 5 4
A． 2 B． C． D．
2 4 3
【答案】C
【分析】将 a 2b 2变为 (a 1) (2b 1) 4
1 1 (1 2b 1，即可得 )
1 a 1
，因此将 变为
a 1 4 a 1 a 1 2b 1
1 a 1 1 2b 1 a 1
(1 ) ，结合基本不等式即可求得答案.
a 1 2b 1 4 a 1 2b 1
【详解】因为正实数 a,b， a 2b 2，故 (a 1) (2b 1) 4，
1 1 1 1 2b 1
所以 [(a 1) (2b 1)] (1 )，
a 1 4 a 1 4 a 1
1 a 1 1
故 (1 2b 1) a 1 1 1 2b 1 a 1 1 2 1 5 ，
a 1 2b 1 4 a 1 2b 1 4 4 a 1 2b 1 4 4 4
a 1当且仅当 ,b
5
时取得等号，
3 6
故选：C
五、代换减元求最值
1
例 10 负实数 x 、 y 满足 x y 2，则 x y 的最小值为（ ）
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
【答案】A
1
【分析】由已知可得 x 2 y ，再利用基本不等式可求得 x y 的最小值.
【详解】因为负实数 x 、 y 满足 x y 2，则 x 2 y 0 ，可得 2 y 0 ，
x 1 2 y 1由基本不等式可得 2 2 y 1 0，y y y
1
当且仅当 y y 0 时，即当 y 1y 时，等号成立.
故 x
1
y 的最小值为
0 .
故选：A.
1 3 1
例 11 若实数 x，y 满足 xy＋3x＝3(0 < x < )，则 ＋ 的最小值为________．2 x y－3
【答案】8
1
【详解】∵实数 x，y 满足 xy＋3x＝3(0 < x <2)，
3 3 1
∴x＝ ，∴0< < ，解得 y>3.
y＋3 y＋3 2
3 1 1 1 3
则 ＋ ＝y＋3＋ ＝y－3＋ ＋6≥2 1 ＋6＝8，当且仅当 y＝4，x＝ 时取等号．
x y－3 y－3 y－3 y－3 ·y－3 7
例 12 已知 5x2 y2 y4 1 (x, y R) x2 y2，则 的最小值是（ ）
1 4
A． B． C 2 5． D．2
4 5 5
【答案】B
x2 1 y
4 1
2 2 2 2 2
1
【分析】依题意可得 5y2 ，又 x 0 ，即可得到 y 0,1 ，从而得到 x y 4y 5 y2 ，利用基本不等式计算
可得；
4
【详解】因为 5x2
1 y
y2 y4 1 2，所以 x 5y2 ，
因为 x2 0 2，所以 y 0,1 ，
x2 y2 y2 1 y
4 1 4y4 1 1 1
所以 2 2 4y
2 2 2 4y
2 1 4
5y 5y 5 y 5 y2 5 ，
当且仅当 4y2
1
2 12 ，即 y ， x
2 3
y 时取等号，2 10
x2 y2 4所以 的最小值是 ；5
故选：B
六、换元法求值
例 13 若实数 a,b满足 4a2 b2 4，则5a2 2ab的最小值为__________.
【答案】4
b22 2 a2 a b a b b
1 1 1
【分析】由 4a b 4可得 1
，令 a x，则可得 a x ,b x ，代入
4 2 2 2 2 x x 5a
2 2ab
化简后，利用基本不等式可求得结果
4a2 b2 4, b b b b 1【详解】 a a 1，设 a x，则 x 0， a ，
2 2 2 2 x
a 1 x 1 ,b x 1
2
，
x x
2
5a2 2ab 5 1 x 1 x 1 x 1 1 1 9x2 5 1 2 9x2 1 5 4，4 x x x 4 x2 2 4 x2 2
x 3 2 3 2 3 2 3 2 3等号在 ，即 a ,b ，或 a ,b 时成立.
3 3 3 3 3
所以5a2 2ab的最小值为 4.
故答案为：4
1 1
例 14 已知实数 x ， y 满足 x2 y2 3，则 (2x y)2 (x 2y)2 的最小值为__________．
4
【答案】
15
【分析】通过换元，设 (2x y)2 m ， (x 2y)2 n，再根据题干中 x2 y2 3这个条件，即可得到m n 15，然后
利用均值不等式即可得到答案.
【详解】设 (2x y)2 m ， (m 0) ， (x 2y)2 n， (n 0)
可得m n (2x y)2 (x 2y)2 5(x2 y2 ) 15，
1 1 1 (m n)( 1 1) 1 n m 1 n m 4则 (2 ) (2 2 ) .
(2x y)2 (x 2y)2 15 m n 15 m n 15 m n 15
n m m n 15当且仅当 ，即 时，等号成立.
m n 2
4
故答案为： .
15
七、利用两次基本不等式求值
b 1
例 15 已知 a，b∈R，且 a 0，则 a2 (2a b)b 的最小值是 _____．2
【答案】2
【分析】两次利用基本不等式即可得出结论.
b
【详解】∵ a 0，
2
a2 1 a2 1 a2 1 2
∴ (2a b)b 2a b b
2 2
a ，当且仅当 a＝1＝b 时取等号，
2
其最小值是 2，
故答案为：2．
a216 b
2
例 若 a 2，b 3，则 的最小值是（ ）
a 2 b 3
A．16 B．18 C．20 D．22
【答案】C
a2 b2 4 9
【分析】化简 a 2 b 3 10，再根据基本不等式求最小值即可
a 2 b 3 a 2 b 3
a2 b2 a2 4 4 b2 9 9 4 9
【详解】因为 a 2，b 3，所以 a 2 b 3 10
a 2 b 3 a 2 b 3 a 2 b 3
4 9 a2 b2
2 a 2 2 b 3 10 20 (当且仅当 a 4,b 6时，等号成立)，所以 的最小值是 20.
a 2 b 3 a 2 b 3
故选：C
八、建立求解目标不等式求最值
例 17 已知 a，b 是正数，且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，则 3a＋4b 的最小值等于________．
【答案】6 2－1
【详解】a，b 是正数，且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，
即有(a＋b)(a＋2b＋1)＝9，
即(2a＋2b)(a＋2b＋1)＝18，
可得 3a＋4b＋1＝(2a＋2b)＋(a＋2b＋1)
≥2 2a＋2b a＋2b＋1 ＝6 2，
当且仅当 2a＋2b＝a＋2b＋1 时，上式取得等号，
即有 3a＋4b 的最小值为 6 2－1.
1 1
例 18 已知 a>0，b>0，且 a＋b＋ ＋ ＝5，则 a＋b 的取值范围是( )
a b
A．1≤a＋b≤4 B．a＋b≥2
C．14
【答案】A
1 1
【详解】∵a＋b＋ ＋ ＝5，
a b
a＋b
∴a＋b＋ ＝5.
ab
a＋b
∵a>0，b>0，ab≤( 2 )2，
1 4
∴ ≥ ，
ab a＋b 2
a＋b 4
∴a＋b＋ ≥a＋b＋ ，
ab a＋b
4
∴a＋b＋ ≤5，即(a＋b)2－5(a＋b)＋4≤0，
a＋b
∴(a＋b－4)(a＋b－1)≤0，即 1≤a＋b≤4，
1
当 a＝b＝ 时，左边等号成立，
2
当 a＝b＝2 时，右边等号成立，故选 A.