第一章 勾股定理
第1课 探索勾股定理（一）
教学目标：
1、 经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系．
2、 探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力．
重点难点：
重点：了结勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题．
难点：勾股定理的发现．
教具准备：“L”形纸片若干，红和绿纸片各一张，剪刀，直尺．
教学过程
一、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题
结合章前的图文教师道白：介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献，并结合课本P5谈一谈，讲述我国是最早了解勾股定理的国家之一，介绍商高(三千多年前周期的数学家)在勾股定理方面的贡献．结合书中的P2图1—1和图1—2并回答：
（1）观察图1-1，正方形A中有_______个小方格，即A的面积为______个单位；
正方形B中有_______个小方格，即A的面积为______个单位；
正方形C中有_______个小方格，即A的面积为______个单位．
你是怎样得出上面的结果的？与同伴交流．
（2） 在图1—2中，正方形A,B,C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？
（3） 你能发现图1—1中三个正方形A,B,C的面积之间有什么关系？图1—2中呢？
解：（1）9,9；9,9；18,18．(2) 各含有2、2、4个小方格, 面积各是2、2、4．
(3)SA＋SB=SC．
二、做一做
结合书中P3图1—4提问：
(1)观察图1—3、图1—4，并填写下表：
A的面积(单位面积) B的面积(单位面积) C的面积(单位面积)
图1—3
图1—4
你是怎样得到上面的结果的？与同伴交流．
(2)三个正方形 A,B,C 的面积之间有什么关系
解:(1)一行:16,9,25；二行:4,9,13；(2) SA＋SB=SC．
学生讨论、交流形成共识后，教师总结：以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边的正方形面积．
三、议一议
(1)图1—1、1—2、1—3、1—4中，你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？
(2)你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？
在同学的交流基础上，老师板书：直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方．这就是著名的“勾股定理”，也就是说：如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c，那么．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的为股，斜边为弦（图1－5），这就是勾股定理的由来．
(3)分别以5厘米和12厘米为直角边做出一个直角三角形，并测量斜边的长度（学生测量后回答斜边长为13）请大家想一想（2）中的规律，对这个三角形仍然成立吗？（回答是肯定的：成立）
四、想一想
小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机．小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？这里的29英寸（74厘米）的电视机，指的是屏幕的长吗？指的是屏幕的宽吗？那他指什么呢？ 答:指的是屏幕的对角线长．
五、巩固练习
1、错例辨析：△ABC的两边为3和4，求第三边．
解：由于三角形的两边为3、4，
所以它的第三边的c应满足=25，即：c=5．
辨析：（1）要用勾股定理解题，首先应具备直角三角形这个必不可少的条件，可本题
△ABC并未说明它是否是直角三角形，所以用勾股定理就没有依据．
（2）若告诉△ABC是直角三角形，第三边c也不一定是满足，题目中并为交待C 是斜边．
综上所述这个题目条件不足，第三边无法求得．
2、 习题P6 §1.1 1．
六、课堂小结
1、勾股定理内容及应用．
2、两种数学证题方法：比较法和面积法.
七、作业:课本P6 §1.1 2、3、4．
教学后感：本节课是在了解勾股定理的由来的具体背景下，通过学生自己的观察、发现、总结、归纳，探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系．第2课 探索勾股定理（二）
教学目标：
1． 经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯．
2． 掌握勾股定理和他的简单应用．
重点难点：
1.重点： 能熟练运用拼图的方法证明勾股定理．
2.难点：用面积证勾股定理．
教具准备：纸片一张，剪刀，直尺，投影仪．
教学过程
一、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题
我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟几个实例是否具有普遍的意义，还需加以论证，下面就是今天所要研究的内容，下边请大家画四个与图1－6全等的直角三角形，并把它剪下来，用这四个直角三角形，拼一拼、摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，并与同学交流。在同学操作的过程中，教师展示投影1（书中P7 图1—7）接着提问：大正方形的面积可表示为什么？
（同学们回答有这几种可能：（1） （2） ）
在同学交流形成共识之后，教师把这两种表示大正方形面积的式子用等号连接起来：=，请同学们对上面的式子进行化简，得到： ， 即 =
这就可以从理论上说明勾股定理存在．请同学们去用别的拼图方法说明勾股定理．
二、例题讲解
例1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞机飞到一个男孩头顶正上方4000多米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米．飞机每时飞行多少千米？
分析：根据题意：可以先画出符合题意的图形。如图1－8，图中△ABC的米，AB=5000米，欲求飞机每小时飞行多少千米，就要知道飞机在
20秒的时间里的飞行路程，即图中的CB的长，由于直角△ABC的斜边AB=5000米，
AC=4000米，这样的CB就可以通过勾股定理得．这里一定要注意单位的换算．
解：由勾股定理得，即BC=3千米．
飞机20秒飞行3千米，那么它1小时飞行的距离为：
答：飞机每个小时飞行540千米．
三、议一议
展示投影2（书中的图1—9）
观察上图，应用数格子的方法判断图中的三角形的三边长是否满足．
同学在议论交流形成共识之后，老师总结：勾股定理存在于直角三角形中，不是直角三角形就不能使用勾股定理．
四、课堂小结
1、勾股定理内容及应用．
2、另一种数学证题方法：拼图法.
