z课题 回顾与思考 备课日期 年 月 日
教法 交流——反思——合作 授课日期 年 月 日
学法 交流、合作 教具
知识目标：1、对直角三角形的特殊性质全面地进行总结。2、让学生回顾本章的知识，同时重温这些知识尤其是公演股定理的获得和验证过程，体会勾股定理及其逆定理的广泛应用。3、了解勾股定理的历史。 能力目标：1、体会在结论获得和验证过程中的数形结合思想的方法。2、在回顾与思考的过程中，提高学生解决问题、反思问题的能力，鼓励学生具有创新精神。 情感目标：1、在反思与交流的过程中，体验学习带来的无尽的乐趣。2、通过对勾股定理的历史的了解，培养学生的爱国主义精神。体验科学给人类带来的力量。
重点 回顾并思考勾股定理及其逆定理获得和验证的过程；总结直角三角形边、角之间分别存在的关系。体会勾股定理及其逆定理在生活中的广泛应用；了解勾股定理的历史。
难点 勾股定理及其逆定理在生活中的广泛应用；建立本章的知识框架图。
1、直角三角形的边角之间存在着什么关系？边的关系：角的关系：说明，如何判断一个三角形是直角三角形。由角的关系来判断：由边的关系来判断：勾股定理的逆定理：股数：定义及常见的勾股数：4、勾股定理与勾股定理的逆定理的联系：5、说一说勾股定理的验证方法。6、请你举生活中的一个实例，并运用勾股定理来解决它。
教后感
教学过程：
一、情景引入，知识回顾：
说一说你对勾股定理历史的了解。
勾股定理是数形结合的典型代表。
勾股定理的发现导致无理数的发现，引发了数学的一次危机。
二、回顾与思考：
1.直角三角形的边角之间存在着什么关系？
边的关系：
角的关系：
2.举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形。
由角的关系来判断：
由边的关系来判断：勾股定理的逆定理：
3.勾股数：
定义及常见的勾股数：
4.勾股定理与勾股定理的逆定理的联系：
勾股定理 勾股定理的逆定理
条件 在Rt△ABC中，∠C=90 在△ABC中，
结论 ∠C=90
作用 计算证明带有平方的问题；实际应用。 判断某三角形是否为直角三角形；实际应用。
注意 1、无直角时，可作垂线构造直角三角形；2、斜边的平方等于两直角边的平方和（先确定斜边） 三角形中较小两边的平方和等于较大边的平方时，才可判断这个三角形是直角三角形，且较大边所对的角是直角，不能认为c边所对的角必是直角。运用时首先确定最大边。
思想方法 把形转变为数的思想方法。 把数转变为形的思想方法。
5、说一说勾股定理的验证方法。
6、请你举生活中的一个实例，并运用勾股定理来解决它。
（1）小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为48m2，其对角线长为10m，为建栅栏，要计算这个矩形鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？
（2）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。
（3）已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四边形ABCD的面积。
（4）一天，小明买了一张底面是边长为260cm的正方形，厚30cm的床垫回家。到了家
门口，才发现门口只有242cm高，宽100cm。你认为小明能拿进屋吗，为什么？
（5）如图，四边形ABCD，已知AB=3，BC=12，
CD=13，DA=4。求四边形的面积。 B C
A
D
（6）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。
（7）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。
（8）．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_________________________米。
三、作业：P16复习题A组
B
D
第24题图
D
C
B
A
C
B
A
第20题图
A
C
D
第19题图
7cm课题 探索勾股定理（一） 备课日期 年 月 日
教法 观察法、操作法、讨论法 授课日期 年 月 日
学法 动手、观察、交流、合作 教具
知识目标：理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。能力目标：数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。情感目标：通过研究勾股定理的历史，了解中华民族文化的发展对数学发展的贡献，激发学生的爱国热情和学习数学的兴趣。
重点 了结勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。
难点 勾股定理的发现。
勾股定理直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c那么我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来。
教后感
教学过程：
1、 创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题
