第1章勾股定理教案（整章）[上学期]

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第一章　勾股定理
1.1　探索勾股定理（一）
教学目标： 2005年　月　日
1．经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2．探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。
教学重点：了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。
教学难点：勾股定理的发现。
教学过程：
一、创设问题的情境，激发学生的学习热情：
我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边。对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系。那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理。出示投影1（章前的图文P1）我国是最早了解勾股定理的国家之一介绍商高（三千多年前周期数学家）。
出示投影2。（书中P2　图1－2）并回答：
1．观察图1－2，正方形A中有_____个小方格，即A的面积为________个面积单位。
正方形B中有_______个小方格．即B的面积为_______个面积单位。
正方形C中有________个小方格，即C的面积为___________个面积单位。
2．你是怎样得出上面结果的？在学生交流回答的基础上教师接着发问。
3．图l－2中，A、B、C之间的面积之间有什么关系？
在学生交流后形成共识老师板书。A＋B＝C，接着提出图1－1中A、B、C的关系呢？
二、做一做
出示投影3（书中P3　图1－3，图1－4）
提问：1．图1－3中，A、B、C之间有什么关系？
2．图1－4中，A、B、C之间有什么关系？
3．从图1－l、1－2、1－3、l－4中你发现了什么？
在学生讨论、交流形成共识后，老师总结：
以直角三角形两直角边为边的正方形面积和，等于以斜边为边的正方形面积。
三、议一议
1．图1－1、1－2、1－3、1－4中，你能用三角边的边长表示正方形的面积吗？
2．你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？在同学的交流基础上，老师板书：
直角三角边的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理”。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c。那么a2＋b2＝c2。
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来．
3．分别以5厘米和12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度（学生测量后回答斜边为13）请大家想一想（2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？（回答是肯定的：成立。）
4．（想一想）：这里的29英寸（74厘米）的申视机，指的是屏幕的长吗？指的屏幕的宽吗？那它指的是什么呢？
四、巩固练习精选练习，掌握应用：
勾股定理的应用是本节教学的重点，一定要让学生熟练地掌握在直角三角形中已知两边求第三边的方法，为此，可设计下列三组具有梯度性的练习：
练习1（填空题）
已知在Rt△ABC中，∠C＝90 。
① 若a＝3，b＝4，则c＝________；
② 若a＝40，b＝9，则c＝________；
③ 若a＝6，c＝10，则b＝_______；
④ 若c＝25，b＝15，则a＝________。
练习2（填空题）
已知在Rt△ABC中，∠C＝90 ，AB＝10。
① 若∠A＝30 ，则BC＝______，AC＝_______；
② 若∠A＝45 ，则BC＝______，AC＝_______。
练习3
已知等边三角形ABC的边长是6cm。求：
（1）高AD的长；
（2）△ABC的面积S△ABC。
五、作业
1．课本P6　习题1.1　2、3、4
六、教学反思：
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1.1　探索勾股定理（二）
教学目标： 2005年　月　日
1．经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动发展学生的探究意识和合作交流的习惯
2．掌握勾股定理和它的简单应用。
教学重点：能熟练应用拼图法证明勾股定理．
教学难点：用面积证勾股定理．
教学过程：
一、创设问题情境，激发学生学习热情，导入课题
我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需要加以论证。
下面就是今天所要研究的内容，下边请大家画四个全等的直角三角形，并把它剪下来，用这四个直角三角形拼一拼、摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，并与同学们交流。
在同学操作的过程中，教师展示投影1（书中P7图1—7）接着提问：大正方形的面积可表示为什么？
同学们回答有两种可能：（1）(a＋b)2；　　（2）ab·4＋c2。
在同学交流形成共识后教师把这两种表示大正方形面积的式子用等号连接起来。
(a＋b)2＝ab·4＋c2。
请同学们对上式进行化简，得到：
a2＋2ab＋b2＝2ab＋x2，即a2＋b2＝c2。
这就可以从理论上说明了勾股定理存在。
请同学们回去用别的拼图方法说明勾股定理。
二、讲解例题
例1　飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？
分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形。如右图，图中△ABC的∠C＝90 ，AC＝4000米，AB＝5000米欲求飞机每时飞行多少千米，就要知道20秒时间里飞行的路程，即图中的CB的长，由于△ABC的斜边AB＝5000米，AC＝4000米，这样BC就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算。
解：由勾股定理得BC2＝AB2－AC2＝52－42＝9（千米2），
即　　BC＝3千米，
飞机20秒飞行3千米，那么它l小时飞行的距离为：
（千米／时）。
答：飞机每小时飞行540千米。
三、议一议：
展示投影2（书中图1－9）观察上图应用数格子方法判断图中的三角形的三边长是否满足a2＋b2＝c2。
同学在议论交流形成共识后，老师总结。
勾股定理存在于直角三角形中，不是直角三角形就不能使用勾股定理。
四、作业
课文P1　习题1.2　1、2。
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1.2　能得到直角三角形吗
教学目标： 2005年　月　日
知识与技能：掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用；
教学思考：进一步发展数感，增加对勾股数的直观体验，培养从实际问题抽象出数学问题的能力，建立数学模型．
解决问题：会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨析哪些问题应用哪个结论．
情感态度与价值观：敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识．
教学重点：探索并掌握直角三角形的判别条件。
教学难点：运用直角三角形判别条件解题
教学过程：
一、创设情境，激发学生兴趣、导入课题
展示一根用13个等距的结把它分成等长的12段的绳子，请三个同学上台，按老师的要求操作。
甲：同时握住绳子的第一个结和第十三个结。
乙：握住第四个结。　　　　丙：握住第八个结。
拉紧绳子，让一个同学用量角器，测出这三角形其中的最大角。
问：发现这个角是多少？（直角。）
展示投影1。（书P9图1—10）