五、作业
课文 P9§1.2 1 、2．
教学后感
课堂中教师发挥“集思广益”“智力互激”的优势，积极组织学生开展平等、宽松、民主的讨论，尊重学生，关心学生，教学民主，让学生体验到他们才是学习的主人，教师是他们平等的合作者．第4课 蚂蚁怎样走最近
教学目标：
1． 经历运用勾股定理及其逆定理解决实际问题的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯．
1． 掌握勾股定理及其逆定理和他的简单应用．
重点难点：
1．重点： 能熟练运用勾股定理及其逆定理解决实际问题．
2．难点：熟练运用勾股定理及其逆定理解决实际问题．
课前准备：制作一个圆柱，剪刀．
教法及学法指导：互动式教学．
教学过程：
一、复习：
1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．即：
c=a+b(c为斜边)．
2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：
a+b= c，那么这个三角形是直角三角形．
注意：勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理．
二、讲授新课：如图所示，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（的值取3）
（l）自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？
（2）如图所示，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从A点到B点的最短路线是什么？你画对了吗？
（3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
解：（2）线段AB；（3）15厘米（AB2=122＋92）．
三、做一做：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺．
（l）你能替他想办法完成任务吗？
（2）李叔叔量得 AD长是 30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米． AD边垂直于AB边吗？
（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直干AB边吗？ BC边与AB边呢？
解：（2）AD边垂直于AB边．因为BD2=AB2＋AD2，所以△ABD是直角三角形,AD⊥AB．
（3）在AB上量得AE=12㎝,在AD上量得AF=9㎝,若EF=15㎝,则AD⊥AB.同样的方法可得BC⊥AB.
四、课堂练习：
1．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险．某日里晏 8：00甲先出发，他以6千米／时的速度向东行走．1时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进．上午10：00，甲、乙二人相距多远？
2．如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少？
五、课堂小结：
1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即：c=a+b(c为斜边)．
2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：
a+b= c，
那么这个三角形是直角三角形．
注意：勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理．能熟练运用勾股定理及其逆定理解决实际问题．
六、作业：P15 2，3．
教学后感：本节课是在了解勾股定理的由来的具体背景下，通过学生自己的观察、发现、总结、归纳，探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系．
B
AA
B
B
AA
AA第3课 能得到直角三角形吗
教学目标：
一、知识与技能
1.掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用．
2.进一步发展数感，增加对勾股数的直观体验，培养从实际问题抽象出数学问题的能力，建立数学模型．
3.会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨析哪些问题应用哪个结论．
二、情感态度与价值观
敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识．
教学重点：运用身边熟悉的事物，从多种角度发展数感，会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨析哪些问题应用哪个结论．
教学难点：会辨析哪些问题应用哪个结论．
课前准备：标有单位长度的细绳、三角板、量角器．
教学过程：
一、复习引入：(1)请学生复述勾股定理；
(2)使用勾股定理的前提条件是什么？已知△ABC的两边AB=5，AC=12，则BC=13对吗？
二、创设问题情景：由课前准备好的一组学生以小品的形式演示教材第9页古埃及造直角的方法．
这样做得到的是一个直角三角形吗？
提出课题：能得到直角三角形吗
三、讲授新课：
1．如何来判断？（用直角三角板检验）这个三角形的三边分别是多少？（一份视为1）它们之间存在着怎样的关系？
就是说，如果三角形的三边为，，，请猜想在什么条件下，以这三边组成的三角形是直角三角形？（当满足较小两边的平方和等于较大边的平方时）
2．继续尝试：下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：
5，12，13； 7, 24, 25； 8，15，17.
（1）这三组数都满足a2 +b2=c2吗？
（2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
3．直角三角形的判定定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形．
满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数．
4．例1 一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中 ∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？
解：在△ABD中，AB2＋AD2=9＋16=25=BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角．
在△BCD中，BD2＋BC2=9＋16=25=CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角．
因此这个零件符合要求．
四、随堂练习：
1．下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由．
(1)9，12，15； (2)15，36，39；
(3)12，35，36； (4)12，18，22．
2．已知 ABC中BC=41, AC=40, AB=9, 则此三角形为_______三角形, ∠ ______是最大角.
3．四边形ABCD中已知AB=3，BC=4，CD=12，DA=13，且∠ABC=90°，求这个四边形的面积．
五、课堂小结：
1．直角三角形判定定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形．
2．满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．
六作业：习题1.3 1、2．
教后记录：
1．《数学课程标准》提出学生是学习数学的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者，因此本节课以开放式的课堂形式组织教学，让学生进行合作学习，共同操作与探索，共同探究、解决问题．在教学中能注意充分调动学生的学习积极性、主动性，坚持做到以人为本，以学生为先，立足于让学生先看、先想、先说、先练，根据自己的体验，用自己的思维方式，通过实验、思考、合作、交流学好知识．
2．在教学中，教师关注更多的是学生对待学习的态度是否积极，学生想了没有，参与了没有，能否从数学的角度思考问题．