出示投影1 （章前的图文 p1）教师道白：介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献，并结合课本p5谈一谈，讲述我国是最早了解勾股定理的国家之一，介绍商高(三千多年前周期的数学家)在勾股定理方面的贡献。
出示投影2 （书中的P2 图1—2）并回答：
1、 观察图1-2，正方形A中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。
正方形B中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。
正方形C中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。
2、 你是怎样得出上面的结果的？在学生交流回答的基础上教师直接发问：
3、 图1—2中，A,B,C 之间的面积之间有什么关系？
学生交流后形成共识，教师板书，A+B=C，接着提出图1—1中的A.B,C 的关系呢？
2、 做一做
出示投影3（书中P3图1—4）
提问：
1、图1—3中，A,B,C 之间有什么关系？
2、图1—4中，A,B,C 之间有什么关系
1、 从图1—1，1—2，1—3，1|—4中你发现什么？
学生讨论、交流形成共识后，教师总结：
以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边的正方形面积。
3、 议一议
1、 图1—1、1—2、1—3、1—4中，你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？
2、 你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？
在同学的交流基础上，老师板书：
直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理”
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c
那么
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来。
3、 分别以5厘米和12厘米为直角边做出一个直角三角形，并测量斜边的长度（学生测量后回答斜边长为13）请大家想一想（2）中的规律，对这个三角形仍然成立吗？（回答是肯定的：成立）
4、 想一想
这里的29英寸（74厘米）的电视机，指的是屏幕的长吗？只的是屏幕的款吗？那他指什么呢？
5、 巩固练习
1、 错例辨析：
△ABC的两边为3和4，求第三边
解：由于三角形的两边为3、4
所以它的第三边的c应满足=25
即：c=5
辨析：（1）要用勾股定理解题，首先应具备直角三角形这个必不可少的条件，可本题
△ ABC并未说明它是否是直角三角形，所以用勾股定理就没有依据。
（2）若告诉△ABC是直角三角形，第三边C也不一定是满足，题目中并没有交待C 是斜边
综上所述这个题目条件不足，第三边无法求得。
2、 练习P6 §1.1 1
6、 作业
1、 1、课本P6 §1.1 2、3、4
2、 选用作业。课题 拚图与勾股定理（二） 备课日期 年 月 日
教法 操作实践法 授课日期 年 月 日
学法 动手、观察、交流、合作 教具 若干个全等的直角三角形
知识目标：继续经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题的方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值。介绍意大利著名画家达—芬奇对勾股定理的一种研究成果，开阔学生的视野。能力目标：通过介绍“青朱出入图”以丰富有趣的拚图活动，提高学生实际操作能力。2、经历拼图的过程，发空间观念，获得一些研究问题下合作交流的方法和经验。情感目标：经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程，从中获得成功的体验和克服困难的经历，增进学习数学的信心。
重点 通过拼图验证勾股定理的过程，使学习获得一些研究问题与合作交流的方法与经验。
难点 正确的思维方法，知识的联想以及正确的解决问题的能力。
青朱出入图 意大利文艺复兴时代著名画家达·芬奇对勾股定理的验证方法。
教后感
教学过程：
一、引入
回顾上节课所学习的勾股定理的验证方法。
二、动手操作，合作探究
1． 利用五巧板拼“青朱出入图”（教师利用课件介绍“青朱出入图”的历史）。你能利用“青朱出入图”验证勾股定理吗？（给学生提供充分实践、探索和交流的时间，鼓励他们积极思考解决问题的方法，并与他人进行合作与交流。）
2．教师可以利用课件介绍一些国外的勾股定理验证方法，重点介绍意大利文艺复兴时代著名画家达·芬奇对勾股定理的验证方法。
步骤：
（1）在一张长方形的纸板上画两个边长分别为a、b的正方形，并连结BC、FE。
（2）沿ABCDEF剪下，得两个大小相同的纸板Ⅰ、Ⅱ。
（3）将纸板Ⅱ翻转后与Ⅰ拼成其它的图形。
（4）比较两个多边形ABCDEF和的面积，你能验证勾股定理吗？（给学生充足的时间，进行独立思考，鼓励学生交流合作，教师巡视帮助，引导学习困难的学生。最后，验证方法让学生进行讲解、板演、叙述，教师做简单的总结。）
