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6.4.3余弦定理、正弦定理
第1课时 余弦定理
学习目标 把握航向 目的明确
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 余弦定理及其证明
1.余弦定理的表示及其推论
文字语言 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍
符号语言 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C
推论 cos A＝，cos B＝，cos C＝
注意点：
(1)余弦定理适用范围：任意三角形；
(2)定理中的关键词：“平方”、“夹角”以及“余弦”；
(3)余弦定理常见的变式：
b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C
2.余弦定理的证明
(1)课本上采用的证明方法：如图，
设a＝，b＝，c＝，则c＝b－a，
∴|c|2＝c·c＝(b－a)2＝a2－2a·b＋b2＝a2－2abcos C＋b2，
∴c2＝a2＋b2－2abcos C.
(2)利用坐标法证明：如图，
建立直角坐标系，则A(0,0)、B(ccos A，csin A)、C(b,0)(写出三点的坐标).
∴a＝BC＝＝，
∴a2＝b2＋c2－2bccos A.
注意点：勾股定理和余弦定理都反映了三角形三边之间的平方关系，其中余弦定理反映了任一三角形中三边平方间的关系，勾股定理反映了直角三角形中三边平方间的关系，是余弦定理的特例.
知识点二 用余弦定理解三角形的问题
利用余弦定理可以解决以下两类问题：
(1)已知两边及夹角解三角形；
(2)已知三边解三角形.
知识点三 解三角形
一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
典例讲解 题型探究 重点突破
题型一 已知两边及一角解三角形
例1 (1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a；
(2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A、角C和边a.
解：(1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋(2)2－2×3×2cos 30°＝3，
所以a＝.
(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos 30°，
即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.
当a＝3时，A＝30°，C＝120°；
当a＝6时，由余弦定理cos A＝＝0，A＝90°，C＝60°.
反思感悟：已知三角形的两边及一角解三角形的方法：已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边.
跟踪训练1 (1)已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，则c＝ ；sin A＝ .
答案：2
解析：根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12＋22－2×1×2×＝4，解得c＝2.由a＝1，b＝2，c＝2，得cos A＝＝，所以sin A＝＝.
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c等于( )
A.4 B. C.3 D.
答案：D
解析：由三角形内角和定理可知cos C＝－cos(A＋B)＝－，又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝9＋4－2×3×2×(－)＝17，所以c＝.
题型二 已知三边(或三边的关系)解三角形
例2 在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角.
解：∵a>c>b，∴A为最大角.
由余弦定理的推论，得cos A＝＝＝－.又∵0°
反思感悟：已知三角形的三边解三角形的方法：利用余弦定理求出三个角的余弦，进而求出三个角.
跟踪训练2 在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求最小角.
解：易知a根据余弦定理，得cos A＝＝＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝.
题型三 已知两边及其中一边的对角解三角形
例3 在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝，A＝45°，求边c.
解：方法一 在△ABC中，根据余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，即c2－2c－6＝0，
所以c＝±3.又c>0，所以c＝＋3.
方法二 在△ABC中，由正弦定理得sin B＝＝＝，
因为b所以sin C＝sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝，
故c＝＝＝＋3.
反思感悟：已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的方法：可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边(注意边的取舍)，再利用正弦定理求其他的两个角；也可以由正弦定理求出第二个角(注意角的取舍)，再利用三角形内角和定理求出第三个角，最后利用正弦定理求出第三边.
跟踪训练3 已知在△ABC中，b＝，c＝3，B＝30°，解此三角形.
解：方法一 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B得()2＝a2＋32－2×a×3×cos 30°，
∴a2－3a＋6＝0，∴a＝或a＝2.
当a＝时，a＝b，∴A＝30°，∴C＝120°；
当a＝2时，由正弦定理得sin A＝＝＝1，
又∵A∈(0°，180°)，∴A＝90°，C＝60°.