教师道白：这是古埃及人曾经用过这种方法得到直角，这个三角形三边长分别为多少？（3、4、5），这三边满足了哪些条件？（32＋42＝52），是不是只有三边长为3、4、5的三角形才可以成为直角三角形呢？现在请同学们做一做。
二、做一做
下面的三组数分别是一个三角形的三边a、b、c。
5、12、13　　　7、24、25　　　8、15、17
1．这三组数都满足a2＋b2＝c2吗？
同学们在运算、交流形成共识后，教师要学生完成。
2．分别用每组数为三边作三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
同学们在在形成共识后板书：
如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数。
大家可以想这样的勾股数是很多的。
今后我们可以利用“三角形三边a、b、c满足a2＋b2＝c2时，三角形为直角形”来判断三角形的形状，同时也可以用来判定两条直线是否垂直的方法。
三、讲解例题
例1　一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD＝4，AB＝3，DC＝12，BC＝13，这个零件符合要求吗？
分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断△ADB和△DBC是否为直角三角形，这样勾股定理的逆定理即可派上用场了。
解：在△ABD中，AB2＋AD2＝32＋42＝9＋16＝25＝BD2，
所以△ABD为直角三角形，∠A＝90
在△BDC中，
BD2＋DC2＝52＋122＝132＝25＋144＋169＝132＝BC2，
所以△BDC是直角三角形∠CDB＝90 ，
因此这个零件符合要求。
四、随堂练习：
1．下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由．
（1）9，12，15； （2）15，36，39；
（3）12，35，36； （4）12，18，22．
2．已知 ABC中BC＝41，AC＝40，AB＝9，则此三角形为_______三角形，______是最大角．
3．四边形ABCD中已知AB＝3，BC＝4，CD＝12，DA＝13，且∠ABC＝90 ，求这个四边形的面积．
4．习题1.3．
五、读一读
P11　勾股数组与费马大定理。
六、小结：
直角三角形判定定理：如果三角形的三边长a，b，c，
1．满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；
2．满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．
七、作业：
1．课本P12　1.3　1、2、3。
教学反思：
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1.3　蚂蚁怎样走最近
教学目标： 2005年　月　日
教学知识点：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题．
能力训练要求：1．学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念；2．在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．
情感与价值观要求：1．通过有趣的问题提高学习数学的兴趣；2．在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学．
教学重点：探索发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题．
教学难点：利用建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题．
教学过程：
一、创设问题情境，引入新课：
前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？
例如：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？
根据题意，（如图）AC是建筑物，则AC＝12米，BC＝5米，AB是梯子的长度．所以在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2＝122＋52＝132＝AB＝13米．
所以至少需13米长的梯子．
二、讲授新课：①蚂蚁怎么走最近
出示问题：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆行柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的的最短路程是多少？（π的值取3）．
（1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（小组讨论）
（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B点的最短路线是什么？你画对了吗？
（3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（学生分组讨论，公布结果）
我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形．好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA 将圆柱的侧面展开（如下图）．
我们不难发现，刚才几位同学的走法：
（1）A→A →B；　（2）A→B →B；　（3）A→D→B；　（4）A—→B．
哪条路线是最短呢？你画对了吗？
第（4）条路线最短．因为“两点之间的连线中线段最短”．
②做一做：教材14页。李叔叔随身只带卷尺检测AD，BC是否与底边AB垂直，也就是要检测∠DAB＝90 ，∠CBA＝90 ．连结BD或AC，也就是要检测△DAB和△CBA是否为直角三角形．很显然，这是一个需用勾股定理的逆定理来解决的实际问题．
③随堂练习：出示投影片
1．甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险．某日早晨8∶00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走．1时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进．上午10∶00，甲、乙两人相距多远？2．如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有多长？
1．分析：首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型．
（即甲、乙两人相距13千米）
2．分析：从题意可知，没有告诉铁棒是如何插入油桶中，因而铁棒的长是一个取值范围而不是固定的长度，所以铁棒最长时，是插入至底部的A点处，铁棒最短时是垂直于底面时．
解：设伸入油桶中的长度为x米，则应求最长时和最短时的值．
（1）x2＝1.52＋22，x2＝6.25，x＝2.5
所以最长是2.5＋0.5＝3（米）．
（2）x＝1.5，最短是1.5＋0.5＝2（米）．
答：这根铁棒的长应在2～3米之间（包含2米、3米）．
三、试一试（课本P15）
在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？（水池的深度为12尺，芦苇长13尺）
我们可以将这个实际问题转化成数学模型．
四、课时小结
这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的几个实际问题．我们从中可以发现用数学知识解决这些实际问题，更为重要的是将它们转化成数学模型．
五、课后作业
课本P14　习题6.4．
教学反思：
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B
D
C
B
A
C
B
A
13
12
4
3
D
C
B
A
5
13
12
4
3
D
C
B
A
x＋1
x
5
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