你还想了解其他的验证方法吗？
三、课堂总结
1．从两节课的课题学习中你有哪些收获？
2．你学到了哪些数学方法和数学思想？
（给出学生两个问题，让学生充分讨论、交流，得出结论，最后教师小结本课题。）
四、巩固
教科书第179页，习题第2题。
勾股定理有着悠久的历史，古巴比伦人和中国人看出了这个关系，古希腊毕达哥拉斯学派首先验证了这个关系。同学们，你们对勾股定理感兴趣吗？你想尝试自己验证勾股定理吗？请发挥你的才智，去探索勾股定理、去研究勾股定理吧！
＊送给“外星人”的“弦图”＊
UFO（不明飞行物）是“外星人”的宇宙飞船吗？是否存在地球以外生命呢？
这些谜，科学家正在进行探测。倘若有“外星人”存在，那么，地球上的人类又该如何与他们通话、建立友谊呢？在“嫦娥奔月”的千年神话变成了现实的今天，科学家进行了一次又一次的尝试。
1970年4月，我国发射的第一颗人造地球卫星“东方红1号”，播放着《东方红》乐曲邀游太空，给寂寞的“外星人”送去了人间音乐。
1972年3月和1973年4月，美国相继发射了“先驱者10号”和“先驱者11号”宇宙探测器，这两位“先驱者”各给“外星人”带去了一块金属板。板上画有地球上人的形象：一个男人和一个女人；还画有飞船本身的外形轮廓和飞船的出发点。
1974年11月，德瑞克和美国阿雷西佛天文台的工作人员，为给“外星人”介绍地球，向一星团发射了一组信号，信号中有用黑白格子表示的地球知识和二进制数。
1977年，美国又有两艘宇宙飞船“旅行者”号上了天。这两位星际旅行者给“外星人”带去的“礼物”是：包括我国八达岭长城雄姿在内的115张照片，35种自然音响，60种语言问候语和27支世界名曲。
这一次又一次送去的图形语言、符号语言、文字语言，无疑是在作与“外星人”对话的试探。然而，你是否发现，已给“外星人”送去的图形语言中，还没有数学图形语言。我国数学家华罗庚认为，如果要与“外星人”交流信息，不妨把我
国古代的“青朱出入图”也送去。
什么是“青朱出入图”呢？这还得从勾股定理的证明谈起。
勾股定理的证明，自古以来引起人们的极大兴趣，其证法至今已约有四百种之多，是几何定理中证法最多的一个。若将这些证法搜集在一起，足足可以编成一本厚厚的书哩！
证法种种，风格各异。我国古代数学家证明勾股定理的独特风格，在数学大苑中开出了一朵芳香的鲜花。
看，三国时期数学家赵爽（公元三世纪初）的证法，有多么巧妙！
赵爽证法用了“弦图”。所谓“弦图”，就是以弦为边的正方形。他在《勾股圆方图注》中写道：“案弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自乘为中黄实，加差实，亦成弦实。”
a
⑤
①
④
①①
④
c
③
②
⑤
③
②
④
①课题 能得到直角三角形吗 备课日期 年 月 日
教法 引导启发法 授课日期 年 月 日
学法 动手、观察、交流、合作 教具
知识目标：掌握直角三角形的判别条件。熟记一些勾股数。能对直角三角形的判别条件进行一些综合应用。能力目标：用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角 三角形，培养学生数形结合的思想。通过对直角 三角形判别条件的研究，培养学生大胆猜想，勇于探索的创新精神。情感目标：通过研究勾股定理的历史，了解中华民族文化的发展对数学发展的贡献，激发学生的爱国热情和学习数学的兴趣。培养学生克服困难的勇气。体验勾股定理及其逆定理在生活实际中的实用性。
重点 直角三角形的判别条件及其应用；它可用边的关系来判断一个三角形是否是直角三角形。
难点 直角三角形的判别条件判断一个三角形是否是直角三角形及综合应用直角三角形的知识解题。
能得到三角形吗复习直角三角形的性质：角的性质、边的性质。2、做一做下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：5，12，13； 7，24，25； 8，15，17。3、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形.4、勾股数：能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数（或勾股弦数）。
教后感
教学过程：
1、 设问题的情境，导入课题
1、 复习直角三角形的性质：
角的性质、边的性质。
2、 我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢？
2、 讲述新课：
1、 古代埃及人作直角：
古埃及人曾用下面的方法得到直角：
他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形。其直角在第4个结处。
他们真的能够得到直角三角形吗？
2、做一做
下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：
5，12，13； 7，24，25； 8，15，17。
（1）这三组数都满足 吗？
（2）分别以这三组树为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
3、从做一做中，你能猜想到什么结论？
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形.