∴C＝60°，A＝90°，a＝2或C＝120°，A＝30°，a＝.
方法二 由bcsin 30°知本题有两解.
由正弦定理，得sin C＝＝＝，∴C＝60°或120°.
当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理得a＝＝2；
当C＝120°时，A＝30°＝B，∴a＝.
∴C＝60°，A＝90°，a＝2或C＝120°，A＝30°，a＝.
题型四 利用余弦定理判断三角形的形状
例4 在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，试判断该三角形的形状.
解：由acos B＋acos C＝b＋c并结合余弦定理，得a·＋a·＝b＋c，
即＋＝b＋c，整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.
因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形.
反思感悟：(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线：①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系.②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系.
(2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论：①△ABC为直角三角形 a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2；②△ABC为锐角三角形 a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2；③△ABC为钝角三角形 a2＋b2跟踪训练4 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝bccos A＋cacos B＋abcos C，则△ABC是 三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)
答案：直角
解析：由余弦定理得c2＝bc·＋ac·＋ab·，即c2＝a2＋b2，∴△ABC为直角三角形.
习题精练 基础落实 强化落实
选择题
1.在△ABC中，符合余弦定理的是( )
A.c2＝a2＋b2－2abcos C B.c2＝a2－b2－2bccos A
C.b2＝a2－c2－2bccos A D.cos C＝
答案：A
解析：由余弦定理及其推论知只有A正确.
2.在△ABC中，给出下列条件：①A＝60°，C＝45°，b＝10；②B＝30°，a＝5，c＝6；③B＝30°，a＝2，b＝1；④a＝1，b＝3，c＝4，使三角形有一解的有( )
A.②④ B.①④ C.①②③ D.①②④
答案：C
解析：①已知两角及一边；②已知两边及夹角；④已知三边均只有一解，但④中三边无法组成三角形.③中已知两边及一边的对角，可能有两解，但sin A＝1，又A∈(0°，180°)，∴A＝90°.故只有一解.
3.在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是( )
A.8 B.2 C.6 D.2
答案：D
解析：由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C＝42＋62－2×4×6×(－)＝76，∴c＝2.
4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝120°，c＝a，则( )
A.a>b B.a答案：A
解析：cos 120°＝＝＝－，∴b＝a5.在△ABC中，b＝5，c＝5，A＝30°，则a等于( )
A.5 B.4 C.3 D.10
答案：A
解析：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A＝52＋(5)2－2×5×(5)×＝25，∴a＝5.
6.在△ABC中，a＝7，b＝8，sin C＝，则c等于( )
A.3 B. C.3或 D.6
答案：C
解析：∵sin C＝，∴cos C＝±＝±，∴c2＝a2＋b2－2abcos C＝72＋82－2×7×8×(±)＝9或217，∴c＝3或.
7.已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－ab，则此三角形的最大内角为( )
A.60° B.90° C.120° D.150°
答案：D
解析：由题意知，a2＋b2－c2＝－ab，∴cos C＝＝＝－，又C∈(0°，180°)，∴C＝150°.
8.若三角形三边长分别为5、7、8，则它的最大角和最小角的和为( )
A.90° B.120° C.135° D.150°
答案：B
解析：中间的角设为θ，则cos θ＝＝，又θ∈(0°，180°)，∴θ＝60°，∴最大角和最小角之和为120°.
9.已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C的余弦值等于( )
A. B. C.－ D.－
答案：D
解析：∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab.∴(a＋b)2－c2＝ab，即a2＋b2－c2＝－ab，∴cos C＝－.
10.在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝，则最大角的余弦是( )
A.－ B.－ C.－ D.－
答案：C
解析：c2＝a2＋b2－2abcos C＝82＋72－2×8×7×＝9，∴c＝3，∴cos A＝＝＝－.
二、填空题
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝3，b＝4，c＝6，则bccos A＋accos B＋abcos C的值是 .
