北师大版数学八年级下册1.4 角平分线（含解析）

1.4 角平分线
一、选择题（共10题）
三角形中，到三边距离相等的点是
A．三条高线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
如图，在 中，， 平分 ，交 于点 ，，垂足为点 ，若 ，则 的长为
A． B． C． D．
如图， 平分 ， 于点 ，点 是射线 上的一个动点，若 ，则 的最小值是
A． B． C． D．
如图， 平分 ，，，垂足分别为 ，．下列结论中不一定成立的是
A． B． 平分
C． D． 垂直平分
已知：如图， 是 的角平分线，且 ，则 与 的面积之比为
A． B． C． D．
如图，在 中，，，，按下列步骤作图：
①以点 为圆心，小于 的长为半径作弧，分别交 ， 于点 ，；
②分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 ；
③作射线 交 于点 ．
由此可知 的长为
A． B． C． D．
如图， 的三边 ，， 长分别是 ，，．其三条角平分线交于点 ，将 分为三个三角形， 等于
A． B． C． D．
如图，已知 和 都是等腰三角形，，， 交于点 ，连接 ．下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④ ．其中正确的结论有
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
已知：如图，， 是 的中点， 平分 ，，则 为
A． B． C． D．
如图，， 于点 ， 于点 ，， 交于点 ．给出下列结论：
① ；
② ；
③点 在 的平分线上．
其中，正确的是
A．① B．② C．①② D．①②③
二、填空题（共5题）
角平分线上的点到 距离相等．
关于三角形角平分线的说法：
①两角平分线交点在三角形内；
②两角平分线交点在第三个角的平分线上；
③两角平分线交点到三边距离相等；
④两角平分线交点到三顶点距离相等，
其中正确的是 ．
角平分线的判定：角的内部到角的两边的 的点在角的平分线上．用符号语言表示：如图，
于点 ， 于点 ，，
．
中，，， 是角平分线，若 ，则 ．
如图，在 中，按以下步骤作图：
①以点 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 ， 于点 ，．
②分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 ．
③作射线 交 于点 ．
若 ，， 的面积为 ，则 的面积为 ．
三、解答题（共5题）
如图， 是 内的一点，，，垂足分别为 ，，，求证：点 在 的角平分线上．
如图，在 中，已知 ， 平分 ，交 于点 ，过点 作 于点 ．
(1) 求证：；
(2) 若 ，，求 的长．
如图，在 中，，以顶点 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 ， 于点 ，，再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，作射线 交边 于点 ，若 ，，求 的面积．
数学阅读：
古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式：若一个三角形的三边长分别为 ，，，则这个三角形的面积为 ，其中 ．这个公式称为“海伦公式”．
数学应用：如图，在 中，已知 ，，．
(1) 请运用海伦公式求 的面积；
(2) 若 ， 为 的两条角平分线，它们的交点为 ，求 的面积．
解决下列问题：
(1) 阅读理解：
我们知道，只用直尺和圆规不能解决的三个经典希腊问题之一是三等分任意角，但是这个任务可以借助如图所示的一边上有刻度的勾尺完成，勾尺的直角顶点为 ，“宽臂”的宽度 （这个条件很重要哦！），勾尺的一边 满足 ，， 三点共线（所以 ）．
下面以三等分 为例说明利用勾尺三等分锐角的过程：
第一步：画直线 使 ，且这两条平行线的距离等于 ；
第二步：移动勾尺到合适位置，使其顶点 落在 上，使勾尺的 边经过点 ，同时让点 落在 的 边上；
第三步：标记此时点 和点 所在位置，作射线 和射线 ．
请完成第三步操作，则图中 的三等分线是射线 ， ；
(2) 请你完成证明 的过程；
(3) 在（）的条件下探究： 是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请在下图中 的外部画出 （无需写画法，保留画图痕迹即可）．
答案
一、选择题（共10题）
1. 【答案】C
【解析】三角形中，到三边距离相等的点是三条角平分线的交点．
2. 【答案】B
【解析】 平分 交 于点 ，，，
．【角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等】
故选：B．
3. 【答案】B
4. 【答案】D
【解析】 平分 ，，，
，故A选项正确；
在 和 中，
（），
，，故B，C选项正确；
由等腰三角形三线合一的性质， 垂直平分 ， 不一定垂直平分 ，故D选项错误．
5. 【答案】B
【解析】过点 作 于 ， 于 ，
为 的平分线，
，
又 ，
．
6. 【答案】B
7. 【答案】C
【解析】如图，过点 作 ，，，垂足分别为 ，，．
三条角平分线交于点 ，
，
8. 【答案】C
【解析】思路分析：“手拉手全等”模型的应用．
如图，作 于点 ， 于点 ，设 交 于点 ．
，
，
，，
，
，，故①正确．
，
，
，故②正确．
，，，
，
平分 ，
，故④正确．
若③成立，则 ，
，
，推出 ，由题意知， 不一定等于 ，
不一定平分 ，故③错误．
故选：C．
9. 【答案】A
【解析】思路分析：“角平分线”模型问题，注意角平分线的性质与判定.
过点 作 于点 ．
平分 ，且 是 的中点，
，
又 ，，
平分 ．
，
．
故选：A.
10. 【答案】D
二、填空题（共5题）
11. 【答案】角两边的
12. 【答案】①②③
【解析】结论①②可以实际操作验证，结论③④可根据角平分线的性质判断．
13. 【答案】距离相等； 平分
14. 【答案】
15. 【答案】
【解析】由作图可知， 为 的平分线，过 作 于 ， 于 ．
易得 ，
，
，
，
，
．
三、解答题（共5题）
16. 【答案】如图，连接 并延长．
，，
．
在 和 中，
，
．
，，
点 在 的角平分线上．
17. 【答案】
(1) 平分 ，，，
，．
在 和 中，
，，
．
(2) ，，
．
，
．
18. 【答案】由题意可知 为 的平分线，过点 作 于点 ．
，，
，
，
．
19. 【答案】
(1) ，，，
，
．
(2) 过点 作 ，，，垂足为 ，，，连接 ，
， 为 的两条角平分线，
，
，
，
解得 ，
故 ．
20. 【答案】
(1) 作射线 ， 如解图．
；
(2) ，，
．
．
，，，
．
．
(3) 在（）的条件下探究： 不成立，在 外部所画 如解图．