4、勾股数：
能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数（或勾股弦数）。
请你与你的同伴合作，看看可以找出多少组勾股数。
、练习：在一根长为180个单位的绳子上，分别标出A，B，C，D四个点，它们将绳子分为长为60个单位、45个单位和75个单位的三段线段。
自己握住绳子的两个端点（A点和D点），两名同伴分别握住B点和C点，一起将绳子拉直，会得到一根什么形状？为什么？
记住常用的勾股数
能成为直角三角形三边的三个正整数叫做勾股数，
∵32+42=52 ∴3、4、5是一组勾股数
同理 6、8、10是一组勾股数，5、12、13也是一组勾股数；
此外，还可用下面的方法产生无数组勾股数：由例2
a=n2-1 b=2n c=n2+1
n=2 a=3 b=4 c=5
n=3 a=8 b=6 c=10
n=4 a=15 b=8 c=17
…… …… …… ……
3、 随堂练习：
1、P11练习1题
4、 小结：
（1） 只要有两边的平方和等到于第三边的平方，这样的三角形是直角三角形，简记为：a2+b2=c2∠C=900
（2） 应用勾股定理的逆定理时，先计算较小两边的平方和再把它和最大边的平方比较；
（3） 常用的勾股数有3、4、5、；6、8、10；5、12、13等。
（4） 判定一个直角三角形，我们除了可根据定义去证明它有一个直角外，还可以采用今天的勾股定理的逆定理，即去证明三角形两条较短边的平方和等于较长边的平方，这是代数方法在几何中的应用；
（5） 在定理中出现的a、b、c并不是固定的，要理解其实质；
五、布置作业：课题 拚图与勾股定理（一） 备课日期 年 月 日
教法 启发——自主探索相结合 授课日期 年 月 日
学法 动手、观察、交流、合作 教具 若干个全等的直角三角形
知识目标：经历综合运用已有知识解决问题的过程；在此过程中，加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识。经历不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题的方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值。能力目标：通过验证过程中数与形的结合，体会数形结合的思想以及数学知识之间的内在联系。2、通过丰富的拼图活动，经历观察、比较、拼图、计算、推理、交流等过程，发空间观念和有条理地思考与表达的能力，获得一些研究问题下合作交流的方法和经验。情感目标：经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程，从中获得成功的体验和克服困难的经历，增进学习数学的信心。
重点 1．通过综合运用已有知识解决问题的过程，加深对勾股定理、面积等的认识。2．通过拼图验证勾股定理的过程，使学习获得一些研究问题与合作交流的方法与经验。
难点 1．利用“五巧板”拼出不同图形进行验证勾股定理。2．利用数形结合的方法验证勾股定理。
= =化简得：= 化简得：=
教后感
教学过程：
1、 创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题
在上一节中，我们已用拚图的方法验证过勾股定理，我们一同来回忆一下：
（同学们回答有这几种可能：（1） （2） ）
在同学交流形成共识之后，教师把这两种表示大正方形面积的式子用等号连接起来。
=
请同学们对上面的式子进行化简，得到：=
我们观察勾股定理的形式：在直角三角形中，如果两直角边是a、b，斜边是c
则=。我们当时验证它时，为什么想到用拚图的方法构造以c为边长的正方形呢？
、、能使你想到什么？
在同学的回答后提出用其它的拚图方法验证勾股定理。
2、 讲授新课：
一、了解已有的知识和经验
1．你都知道关于勾股定理的哪些历史故事？
2．你知道勾股定理的内容吗？说说看。
3．你已知道的关于验证勾股定理的拼图方法有哪些？（教师在此给予学生独立思考和讨论的时间，让学生回想前面拼图。利用四个全等的直角三角形拼出的“弦图”和所示方法，并使之亲自验证勾股定理。教师可利用课件介绍“弦图”的历史，及“弦图”被定为2002年世界数学大会的会标等小知识。）
二、动手操作，合作探究
1．教师介绍“五巧板”的制作方法，学生拿出准备好的硬纸板制作“五巧板”。
步骤：做一个Rt△ABC，以斜边AB为边向内做正方形ABDE，并在正方形内画图，使DF⊥BI，CG=BC，HG⊥AC，这样就把正方形ABDE分成五部分①②③④⑤。
沿这些线剪开，就得了一幅五巧板。
2．取两幅五巧板，将其中的一幅拼成一个以C为边长的正方形，将另外一幅五巧板拼成两个边长分别为a、b的正方形，你能拼出来吗？（给学生充分的时间进行拼图、思考、交流经验，对于有困难的学生教师要给予适当引导。）