答案：
解析：bccos A＋accos B＋abcos C＝＋＋＝＝(32＋42＋62)＝.
12.在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则边c＝ .
答案：
解析：由题意知a＋b＝5，ab＝2，∴c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－2ab－2abcos C＝52－2×2－2×2×＝19，∴c＝.
13.△ABC的三边分别为a，b，c，且S△ABC＝，则C＝ .
答案：45°
解析：S△ABC＝absin C＝(a2＋b2－c2)＝(2abcos C)，∴sin C＝cos C，又∵C∈(0°，180°)∴C＝45°.
14.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 .
答案：
解析：设该等腰三角形为△ABC，且A，B，C所对的边分别为a，b，c，顶角为C，周长为l，因为l＝5c，所以a＝b＝2c，由余弦定理，得cos C＝＝＝.
15.在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝3，c＝4，则实数a的取值范围是 .
答案：(，5)
解析：∵b＝3，c＝4，且△ABC是锐角三角形，∴cos A＝>0，且cos C＝>0，∴7三、解答题
16.在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，求△ABC的最大内角.
解：设＝k，则b＋c＝4k，a＋c＝5k，a＋b＝6k，
∴a＝k，b＝k，c＝k，
可见a>b>c，∴A为最大内角，
∴cos A＝＝＝－，
又A∈(0°，180°)，∴A＝120°.
17.已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cos A＝0.
(1)求A的大小；
(2)若a＝2，b＝2，求c的值.
解：(1)∵cos A＝2cos2－1,2cos2＋cos A＝0，
∴2cos A＋1＝0，∴cos A＝－， ∴A＝120°.
(2)由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccos A，
∵a＝2，b＝2，cos A＝－，
∴(2)2＝22＋c2－2×2×c×，
化简，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4(舍去).
18.在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，求AC边上的中线长.
解：方法一 由条件知cos A＝＝＝，
设中线长为x，
由余弦定理，知x2＝2＋AB2－2××ABcos A＝42＋92－2×4×9×＝49，
所以x＝7.
所以AC边上的中线长为7.
方法二 设AC中点为M，连接BM(图略).则＝(＋)，
∴2＝(2＋2＋2·)＝(92＋72＋2||||cos∠ABC).
由余弦定理，得2||||cos∠ABC＝||2＋||2－||2＝92＋72－82，
∴||2＝(92＋72＋92＋72－82)＝49.
∴BM＝7，即AC边上的中线长为7.
19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求此三角形的最大边长.
解：已知a－b＝4，则a>b且a＝b＋4，
又a＋c＝2b，则b＋4＋c＝2b，所以b＝c＋4，
则b>c，从而知a>b>c，所以a为最大边，
故A＝120°，b＝a－4，c＝2b－a＝a－8.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2＋bc
＝(a－4)2＋(a－8)2＋(a－4)(a－8)，
即a2－18a＋56＝0，解得a＝4或a＝14.
又b＝a－4>0，所以a＝14，
即此三角形的最大边长为14.
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高中数学(新RJ·A)必修第二册6.4.3 第1课时 余弦定理 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
6.4.3余弦定理、正弦定理
第1课时 余弦定理
学习目标 把握航向 目的明确
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 余弦定理及其证明
1.余弦定理的表示及其推论
文字语言 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍
符号语言 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C
推论 cos A＝，cos B＝，cos C＝
注意点：
(1)余弦定理适用范围：任意三角形；
(2)定理中的关键词：“平方”、“夹角”以及“余弦”；
(3)余弦定理常见的变式：
b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C
2.余弦定理的证明
(1)课本上采用的证明方法：如图，
设a＝，b＝，c＝，则c＝b－a，
∴|c|2＝c·c＝(b－a)2＝a2－2a·b＋b2＝a2－2abcos C＋b2，
∴c2＝a2＋b2－2abcos C.
(2)利用坐标法证明：如图，
建立直角坐标系，则A(0,0)、B(ccos A，csin A)、C(b,0)(写出三点的坐标).
