高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册 1.1.2 空间向量的数量积运算 教案

第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.2 空间向量的数量积运算
一、教学目标
1、了解掌握空间向量数量积运算、投影向量；
2、通过类比的方式快速掌握空间向量的数量积运算及其性质.
二、教学重点、难点
重点：空间向量的数量积运算.
难点：空间向量数量积性质、投影向量的理解与应用.
三、学法与教学用具
1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.
2、教学用具：多媒体设备等
四、教学过程
（一）创设情景，揭示课题
【引入问题】平面向量中，两个向量除了线性运算，还存在数量积运算，两个空间向量是否也存在数量积运算？由数量积运算会带来哪些空间向量的性质？
【复习回顾】
向量的夹角、向量的数量积
，则（）叫做向量与的夹角.
当时， 与同向 当时， 与同向 当时，与垂直，记作
非零向量与的夹角为，叫做与的数量积
投影向量
与方向相同的单位向量为，与的夹角为， 过点作的垂线，就是向量在向量上的投影向量.
向量数量积的性质
设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则
和
（二）阅读精要，研讨新知
【类比转化】由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，
因此，两个空间向量的夹角和数量积可以像平面向量那样来定义.
空间向量的夹角、向量的数量积
两个非零向量，作，叫做向量与的夹角， 记作，且
当时， 与同向 当时， 与同向 当时，与垂直，记作
两个非零向量与，叫做与的数量积
投影向量
向量在向量上的投影向量 过向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，称为向量在平面 上的投影向量.
向量在直线上的投影向量类同于上. 是向量所在直线与平面所成的角.
空间向量数量积的性质
设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则
和
【例题研讨】阅读领悟课本例2、例3（用时约为2-3分钟，教师作出准确的评析.）
例2如图1.1-12, 在平行六面体中，,
.求：
（1）；
（2）的长. (精确到0.1).
解：（1）
（2）
所以
例3如图1.1-13，是平面内的两条相交直 线，如果求证：.
证明：在平面内作任意一 条直线，分别在直线上取非零向量.
因为直线与相交，所以向量不平行.
由向量 共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对,使
所以
因为
所以. 所以.
因此，直线垂直于平面内的任意一条直线，
所以.
【小组互动】完成课本练习1、2、3、4，同桌交换检查，老师答疑.
【练习答案】
（三）探索与发现、思考与感悟
1.（多选）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，到的距离都等于2，下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
解：由已知，对于A，，错误；
对于B，，正确；
对于C，,
因为，所以，正确；
对于D，与不垂直，，错误，故选BC
2.正方体的棱长为2,是它的内切球的一条弦(把球面上任意两点之间的线段称为球的弦), 为正方体表面上的动点,当弦最长时, 的最大值为_________.
解：设点是此正方体的内切球的球心,半径.
因为
所以当点三点共线时, 取得最大值.
此时
而,所以
当且仅当点为正方体的一个顶点时上式取得最大值,
所以
答案:2
3. 如图，在三棱锥中，平面，，，．
（1）确定在平面上的投影向量，并求；
（2）确定在上的投影向量，并求．
解：（1）因为平面，所以在平面上的投影向量为，
因为平面，面，可得，所以，
因为，所以，
所以.
（2）由（1）知 ，，
所以在上的投影向量为：
，
由数量积的几何意义可得 .
（四）归纳小结，回顾重点
空间向量的夹角、向量的数量积
两个非零向量，作，叫做向量与的夹角， 记作，且
当时， 与同向 当时， 与同向 当时，与垂直，记作
两个非零向量与，叫做与的数量积
投影向量
向量在向量上的投影向量 过向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，称为向量在平面 上的投影向量.
向量在直线上的投影向量类同于上. 是向量所在直线与平面所成的角.
空间向量数量积的性质
设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则
和
（五）作业布置，精炼双基
1.完成课本习题1.1 4-10
2.预习1.2 空间向量基本定理
五、教学反思：（课后补充，教学相长）