3．用上面的两幅五巧板，还可拼出其它图形。你能验证勾股定理吗？（学生亲自实践，加深对五巧板拼图验证勾股定理的理解，在此，对以“a”为边的正方形在直角三角形的内侧不易理解，教师要适当地引导，不要限制学生思维。）
4．利用五巧板还能通过怎样拼图来验证勾股定理？（这个问题要给予学生充足的时间和空间进行讨论和拼图，教师在这要引导适度，不要限制学生思维，同时鼓励学生在拼图过程中进行交流合作。）
三、相互交流，整理结论，加深理解
了解学生拼图的情况及利用自己的拼图验证勾股定理的情况。教师在巡视过程中，相机指导，并让学生展示自己的拼图及让学生讲解验证勾股定理的方法，并根据不同学生的不同状况给予适当的引导，引导学生整理结论。
四、课堂总结
从这节课中你有哪些收获？
（教师应给予学生充分的时间鼓励学生畅所欲言，只要是学生的感受和想法，教师要多鼓励、多肯定。最后，教师要对学生所说的进行全面的总结。）
五、巩固:教科书第179页，习题第1题。
总统巧证勾股定理
学过几何的人都知道勾股定理．它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种．其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．
总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的．事情的经过是这样的；
在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德．他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。
于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
他是这样分析的，如图所示：
1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。
1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。
b
b
b
b
b
c
c
b
c
a
a
b
b
c
c
a
c
a
c
a
a
a
c
a
b
b
b
b
c
c
c
a
a
a
c
a(共15张PPT)
探索勾股定理
八年级数学（上册） 新世纪版
临汾铁路中学 王建明
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1-1
图1-2
（1）观察图1-1
正方形A中含有 个小方格，即A的面积是
个单位面积。
正方形B的面积是
个单位面积。
正方形C的面积是
个单位面积。
9
9
9
18
你是怎样得到上面的结果的？与同伴交流交流。
1
2
3
（2）（3）
C
A
B
A
B
C
正方形周边上的格点数a=12
正方形内部的格点数b=13
利用皮克公式
所以，正方形C的面积为：
（单位面积）
返回
图1-1
图1-2
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1-1
图1-2
分割成若干个直角边为整数的三角形
（单位面积）
返回
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1-1
图1-2
（单位面积）
把C看成边长为6的正方形面积的一半
返回
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1-1
图1-2
（2）在图1-2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？
（3）你能发现图1-1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
A
B
C
图1-3
A
B
C
图1-4
（1）观察图1-3、图1-4，并填写右表：
A的面积（单位面积）
B的面积（单位面积）
C的面积（单位面积）
图1-3
图1-4
16
9
25
4
9
13
你是怎样得到表中的结果的？与同伴交流交流。
做一做
幻灯片 9
A
B
C
图1-3
A
B
C
图1-4
分割成若干个直角边为整数的三角形
（面积单位）
幻灯片 7
A
B
C
图1-3
A
B
C
图1-4
（2）三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
幻灯片 7
A
B
C
图1-3
A
B
C
图1-4
（1）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴进行交流。
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度。（2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？