∴a＝BC＝＝，
∴a2＝b2＋c2－2bccos A.
注意点：勾股定理和余弦定理都反映了三角形三边之间的平方关系，其中余弦定理反映了任一三角形中三边平方间的关系，勾股定理反映了直角三角形中三边平方间的关系，是余弦定理的特例.
知识点二 用余弦定理解三角形的问题
利用余弦定理可以解决以下两类问题：
(1)已知两边及夹角解三角形；
(2)已知三边解三角形.
知识点三 解三角形
一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
典例讲解 题型探究 重点突破
题型一 已知两边及一角解三角形
例1 (1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a；
(2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A、角C和边a.
解：
反思感悟：已知三角形的两边及一角解三角形的方法：已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边.
跟踪训练1 (1)已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，则c＝ ；sin A＝ .
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c等于( )
A.4 B. C.3 D.
题型二 已知三边(或三边的关系)解三角形
例2 在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角.
解：
反思感悟：已知三角形的三边解三角形的方法：利用余弦定理求出三个角的余弦，进而求出三个角.
跟踪训练2 在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求最小角.
解：
题型三 已知两边及其中一边的对角解三角形
例3 在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝，A＝45°，求边c.
解：
反思感悟：已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的方法：可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边(注意边的取舍)，再利用正弦定理求其他的两个角；也可以由正弦定理求出第二个角(注意角的取舍)，再利用三角形内角和定理求出第三个角，最后利用正弦定理求出第三边.
跟踪训练3 已知在△ABC中，b＝，c＝3，B＝30°，解此三角形.
解：
题型四 利用余弦定理判断三角形的形状
例4 在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，试判断该三角形的形状.
解：
反思感悟：(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线：①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系.②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系.
(2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论：①△ABC为直角三角形 a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2；②△ABC为锐角三角形 a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2；③△ABC为钝角三角形 a2＋b2跟踪训练4 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝bccos A＋cacos B＋abcos C，则△ABC是 三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)
习题精练 基础落实 强化落实
选择题
1.在△ABC中，符合余弦定理的是( )
A.c2＝a2＋b2－2abcos C B.c2＝a2－b2－2bccos A
C.b2＝a2－c2－2bccos A D.cos C＝
2.在△ABC中，给出下列条件：①A＝60°，C＝45°，b＝10；②B＝30°，a＝5，c＝6；③B＝30°，a＝2，b＝1；④a＝1，b＝3，c＝4，使三角形有一解的有( )
A.②④ B.①④ C.①②③ D.①②④
3.在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是( )
A.8 B.2 C.6 D.2
4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝120°，c＝a，则( )
A.a>b B.a5.在△ABC中，b＝5，c＝5，A＝30°，则a等于( )
A.5 B.4 C.3 D.10
6.在△ABC中，a＝7，b＝8，sin C＝，则c等于( )
A.3 B. C.3或 D.6
7.已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－ab，则此三角形的最大内角为( )
A.60° B.90° C.120° D.150°
8.若三角形三边长分别为5、7、8，则它的最大角和最小角的和为( )
A.90° B.120° C.135° D.150°
9.已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C的余弦值等于( )
A. B. C.－ D.－
10.在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝，则最大角的余弦是( )
A.－ B.－ C.－ D.－
二、填空题
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝3，b＝4，c＝6，则bccos A＋accos B＋abcos C的值是 .
12.在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则边c＝ .
13.△ABC的三边分别为a，b，c，且S△ABC＝，则C＝ .
14.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 .
15.在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝3，c＝4，则实数a的取值范围是 .
三、解答题
16.在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，求△ABC的最大内角.
解：
17.已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cos A＝0.
(1)求A的大小；
(2)若a＝2，b＝2，求c的值.
解：
18.在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，求AC边上的中线长.
解：
19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求此三角形的最大边长.
解：
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