议一议
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
a
b
c
勾
股
弦
在西方又称毕达哥拉斯定理耶！
小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？
我们通常所说的29英寸或74厘米的电视机，是指其荧屏对角线的长度
∴售货员没搞错
∵
想一想
荧屏对角线大约为74厘米
小结
说说这节课你有什么收获？
作业
一、P6 习题1.1 第1、2、3、4题
二、准备4张全等的直角三角形纸片
a
b
c
再见课题 探索勾股定理（二） 备课日期 年 月 日
教法 观察法、操作法、讨论法 授课日期 年 月 日
学法 动手、观察、交流、合作 教具
知识目标：经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。掌握勾股定理和他的简单应用能力目标：能熟练运用拼图的方法证明勾股定理，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。情感目标：通过研究勾股定理的历史，了解中华民族文化的发展对数学发展的贡献，激发学生的爱国热情和学习数学的兴趣。
重点 能熟练运用拼图的方法证明勾股定理
难点 用面积证勾股定理
勾股定理（二）直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c那么例解：由勾股定理得 即BC=3千米 飞机20秒飞行3千米，那么它1小时飞行的距离为： 答：飞机每个小时飞行540千米。
教后感
教学过程：
1、 创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题
我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需加以论证，下面就是今天所要研究的内容，下边请大家画四个全等的直角三角形，并把它剪下来，用这四个直角三角形，拼一拼、摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，并与同学交流。在同学操作的过程中，教师展示投影1（书中p7 图1—7）接着提问：大正方形的面积可表示为什么？
（同学们回答有这几种可能：（1） （2） ）
在同学交流形成共识之后，教师把这两种表示大正方形面积的式子用等号连接起来。
=
请同学们对上面的式子进行化简，得到：
即 =
这就可以从理论上说明勾股定理存在。请同学们去用别的拼图方法说明勾股定理。
2、 讲例
1、 机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞机飞到一个男孩头顶正上方4000多米处，过20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？
分析：根据题意：可以先画出符合题意的图形。如右图，图中△ABC的米，AB=5000米，欲求飞机每小时飞行多少千米，就要知道飞机在20秒的时间里的飞行路程，即图中的CB的长，由于直角△ABC的斜边AB=5000米，AC=4000米，这样的CB就可以通过勾股定理得出。这里一定要注意单位的换算。
解：由勾股定理得
即BC=3千米
飞机20秒飞行3千米，那么它1小时飞行的距离为：
答：飞机每个小时飞行540千米。
3、 议一议
展示投影2（书中的图1—9）
观察上图，应用数格子的方法判断图中的三角形的三边长是否满足
四、小结：同学在议论交流形成共识之后，老师总结。
勾股定理存在于直角三角形中，不是直角三角形就不能使用勾股定理。
5、 业
a) 1、课文 P9§1.2 1§1. 1 、2
b) 选用作业。课题 蚂蚁怎样走最近 备课日期 年 月 日
教法 观察法、操作法、讨论法 授课日期 年 月 日
学法 动手、观察、交流、合作 教具 “ Z+Z”智能教育平台
知识目标：1、能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题。2、能在实际问题中构造直角三角形，提高建模能力，进一步深化对构造法和代数计算法和理解。3、在解决实际问题的过程中，体验空间图形展开成平面图形时，对应的点，线的位置关系，从中培养空间观念。能力目标：4、在解决实际问题的过程中，进一步培养从“形”到“数”和从“数”到“形”的转化，培养学生的转化、推理能力。5、通过研究勾股定理的历史，了解中华民族文化的发展对数学发展的贡献，激发学生的爱国热情和学习数学的兴趣。6、培养学生从空间到平面的想象能力，运用数学方法解决实际问题的创新能力及探究意识。情感目标：通过以教师为主导，引导学生观察发现、大胆猜想、动手操作、自主探究、合作交流，使学生在合作学习中体验到：数学活动充满着探索和创造。使学生获得成功的体验，增强自信心，提高学习数学的兴趣。
重点 运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题。
难点 如何将立体图形展开成平面图形，利用平面几何相关知识如对称、线段公理、点到直线的距离等求最短路径问题。。
教后感 客观的讲，这是一节很普通的常规课，如何把这节课进行的生动而不失规范是我设计时考虑的主要出发点。而Z+提供了这样的一个平台，丰富了我的教学。
教学过程：
一、情景引入，知识回顾：
1、问：李老师家装修。这一天，下班后老师抽空去了一趟现场，工人们正在做门窗，老师很想检验一下工程的质量如何，可对工程质量的好坏，老师只知道可以通过检验门窗相邻两框是否互相垂直的方法来完成，但老师随身只带了一把卷尺（长为一米的简易卷尺）和一个计算器，你能想办法利用这两种工具帮老师检验一下工程的质量吗？（视频显示：工程现场的情景，一筹莫展的老师。）
处理方式：1）以小组讨论的方式确定行动方案。
2）以教室里的门窗为例验证方案的可行性。（以“Z+Z”当场制作示意图，帮助学生理解限制条件的作用。）
3）帮助学生回顾勾股定理及直角三角形的判别条件。
2、你能再帮帮下面两位探险者吗？
甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源。为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米。早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？（多媒体演示：“Z+Z”平面几何状态，现场作图，帮学生理解）
处理方式：1）帮助学生画出方位图，并标出相应数量关系。（利用“Z+Z”帮助学生掌握作图的方法。）
2）学生计算，教师利用“Z+Z”中的“计算器”功能进行验证。
3）帮助学生在实际问题中构造直角三角形。
二、做做议议，探究之旅：
1、问：一只壁虎在油桶的下边缘A，发现油桶的上边缘B处有一只小虫子，壁虎想吃掉这只虫子，但又怕虫子发现它而跑掉。于是，壁虎想出了一个好办法，它不直接向虫子爬，而是绕着油桶爬行，如图所示，避开小虫子的视线，从小虫子背后偷袭。你知道按照壁虎的办法怎样爬行路最短吗？
处理方式：1）自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？
2）将圆柱侧面剪开展成
一个长方形，从A点到B点的最短路线
是什么？你画对了吗？（以“Z+Z”中
现有的图形展示）
2、问：如图所示，有一长为8cm，宽为4cm，高为5cm的长方体，在它的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？你能求出来吗？（多媒体演示：以“Z+Z”演示三种展示效果。）
处理方式： 1）先让学生自己试着展开并以小组为单位进行交流。2）以“Z+Z”演示展开图。
3、问：寒冷的冬天，你需要一杯热热的朱古力。可是在调制的过程中，老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部的饮料。已知圆柱形水杯的底面直径为5cm，高为12cm，你能帮老师计算一下搅拌棒至少要多长吗？老师新买的一根长为24cm的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为hcm，你能求出h的取值范围吗？
处理方式：1）分小组活动，动手实验。
2）画图，并计算。
三、试一试，巩固练习：
1、如图1，高速公路的同一侧有A、B两个村庄，它们到高速公
路所在直线MN的垂直距离分别为AA1=2km，BB1=4km，A1B1=8km。要在高速公路上A1、B1之间设一个出口P，使A、B两个村庄到P的距离之和最短，这个最短距离是多少千米？
2、如图2，图中一块砖宽AN=5cm，长ND=10cm，CD上的点B
距地面的高BD=8cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路径是多少？
3、某工厂的大门是一个长方形ABCD，上部是以AB为直径的半圆，其中AD=2.3m，AB=2m。现在有一辆装满货物的卡车，高2.5m，宽1.6，问这辆卡车能否通过厂门？并说明你的理由。
4、历史趣题：在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺。如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面。请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
四、说一说，小结交流：
通过本节课的学习，你有哪些收获呢？请与伙伴交流。
五、课后练习：P14/习题1.4 1. 2. 3
A
B
B
A
